디랙 연산자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

디랙 연산자는 리만 다양체 위의 미분 연산자로, 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자를 의미한다. 디랙 연산자는 고에너지 물리학에서 널리 사용되며, 클리퍼드 대수를 통해 정의된다. 디랙 연산자는 일반화된 형태로 디랙형 연산자 또는 등급 디랙 연산자로 확장될 수 있으며, 클리퍼드 가군 다발 접속과 밀접한 관련이 있다. 디랙 연산자는 곡선 위의 벡터 다발, 접다발, 호지-드람 연산자 등 다양한 예시에서 나타나며, 폴 디랙에 의해 처음 발견되었다.

디랙 연산자

📚 더 읽어볼만한 페이지

미분 연산자 - 기울기 (벡터)
기울기(벡터)는 스칼라장의 특정 지점에서 값이 가장 빠르게 증가하는 방향과 변화율을 나타내는 벡터로, 함수의 등위면에 수직이며 크기는 해당 방향의 변화율을 나타내고, 스칼라 함수의 각 성분에 대한 편미분으로 구성되며 나블라 연산자로 표현된다.
미분 연산자 - 델 (연산자)
델 연산자는 3차원 유클리드 공간에서 편미분 연산자를 항으로 하는 벡터로 정의되며, 기울기, 발산, 회전, 라플라시안 등 다양한 연산을 표현하는 데 사용되며 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 다양한 분야에 응용된다.
수리물리학 - 라플라스 변환
라플라스 변환은 함수 f(t)를 복소수 s를 사용하여 적분을 통해 다른 함수 F(s)로 변환하는 적분 변환이며, 선형성을 가지고 미분방정식 풀이 등 공학 분야에서 널리 사용된다.
수리물리학 - 불확정성 원리
양자역학 - 광전 효과
광전 효과는 빛이 물질에 닿을 때 전자가 방출되는 현상으로, 빛 에너지가 광자라는 덩어리로 양자화되어 있고, 아인슈타인의 광양자 가설로 설명되며, 다양한 기술에 응용되지만 문제도 야기한다.
양자역학 - 진동수
진동수는 주기적인 현상이 단위 시간당 반복되는 횟수를 나타내는 물리량으로, 주기와 역수 관계를 가지며 소리의 높낮이, 빛의 색깔 등을 결정하는 중요한 요소이다.

1. 개요
2. 정의
3. 분류
- 3.1. 클리퍼드 가군 다발 접속
- 3.2. 디랙 연산자의 분류
4. 예시
5. 일반화
6. 역사

2. 정의

2.1. 디랙 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리만 다양체 $(M,g)$
* 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
* $E$ 위의 코쥘 접속 $\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)$
* $E\otimes E^*$ 의 매끄러운 단면 $T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)$ . (흔히 $T=0$ 으로 잡는다.)

그렇다면, 라플라스 연산자
: $\Delta=g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)$
및 일반화 라플라스 연산자
: $\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)$
를 정의할 수 있다.

이 경우, 디랙 연산자
: $D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)$
는
: $D^2=\Delta$
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, Dirac-type operator^영어) 또는 일반화 디랙 연산자(generalized Dirac operator^영어)
: $D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)$
는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,
: $D^2=\Delta+T$
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

일반적으로, D를 리만 다양체 M 위의 벡터 다발 V에 작용하는 1차 미분 연산자라고 하자. 만약
: $D^2=\Delta, \,$
여기서 ∆는 V의 라플라시안이면, D를 디랙 연산자라고 부른다.

고에너지 물리학에서는 이 요구 사항을 완화하는 경우가 많다. 즉, D²의 2차 부분만 라플라시안과 같으면 된다.

2.2. 디랙형 연산자 (일반화 디랙 연산자)

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 리만 다양체 $(M,g)$
* 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
* $E$ 위의 코쥘 접속 $\nabla\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E\otimes\mathrm T^*M)$
* $E\otimes E^*$ 의 매끄러운 단면 $T\in\Gamma^\infty(E\otimes E^*)$ . (흔히 $T=0$ 으로 잡는다.)

