대합 (수학)

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 예시
3. 수학 분야별 대합
4. 컴퓨터 과학
5. 물리학
참조

1. 개요

대합(對合, involution)은 수학에서 자기 자신을 매핑하는 함수로, 두 번 적용하면 원래의 입력값을 반환하는 전단사 함수를 의미한다. 대합은 항등 함수를 비롯하여 음수, 역수, 복소 켤레 등 다양한 예시를 가지며, 기하학에서는 반사, 회전, 원 반전 등이 해당된다. 두 대합의 합성 역시 교환 법칙이 성립할 때 대합이 되며, 유한 집합에서의 대합은 고정점의 개수와 원소의 개수가 같은 짝수/홀수 패리티를 갖는다. 대합은 군, 환, 선형대수, 수리 논리학 등 여러 수학 분야에서 중요한 개념으로 활용되며, 특히 군론에서는 위수가 2인 원소를 지칭하는 용어로 사용된다. 또한, 컴퓨터 과학에서는 XOR 연산, 비트 NOT 연산, 상호 암호 등에서 활용되고, 물리학에서는 르장드르 변환이 대합의 예시로 사용된다.

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대합 (수학)
개요
정의	자신을 역함수로 갖는 함수
성질	모든 x에 대해 f⁻¹(x) = f(x) 모든 x에 대해 λ(λ(x)) = x σ² = 항등원을 만족하는 σ
예시
함수	f(x) = x (항등 함수) f(x) = -x (부호 반전) f(x) = c - x (c는 상수) f(x) = 1/x (역수 함수, x ≠ 0) 복소 공액
선형 대수학	수반 행렬 직교 행렬 대합 행렬 반사 (수학)
기하학	원점 대칭 직선에 대한 반사
기타	암호학에서의 암호 (비밀) 집합론에서의 여집합 논리학에서의 논리 부정
일반적인 속성
고정점	대합은 최대 하나의 고정점을 가질 수 있음 (항등 함수 제외)
군론	대합은 항상 2차의 원소 (자신을 두 번 적용하면 항등원이 됨)
관련 개념
대합 부호수	대합 부호수는 대합 불변량의 일종 정수 계수 호몰로지 군의 대합에 의해 유도된 쌍선형 형식의 부호수로 정의됨
사영 기하학	사영 기하학에서 대합은 쌍곡선선 (hyperbolic line)으로 일반화될 수 있음 쌍곡선선은 사영 공간에서 점과 초평면 사이의 쌍대성을 나타냄
용어
영어	Involution (인볼루션)
일본어	対合 (たいごう, Taigō)
중국어	对合 (duìhé)

2. 성질

임의의 대합은 전단사 함수이다.

두 대합의 합성은 두 함수가 교환할 때에만 대합이 된다.^[3]

원소의 개수가 n인 집합에서, 항등 사상을 포함한 대합의 개수는 1800년 하인리히 아우구스트 로테가 찾은 다음 점화 관계로 주어진다.

: $a_0 = a_1 = 1$ 그리고 $n > 1$ 에 대해 $a_n = a_{n - 1} + (n - 1)a_{n-2}$

이 수열의 처음 몇 개 항은 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232이며, 이 숫자들은 전화 번호라고 불리며, 주어진 수의 셀을 갖는 영 도표의 개수를 세기도 한다.^[4]

숫자 $a_n$ 은 다음과 같은 비재귀적인 공식으로도 표현할 수 있다.

: $a_n = \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \frac{n!}{2^m m! (n-2m)!}$

유한 집합에 대한 대합의 고정점의 개수와 그 원소의 개수는 같은 패리티를 갖는다. 따라서 주어진 유한 집합에 대한 모든 대합의 고정점의 개수는 같은 패리티를 갖는다. 특히, 홀수 개의 원소에 대한 모든 대합은 적어도 하나의 고정점을 갖는다. 이는 페르마의 두 제곱수 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.^[5]

2. 1. 예시

군에서의 역원 사상

x\mapsto x^{-1}

, 정사각 행렬의 환에서의 전치행렬 사상

M\mapsto M^T

, 복소수의 복소켤레

z\mapsto\bar z

는 대합의 예시이다.^[3]

항등 사상은 대합의 자명한 예시이다. 비자명한 대합의 예시로는 음수(

x\mapsto -x

), 역수(

x\mapsto 1/x

), 복소 켤레 (

z\mapsto\bar z

)가 산술에 있으며, 반사, 반 회전, 회전, 원 반전이 기하학에 있으며, 여집합이 집합론에 있으며, ROT13 변환 및 Beaufort 다중 자모 암호와 같은 상호 암호가 있다.

