반 더시터르 공간

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의 및 성질
3. 좌표계
4. 반 더시터르 공간 위에서의 양자장론
5. 역사
6. AdS/CFT 대응성
참조

1. 개요

반 더시터르 공간은 음의 우주 상수를 갖는 아인슈타인 방정식의 해로, 민코프스키 공간에 등거리로 매립될 수 있는 부분 공간이다. 이 공간은 시간꼴 폐곡선을 포함할 수 있어, 물리학에서는 범피복 공간을 주로 사용한다. 반 더시터르 공간은 다양한 좌표계를 가지며, 양자장론, 초대칭, 음수 제곱 질량, 블랙홀 열역학 등에서 독특한 특징을 보인다. 특히 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 하며, 빌럼 드 시터르의 이름을 따서 명명되었다.

더 읽어볼만한 페이지

일반 상대성 이론의 엄밀해 - 슈바르츠실트 계량
슈바르츠실트 계량은 전하와 자하가 0인 정적이고 구면 대칭을 가지는 회전하지 않는 구형 별 또는 블랙홀을 나타내는 시공간의 계량으로, 아인슈타인 방정식의 해이며 블랙홀의 질량에 따라 사건 지평선을 가지는 특징을 보인다.
일반 상대성 이론의 엄밀해 - 정적 우주
정적 우주는 우주가 팽창하거나 수축하지 않는다고 가정하는 우주 모형이었으나, 아인슈타인이 제시하고 우주 상수를 도입했음에도 허블 법칙 발표 이후 폐기되었으며, 현대 우주론에서 암흑 에너지 개념으로 부활하기도 한다.
미분기하학 - 가우스 곡률
가우스 곡률은 3차원 유클리드 공간에 놓인 곡면의 두 주곡률의 곱으로, 곡면의 형태를 나타내는 지표이며 곡면 자체의 길이 측정만으로 결정되는 내재적인 값이다.
미분기하학 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

반 더시터르 공간
개요
쌍곡선 공간에 내장된 AdS 공간의 표현. 경계는 원통 표면이다.
유형	최대칭 공간
부호	로렌츠
곡률	음의 상수 스칼라 곡률
대칭군	O(p+1, 2)
관련 개념	더 시터르 공간
상세 정보
정의	음의 우주 상수 Λ을 가진 진공 아인슈타인 방정식의 최대칭 로렌츠 해
차원	n차원
계량	ds² = -(1 + r²/L²)dt² + dr²/(1 + r²/L²) + r²dΩ²_{n-2}
특징	등거리 변환 그룹은 O(p+1, 2)이다. 공식적 경계를 가진다.
활용	끈 이론 M-이론 AdS/CFT 대응성 응집물질물리학

2. 정의 및 성질

반 더시터르 공간은 특정 부호수를 가지는 민코프스키 공간에 등거리 묻기를 통해 정의된다. 이 공간은 일반 상대성 이론과 AdS/CFT 쌍대성에서 중요한 개념으로 다루어진다.

일반 상대성 이론에서 중력은 물질이나 에너지의 존재로 인해 발생하는 시공간의 곡률로 설명되며, 이는 음의 곡률을 갖는 반 더시터르 공간으로 표현될 수 있다. 반 더시터르 공간은 우주 상수와도 관련이 있는데, 음의 우주 상수를 갖는 경우에 해당하며, 이는 양의 우주 상수를 갖는 드시터르 공간과는 대조적이다.

2. 1. 정의

부호수가

(p,q)

인 반 더시터르 공간은 부호수가

(p,q+1)

인 민코프스키 공간에 국소적으로 등거리 묻기가 가능하다.

(p,q+1)

-민코프스키 공간의 계량 형식은 다음과 같다.

:

ds^2 = \sum_{i=1}^p dx_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} dt_j^2

이 때, '''반 더시터르 공간'''은 다음 식을 만족하는 부분공간으로 정의할 수 있다.