보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac-type operator^영어) 또는 일반화 디랙 연산자(generalized Dirac operator^영어)
: $D\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)$
는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,
: $D^2=\Delta+T$
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.

2.3. 등급 디랙 연산자

클리퍼드 대수는 자연스럽게 $\mathbb Z/2$ -등급 대수를 이룬다.
: $\operatorname{Cliff}(V,Q;K)=\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\oplus\operatorname{Cliff}^-(V,Q;K)$
이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 리만 다양체 $(M,g)$
* 두 매끄러운 벡터 다발 $E^\pm\twoheadrightarrow M$ . 편의상 $E=E^+\oplus E^-$ 로 표기.
* $E$ 위의 초접속 $\nabla\colon\Omega^\bullet(M;E)\to\Omega^{\bullet+1}(M;E)$
* $E^\pm\otimes(E^\mp)^*$ 의 매끄러운 단면 $T^\pm\in\Gamma^\infty(E^\pm\otimes{E^\mp}^*)$ (복부호 동순)

그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자
: $\Delta+T\colon\Gamma^\infty(E)\to\Gamma^\infty(E)$
를 정의할 수 있다.

그렇다면, 등급 디랙 연산자(graded Dirac operator^영어)
: $D^\pm\colon\Gamma^\infty(E^\pm)\to\Gamma^\infty(E^\mp)$ (복부호 동순)
는
: $D^-D^+=\Delta+T$
: $D^+D^-=\Delta+T$
를 만족시키는 두 미분 연산자이다.

3. 분류

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위에 디랙 연산자 $D$가 주어지면, $E$ 위에는 클리퍼드 다발 $\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)$의 왼쪽 작용이 자연스럽게 주어져, 각 올 $E_x$는 클리퍼드 대수 $\operatorname{Cliff}(\mathrm T_xM,g_x)$의 왼쪽 가군을 이룬다.

클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다.

3.1. 클리퍼드 가군 다발 접속

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 클리퍼드 가군 다발 $E$ 위의 코쥘 접속 $\nabla$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 한다.
: $\nabla_X(a\cdot s)=a\cdot\nabla_Xs+(\nabla_Xa)\cdot s\qquad\forall a\in\Gamma^\infty(\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)),\;s\in\Gamma^\infty(E),\;X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)$
여기서 $\nabla_Xa$ 는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.

마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는, $\mathbb Z/2$ -등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.

3.2. 디랙 연산자의 분류

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 에 디랙 연산자 $D$ 가 주어지면, $E$ 에는 자연스럽게 클리퍼드 다발 $\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)$ 의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올 $E_x$ 는 클리퍼드 대수 $\operatorname{Cliff}(\mathrm T_xM,g_x)$ 의 왼쪽 가군이 된다. 이는 다음 식으로 나타낼 수 있다.
: $D(fs)-f(Ds)=(\mathrm df)\cdot s$
여기서
* $f\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)$ 는 $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
* $\mathrm df\in\Omega^1(M)=\Gamma^\infty(\mathrm T^*\!M)$ 은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상 $\Omega^1(M)\hookrightarrow\operatorname{Cliff}(\mathrm T^*\!M,g^{-1})\cong\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)$ 이 존재한다.
* $\cdot$ 은 클리퍼드 대수 원소의 작용이다.
클리퍼드 다발 $\operatorname{Cliff}(\mathrm TM,g)$ 의 매끄러운 단면은 벡터장 $X=(\mathrm df)^\sharp$ 으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라, $E$ 는 클리퍼드 가군 다발이 된다.

클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다.
* 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발과 클리퍼드 가군 다발 접속의 쌍과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 다발 $E$ 와 클리퍼드 가군 다발 접속 위에서 정의될 수 있는 디랙형 연산자들의 공간은 $\operatorname{End}(E)$ 꼴의 아핀 공간을 이룬다.
* 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 $\mathbb Z/2$ -등급 다발과 클리퍼드 가군 다발 초접속의 쌍과 일대일 대응한다.
* 주어진 클리퍼드 가군 $\mathbb Z/2$ -등급 다발 $E^\pm$ 와 클리퍼드 가군 다발 접속 위에서 정의될 수 있는 디랙형 연산자들의 공간은 $\operatorname{End}^+(E)$ 꼴의 아핀 공간을 이룬다.

