대수적 홀로그래피
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1. 개요
대수적 홀로그래피는 반 더시터르 공간의 등각 경계와 관련된 등각장론과 반 더시터르 공간의 쐐기 사이의 대응을 의미한다. 이는 대수적 양자장론의 틀 내에서 연구되며, 등각 공간과 반 더시터르 공간의 C* 대수 공변 네트를 통해 설명된다. 대수적 홀로그래피는 AdS/CFT 대응과 유사하지만, 벌크 장의 경계 값의 역할, 중력의 포함 여부, 국소 자유도 등에서 차이를 보인다. 특히, 레렌 쌍대성에서 벌크 장의 경계 값은 경계 이론의 연산자 자체가 되며, 현실적인 등각장론의 반 더시터르 공간 레렌 쌍대는 국소적 자유도를 갖지 않는다.
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| 대수적 홀로그래피 | |
|---|---|
| 대수적 홀로그래피 | |
| 유형 | 양자장론 |
| 관련 항목 | 대수적 양자장론 홀로그래피 끈 이론 AdS/CFT 대응 |
| 설명 | 대수적 양자장론을 사용하여 홀로그래피를 공식화 |
2. 레렌 쌍대성
하그-카스틀러 공리를 충족하는 이중 원뿔에 대한 대수로 정의된 등각장론에서 쐐기와 관련된 대수가 해당 이중 원뿔과 관련된 대수와 동일하다고 가정하면, 이러한 공리를 충족하는 반 더시터르 공간에 대한 네트를 생성한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 양측의 대수적 양자장론 사이의 이러한 대응을 '''대수적 홀로그래피'''라고 한다.
일반적인 AdS/CFT 대응과 달리, 반 더시터르 공간 측의 레렌-쌍대 이론은 반 더시터르 공간 측에 명백한 미분동형 공변성이 없기 때문에 양자 중력 이론으로 보이지 않는다. 또한, 반 더시터르 공간의 이중 원뿔과 연관된 대수가 자명하지 않은 경우(즉, 항등원 이외의 원소를 포함하는 경우) 해당 등각장론은 기본 인과관계를 충족하지 않는다. 이를 통해 현실적인 등각장론의 반 더시터르 공간 레렌 쌍대에는 국소적 자유도가 없다는 결론을 내릴 수 있다(쐐기는 컴팩트하지 않다).
2. 1. 기본 개념
반 더시터르 공간(또는 그것의 보편 덮개 공간)의 등각 경계는 차원이 하나 더 적은 등각 민코프스키 공간(또는 그것의 보편 덮개 공간)이다. 대수적 양자장론에서 등각 공간의 양자장론은 등각 공간에 대한 C* 대수의 등각 공변 네트에 의해 제공되고, 반 더시터르 공간의 양자장론에는 반 더시터르 공간에 대한 C* 대수의 공변 네트가 제공된다. 반 더시터르 공간의 한 점 이상에서 교차하는 여차원 1의 두 개의 서로 다른 널 측지선 초곡면은 반 더시터르 공간을 네 개의 서로 다른 영역으로 나누고, 그 중 두 개는 공간과 비슷하다. 두 개의 공간 같은 영역 중 하나를 쐐기라고 한다. 쐐기의 등각 경계는 등각 경계의 이중 원뿔이고, 등각 경계의 모든 이중 원뿔은 고유한 쐐기와 연관되어 있다는 것은 기하학적 사실이다. 즉, 등각장론의 이중 원뿔과 반 더시터르 공간의 쐐기 사이에는 일대일 대응이 있다. 하그-카스틀러 공리를 충족하는 이중 원뿔에 대한 대수로 정의된 등각장론에서 쐐기와 관련된 대수가 해당 이중 원뿔과 관련된 대수와 동일하다고 가정하면, 이러한 공리를 충족하는 반 더시터르 공간에 대한 네트를 생성한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 양측의 대수적 양자장론 사이의 이러한 대응을 '''대수적 홀로그래피'''라고 한다.2. 2. 대수적 홀로그래피
