평탄 가군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 함의 관계
- 3.2. 평탄 분해와 평탄 차원
4. 충실 평탄성
5. 예
6. 역사
참조

1. 개요

평탄 가군은 환 위의 가군으로, 텐서곱 함자가 완전 함수인 경우를 의미한다. 환 준동형, 스킴 사상, 가군층 등 다양한 대수적 구조에서 평탄성의 개념이 정의되며, 이는 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 평탄 가군은 다양한 조건과 동치이며, 사영 가군, 꼬임 없는 가군 등과 밀접한 관련이 있다. 평탄성은 국소적 성질을 가지며, 평탄 분해와 평탄 차원을 통해 연구된다. 충실 평탄성은 평탄성의 특수한 경우로, 텐서곱을 취했을 때 정확한 수열이 유지되는 조건을 의미한다. 평탄성은 대수기하학에서 족의 개념을 정의하는 데 중요한 역할을 하며, 알렉산더 그로텐디크에 의해 대수기하학에서 널리 사용되었다.

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평탄 가군
수학적 정보
유형	가군
성질	텐서곱의 완전성 유지
관련 개념	사영 가군, 단사 가군
쌍대 개념	사영 가군
정의
정의	어떤 환 R 위의 왼쪽 가군 M이 주어졌을 때, 텐서곱 연산 M ⊗ – 가 완전한 함자가 되면 M을 평탄 가군이라고 한다.
성질
성질	평탄 가군은 사영 가군의 일반화이다.
활용
활용	평탄 가군은 대수기하학에서 평탄 사상을 정의하는 데 사용된다.

2. 정의

(곱셈 항등원을 가진) 환 R 위의 임의의 왼쪽 가군에 대하여, 해당 가군과의 R-텐서곱으로 정의되는 가법 함자는 일반적으로 오른쪽 완전 함자이지만, (양쪽) 완전 함자가 아닐 수 있다.

환 R 위의 왼쪽 가군 M에 대하여, M과의 텐서곱 함자 (- ⊗_RM)가 완전 함자인 경우, M을 '''평탄 왼쪽 가군'''(flat left module^영어)이라고 한다. 마찬가지로, '''평탄 오른쪽 가군'''(flat right module^영어)의 개념도 정의할 수 있는데, 오른쪽 가군의 경우 왼쪽/오른쪽을 바꿔 정의한다.

두 가환환 R, S 사이의 '''평탄 준동형'''(flat homomorphism^영어) f: R → S는 S가 R-가군으로서 평탄 가군이 되게 만드는 환 준동형이다.

두 스킴 X, Y 사이의 '''평탄 스킴 사상'''(flat morphism of schemes^영어) f: X → Y는 모든 점 x ∈ X에 대하여 구조층의 줄기 사이의 환 준동형 f^#_p: O_Y,f(x) → O_X,p가 평탄 준동형인 경우를 말한다.

2. 1. 평탄 가군

(곱셈 항등원을 가진) 환 R 위의 왼쪽 가군 _RM에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''평탄 왼쪽 가군'''(flat left module^영어)이라고 한다.

