단면 일차 모멘트

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1. 개요
2. 정의
3. 특성
4. 도심
- 4.1. 대표적인 도형의 도심
- 4.2. 포물선의 도심
5. 응용
- 5.1. 반-모노코크 구조의 전단 응력
참조

1. 개요

단면 일차 모멘트는 임의 형상의 단면에 대해 미소 면적과 좌표축으로부터의 거리를 곱하여 적분한 값이다. x축 및 y축에 대한 단면 일차 모멘트는 각각 면적과 도심까지의 거리를 곱하여 계산하며, 국제 단위계(SI)는 세제곱 미터(m³)이다. 단면 일차 모멘트는 축의 위치에 따라 양수 또는 음수 값을 가지며, 도심을 지나는 축에 대해서는 0이 된다. 도심은 단면 일차 모멘트가 0이 되는 점으로, 단면 일차 모멘트를 면적으로 나누어 계산한다. 반-모노코크 구조의 전단 응력 계산에 활용된다.

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단면 일차 모멘트

2. 정의

임의 형상의 단면에 대해서, 미소 면적 dA를 생각하고, 데카르트 좌표축으로부터 미소 면적의 도심까지 거리를 곱한 다음 전체 면적에 대해 적분을 하면 단면 1차 모멘트(G)가 된다.

:

G_x=\int_A ydA=A\cdot \bar y

:

G_y=\int_A xdA=A\cdot \bar x

여기서

\bar x, \bar y

는 각각의 축에서부터 단면의 도심까지의 거리를 의미한다.

'''도심'''(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 데카르트 좌표축에 대한 단면 1차 모멘트가 0이 되는 점을 말한다. 데카르트 좌표축에서 도심까지의 거리를 구하는 방법은 단면 1차 모멘트를 도형의 면적으로 나누면 된다.

:

\bar x=\frac{G_y}{A}

:

\bar y=\frac{G_x}{A}

어떤 모양의 면적 ''A''가 주어졌을 때, 이 면적을 매우 작은 ''n''개의 요소 면적(''dA_i'')으로 나눈다고 가정하자. 여기서 ''x_i''와 ''y_i''는 주어진 ''x-y'' 축으로부터 각 요소 면적까지의 거리(좌표)이다. 면적의 1차 모멘트는 ''x'' 및 ''y'' 방향으로 다음과 같이 주어진다.

:

S_x = A \bar y = \sum_{i=1}^n {y_i \, dA_i} = \int_A y \, dA

그리고

:

S_y= A \bar x = \sum_{i=1}^n {x_i \, dA_i} = \int_A x \, dA.

단면 1차 모멘트의 SI 단위는 세제곱 미터 (m³)이다. 미국 공학 및 중력 시스템에서는 세제곱 피트 (ft³) 또는 더 일반적으로 세제곱 인치 (inch³)를 사용한다.

'''정적 모멘트''' 또는 '''정적 면적 모멘트'''는 일반적으로 기호 ''Q''로 표시되며, 단면이 전단 응력에 저항하는 정도를 예측하는 데 사용되는 속성이다. 정의는 다음과 같다.

:

Q_{j,x} = \int y_i \, dA,

여기서,

''Q''_''j,x'' – 전체 단면의 중립 ''x'' 축에 대한 면적 "j"의 1차 모멘트 (면적 "j" 자체의 중립 축 기준이 아님).
''dA'' – 면적 "j" 내의 미소 면적 요소.
''y'' – 미소 면적 요소 ''dA''의 도심에서 전체 단면의 중립 축 ''x''까지의 수직 거리.

3. 특성

단면 1차 모멘트는 축의 위치에 따라 양의 값을 가질 수도, 음의 값을 가질 수도 있다. 도심을 지나는 축에 대한 단면 1차 모멘트는 0이다.

어떤 모양의 면적 ''A''가 주어졌을 때, 이 면적을 매우 작은 ''n''개의 요소 면적(''dA_i'')으로 나눈다고 가정하자. 여기서 ''x_i''와 ''y_i''는 주어진 ''x-y'' 축으로부터 각 요소 면적까지의 거리(좌표)이다. 면적의 1차 모멘트는 ''x'' 및 ''y'' 방향으로 다음과 같이 계산된다.

