뉴턴의 부등식

1. 개요

뉴턴의 부등식은 임의의 실수에 대한 기본대칭평균 간의 관계를 나타내는 부등식이다. n개의 실수 $a\_1,\; a\_2,\; ...,\; a\_n$에 대한 i번째 기본대칭평균 $S\_i$는 다항식 $\backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; (x+a\_i)$의 계수를 이용하여 정의되며, 뉴턴의 부등식은 모든 $n>\; i\; ,\; i\; \backslash in\; N$에 대하여 $S\_\{i-1\}S\_\{i+1\}\; \backslash le\; S\_i^2$로 표현된다.

2. 기본대칭평균

기본대칭평균은 뉴턴의 부등식을 이해하는 데 필요한 개념이다. n개의 임의 실수 $a_1, a_2, \dots, a_n$에 대하여, i번째 기본대칭평균 $S_i$는 $S_i := \frac{\sigma_i}{\binom{n}{i}}$로 정의된다. ($\sigma_i$는 i번째 기본대칭함수)

2.1. 기본대칭함수

어떤 n개의 임의 실수 $a_1, a_2, \dots, a_n$가 주어졌을 때, 다항식 $\prod_{i=1}^{n} (x+a_i)$에서 $x^{n-i}$의 계수를 i번째 기본대칭함수라 하고, $\sigma_i$로 쓴다.

2.2. 기본대칭평균 정의

어떤 n개의 임의 실수 $a\_1,\; a\_2,\; ...,\; a\_n$가 주어졌을 때, 다항식 $\backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; (x+a\_i)$에서 $x^\{n-i\}$의 계수를 i번째 기본대칭함수라 하고, $\backslash sigma\_i$로 쓴다. 이때, i번째 기본대칭평균 $S\_i$는 $S\_i\; :=\; \backslash frac\{\backslash sigma\_i\}\{\backslash binom\{n\}\{i\}\}$로 정의한다.

3. 공식화

뉴턴의 부등식은 기본대칭평균을 이용하여 표현할 수 있다. 임의의 실수 $a\_1,\; a\_2,\; ...,\; a\_n$에 대하여 기본대칭평균을 $S\_0,\; S\_1,\; ...,\; S\_n$이라 할 때, 모든 $n>\; i\; ,\; i\; \backslash in\; N$에 대하여 $S\_\{i-1\}S\_\{i+1\}\; \backslash le\; S\_i^2$가 성립한다.

3.1. 뉴턴의 부등식

기본대칭평균 개념을 이용하여, 임의의 실수 $a\_1,\; a\_2,\; ...,\; a\_n$에 대하여 이 기본대칭평균을 $S\_0,\; S\_1,\; ...,\; S\_n$이라 할 때 뉴턴의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

* 모든 $n>\; i\; ,\; i\; \backslash in\; N$에 대하여 $S\_\{i-1\}S\_\{i+1\}\; \backslash le\; S\_i^2$