_RM과의 R-텐서곱으로 정의되는 가법 함자 $-\otimes_RM\colon\operatorname{Mod}_R\to\operatorname{Ab}$ 는 완전 함자이다.^[3]
임의의 두 R-오른쪽 가군 N_R, N'_R 및 임의의 단사 함수인 R-가군 준동형 f: N → N'에 대하여, f⊗M: N⊗_RM → N'⊗_RM은 단사 함수인 군 준동형이다.^[3] (이는 완전 함자의 정의를 그대로 풀어 쓴 것에 불과하다.)
임의의 R-오른쪽 가군 N_R에 대하여, $\operatorname{Tor}^R_1(N,M)=0$ 이다. (여기서 $\operatorname{Tor}$ 는 Tor 함자이다.)
임의의 R-유한 생성 오른쪽 아이디얼 $\mathfrak A_R=Rr_1+\cdots+Rr_k$ 에 대하여, $\operatorname{Tor}^R_1(\mathfrak A,M)=0$ 이다.
임의의 R-오른쪽 아이디얼 _Rmathfrak A에 대하여, 자연스러운 포함 사상 $\mathfrak A\otimes_RM\to \mathfrak AM$ 은 아벨 군의 동형 사상이다.^[3]
임의의 유한 생성 R-오른쪽 아이디얼 _Rmathfrak A = Rr₁+Rr₂+⋯+Rr_k에 대하여, 자연스러운 포함 사상 $\mathfrak A\otimes_RM\to \mathfrak AM=Rr_1M+Rr_2M+\cdots+Rr_kM$ 은 아벨 군의 동형 사상이다.^[3]
R-오른쪽 가군 $\hom_{\mathbb Z}(M,\mathbb Q/\mathbb Z)$ 이 R-단사 오른쪽 가군이다.^[3]^[4]
꼬임 없는 왼쪽 가군이며, 임의의 오른쪽 아이디얼 mathfrak A_R, mathfrak B_R ⊆ R에 대하여, $\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M$ 이다.^[5]
꼬임 없는 왼쪽 가군이며, 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 mathfrak A_R, mathfrak B_R ⊆ R에 대하여, $\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M$ 이다.^[5]
임의의 유한 표시 가군 _RN 및 R-가군 준동형 f: N → M에 대하여, f = h∘g가 되는 유한 생성 자유 왼쪽 가군 _RRⁿ과 R-가군 준동형 g: N → Rⁿ과 R-가군 준동형 h: Rⁿ → M이 존재한다.^[3]
(평탄성의 방정식적 조건 equational criterion for flatness^영어) 임의의 자연수 m, n ∈ ℕ 및 R-계수 m × n-행렬 T ∈ Mat(m, n; R) 및 M-계수 n-벡터 vec u ∈ Mⁿ에 대하여, 만약 T vec u = vec0 ∈ R^m이라면, vec u = U vec u'이며 TU = 0 ∈ Mat(m, n'; R)이 되는 자연수 n' ∈ ℕ 및 M-계수 n'-벡터 vec u' ∈ M^n' 및 n × n'-행렬 U ∈ Mat(n, n'; R)가 존재한다.^[3]
(위 조건과 같지만, 항상 m = 1인 경우)^[3]
(라자르-고보로프 조건 Lazard–Govorov criterion^영어) R-유한 생성 자유 왼쪽 가군들의 (R-왼쪽 가군 범주 속에서의) 귀납적 극한이다.^[3]^[6]^[7]

여기서

:

\mathfrak AM=\{a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec a\in\mathfrak A^k,\;\vec m\in M^k\}

이며, 꼬임 없는 왼쪽 가군 _RM은 임의의 r ∈ R에 대하여 Tor^R₁(R/rR, M) = 0인 것이다.

마찬가지로 '''평탄 오른쪽 가군'''(flat right module^영어)의 개념을 정의할 수 있다. 그 정의는 평탄 왼쪽 가군의 정의에서 "오른쪽 완전 함자"를 제외하고 왼쪽·오른쪽을 바꾸어 얻는다.

위의 서로 동치인 조건들 가운데, "아이디얼 mathfrak a에 대하여 mathfrak a⊗_RM ≅ mathfrak aM"인 것은 (가환환의 경우) 다음과 같이 대수기하학적으로 해석할 수 있다.

가군 M은 아핀 스킴 X = SpecR 위의 준연접층을 정의한다.
아이디얼 mathfrak a는 X의 닫힌 부분 스킴 Z = Spec(R/mathfrak a) → SpecR = X를 정의한다.
준연접층 M을 닫힌 부분 스킴 Z로 제한할 경우 얻는 준연접층은 몫가군 M⊗_R(R/mathfrak a) = M/mathfrak aM이다. (이는 임의의 가군에 대하여 성립한다.) 즉, mathfrak aM은 Z에서 0이 되는 가군의 단면들로 생각할 수 있다.
일반적으로, mathfrak a⊗_RM → mathfrak aM은 전사 함수이지만 전단사 함수가 아니다. 즉, M을 Z로 제한할 때, Z에서 0이 되는 단면들은 단순히 mathfrak a⊗_RM이 아니라, 이들 사이에 추가 관계들이 발생한다.
즉, M이 평탄 가군이라는 것은 임의의 아핀 닫힌 부분 스킴 Z에 대하여, Z에서 0이 되는 단면들이 "자명한" 경우이다.