반 더시터르 공간(또는 그것의 보편 덮개 공간)의 등각 경계는 차원이 하나 더 적은 등각 민코프스키 공간 (또는 그것의 보편 덮개 공간)이다. 대수적 양자장론에서 등각 공간의 양자장론은 등각 공간에 대한 C* 대수의 등각 공변 네트에 의해 제공되고, 반 더시터르 공간의 양자장론에는 반 더시터르 공간에 대한 C* 대수의 공변 네트가 제공된다. 반 더시터르 공간의 한 점 이상에서 교차하는 여차원 1의 두 개의 서로 다른 널 측지선 초곡면은 반 더시터르 공간을 네 개의 서로 다른 영역으로 나누고, 그 중 두 개는 공간과 비슷하다. 두 개의 공간 같은 영역 중 하나를 쐐기라고 한다. 쐐기의 등각 경계는 등각 경계의 이중 원뿔이고, 등각 경계의 모든 이중 원뿔은 고유한 쐐기와 연관되어 있다는 것은 기하학적 사실이다. 즉, 등각장론의 이중 원뿔과 반 더시터르 공간의 쐐기 사이에는 일대일 대응이 있다. 하그-카스틀러 공리를 충족하는 이중 원뿔에 대한 대수로 정의된 등각장론에서 쐐기와 관련된 대수가 해당 이중 원뿔과 관련된 대수와 동일하다고 가정하면, 이러한 공리를 충족하는 반 더시터르 공간에 대한 네트를 생성한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 양측의 대수적 양자장론 사이의 이러한 대응을 '''대수적 홀로그래피'''라고 한다.일반적인 AdS/CFT 대응과 달리 반 더시터르 공간 측의 레렌-쌍대 이론은 반 더시터르 공간 측에 명백한 미분동형 공분산이 없기 때문에 양자 중력 이론으로 보이지 않는다. 또한 반 더시터르 공간의 이중 원뿔과 연관된 대수가 자명하지 않은 경우(즉, 항등원 이외의 원소를 포함하는 경우) 해당 등각장론은 기본 인과관계를 충족하지 않는다. 이를 통해 현실적인 등각장론의 반 더시터르 공간 레렌 쌍대에는 국소적 자유도가 없다는 결론을 내릴 수 있다(쐐기는 컴팩트하지 않다).
3. AdS/CFT 대응과의 차이점
AdS/CFT 대응과 비교했을 때, 레렌 쌍대성은 다음과 같은 주요 차이점을 보인다.
레렌 쌍대 이론은 반 더시터르 공간 측에 명백한 미분동형 공분산이 없기 때문에 양자 중력 이론으로 보이지 않는다. 또한, 반 더시터르 공간의 이중 원뿔과 연관된 대수가 자명하지 않은 경우(즉, 항등원 이외의 원소를 포함하는 경우) 해당 등각장론은 기본 인과관계를 충족하지 않는다.
3. 1. 연산자와 소스
AdS/CFT에서 벌크 장의 경계 값은 경계 이론 연산자의 "소스" 역할을 하지만, 레렌 쌍대성에서는 벌크 장의 경계 값이 경계 이론의 연산자 "자체"이다.3. 2. 중력의 유무
AdS/CFT에서 벌크 이론은 필연적으로 중력 이론을 포함한다. 경계 이론의 보존된 응력 텐서의 소스는 벌크 계량 텐서의 경계 값이다. 반면 레렌 쌍대성에서 벌크 이론은 '일반적인'(비중력) 양자장 이론이다.3. 3. 국소 자유도
반 더시터르 공간(AdS)의 이중 원뿔과 연관된 대수가 자명하지 않은 경우(즉, 항등원 이외의 원소를 포함하는 경우), 해당 등각장론(CFT)은 원시 인과성을 만족하지 않는다. 이를 통해 현실적인 등각장론의 반 더시터르 공간 레렌 쌍대는 국소적 자유도가 없다는 결론을 내릴 수 있다(쐐기는 콤팩트하지 않다).4. 참고 문헌
- Algebraic Holography영어, Karl-Henning Rehren|카를헤닝 레렌de Annales Henri Poincaré영어, 2000, 1권, 4호, 607–623쪽, [https://arxiv.org/abs/hep-th/9905179 arXiv:hep-th/9905179]
- Pre-holography영어, Bernard S. Kay|버나드 S. 케이영어, Peter Larkin|피터 라킨영어, Physical Review D영어, 2008년 6월 18일, 77권, 12호, 121501(R)쪽, [https://arxiv.org/abs/0708.1283 arXiv:0708.1283]
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