4. 예시

디랙 연산자는 다양한 예시를 통해 그 구체적인 형태와 응용을 살펴볼 수 있다.

* 평면에서의 스핀 1/2 입자: 평면에 갇힌 스핀 1/2 입자의 경우, 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

: $\psi(x,y) = \begin{bmatrix}\chi(x,y) \\ \eta(x,y)\end{bmatrix}$

여기서 x와 y는 R²에서의 좌표이고, χ와 η는 각각 스핀 업과 스핀 다운 상태의 확률 진폭을 나타낸다. 이 경우 스핀-디랙 연산자는 다음과 같이 주어진다.

: $D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y ,$

여기서 σ_i는 파울리 행렬이다.

* 3차원 자유 페르미온: 3차원에서 자유 페르미온의 전파를 설명하는 페인만의 디랙 연산자는 페인만 슬래시 표기법을 사용하여 다음과 같이 표현된다.

: $D=\gamma^\mu\partial_\mu\ \equiv \partial\!\!\!/,$

양자장론에서는 다음과 같은 형태로 나타난다.

: $D = c\vec\alpha \cdot (-i\hbar\nabla_x) + mc^2\beta$

여기서 $\vec\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 는 비대각 디랙 행렬, $\beta=\gamma_0$ 이고, $c$ 는 광속, $\hbar$ 는 플랑크 상수, $m$ 은 페르미온의 질량이다.

* 클리포드 해석: 클리포드 해석에서 유클리드 n-공간의 디랙 연산자는 다음과 같다.

: $D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$

여기서 {e_j: j = 1, ..., n}는 유클리드 n-공간의 정규 직교 기저이다.

4.1. 곡선 위의 벡터 다발

계량이 주어진 곡선 $\gamma$ 위의 다발 $E\twoheadrightarrow\gamma$ 의 경우, 디랙 연산자는 단순히
: $D=\nabla$
이다.
D = −i ∂_x는 선 위의 접다발에 대한 디랙 연산자이다.

4.2. 접다발

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 접다발 $TM$에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 $M$이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발 $TM\hookrightarrow SM$으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다. $SM$은 $2^{\lfloor\dim M/2\rfloor}$차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발 $\operatorname{Cl}(TM,g)$ 위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장
:$\gamma\colon TM\hookrightarrow\operatorname{Cl}(M,g)$
:$\gamma\colon v^i\mapsto v^i\gamma_i$
이 존재한다.

이 경우 디랙 연산자는
:$D=g^{ij}\gamma_i\nabla_j$
이다. 즉,
:$D^2=\{D,D\}/2=\frac12\{\gamma^i\gamma^j\}\nabla_i\nabla_j=g^{ij}\nabla_i\nabla_j=\Delta$
이다.

만약 $M$이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.
:$SM=S^+M\oplus S^-M$
이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
:$D^\pm=(D\restriction\Gamma^\infty(S^\pm M))\colon\Gamma^\infty(S^\pm M)\to\Gamma^\infty(S^\mp M))$ (복부호 동순)
따라서, 이는 $S^\pm M$ 위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.

4.3. 호지-드람 연산자

매끄러운 다양체 $M$ 위의 미분 형식 다발 $E = \bigwedge^\bullet \mathrm T^*M$ 을 생각하자. 즉, $\Gamma(E) = \Omega(M)$ 이다. 만약 $M$ 이 콤팩트 다양체라면, 외미분 $\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet+1}(M)$ 의 에르미트 수반 $\mathrm d^\dagger \colon \Omega^\bullet(M) \to \Omega^{\bullet-1}(M)$ 을 정의할 수 있다. 그렇다면, $(\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2 = \{\mathrm d,\mathrm d^\dagger\} = \Delta$ 가 된다. 여기서 $\Delta$ 는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서 $D = \mathrm d + \mathrm d^\dagger$ 를 정의하면, $D$ 는 $E$ 위의 디랙 연산자가 된다.