환 R 위의 왼쪽 가군 M이 평탄하다는 것은 모든 선형 사상 φ: K → L가 오른쪽 R-가군일 때, φ⊗_RM: K⊗_RM → L⊗_RM 역시 단사 함수이며, 여기서 φ⊗_RM은 사상 k⊗m ↦ φ(k)⊗m에 의해 유도된다.

이 정의에서 φ의 단사 함수를 유한 생성 아이디얼의 R로의 포함으로 제한하는 것으로 충분하다.

동치적으로, R-가군 M은 M과의 텐서 곱이 완전 함자이면 평탄하다. 즉, 모든 R-가군에 대한 짧은 완전열 0 → K → L → J → 0에 대해, 수열 0 → K⊗_RM → L⊗_RM → J⊗_RM → 0 또한 완전하다. (텐서 곱이 오른쪽 완전 함자이므로 이것은 동치인 정의이다.)

이러한 정의는 R이 비가환환이고 M이 왼쪽 R-가군인 경우에도 적용된다. 이 경우, K, L 및 J는 오른쪽 R-가군이어야 하며, 텐서 곱은 일반적으로 R-가군이 아니라 단지 아벨 군일 뿐이다.

평탄성은 다음의 등식 조건으로 특징지을 수 있으며, 이는 M에서 R-선형 관계가 R에서의 선형 관계에서 비롯된다는 것을 의미한다.

좌 R-가군 M은 다음의 모든 선형 관계에 대해 다음이 성립할 때 평탄하다.

:

\sum_{i=1}^m r_i x_i = 0

r_i ∈ R 및 x_i ∈ M에 대해, y_j ∈ M 및 a_i,j ∈ R,가 존재하여

:

\sum_{i=1}^m r_ia_{i,j}=0\qquad

for j = 1,...,n,

그리고

:

x_i=\sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j\qquad

for i = 1,...,m.

이는 가군의 n개의 원소와 Rⁿ에서 이 가군으로의 선형 사상을 정의하는 것과 동치이며, 이는 Rⁿ의 표준 기저를 n개의 원소에 사상시킨다. 이를 통해 이전의 특징을 다음과 같이 준동형 사상으로 다시 쓸 수 있다.

R-가군 M은 다음 조건을 만족할 때 평탄하다: 모든 사상 f: F → M에 대해, 여기서 F는 유한 생성 자유 R-가군이고, 모든 유한 생성 R-부분가군 K가 kerf일 때, 사상 f는 자유 R-가군 G로의 사상 g를 통해 인수분해되며, g(K) = 0:

A를 환, M을 오른쪽 A 가군이라고 하자.

A 가군으로 구성된 임의의 짧은 완전열

: 0 → N₁ → N₂ → N₃ → 0

에 대하여, M과의 텐서 곱을 취한 열

: 0 → M⊗_AN₁ → M⊗_AN₂ → M⊗_AN₃ → 0

이 완전할 때, M은 A 위에 '''평탄'''하다고 하거나, M은 평탄 A 가군이라고 한다.

M이 왼쪽 A 가군일 때도 마찬가지로 정의된다.

일반적인 가군 M에 대해서는, 함자 mathM⊗_A–는 오른쪽 완전하므로

: M⊗_AN₁ → M⊗_AN₂ → M⊗_AN₃ → 0

는 완전열이 되지만, 왼쪽 끝의 사상이 일반적으로는 단사가 되지 않는다.

A 환 위의 대수 B가 '''평탄'''하다는 것은, B가 A 가군으로 평탄하다는 것을 의미한다.

사영 가군은 평탄하다. 특히 자유 가군도 평탄하다.
(추이성) B가 평탄한 A 대수이고, M이 평탄한 B 가군이라면, M은 A 가군으로도 평탄하다.
(계수 확대) A 가군 M이 평탄하다면, 임의의 A 대수 B에 대해, B 가군 mathM⊗_AB도 평탄하다.
mathA_S를 환 A의 곱셈 닫힌 집합 S에 의한 국소화라고 하면, mathA_S는 A 위에서 평탄하다.
(국소성) 위에서, A의 임의의 소 아이디얼 p에 대해, mathM_p = M⊗_AA_p는 평탄한 mathA_p 가군이 된다. 역으로, 임의의 p에 대해 mathM_p가 mathA_p 위에서 평탄하다면, M은 A 위에서 평탄하다.
I를 A의 자명하지 않은 아이디얼이라고 하면, mathA/I가 mathA_S의 형태로 쓸 수 있는 경우를 제외하고, A 가군 mathA/I는 평탄하지 않다.
A 가군 M이 평탄하다는 것과, 임의의 A 가군 N에 대해 math1 = Tor(M, N) = 0이 된다는 것은 동치이다.