$S_x = A \bar y = \sum_{i=1}^n {y_i \, dA_i} = \int_A y \, dA$

그리고

$S_y= A \bar x = \sum_{i=1}^n {x_i \, dA_i} = \int_A x \, dA.$

면적 1차 모멘트의 SI 단위는 세제곱 미터 (m³)이다. 미국 공학 및 중력 시스템에서는 세제곱 피트 (ft³) 또는 더 일반적으로 인치³를 단위로 사용한다.

정적 모멘트 또는 정적 면적 모멘트는 일반적으로 기호 ''Q''로 표시되며, 모양이 전단 응력에 대한 저항을 예측하는 데 사용되는 속성이다. 정의는 다음과 같다.

$Q_{j,x} = \int y_i \, dA,$

여기서,

''Q''_''j,x'': 전체 물체의 중립 ''x'' 축에 대한 "j" 면적의 1차 모멘트 (영역 "j"의 중립 축이 아님).
''dA'': "j" 면적의 요소 면적.
''y'': 요소 ''dA''의 도심에서 중립 축 ''x''까지의 수직 거리.

4. 도심

'''도심'''(centroid)이란 어떤 임의 단면에서 데카르트 좌표축에 대한 단면 일차 모멘트가 0이 되는 점을 말한다. 데카르트 좌표축에서 도심의 좌표( $\bar x, \bar y$ )를 구하는 방법은 단면 1차 모멘트( $G_x, G_y$ 또는 $S_x, S_y$ )를 도형의 면적(A)으로 나누면 된다.

$\bar x=\frac{G_y}{A} = \frac{S_y}{A}$

$\bar y=\frac{G_x}{A} = \frac{S_x}{A}$

어떤 모양의 면적 ''A''가 주어졌을 때, 이 면적을 매우 작은 ''n''개의 요소 면적(''dA_i'')으로 나눈다고 가정하자. 여기서 ''x_i''와 ''y_i''는 주어진 ''x-y'' 축으로부터 각 요소 면적까지의 거리(좌표)이다. 면적의 1차 모멘트는 ''x'' 및 ''y'' 방향으로 다음과 같이 주어진다.

$S_x = A \bar y = \sum_{i=1}^n {y_i \, dA_i} = \int_A y \, dA$

그리고

$S_y= A \bar x = \sum_{i=1}^n {x_i \, dA_i} = \int_A x \, dA.$

'''면적 1차 모멘트'''의 SI 단위는 세제곱 미터 (m³)이다. 미국 단위계에서는 세제곱 피트 (ft³) 또는 세제곱 인치 (in³)를 사용한다.

'''정적 모멘트''' 또는 '''정적 면적 모멘트'''는 일반적으로 기호 ''Q''로 표시되며, 단면이 전단 응력에 저항하는 정도를 나타내는 속성이다. 정의는 다음과 같다.

$Q_{j,x} = \int y_i \, dA,$

여기서,

''Q''_''j,x'' – 전체 단면의 중립축 ''x''에 대한 특정 영역 "j"의 1차 모멘트 (영역 "j" 자체의 중립축 기준이 아님).
''dA'' – 영역 "j" 내의 미소 면적 요소.
''y'' – 미소 면적 요소 ''dA''의 도심에서 전체 단면의 중립축 ''x''까지의 수직 거리.

4. 1. 대표적인 도형의 도심

도형	그림	$\bar x$	$\bar y$	면적
삼각형	삼각형의 도심	$\frac{b}{3}$	$\frac{h}{3}$	$\frac{bh}{2}$
사각형	사각형의 도심	$\frac{b}{2}$	$\frac{h}{2}$	$bh$
사분원^[2]	사분원의 도심	$\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})$	$\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})$	$\frac{\pi r^2}{4}$
반원^[3]	반원의 도심	$\,\!0$	$\frac{4r}{3\pi}(=\frac{2D}{3\pi})$	$\frac{\pi r^2}{2}$

4. 2. 포물선의 도심

포물선

y = h \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right)

과 x축, y축으로 둘러싸인 영역(0 ≤ x ≤ b)의 도심을

(\overline x, \ \overline y)

라고 하자. 이 영역 내의 미소 면적 dA는 다음과 같이 정의할 수 있다.

dA = y dx = h \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right) dx

해당 영역의 전체 면적 A는 적분을 통해 계산하면 다음과 같다.