:

\sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{j=1}^{q+1} t_j^2 = -\alpha^2

여기서

\alpha>0

는 양의 실수로, '''반 더시터르 반지름'''(anti-de Sitter radius^영어)이라고 불린다. 즉, 반 더시터르 공간은 민코프스키 공간에서의 구이다.

q=0

이면 이는 일반적인 쌍곡공간이 된다.

2. 2. 시간꼴 폐곡선과 범피복 공간

q \ge 1

인 경우, 반 더시터르 공간은 시간꼴 폐곡선(closed timelike curve)을 가질 수 있다.

q=1

인 경우, 범피복 공간을 취하여 시간꼴 폐곡선을 없앨 수 있다. (

q>1

인 경우는 그렇지 않다.)^[5] 시간꼴 폐곡선은 물리학적으로 역설적인 상황을 야기하므로, 일반적으로 물리학에서는 범피복 공간을 취하여 이러한 문제를 해결한다. 예를 들어,

t_1 = \alpha \sin(\tau), t_2 = \alpha \cos(\tau),

로 매개변수화되고 다른 모든 좌표가 0인 경로는 그러한 곡선이다.

q \ge 2

인 경우, 이 곡선들은 기하학에 고유하다.

2. 3. 등거리변환군

반 더시터르 공간의 등거리변환군은 범피복 공간을 취하지 않은 경우

O(p,q+1)

이다. 범피복 공간을 취한 경우, 등거리변환군은

O(p,q+1)

의 어떤 피복군이 된다.

이는 반 더시터르 공간을 대칭 공간으로 정의함으로써 가장 쉽게 이해할 수 있다. 2-구가 두 직교군의 몫으로 표현될 수 있는 것처럼, 반 더시터르 공간은 두 일반화된 직교군의 몫으로 볼 수 있다.

:

\mathrm{AdS}_n = { \mathrm{O}(2,n-1) } / { \mathrm{O}(1,n-1) }

P 또는 C가 없는 AdS는 스핀 군의 몫으로 볼 수 있다.

:

{ \mathrm{Spin}^+(2,n-1) } / { \mathrm{Spin}^+(1,n-1) }

2. 4. 등각 경계

반 더시터르 공간은 시간꼴 등각 경계를 가진다. ''n''차원 반 더시터르 공간의 등각 경계는 위상수학적으로

S^{n-1}\times S^1

이고,^[9]^[10] 범피복 공간을 취하면

S^{n-1}\times\mathbb R

이다. 등각 경계가 시간꼴이므로, 반 더시터르 공간은 코시 곡면을 가지지 않는다. 따라서 주어진 시간에 초기 조건을 설정해도, 등각 경계에 경계 조건을 부여하지 않으면 초기값 문제를 풀 수 없다.

특히, 빛의 속력으로 움직이는 입자는 유한 시간 안에 반 더시터르 공간의 등각 경계에 도달할 수 있다. 정적 좌표계에서 입자의 궤적이

r(t)

라고 할 때, 입자가 빛의 속력으로 움직이므로

:

0=ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2

이다. 따라서

:

t(r)=\int\frac{dr}{1+r^2/\alpha^2}=\alpha\arctan(r/\alpha)

이고,

:

r(t)=\alpha\tan(t/\alpha)

이다. 즉, 원점

r=0

에서 등각 경계

r=\infty

에 도달하기까지 걸리는 시간은

:

t=\frac\pi2\alpha

임을 알 수 있다.

2. 5. 푸앵카레 조각

푸앵카레 조각(Poincaré patch^영어)은 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 반 더시터르 공간의 부분공간이다. 푸앵카레 조각의 등각 경계는 ''n''-1차원 민코프스키 공간이며, AdS_''n''의 등거리사상군 SO(''n''-1,2)는 이 민코프스키 공간의 등각변환군으로 작용한다. 이는 AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다.^[9]

반 더시터르 공간의 일부분을 덮는 좌표 패치로부터 반 더시터르 공간의 좌표화가 얻어진다. 이 패치에 대한 계량 텐서는 다음과 같다.