평면 위의 임의의 점 ''x''를 어떤 직선 ''l''에 관해 대칭인 점 φ(''x'')로 옮기는 연산(반사) φ는 φ(φ(''x'')) = ''x''를 만족하므로 φ는 평면 위의 대합이다.
집합 ''A''에 대해, 전체 집합 ''S''에서 ''A''의 여집합 ''A''^''c''을 취하는 연산은 (''A''^''c'')^''c'' = ''A''를 만족하므로, 이 변환은 ''S''의 멱집합에서의 대합이다.
복소수 ''z''에 대해 그 켤레 복소수 ''z''^*를 취하는 변환은 (''z''^*)^* = ''z''를 만족하므로 대합이다.

3. 수학 분야별 대합

수학의 여러 분야에서 나타나는 대합의 예시는 다음과 같다.

실수 함수: 그래프가 y=x 선에 대해 대칭인 함수이다. 함수가 대합이면 그래프는 자기 자신의 반사이다.
유클리드 기하학: 유클리드 공간에서 평면에 대한 반사나 원점에 대한 반사가 대합의 예시이다.^[1]
사영 기하학: 주기가 2인 사영 변환인 환원은 대합이다.^[6] 데자르그의 환원 정리에 따르면, 완전 사변형의 세 쌍의 대변은 (꼭짓점을 지나지 않는) 모든 직선과 환원의 세 쌍을 이룬다.^[7]
선형대수학: 벡터 공간에 대한 선형 연산자 T에 대해 T² = I 를 만족하는 연산자는 대합이다. 표수가 2가 아닌 경우, 이러한 연산자는 주어진 기저에 대해 해당 행렬의 대각선에 1과 -1만으로 대각화 가능하다.
사원수 대수, 군, 반군: 사원수 대수에서 대합은 특정 공리들을 만족하는 변환이다. 군에서 역원을 취하는 연산은 군 구조와 양립하는 대합의 예시이다.
환론: 환 이론에서 대합은 그 자체의 역함수인 반준동형사상을 의미한다.
군론: 군에서 위수가 2인 원소는 대합이다.^[10] 콕세터 군은 대합들로 생성된다.
수리 논리학: 부울 대수에서 보수 연산은 대합이다. 고전 논리에서 부정은 ''이중 부정의 법칙''을 만족한다.

3. 1. 실수 함수

실수 상의 그래프는

y=x

선에 대해 대칭이다. 이는 임의의 ''일반적인'' 함수의 역함수가

y=x

선에 대한 반사이기 때문이다.

x

와

y

를 "교환"하여 볼 수 있다. 특히, 함수가 ''대합''이면, 그래프는 자기 자신의 반사이다. 대합의 몇 가지 기본 예는 다음과 같다.

\begin{alignat}{1}f_1(x) &= a-x, \\f_2(x) &= \frac{b}{x}, \\f_3(x) &= \frac{x}{cx - 1}, \\\end{alignat}

이들은 다양한 방식으로 합성되어 추가적인 대합을 생성할 수 있다. 예를 들어,

a=0

이고

b=1

이면

f_4(x) := (f_1 \circ f_2)(x) = (f_2 \circ f_1)(x) = -\frac {1}{x}

는 대합이며, 더 일반적으로 함수

g(x) = \frac{x + b}{c x - 1}

는

b

와

c

가

bc \ne -1

을 만족하는 상수이다. (이는

a=-d

인 뫼비우스 변환의 자기 역 부분 집합이며,

a=1

로 정규화된다.)