A = \int_0^b dA = \int_0^b h \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right) dx = h \left[ x - \frac{x^3}{3b^2} \right]_0^b = \frac 23 bh

이제 단면 일차 모멘트를 계산한다. y축에 대한 단면 일차 모멘트

Q_y

는 각 미소 면적까지의 x거리를 곱하여 적분한 값이다.

\begin{align} Q_y = \int x dA & = \int_0^b x \left[ h \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right) \right] dx \\& = h \int_0^b \left( x - \frac{x^3}{b^2} \right) dx \\& = h \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4b^2} \right]_0^b \\& = h \left( \frac{b^2}{2} - \frac{b^4}{4b^2} \right) \\& = \frac 14 b^2 h \\ \end{align}

x축에 대한 단면 일차 모멘트

Q_x

는 각 미소 면적의 도심까지의 y거리(

\tilde{y} = \frac{y}{2}

)를 곱하여 적분한 값이다.

\begin{align} Q_x = \int \tilde{y} dA = \int \frac{y}{2} dA & = \int_0^b \frac{1}{2} y (y dx) \\& = \int_0^b \frac{h^2}{2} \left( 1 - \frac{x^2}{b^2} \right)^2 dx \\& = \frac{h^2}{2} \int_0^b \left( 1 - \frac{2x^2}{b^2} + \frac{x^4}{b^4} \right) dx \\& = \frac{h^2}{2} \left[ x - \frac{2x^3}{3b^2} + \frac{x^5}{5b^4} \right]_0^b \\& = \frac{h^2}{2} \left( b - \frac{2b^3}{3b^2} + \frac{b^5}{5b^4} \right) \\& = \frac{h^2}{2} \left( b - \frac{2}{3}b + \frac{1}{5}b \right) \\& = \frac{h^2}{2} \left( \frac{15-10+3}{15} b \right) \\& = \frac{h^2}{2} \left( \frac{8}{15} b \right) \\& = \frac{4}{15} bh^2 \\ \end{align}

계산된 단면 일차 모멘트와 면적을 이용하여 도심의 좌표를 구한다.

\begin{align} \overline x = \frac{Q_y}{A} & = \frac{ \frac 14 b^2 h }{\frac 23 bh } \\& = \frac{1}{4} b^2 h \times \frac{3}{2bh} \\& = \frac 38 b \\ \end{align}

\begin{align} \overline y = \frac{Q_x}{A} & = \frac{ \frac{4}{15} bh^2 }{\frac 23 bh} \\& = \frac{4}{15} bh^2 \times \frac{3}{2bh} \\& = \frac{12}{30} h \\& = \frac 25 h \\ \end{align}

따라서 주어진 포물선 영역의 도심은

\left( \frac 38 b, \frac 25 h \right)

이다.

5. 응용

단면 일차 모멘트는 구조역학, 특히 보의 전단 응력 분포를 계산하는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 항공기 날개나 동체 등에 사용되는 반-모노코크 구조물의 전단 흐름과 전단 응력을 분석할 때 단면 일차 모멘트 계산이 필요하다. 이는 특정 단면에서의 전단력 분포를 파악하여 구조물의 안전성을 평가하는 데 기초 자료를 제공한다.

5. 1. 반-모노코크 구조의 전단 응력

반-모노코크 구조의 단면 특정 웹 섹션에서 전단 흐름에 대한 방정식은 다음과 같다.

q = \frac{V_y S_x}{I_x}

''q'' – 단면의 특정 웹 섹션을 통과하는 전단 흐름
''V''_''y'' – 전체 단면을 관통하는 중립축 ''x''에 수직인 전단력
''S''_''x'' – 단면의 특정 웹 섹션에 대한 중립축 ''x''에 대한 단면 일차 모멘트
''I''_''x'' – 전체 단면에 대한 중립축 ''x''에 대한 단면 이차 모멘트

전단 응력은 다음 방정식을 사용하여 계산할 수 있다.

\tau = \frac{q}{t}

$\tau$ – 단면의 특정 웹 섹션을 통과하는 전단 응력
''q'' – 단면의 특정 웹 섹션을 통과하는 전단 흐름
''t'' – 측정되는 지점에서의 단면 특정 웹 섹션의 두께^[1]

참조

_[1] 서적 Shigley's Mechanical Engineering Design
_[2] 웹인용 Quarter Circle http://www.efunda.co[...] 2016-04-23
_[3] 웹인용 Circular Half http://www.efunda.co[...] 2016-04-23

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