:

ds^2=\frac{1}{y^2}\left(-dt^2+dy^2+\sum_idx_i^2\right),

여기서

y>0

이면 반 공간이 얻어진다. 이 계량은 평탄한 민코프스키 시공간의 반 공간과 등각 합동이다.

이 좌표 패치의 일정한 시간 슬라이스는 푸앵카레 반 공간 계량에서의 쌍곡 공간이 된다.

y\to 0

의 극한에서는 이 반 공간 계량은 민코프스키 계량

ds^2=-dt^2+\sum_idx_i^2

과 등각 합동이다. 이처럼, 반 더시터르 공간은 무한대에서 등각적인 민코프스키 공간을 포함한다("무한대"란 이 패치에서의 y 좌표가 0인 점을 포함한다).

AdS 공간에서 시간은 주기적인 반면, 그 보편 피복은 비주기적인 시간을 갖는다. 위의 좌표 패치는 시공간의 반 주기를 덮는다.

다음 매개변수 표시에 의해,

:

\begin{cases}X_1=\frac{\alpha^2}{2r}(1+\frac{r^2}{\alpha^4}(\alpha^2+\vec{x}^2-t^2) ) \\X_2=\frac{r}{\alpha}t \\X_i=\frac{r}{\alpha}x_i \qquad i\in \{3,\cdots , n\}\\X_{n+1}= \frac{\alpha^2}{2r}(1-\frac{r^2}{\alpha^4}(\alpha^2-\vec{x}^2+t^2) )\end{cases}

푸앵카레 좌표에서의

\mathrm{AdS}_n

계량은 다음과 같다.

:

d s^2 = - \frac{r^2}{\alpha^2} \, d t^2 + \frac{\alpha^2}{r^2} \, d r^2 + \frac{r^2}{\alpha^2} \, d \vec{x}^2

여기서

0 \leq r

이다. 여차원 2의 표면

r=0

은 푸앵카레-킬링 지평선이며,

r\to \infty

에서

\mathrm{AdS}_n

다양체의 경계에 접근하기 때문에, 글로벌 좌표와는 달리 푸앵카레 좌표는

\mathrm{AdS}_n

다양체 모두를 덮지 않는다.

u\equiv\frac{r}{\alpha^2}

를 사용하면, 이 경로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

d s^2=\alpha^2 \left( \frac{\,d u^2}{u^2} + u^2(\,d x_\mu \, d x^\mu) \right)

여기서

x^\mu=(t,\vec{x})

이다. 변환

z\equiv\frac{1}{u}

에 의해, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

d s^2 = \frac{\alpha^2}{z^2}(\,d z^2 + \, d x_\mu \,d x^\mu)

3. 좌표계

반 더시터르 공간에는 여러 좌표계를 정의할 수 있다. 흔히 쓰이는 좌표계는 다음과 같다.

전역 좌표계 (Global Coordinates)

\mathrm{AdS}_n

은 전역 좌표계에서 다음과 같은 매개변수

(\tau,\rho,\theta,\varphi_1,\cdots,\varphi_{n-3})

로 표현할 수 있다.

:

\begin{cases}    X_1=\alpha\cosh\rho \cos \tau\\    X_2=\alpha\cosh \rho \sin \tau\\    X_i=\alpha \sinh \rho \,\hat{x}_i \qquad \sum_i \hat{x}_i^2=1    \end{cases}

여기서

\hat{x}_i

는

S^{n-2}

구면의 매개변수이다. 즉,

\hat{x}_1=\sin \theta \sin \varphi _1 \dots \sin\varphi _{n-3}

,

\hat{x}_2=\sin \theta \sin \varphi _1 \dots \cos\varphi _{n-3}

,

\hat{x}_3=\sin \theta \sin \varphi _1 \dots \cos\varphi _{n-2}

등이 된다. 이 좌표계에서의

\mathrm{AdS}_n

의 계량은 다음과 같다.

