남 변환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
5. 역사
참조

1. 개요

남 변환은 4차원 원환면 위의 양-밀스 순간자를 쌍대 원환면 위의 양-밀스 순간자로 변환하는 수학적 변환이다. 이 변환은 주어진 원환면 위의 복소수 벡터 다발과 접속을 다른 원환면 위의 복소수 벡터 다발과 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 남 변환은 순간자수를 바꾸는 전단사 함수이자 대합이며, 초끈 이론의 T-이중성과 관련되어 D-막의 변환으로 해석될 수 있다. 이 변환은 베르너 남의 이름을 따서 명명되었다.

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남 변환
개요
유형	적분 변환
분야	수학, 물리학
발명가	베르너 남
발명일	1980년대 초반
상세 정보
설명	남 변환은 특정 유형의 미분 방정식, 특히 자기 쌍대 양-밀스 방정식을 푸는 데 사용되는 적분 변환이다.
주요 응용 분야	끈 이론, 초대칭 게이지 이론
수학적 공식
일반 형태	남 변환은 복잡한 수학적 공식을 포함하며, 구체적인 형태는 변환되는 방정식의 유형에 따라 달라진다.
관련 방정식	자기 쌍대 양-밀스 방정식
관련 인물
관련 수학자	사이먼 도널드슨
참고 문헌
주요 논문	Marcos Jardim, "A survey on the Nahm transform", Journal of Geometry and Physics, 52(3):313–332, 2004.
arXiv 식별자	math/0309305
DOI	10.1016/j.geomphys.2004.03.006

2. 정의

4차원 원환면 $M = \mathbb R^4/\Lambda$ 및 그 쌍대 원환면 $\tilde M = \mathbb R^4/\Lambda^*$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\tilde M$ 의 임의의 점 $\tilde m\in\tilde M$ 에 대하여, $M$ 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 $\mathrm{TM}\otimes\mathbb C$ 위의 평탄 접속

: $(\partial+\mathrm iB^{(\tilde m)})_\mu = \partial_\mu+\mathrm i\tilde m_\mu$

을 정의할 수 있다. 마찬가지로, $M$ 의 임의의 점 $m\in M$ 에 대하여, $\tilde M$ 위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발 $\mathrm T\tilde M\otimes\mathbb C$ 위의 평탄 접속

: $(\partial+\mathrm i\tilde B^{(m)})^\mu = \partial^\mu+\mathrm im^\mu$

을 정의할 수 있다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

$M$ 위의 $k$ 차원 복소수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 속의 접속 $A$ . 또한, 그 곡률은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는 $\operatorname{SU}(k)$ 양-밀스 순간자를 이룬다.

그렇다면, '''남 변환'''은

(E,A)

를

\tilde M

위의 복소수 벡터 다발

\tilde E\twoheadrightarrow M

및 그 속의 양-밀스 순간자

\tilde A

에 대응시킨다.

구체적으로, 각

\tilde m\in\tilde M

에 대하여,

M

위의

4k

차원 차원 복소수 벡터 다발

E\otimes_M\mathrm{TM} \twoheadrightarrow M

위의 접속

:

A \otimes1 + 1\otimes B^{(\tilde m)}

을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자

:

D^{(\tilde m)} \colon \Gamma(E\otimes\mathrm{TM}\otimes S^+) \to \Gamma(E\otimes\mathrm{TM}\otimes S^-)

를 정의할 수 있다. 임의의

\tilde m\in\tilde M

에 대하여 그 핵은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵은

\tilde M

위의 복소수 벡터 다발을 이룬다.

:

\tilde E_{\tilde m} = \operatorname{coker}D^{(\tilde m)}

복소수 힐베르트 공간

\operatorname L^2(E\otimes M\otimes S^-)

를 올로 하는 자명한 힐베르트 다발

\mathcal H\twoheadrightarrow\tilde M

을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상

:

q\colon\mathcal H\twoheadrightarrow \tilde E

이 존재하며, 따라서

\tilde E

를

\mathcal H

의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다.

:

\tilde E \cong (\ker q)^\perp

이에 따라서, 자명 벡터 다발

\mathcal H

위의 자명한 접속으로부터

\tilde E

위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를

\tilde A

로 정의한다.

3. 성질

남 변환은 $M$ 위의 순간자수 ''n''의 SU(''k'') 양-밀스 순간자를 $\tilde M$ 위의 순간자수 ''k''의 SU(''n'') 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 이 변환은 전단사 함수이며, 대합이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면 원래 양-밀스 순간자를 얻는다.

4. 응용

남 변환은 초끈 이론으로 해석할 수 있다.^[2] 구체적으로, 4차원 원환면 $M$ 위에 감은 $k$ 개의 D(4+''p'')-막을 생각한다. 그 위의 초대칭 게이지 이론 속에, $n$ 개의 양-밀스 순간자가 존재한다고 가정한다. 순간자는 D(4+''p'')-막 속에 녹은 D''p''-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 T-이중성을 가하면, ''k''개의 D(4+''p'')-막들은 D''p''-막이 되며, 반대로 ''n''개의 D''p''-막들은 D(4+''p'')-막이 된다. 이는 남 변환과 같다.

5. 역사

Werner Nahm|베르너 남^de의 이름을 따서 지어졌다.

참조

_[1] 논문 A survey on the Nahm transform 2004-11
_[2] 논문 D-branes, T-duality, and index theory 1999

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