3. 2. 유클리드 기하학

유클리드 공간에서 대합의 간단한 예는 평면에 대한 반사이다. 평면에 대한 반사를 두 번 수행하면 점이 원래 좌표로 돌아간다.^[1]

원점에 대한 반사도 대합이다. 이는 위에서 언급한 평면에 대한 반사와는 다른 별개의 예시이다.^[1]

이러한 변환들은 아핀 대합의 예시이다.^[1]

3. 3. 사영 기하학

환원은 주기가 2인 사영 변환이다. 즉, 점의 쌍을 서로 바꾸는 사영 변환이다.^[6]

두 점을 서로 바꾸는 모든 사영 변환은 환원이다.
완전 사변형의 세 쌍의 대변은 (꼭짓점을 지나지 않는) 모든 직선과 환원의 세 쌍을 이룬다. 이 정리는 데자르그의 환원 정리라고 불린다.^[7] 이 정리의 기원은 알렉산드리아의 파푸스의 ''수집'' 7권에 있는 유클리드의 ''포리즈마''에 대한 보조 정리 IV에서 찾아볼 수 있다.^[8]
만약 환원이 하나의 고정점을 가진다면, 다른 고정점을 가지며, 이 두 점에 대한 조화 공액 사이의 대응으로 구성된다. 이 경우 환원은 "쌍곡선형"이라고 불리며, 고정점이 없는 경우에는 "타원형"이라고 불린다. 사영 변환의 맥락에서 고정점은 '''이중점'''이라고 불린다.^[6]

사영 기하학에서 발생하는 또 다른 유형의 환원은 주기가 2인 상관인 '''극성'''이다.^[9]

3. 4. 선형대수학

3. 5. 사원수 대수, 군, 반군

사원수 대수에서 대합은 다음 공리를 만족하는 변환이다.

$f(f(x))=x$ (자기 자신의 역)
$f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ 및 $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ (선형)
$f(x_1 x_2)=f(x_1) f(x_2)$

반대합은 마지막 공리 대신 다음을 따른다.

$f(x_1 x_2)=f(x_2) f(x_1)$

이 법칙은 때때로 반분배법칙이라고 불린다. 이는 군에서도 나타난다. 이를 공리로 사용하면 대합이 있는 반군의 개념으로 이어진다. 예를 들어 전치행렬을 대합으로 하는 정사각 행렬 곱셈(즉, 전체 선형 모노이드)은 군이 아닌 자연스러운 예시이다.

군 ''G'' 위의 사상 ''I'': ''G'' → ''G'' 가 대합이고,

(gh)^I = h^I g^I, \mbox{ for any } g, h \in G

를 만족하면, 대합 ''I''는 ''G''의 군 구조와 양립한다고 하며, 짝 (''G'', ''I'')을 대합 부착 군이라고 부른다. 군의 역원을 취하는 연산

g \mapsto g^{-1}

은 ''g'', ''h''를 ''G''의 원소로 하면

(g^{-1})^{-1} = g,

및

(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}

를 만족하므로, 이는 군이 표준적으로 가지는 군 구조와 양립하는 대합이다.

환 ''R''과 그 위에 대합 "*": ''R'' → ''R'' 로서

(r + s)^* = r^* + s^*, \mbox{ for any } r,s \in R,

,

(rs)^* = s^* r^*, \mbox{ for any } r,s \in R,

및

1_R^* = 1_R

를 만족하는 짝 (''R'', "*")으로서 대합 부착 환의 개념을 얻을 수 있다.

더 일반적으로, 이항 연산(과 단항 연산, 0항 연산)만으로 이루어진 대수계 ''A''에 그 위의 대합 σ가 존재할 때, σ가 A에서 그 역대수계 ''A''^opp로의 준동형이 될 때 (즉, 이항 연산의 순서를 거꾸로 하고, 단항, 0항 연산과 가환할 때), 대수계 ''A''의 구조와 대합 σ는 양립한다고 하며, 짝 (''A'', σ)를 대합 부착 대수계라고 부른다.

예를 들어, ''n''차 전행렬환 ''M''_''n''(''K'') (''K''는 가환환 또는 체)에 행렬을 전치시키는 사상 ''t''를 생각했을 때, ''x'', ''y''를 행렬, λ를 스칼라라고 하면

{}^t\!({}^t\!x) = x,

,

{}^t\!(x + y) = {}^t\!x + {}^t\!y

,

{}^t\!(xy) = {}^t\!y{}^t\!x

및

{}^t\!(\lambda x) = \lambda{}^t\!x

가 만족되므로, (''M''_''n''(''K''), ''t'')는 대합 부착 다원환이다.