:

d s^2=\alpha^2(-\cosh^2 \rho \, d \tau^2 + \, d \rho^2 + \sinh ^2 \rho \, d \Omega_{n-2}^2)

여기서

\tau \in [0,2\pi]

이며

\rho \in \mathbb{R}^+

이다. 시간

\tau

의 주기성을 고려하면, 시간적 닫힌 곡선 (CTC)을 피하기 위해 보편 피복

\tau \in \mathbb{R}

를 취할 필요가 있다. 극한

\rho \to \infty

에서 보통

\mathrm{AdS}_n

등각 경계라고 불리는, 이 시공간의 경계에 도달한다.

r\equiv\alpha\sinh \rho

와

t\equiv\alpha\tau

라는 변환을 통해, 전역 좌표에서의 일반적인

\mathrm{AdS}_n

계량을 얻을 수 있다.

:

d s^2=-f(r) \, d t^2+\frac{1}{f(r)} \, d r^2+r^2 \, d \Omega_{n-2}^2

여기서

f(r)=1+\frac{r^2}{\alpha^2}

이다.

이 밖에 푸앵카레 좌표계, 정적 좌표계, 동시 좌표계 등등이 있다.

3. 1. 푸앵카레 좌표계

'''푸앵카레 좌표계'''(Poincaré coordinates^영어)를 사용하면 AdS_''n''의 계량 텐서는 다음과 같이 표현된다.

:

ds^2=\frac{\alpha^2}{z^2}\left(-dt^2+dz^2+\sum_{i=1}^{n-2}(dx^i)^2\right)

반 더시터르 공간의 경계는

z=0

에 위치한다. 푸앵카레 좌표계는 반 더시터르 공간 전체를 덮지 않는다. 하나의 푸앵카레 좌표계로 나타낼 수 있는 부분공간을 '''푸앵카레 조각'''(Poincaré patch^영어)이라고 한다. 범피복 공간을 취하지 않았을 경우 반 더시터르 공간은 두 개의 푸앵카레 조각으로 이루어진다.

반 더시터르 공간(의 범피복 공간)의 형상화. 반 더시터르 공간은 원기둥의 내부에 해당하고, 그 등각 경계는 원기둥의 표면이다. 푸앵카레 조각은 녹색으로 칠해진 부분이다. 푸앵카레 조각의 표면은 마름모꼴인데, 이는 민코프스키 공간의 펜로즈 그림에 해당한다.

다음 매개변수 표시를 사용하면,

:

\begin{cases}X_1=\frac{\alpha^2}{2r}(1+\frac{r^2}{\alpha^4}(\alpha^2+\vec{x}^2-t^2) ) \\X_2=\frac{r}{\alpha}t \\X_i=\frac{r}{\alpha}x_i \qquad i\in \{3,\cdots , n\}\\X_{n+1}= \frac{\alpha^2}{2r}(1-\frac{r^2}{\alpha^4}(\alpha^2-\vec{x}^2+t^2) )\end{cases}

푸앵카레 좌표에서의

\mathrm{AdS}_n

계량은 다음과 같다.

:

d s^2 = - \frac{r^2}{\alpha^2} \, d t^2 + \frac{\alpha^2}{r^2} \, d r^2 + \frac{r^2}{\alpha^2} \, d \vec{x}^2

여기서

0 \leq r

이다. 여차원 2의 표면

r=0

은 푸앵카레-킬링 지평선이며,

r\to \infty

에서

\mathrm{AdS}_n

다양체의 경계에 접근하기 때문에, 글로벌 좌표와는 달리 푸앵카레 좌표는

\mathrm{AdS}_n

다양체 모두를 덮지 않는다.

u\equiv\frac{r}{\alpha^2}

를 사용하면, 이 경로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

d s^2=\alpha^2 \left( \frac{\,d u^2}{u^2} + u^2(\,d x_\mu \, d x^\mu) \right)

여기서

x^\mu=(t,\vec{x})

이다.

변환

z\equiv\frac{1}{u}

에 의해, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

d s^2 = \frac{\alpha^2}{z^2}(\,d z^2 + \, d x_\mu \,d x^\mu)

3. 2. 정적 좌표계

정적 좌표계(static coordinates^영어)를 사용하면 AdS_''n''의 계량 텐서는 다음과 같이 표현된다.