2. 2. 평탄 가군층

평탄 가군의 개념은 '''평탄 가군층'''(flat sheaf of modules^영어, 平坦加群層)으로 일반화된다. 환 달린 공간

(X,\mathcal O_X)

위의 가군층의 아벨 범주를

\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}

라고 하자.

(X,\mathcal O_X)

-가군층

\mathcal F

가 주어졌을 때, 만약 가법 함자

:

\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}\to\operatorname{Mod}_{\mathcal O_X}

:

\mathcal G\mapsto \mathcal G_{\mathcal O_X}\mathcal F

가 완전 함자라면,

M

을 '''평탄 가군층'''이라고 한다.

2. 3. 평탄 사상

두 가환환

R

,

S

사이의 '''평탄 준동형'''은 이로 인하여

S

가

R

의 평탄 가군이 되게 만드는 환 준동형이다.

두 스킴

X

,

Y

사이의 '''평탄 스킴 사상'''

f\colon X\to Y

는 임의의

p\in X

에 대하여 구조층의 줄기인 국소환의 준동형

:

f^\#_p\colon \mathcal O_{Y,f(p)}\to\mathcal O_{X,p}

이 평탄 준동형인 스킴 사상이다.^[8]^[9]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$X$ 는 국소 뇌터 스킴이다.
$Y$ 는 국소 뇌터 스킴이다.
$f\colon X\to Y$ 는 평탄 사상이다.

그렇다면, 다음이 성립한다.^[8]

$\forall x\in X\colon\quad\dim\mathcal O_{X,x}=\dim\mathcal O_{Y,f(x)}+\dim\mathcal O_{f^{-1}(f(x)),x}$

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$X$ 는 코언-매콜리 국소 뇌터 스킴이다.
$Y$ 는 정칙 국소 뇌터 스킴이다.
$f\colon X\to Y$ 는 스킴 사상이다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[8]

$f$ 는 평탄 사상이다.
$\forall x\in X\colon\quad\dim\mathcal O_{X,x}=\dim\mathcal O_{Y,f(x)}+\dim\mathcal O_{f^{-1}(f(x)),x}$

따라서, 평탄성은 올의 차원이 국소적으로 일정하다는 것과 (적절한 조건 아래) 동치이다.

정역 뇌터 스킴

S

에 의하여 매개화되는 사영 스킴의 족

X

를 생각하자. 즉, 사영 공간

\mathbb P^n_S

의 닫힌 부분 스킴

:

X\subseteq\mathbb P^n_S

를 생각하자. 여기에 구조 사상

\mathbb P^n_S\to S

을 합성하여,

:

f\colon X\to S

를 정의할 수 있다. 그렇다면

s\in S

에 대하여

f^{-1}(s)

는

\mathbb P^n_{k(s)}

속의 닫힌 부분 스킴을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[9]

$f$ 는 평탄 사상이다.
모든 점에서 힐베르트 다항식들이 같다. 즉, $s\mapsto\operatorname{HP}f^{-1}(s)$ 는 상수 함수이다.

체

K

위의 스킴의 족

:

\operatorname{Spec}[x,t]/(t(x-1))\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K[t]

를 생각하자. 이 경우,

t\ne0

에서 올은 한 점으로 구성되지만,

t=0

에서 올은 아핀 직선을 이룬다. 이에 따라 이는 평탄 사상이 아니다.

다른 예로, 결절점을 가진 삼차 대수 곡선

C

을 생각하자.^[9] 대수 곡선의 특이점은 정규화로 해소되며, 그 정규화를

\tilde C

라고 하자. 그렇다면 표준적인 사상

\pi\colon\tilde C\to C

가 존재한다. 이는 비분기 사상이지만 평탄 사상이 아니며, 따라서 에탈 사상이 아니다. 평탄성의 실패는 결절점 밖에서는 올이 한 점으로 구성되지만, 결절점에서는 올이 갑자기 ("불연속적으로") 두 개의 점으로 바뀌기 때문이다.