체 ''L''이 대합이 되는 자기 동형 사상 σ를 가질 때, σ의 고정체를 ''F''라고 하면, 확대 ''L''/''F''는 이차 확대이다.

3. 6. 환론

환 이론에서, 대합은 그 자체의 역함수인 반준동형사상을 의미한다.

일반적인 환에서의 대합의 예는 다음과 같다.

복소 평면 및 분할 복소수에서의 복소수 켤레.
행렬환에서 전치 행렬을 취하는 것.

군 ''G''와 그 위의 사상 ''I'': ''G'' → ''G''가 대합이고 다음 관계

:

(gh)^I = h^I g^I, \mbox{ for any } g, h \in G

를 만족할 때, 대합 ''I''는 ''G''의 군 구조와 양립한다고 하며, 짝 (''G'', ''I'')을 대합 부착 군이라고 부른다. 군의 역원을 취하는 연산

:

g \mapsto g^{-1}

은 ''g'', ''h''를 ''G''의 원소로 할 때,

:

(g^{-1})^{-1} = g,

:

(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}

를 만족하므로, 이는 군이 표준적으로 가지는 군 구조와 양립하는 대합이다.

또한, 환 ''R''과 그 위에 대합 "*": ''R'' → ''R'' 이

:

(r + s)^* = r^* + s^*, \mbox{ for any } r,s \in R,

:

(rs)^* = s^* r^*, \mbox{ for any } r,s \in R,

:

1_R^* = 1_R

를 만족하는 짝 (''R'', "*")으로서 대합 부착 환의 개념을 얻을 수 있다. 더 일반적으로, 반드시 가환하지 않은 것을 포함하는 이항 연산(과 단항 연산, 0항 연산)만으로 이루어진 대수계 ''A''에 그 위의 대합 σ가 존재할 때, σ가 A에서 그 역대수계 ''A''^opp로의 준동형이 될 때 (즉, 이항 연산의 순서를 거꾸로 하고, 단항, 0항 연산과 가환할 때), 대수계 ''A''의 구조와 대합 σ는 양립한다고 하며, 짝 (''A'', σ)를 대합 부착 대수계라고 부른다. 예를 들어, ''n''차 전행렬환 ''M''_''n''(''K'') (''K''는 가환환 또는 체)에 행렬을 전치시키는 사상 ''t''를 생각했을 때, ''x'', ''y''를 행렬, λ를 스칼라라고 하면

:

{}^t\!({}^t\!x) = x,

:

{}^t\!(x + y) = {}^t\!x + {}^t\!y

:

{}^t\!(xy) = {}^t\!y{}^t\!x

:

{}^t\!(\lambda x) = \lambda{}^t\!x

가 만족되므로, (''M''_''n''(''K''), ''t'')는 대합 부착 다원환이다.

체 ''L''이 대합이 되는 자기 동형 사상 σ를 가질 때, σ의 고정체를 ''F''라고 하면, 확대 ''L''/''F''는 이차 확대이다.

3. 7. 군론

군에서 위수가 2인 원소는 대합이라고 한다. 즉, 대합은 항등원이 아니고 제곱했을 때 항등원이 되는 원소이다.^[10]

치환은 유한 개의 서로소인 전치의 곱으로 나타낼 수 있을 때에만 대합이다.

군의 대합은 군의 구조에 큰 영향을 미친다. 대합 연구는 유한 단순군 분류에 중요한 역할을 했다.

군 의 원소 가 강하게 실수라는 것은 (여기서 )인 대합 가 존재한다는 것을 의미한다.

콕세터 군은 대합들로 생성되며, 생성원 쌍의 거듭제곱과 관련된 관계에만 종속된다. 콕세터 군은 정다면체와 그 고차원 일반화를 설명하는 데 사용될 수 있다. 거울군도 대합으로 이루어진 생성계를 갖는 군이다.

3. 8. 수리 논리학

부울 대수에서 보수 연산은 대합이다. 따라서 고전 논리에서 부정은 ''이중 부정의 법칙''을 만족한다. ¬¬''A''는 ''A''와 동등하다.