:

ds^2=-(r^2/\alpha^2+1)dt^2+(r^2/\alpha^2+1)^{-1}dr^2+r^2d\Omega_{n-2}^2

이 좌표계는 반 더시터르 공간 전체를 덮으며, 경계는

r=\infty

에 위치한다.

3. 3. 동시 좌표계

synchronous coordinate|동시 좌표계^영어를 사용하면 반 더시터르 공간 AdS_''n''을 쌍곡공간 ''H''_''n''−1로 엽층을 줄 수 있다. 이는 FLRW 계량의 특수한 경우다.

:

ds^2=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(ds^2+(\sinh^2s)d\Omega_{n-2}^2\right)

:

=-dt^2+\alpha^2\sin^2(t/\alpha)\left(\frac{dr^2}{1+r^2/\alpha^2}+r^2d\Omega_{n-2}^2\right)

이 좌표계는 반 더시터르 공간의 일부만을 덮는다.

4. 반 더시터르 공간 위에서의 양자장론

반 더시터르 공간에서의 양자장론은 민코프스키 공간이나 더시터르 공간과는 다른 특징을 가진다. 민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱( $m^2$ )이 항상 음수가 아니어야 하며, 음수인 경우는 타키온이라 불리며 진공의 불안정성을 나타낸다. 하지만 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다.

$d$ 차원 반 더시터르 공간에서 제곱 질량이 다음 조건을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다.^[13]

: $m^2\ge-\frac{(d-1)^2\hbar^2c^2}{4\alpha^2}$

이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한(Breitenlohner–Freedman bound^영어)이라고 하며, 페터 브라이텐로너와 대니얼 프리드먼이 1982년에 발견하였다.^[14]^[15]

만약 다음 조건을 만족하면,

: $-(d-1)^2/4\le m^2c^2/\hbar^2\le 1-(d-1)^2/4$

자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. ( $m^2>1-(d-1)^2/4$ 라면 양자화는 유일하다.)

반 더시터르 공간 속의 블랙홀은 최소 온도( $T_0\sim\frac{\hbar c}{k_B\alpha}$ )를 가진다.^[16]

4. 1. 초대칭

더시터르 공간과 달리, 반 더시터르 공간에서는 초대칭이 존재할 수 있다.^[11]^[12] 특히 특정 차원에서는 32개의 초전하(supercharge)를 가지는 초대칭이 존재하며, 이 경우 일중항(singlet) 표현은 다음과 같다.

공간	초군(supergroup)	초군의 보손 부분군	대응하는 막	일중항
AdS₄×S⁷	OSp(8\|4)	SO(3,2)×SO(8)	M2-막	스칼라 (×8), 스피너 (×8)
AdS₅×S⁵	PSU(2,2\|4)	SO(4,2)×SO(6)	D3-막	벡터 (×1), 스피너 (×4), 스칼라 (×6)
AdS₇×S⁴	OSp(6,2\|4)	SO(6,2)×SO(5)	M5-막	손지기(chiral) 2차 미분형식 (×2), 스피너 (×8), 스칼라 (×5)

이러한 기하학은 끈 이론 또는 M이론에서 나타나는 막(brane)들의 사건 지평선 근처 기하학과 관련이 있으며, AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

4. 2. 음수 제곱 질량

민코프스키 공간에서는 불변 질량의 제곱

m^2

이 항상 음이 아닌 실수여야 한다. 제곱 질량이 음수인 경우는 타키온이라고 하며, 이는 진공의 불안정성을 나타낸다. 즉, 이러한 경우는 진공이 더 안정한, 타키온을 포함하지 않는 진공으로 붕괴하게 된다. 반면 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이 음수인 경우가 가능하다. 즉,

d

차원 반 더시터르 공간에서는 제곱 질량이

:

m^2\ge-\frac{(d-1)^2\hbar^2c^2}{4\alpha^2}

을 만족하면 일관적인 이론을 정의할 수 있다.^[13] 이 부등식을 브라이텐로너-프리드먼 하한(Breitenlohner–Freedman bound^영어)이라고 하고, 페터 브라이텐로너(Peter Breitenlohner)와 대니얼 프리드먼(Daniel Z. Freedman)이 1982년에 발견하였다.^[14]^[15] 만약