스킴의 사상

f: X \to Y

는, 국소환에 유도된 사상

:

\mathcal O_{Y, f(x)} \to \mathcal O_{X,x}

가 모든 점 에 대해 평탄 환 준동형일 경우, 평탄 사상이다.

따라서, 평탄 (또는 충실 평탄) 환 준동형의 성질은 대수 기하학에서 평탄 사상의 기하학적 성질로 자연스럽게 확장된다.

예를 들어, 평탄

\mathbb{C}[t]

-대수

R = \mathbb{C}[t,x,y]/(xy-t)

를 고려해 보자. 포함 사상

\mathbb{C}[t] \hookrightarrow R

은 평탄 사상

:

\pi : \operatorname{Spec}(R) \to \operatorname{Spec}(\mathbb C[t])

을 유도한다. 각 (기하학적) 올

\pi^{-1}(t)

는 방정식

xy = t

를 갖는 곡선이다. ( '평탄 퇴화' 및 정규 원뿔로의 변형도 참조).

가환 뇌터 환

R

위의 다항식 환

S = R[x_1, \dots, x_r]

을 취하고

f \in S

를 영인자가 아닌 원소라고 하자. 그러면

S/fS

는

R

위에서 평탄하고, 이는

f

가 원시 다항식일 때에만 성립한다. 예시로

\mathbb{C}[t,x,y]/(xy-t)

는

\mathbb{C}[t]

위에서 평탄(심지어 자유)하다 (기하학적 의미는 아래 참조). 이러한 평탄 확대는 국소화에서 얻어지지 않고 자유가 아닌 평탄 가군의 예시를 만드는 데 사용될 수 있다.

scheme의 사상 가 평탄하다는 것은, 의 모든 점 에 대해, 국소환의 사상 가 평탄하다는 것을 의미한다. 환에서의 평탄성이 국소적인 성질을 가지므로, 아핀 scheme 사이의 사상의 평탄성은 대응하는 환의 사상의 평탄성과 동치이다.

평탄하고 전사인 사상은 충실 평탄하다고 한다. 이것 역시 아핀 scheme에서는 환에서의 정의와 일치한다.

3. 성질

모든 사영 가군은 평탄 가군이다.
모든 평탄 가군은 꼬임 없는 가군이다.
평탄성은 국소적 성질을 갖는다. 즉, 가군 $M$ 이 평탄 가군일 필요충분조건은 $R$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p$ 에 대하여 가군의 국소화 $M_{\mathfrak p}$ 가 $R_{\mathfrak p}$ 에 대하여 평탄 가군인 것이다.

환

R

위의 왼쪽 가군

_RM

과의

R

-텐서곱으로 정의되는 가법 함자는 일반적으로 오른쪽 완전 함자이지만, (양쪽) 완전 함자가 아닐 수 있다.

평탄 가군의 정의에 등장하는 조건들은 대수기하학적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

가군 $M$ 은 아핀 스킴 $X=\operatorname{Spec}R$ 위의 준연접층을 정의한다.
아이디얼 $\mathfrak a$ 는 $X$ 의 닫힌 부분 스킴 $Z=\operatorname{Spec}(R/\mathfrak a)\to\operatorname{Spec}R=X$ 를 정의한다.
준연접층 $M$ 을 닫힌 부분 스킴 $Z$ 로 제한하면 몫가군 $M\otimes_R(R/\mathfrak a)=M/\mathfrak aM$ 을 얻는다. 즉, $\mathfrak aM$ 은 $Z$ 에서 0이 되는 가군의 단면들이다.
$\mathfrak a\otimes_RM\to\mathfrak aM$ 은 일반적으로 전사 함수이지만 전단사 함수가 아니다. 즉, $M$ 을 $Z$ 로 제한할 때, $Z$ 에서 0이 되는 단면들 사이에 추가 관계들이 발생한다.
$M$ 이 평탄 가군이라는 것은 임의의 아핀 닫힌 부분 스킴 $Z$ 에 대하여, $Z$ 에서 0이 되는 단면들이 "자명한" 경우임을 의미한다.