일반적으로 비고전 논리에서 이중 부정의 법칙을 만족하는 부정을 ''대합적''이라고 한다. 대수적 의미론에서 이러한 부정은 진리값의 대수에서 대합으로 실현된다. 대합적 부정을 갖는 논리의 예로는 클리니 및 보흐바르 3치 논리, 우카시에비츠 다치 논리, 퍼지 논리의 '대합적 모노이드 t-노름 논리'(IMTL) 등이 있다. 대합적 부정이 아닌 부정을 갖는 논리에 대합적 부정이 추가적인 연결사로 추가되기도 한다. 이는 예를 들어 t-노름 퍼지 논리에서 흔히 사용된다.

부정의 대합성은 논리 및 해당 대수 다양성에 대한 중요한 특성이다. 예를 들어, 대합적 부정은 헤이팅 대수 중에서 부울 대수를 특징짓는다. 마찬가지로 고전 부울 논리는 직관주의 논리에 이중 부정의 법칙을 추가하여 나타난다. 동일한 관계는 또한 MV-대수와 BL-대수 (따라서 우카시에비츠 논리와 퍼지 논리 BL 사이), IMTL과 MTL 및 기타 중요한 대수 다양성 쌍 (각각 해당 논리) 사이에도 적용된다.

이진 관계 연구에서 모든 관계는 역관계를 갖는다. 역의 역은 원래 관계이므로 변환 연산은 관계 범주에 대한 대합이다. 이진 관계는 포함을 통해 부분 순서가 지정된다. 이 순서는 보수 대합으로 반전되지만 변환 아래에서는 보존된다.

4. 컴퓨터 과학

XOR 비트 연산은 주어진 값에 대해 다른 매개변수에 대한 대입 연산이다. XOR 마스크는 어떤 경우 이미지에 그래픽을 그리는 데 사용되었으며, 배경에 두 번 그리면 배경이 원래 상태로 되돌아간다.^[11]

비트 NOT 연산(모든 1 값을 XOR 한 것)과 스트림 암호 암호화(비밀 키 스트림을 XOR 한 것)은 XOR 비트 연산을 이용한 대합의 특수한 경우이다.^[11]

사실상 모든 기계식 암호 기계는 각 입력된 문자에 대한 대입 연산인 상호 암호를 구현하는데, 이는 이진 컴퓨터보다 오래되었다. 암호화용 기계와 해독용 기계 두 종류를 설계하는 대신, 모든 기계가 동일하고 동일한 방식으로 설정(키 설정)할 수 있다.^[11]

컴퓨터에서 사용되는 또 다른 대입 연산은 2차 비트 단위 순열이다. 예를 들어, (R, G, B) 형태의 정수로 저장된 색상 값은 R과 B를 교환하여 (B, G, R) 형태를 만들 수 있다. f(f(RGB)) = RGB, f(f(BGR)) = BGR이다.^[11]

5. 물리학

르장드르 변환은 라그랑주 역학과 해밀턴 역학 간의 변환을 수행하며, 이는 자기 반사 연산이다.^[1]

적분 가능성은 물리학의 핵심 개념이며, 특히 적분 가능 시스템 분야에서 중요하며, 이는 예를 들어 크라머스-와니에 이중성과 같은 맥락에서 자기 반사와 밀접하게 관련되어 있다.^[2]

참조

_[1] 서적 Calculus: Single Variable
_[2] 서적 Principles of mathematics https://books.google[...] W. W. Norton & Company, Inc
_[3] 서적 The Elements of Operator Theory https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[4] 서적 The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching Addison-Wesley
_[5] 간행물 A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 (mod 4) is a sum of two squares
_[6] 서적 Elementary Projective Geometry https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[7] 서적 The Geometrical Work of Girard Desargues Springer
_[8] 서적 Selections Illustrating the History of Greek Mathematics Harvard and Heinemann
_[9] 서적 Introduction to Geometry John Wiley & Sons
_[10] 서적 A Course on Group Theory https://books.google[...]
_[11] 서적 Classical Cryptology
_[12] 서적 岩波数学入門辞典岩波書店
_[13] 서적 岩波数学辞典岩波書店

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