:

-(d-1)^2/4\le m^2c^2/\hbar^2\le 1-(d-1)^2/4

인 경우 자유 스칼라장을 경계 조건에 따라 서로 다른 두 가지 방법으로 양자화할 수 있다. (

m^2>1-(d-1)^2/4

라면 양자화는 유일하다.)

반 더시터르 공간에서 음수 제곱 질량이 가능하다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 중요한 역할을 한다.

4. 3. 블랙홀과 열역학

반 더시터르 공간 속의 블랙홀은 최소 온도를 가진다.^[16] 이 온도는 대략 다음과 같다.

:

T_0\sim\frac{\hbar c}{k_B\alpha}

5. 역사

반 더시터르 공간과 드 시터르 공간은 네덜란드의 천문학자이자 라이덴 대학교 교수 겸 라이덴 천문대 천문대장이었던 빌럼 더시터르(1872–1934)의 이름을 따서 명명되었다.^[5] 빌럼 더시터르는 알베르트 아인슈타인과 1920년대에 라이덴에서 우주의 시공간 구조에 대해 공동 연구를 진행했다.

6. AdS/CFT 대응성

AdS/CFT 대응성은 끈 이론에서 1차원을 더한 반 더시터르 공간의 끈 이론이 특정 차원(예: 4차원)에서 전자기력, 약력, 강력과 같은 양자역학적 힘을 설명할 수 있다는 이론이다.^[2] 이는 반 더시터르 공간이 관측된 우주 상수를 가진 일반 상대성 이론의 중력에는 대응되지 않지만, 양자역학의 다른 힘(전자기력, 약력, 강한 핵력 등)에는 대응된다는 것을 뜻한다.^[4]

이와 같이 반 더시터르 공간은 무한대에서 민코프스키 공간과 공형 합동이다.^[5] AdS 공간에서 시간은 주기적이지만, 그 보편 피복은 비주기적인 시간을 가진다.^[6] AdS의 공형적 무한대는 시간적이므로, 공형적 무한대에 대한 경계 조건이 없으면 공간적인 초표면에서 첫 번째 정보를 특정하더라도 미래의 시간 발전은 유일하게 결정되지 않는다.^[7]

옆 그림은 반 더시터르 공간의 "반 공간" 영역과 그 경계를 나타낸다. 원통 내부는 반 더 시터르 시공간에 대응하고, 원통 경계면은 그 공간의 공형적 경계에 대응한다.^[8]

참조

_[1] 논문 A Remarkable Representation of the 3 + 2 de Sitter Group https://pubs.aip.org[...] AIP Publishing 1963
_[2] 간행물 Case of the Anti-de Sitter Group https://www.degruyte[...] De Gruyter 2023-11-01
_[3] 웹사이트 singleton representation in nLab https://ncatlab.org/[...] 2023-11-01
_[4] 논문 DBI in the IR https://dx.doi.org/1[...] 2020-01-07
_[5] citation Anti-de Sitter space http://3dhouse.se/in[...] 1998
_[6] 논문 Weakly Turbulent Instability of Anti-de Sitter Spacetime https://journals.aps[...]
_[7] 뉴스 Black Holes Help Prove That a Special Kind of Space-Time Is Unstable https://www.quantama[...] 2020
_[8] arXiv A proof of the instability of AdS for the Einstein–massless Vlasov system 2018
_[9] 저널 Anti-de Sitter boundary in Poincare coordinates
_[10] 저널
_[11] 서적
_[12] 저널
_[13] 저널
_[14] 저널
_[15] 저널
_[16] 저널 http://projecteuclid[...]

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com