평탄성의 방정식적 조건은 가군

P

에 존재하는 선형 관계가 항상

R

에 존재하는 선형 관계로부터 유도됨을 뜻한다.^[3]

R

가 가환환일 때,

M

이

R

-가군이라면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

$M$ 은 평탄 가군이다.
$R$ 의 모든 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, 가군의 국소화 $M_{\mathfrak p}$ 는 $R_{\mathfrak p}$ 에 대하여 평탄 가군이다.

3. 1. 함의 관계

다음이 성립한다.^[8]

평탄 사상들의 합성은 평탄 사상이다.
평탄 사상은 밑 변환에 대하여 불변이다.^[8]^[9] 즉, 평탄 사상 $f\colon X\to Y$ 및 $g\colon Y'\to Y$ 가 주어졌을 때, 올곱 $f\times g\colon X\times_YY'\to Y'$ 은 평탄 사상이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$X$ 는 국소 뇌터 스킴이다.
$Y$ 는 정역 스킴이자 국소 뇌터 스킴이다.
$f\colon X\to Y$ 는 유한형 사상이다.

그렇다면 다음이 성립한다.^[8]

공집합이 아닌 어떤 열린집합 $U\subseteq Y$ 에 대하여, $f|_{f^{-1}(U)}\colon f^{-1}(U)\to Y$ 는 평탄 사상이다.

이를 '''평탄성의 일반성'''(genericity of flatness^영어)이라고 하며, 평탄성의 가장 중요한 성질 가운데 하나이다. 이는 알렉산더 그로텐디크가 데비사주(dévissage^프랑스어)를 통하여 증명하였다.

3. 2. 평탄 분해와 평탄 차원

환

R

위의 가군

M

의 '''평탄 분해'''은 다음과 같은 형태의 모듈 분해이다.

:

\cdots \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0

여기서

F_i

는 모두 평탄 가군이다. 모든 자유 분해 또는 사영 분해는 반드시 평탄 분해이다. 평탄 분해는 Tor 함자를 계산하는 데 사용될 수 있다.

유한 평탄 분해의 ''길이''는

F_n

이 0이 아니고

i>n

에 대해

F_i=0

인 첫 번째 첨자 ''n''이다. 모듈

M

이 유한 평탄 분해를 허용하는 경우,

M

의 모든 유한 평탄 분해 중에서 최소 길이를 '''평탄 차원'''이라고 하며

\operatorname{fd}(M)

으로 표시한다.^[3]

M

이 유한 평탄 분해를 허용하지 않으면, 관례상 평탄 차원은 무한대라고 한다. 예를 들어,

\operatorname{fd}(M)=0

인 모듈

M

을 생각해 보면, 수열

0 \to F_0 \to M \to 0

의 완전성은 가운데 화살표가 동형 사상임을 나타내며, 따라서

M

자체가 평탄하다.

환

R

위의 가군

M

에 대해, 각

R

-가군

F_i

가 평탄 가군인 다음 완전열

:

\cdots \to F_{n+1} \to F_n \to \cdots \to F_1 \to F_0 \to M \to 0

을

M

의 '''평탄 분해'''라고 한다. 자유 분해나 사영 분해는 평탄 분해이다. 모든

i > n

에 대해

F_i = 0

인 평탄 분해를 '''길이'''

n

의 평탄 분해라고 한다. 그러한

n

이 존재하는 경우 그 최소값을

M

의 '''평탄 차원'''이라고 하고, 존재하지 않는 경우 평탄 차원은

\infty

라고 한다. 평탄 차원은

\operatorname{fd}(M)

으로 표기한다. 평탄 차원은 사영 차원을 넘지 않는다. 왼쪽

R

-가군

M

과 정수

n \ge 0

에 대해 다음은 동치이다.

$\operatorname{fd}(M) \le n$ .
임의의 오른쪽 $R$ -가군 $X$ 에 대해, $\operatorname{Tor}_{n+1}^R(X,M)=\{0\}.$
임의의 $i \ge n + 1$ 과 임의의 오른쪽 $R$ -가군 $X$ 에 대해, $\operatorname{Tor}_i^R(X,M)=\{0\}.$

4. 충실 평탄성

모듈이 충실 평탄하다는 것은, 수열과의 텐서 곱을 취했을 때 원래 수열이 정확할 필요충분조건이 곱해진 수열이 정확한 경우를 말한다. 이 개념은 주로 가환 대수에 사용된다.