4.4. 기타 예시 (영문 위키 참고)

물리학에서 중요한 단순한 묶음을 고려해 보자. 이는 평면에 갇힌 스핀 1/2 입자의 구성 공간이며, 기본 매니폴드이기도 하다. 이는 다음과 같은 파동 함수로 표현된다.

: $\psi(x,y) = \begin{bmatrix}\chi(x,y) \\ \eta(x,y)\end{bmatrix}$

여기서 x와 y는 R²에서 일반적인 좌표 함수이다. χ는 입자가 스핀 업 상태에 있을 확률 진폭을 나타내며, η도 마찬가지이다. 소위 스핀-디랙 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $D=-i\sigma_x\partial_x-i\sigma_y\partial_y ,$

여기서 σ_i는 파울리 행렬이다. 파울리 행렬의 반교환 관계는 위의 정의 속성을 증명하는 것을 쉽게 만든다. 이러한 관계는 클리포드 대수의 개념을 정의한다.

스피너 필드에 대한 디랙 방정식의 해는 종종 조화 스피너라고 불린다.

페인만 슬래시 표기법을 사용하여 3차원에서 자유 페르미온의 전파를 설명하는 페인만의 디랙 연산자는 다음과 같이 간결하게 표현된다.

: $D=\gamma^\mu\partial_\mu\ \equiv \partial\!\!\!/,$

양자장론 입문 교과서에서는 다음과 같은 형태로 나타난다.

: $D = c\vec\alpha \cdot (-i\hbar\nabla_x) + mc^2\beta$

여기서 $\vec\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 는 비대각 디랙 행렬 $\alpha_i=\beta\gamma_i$ 이며, $\beta=\gamma_0$ 이고, 나머지 상수들은 $c$ 는 광속, $\hbar$ 는 플랑크 상수, $m$ 은 페르미온(예: 전자)의 질량이다. 이 연산자는 4성분 파동 함수 $\psi(x) \in L^2(\mathbb{R}^3, \mathbb{C}^4)$ 에 작용하며, 이는 매끄럽고 제곱 적분 가능한 함수의 소볼레 공간이다. 이 연산자는 해당 영역에서 자기 수반 연산자로 확장될 수 있다. 이 경우 제곱은 라플라시안이 아니고, 대신 $D^2=\Delta+m^2$ 이다 (여기서 $\hbar=c=1$ 로 설정).

클리포드 해석에서 유클리드 n-공간의 디랙 연산자는 다음과 같다.

: $D=\sum_{j=1}^{n}e_{j}\frac{\partial}{\partial x_{j}}$

여기서 {e_j: j = 1, ..., n}는 유클리드 n-공간의 정규 직교 기저이며, Rⁿ은 클리포드 대수에 포함된 것으로 간주된다.

이것은 스피너 다발의 단면에 작용하는 아티야-싱어-디랙 연산자의 특수한 경우이다.

5. 일반화

클리퍼드 해석에서 연산자 D : C^∞(R^k ⊗ Rⁿ, S) → C^∞(R^k ⊗ Rⁿ, C^k ⊗ S)는 스피너 값 함수에 작용하며 다음과 같이 정의된다.

: $f(x_1,\ldots,x_k)\mapsto \begin{pmatrix} \partial_{\underline{x_1}}f\\ \partial_{\underline{x_2}}f\\ \ldots\\ \partial_{\underline{x_k}}f\\ \end{pmatrix}$

이 연산자는 때때로 k 클리퍼드 변수의 디랙 연산자라고 불린다. 여기서 S는 스피너 공간이며, $x_i=(x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{in})$ 는 n차원 변수이고, $\partial_{\underline{x_i}}=\sum_j e_j\cdot \partial_{x_{ij}}$ 는 i번째 변수의 디랙 연산자이다. 이것은 디랙 연산자(k = 1)와 돌보 연산자(n = 2, k는 임의)의 일반적인 확장이다. 이 연산자는 군 SL(k) × Spin(n)^영어의 작용에 불변인 불변 미분 연산자이다. D의 분해는 몇몇 특수한 경우에만 알려져 있다.

6. 역사

폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 최초로 디랙 연산자를 발견하였다.