$f\colon R \to S$ 가 가환 링의 환 준동형이고, $S$ 가 $R$ -대수와 $R$ -모듈의 구조를 가질 때, $S$ 가 $R$ -모듈로서 평탄(또는 충실 평탄)하면, $S$ 가 $R$ 위에서 평탄(또는 충실 평탄)하다고 하며, $f$ 가 평탄(또는 충실 평탄)하다고 한다.^[1]

$S$ 가 $R$ 위에서 평탄할 때, 다음 조건들은 서로 동치이다.^[2]

$S$ 는 충실 평탄하다.^[2]
$R$ 의 각 극대 아이디얼 $\mathfrak{m}$ 에 대해, $\mathfrak{m}S \ne S.$ 이다.^[2]
$M$ 이 0이 아닌 $R$ -모듈이면, $M \otimes_R S \ne 0.$ 이다.^[2]
모든 소 아이디얼 $\mathfrak{p}$ of $R$ 에 대해, $\mathfrak{p} = f^{-1}(\mathfrak P).$ 를 만족하는 $S$ 의 소 아이디얼 $\mathfrak{P}$ 가 존재한다. 즉, 스펙트럼 상에서 $f$ 에 의해 유도된 사상 $f^*\colon \operatorname{Spec}(S) \to \operatorname{Spec}(R)$ 는 전사이다.^[2]
$f$ 는 단사이며, $R$ 은 $S$ 의 순수 부분환이다. 즉, 모든 $R$ -모듈 $M$ 에 대해 $M \to M \otimes_R S$ 는 단사이다.^[2]

두 번째 조건은 국소환의 평탄 국소 준동형이 충실 평탄함을 의미한다.^[3] 마지막 조건으로부터 모든 아이디얼

I

of

R

에 대해

I = I S \cap R

이 성립한다.^[3] 특히,

S

가 뇌터 환이면,

R

또한 뇌터 환이다.^[3]

마지막에서 두 번째 조건은 강화된 형태로 표현될 수 있다:

\operatorname{Spec}(S) \to \operatorname{Spec}(R)

는 ''submersive''인데, 이는

\operatorname{Spec}(R)

의 자리스키 위상이

\operatorname{Spec}(S)

의 몫 위상임을 의미한다.^[4]

(R, \mathfrak m) \hookrightarrow (S, \mathfrak n)

인 주입 국소 준동형 사상이 주어지고,

\mathfrak{m} S

가

\mathfrak{n}

-일차 아이디얼이면, 준동형 사상

S \to B

는 이에 대해 전이 정리가 성립할 경우에만 충실 평탄하다.^[5] 즉,

R

의 각

\mathfrak m

-일차 아이디얼

\mathfrak q

에 대해

\operatorname{length}_S (S/ \mathfrak q S) = \operatorname{length}_S (S/ \mathfrak{m} S) \operatorname{length}_R(R/\mathfrak q)

이다.^[5]

M

이 평탄한

A

가군일 때, 다음 조건은 동치이다. 이 조건을 만족할 때

M

은 '''충실 평탄'''한

A

가군이라고 한다.^[6]

$A$ 의 임의의 극대 아이디얼 $m$ 에 대해, $M \ne mM$ 이 성립한다.^[6]
$0 \rarr M \otimes_A N_1 \rarr M \otimes_A N_2 \rarr M \otimes_A N_3 \rarr 0$ 이 완전하면, $0 \rarr N_1 \rarr N_2 \rarr N_3 \rarr 0$ 도 완전하다.^[6]
$0$ 이 아닌 임의의 $A$ 가군 $N$ 에 대해, $M \otimes_A N \ne 0$ 이 성립한다.^[6]

A

대수

B

에 관해서도 마찬가지로 충실 평탄성을 정의한다. 이 경우에는 다음도 동치이다.^[7]

$A$ 의 임의의 소 아이디얼 $p$ 에 대해, $A \cap q = p$ 인 $B$ 의 소 아이디얼 $q$ 가 존재한다.^[7]

5. 예

(곱셈 항등원을 가진) 가환환 $R$ 의, 임의의 곱셈에 대하여 닫힌 부분집합 $S\subseteq R$ 에 대한 국소화 $S^{-1}R$ 는 $R$ -평탄 가군이다.^[3]

정수환은 데데킨트 환이므로, 아벨 군이 $\mathbb Z$ -평탄 가군인 것은 꼬임 부분군이 자명군인 것과 동치이다. 따라서, 순환군 $\mathbb Z/n$ 은 평탄 $\mathbb Z$ -가군이 아니다. 예를 들어, $n\cdot\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ 는 단사 함수이지만, $\mathbb Z/n$ 과의 텐서곱을 취하면 $\mathbb Z/n\to\mathbb Z/n$ 은 더 이상 단사 함수가 아니다.

체 $K$ 위의 스킴의 족

: $\operatorname{Spec}K[x,y,t]/(xy-t)\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K[t]$

를 생각하자. 이 경우, $t\ne0$ 에서는 올이 아핀 타원 곡선 $y=x/t$ 이지만, $t=0$ 에서 올은 두 아핀 직선(x축과 y축)의 합집합으로 퇴화하게 된다. 따라서 이는 매끄러운 사상이 아니지만, 이는 평탄 사상을 이룬다.

6. 역사

평탄성의 개념은 장피에르 세르가 1956년 논문에서 도입하였다.^[10] 이후 알렉산더 그로텐디크는 평탄성이 대수기하학에서 매우 중요함을 알아차렸고, 이를 《대수기하학 원론》에서 널리 사용하였다.

데이비드 멈퍼드는 평탄성에 대하여 다음과 같이 적었다.

The concept of flatness is a riddle that comes out of algebra, but which technically is the answer to many prayers.|평탄성의 개념은 대수학에서 출현하는 수수께끼지만, 이는 (기하학에서의) 수많은 문제에 대한 기술적인 정답이다.^영어

마찬가지로, 로빈 하츠혼은 평탄성에 대하여 다음과 같이 적었다.

For many reasons it is important to have a good notion of an algebraic family of varieties or schemes. The most naive definition would be just to take the fibres of a morphism. To get a good notion, however, we should require that certain numerical invariants remain constant in a family, such as the dimension of the fibres. It turns out that if we are dealing with nonsingular (or even normal) varieties over a field, then the naive definition is already a good one. […] On the other hand, if we deal with nonnormal varieties, or more general schemes, the naive definition will not do. So we consider a flat family of schemes, which means the fibres of a flat morphism, and this is a very good notion. Why the algebraic condition of flatness on the structure sheaves should give a good definition of a family is something of a mystery.|대수다양체나 스킴의 대수적 족의 개념은 여러 모로 유용하다. 이러한 족의 가장 간단한 정의는 그냥 스킴 사상의 올들을 취하는 것이다. 그러나 이 개념이 잘 작동하려면 족에서 올의 차원 따위의 수치적 불변량들이 일정하여야 한다. 만약 체 위의 비특이 (또는 심지어 정규) 대수다양체들을 다룰 경우, 이러한 간단한 정의도 잘 작동한다. […] 그러나 비정규 대수다양체나 더 일반적인 스킴의 경우, 간단한 정의는 잘 작동하지 않는다. 따라서, 평탄한 족(즉, 평탄 사상의 올들로 구성된 족)을 고려하게 되며, 이는 잘 작동한다. 왜 평탄성이라는 대수적 조건을 구조층에 적용하면 족의 정의가 잘 작동하는지는 미스터리다.^영어

참조

_[1] 웹사이트 Amitsur Complex https://ncatlab.org/[...]
_[2] 웹사이트 Why are flat morphisms “flat?” http://mathoverflow.[...] 2015-09-28
_[3] 서적 Lectures on modules and rings Springer-Verlag
_[4] 저널 A module is flat if and only if its character module is injective 1964-04
_[5] 서적 Rings close to regular Springer-Verlag
_[6] 저널 Sur les modules plats 1964
_[7] 저널 О плоских модулях http://resolver.sub.[...] 1965-03
_[8] 저널 Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie https://web.archive.[...] 2015-08-17
_[9] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[10] 저널 Géométrie algébrique et géométrie analytique http://www.numdam.or[...] 1956
_[11] 서적 The red book of varieties and schemes Springer-Verlag 1999

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