등급 다양체

3. 성질

등급 다양체는 기하학적 구조와 대수적 구조가 결합된 중요한 수학적 대상으로, 그 구조층은 특정 벡터 다발의 외대수와 깊은 관련이 있다. 이는 '''배칠러 정리'''와 세르-스완 정리와 같은 중요한 정리를 통해 구체화된다.

또한, 등급 다양체는 초다양체나 매끄러운 벡터 다발과 같은 다른 수학적 대상과의 관계를 설명하는 망각 함자 및 그 수반 함자를 통해 연구될 수 있다. 이러한 함자들은 등급 구조의 특정 정보를 '잊거나' 다른 구조로 변환하는 과정을 나타낸다. 예를 들어, 자연수($\backslash mathbb\; N$) 등급을 정수 모듈러 2($\backslash mathbb\; Z/(2)$) 등급으로 잊어 초다양체로 가거나, 등급 1의 성분만을 기억하여 매끄러운 벡터 다발로 가는 망각 함자들이 존재한다. 특정 망각 함자는 왼쪽 수반 함자를 가지기도 한다.

3. 1. 배칠러 정리 및 세르-스완 정리

3. 2. 망각 함자의 수반 함자

• 등급 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{grDiff\}$에서 초다양체의 범주 $\backslash operatorname\{superDiff\}$를 거쳐 매끄러운 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{Diff\}$로 가는 망각 함자:

• 등급 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{grDiff\}$에서 양의 정수 등급을 가진 매끄러운 벡터 다발의 범주 $\backslash operatorname\{grVect\}\_\{\backslash mathbb\; Z^+\}$를 거쳐 일반적인 매끄러운 벡터 다발의 범주 $\backslash operatorname\{Vect\}$, 그리고 매끄러운 다양체의 범주 $\backslash operatorname\{Diff\}$로 가는 망각 함자:

4. 등급 함수

배칠러 동형사상은 일반적으로 표준적(canonical)이지 않지만, 처음부터 하나를 고정하는 경우가 많다. 이 경우, 벡터 다발 $E\backslash to\; Z$의 모든 자명화 차트 $(U;\; z^A,y^a)$는 등급 다양체 $(Z,A)$의 분할 영역 $(U;\; z^A,c^a)$을 정의하게 된다. 여기서 $\backslash \{c^a\backslash \}$는 벡터 다발 $E$의 올(fiber)들의 기저이다.

이러한 분할 영역 $(U;\; z^A,c^a)$ 위에서 정의되는 등급 함수 $f$는 그라스만 대수 $\backslash Lambda(V)$의 값을 가지는 함수로 생각할 수 있다. 구체적인 형태는 다음과 같다.

$f=\backslash sum\_\{k=0\}^m\; \backslash frac1\{k!\}f\_\{a\_1\backslash ldots\; a\_k\}(z)c^\{a\_1\}\backslash cdots\; c^\{a\_k\}$

여기서 각 계수 $f\_\{a\_1\backslash cdots\; a\_k\}(z)$는 영역 $U$ 위에서 정의된 매끄러운 함수이며 실수 값을 가진다. $c^a$ 항들은 그라스만 대수 $\backslash Lambda(V)$를 생성하는 홀수(odd) 원소들이다. 즉, 등급 함수는 국소적으로 좌표 $z^A$에 의존하는 매끄러운 함수들을 계수로 가지고, 홀수 변수 $c^a$들의 다항식으로 표현된다.

5. 등급 벡터장

등급 다양체 $(Z,A)$가 주어졌을 때, 등급 함수 $A(Z)$의 구조 환의 등급 도함수는 $(Z,A)$에 대한 등급 벡터장이라고 불린다. 이 등급 벡터장들은 슈퍼 괄호 연산을 통해 실수 리 초대수 $\backslash partial\; A(Z)$를 형성한다. 슈퍼 괄호는 다음과 같이 정의된다.

: $[u,u\text{'}]=u\backslash cdot\; u\text{'}-(-1)^\{[u][u\text{'}]\}u\text{'}\backslash cdot\; u$

여기서 $[u]$는 등급 벡터장 $u\; \backslash in\; \backslash partial\; A(Z)$의 그라스만 패리티(Grassmann parity)를 나타낸다.

등급 벡터장은 국소 좌표계에서 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

: $u=\; u^A\backslash partial\_A\; +\; u^a\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; c^a\}$

등급 벡터장은 등급 함수 $f$에 다음과 같은 규칙에 따라 작용한다.

: $u(f\_\{a\_1\backslash ldots\; a\_k\}c^\{a\_1\}\backslash cdots\; c^\{a\_k\})=u^A\backslash partial\_A(f\_\{a\_1\backslash ldots\; a\_k\})c^\{a\_1\}\backslash cdots\; c^\{a\_k\}+\; \backslash sum\_i\; u^\{a\_i\}(-1)^\{i-1\}\; f\_\{a\_1\backslash ldots\; a\_k\}c^\{a\_1\}\backslash cdots\; c^\{a\_\{i-1\}\}c^\{a\_\{i+1\}\}\backslash cdots\; c^\{a\_k\}$

6. 등급 외형식

등급 벡터장 $\backslash partial\; A(Z)$의 $A(Z)$-쌍대 공간은 등급 외형 1-형식의 모듈 $O^1(Z)$이라고 한다. 등급 외형 1-형식은 국소적으로 다음과 같이 표현된다.

$\backslash phi=\backslash phi\_A\; dz^A\; +\; \backslash phi\_adc^a$

따라서 등급 벡터장 $\backslash partial\; A(Z)$와 등급 외형 1-형식 $O^1(Z)$ 사이의 쌍대 곱(내부 곱)은 아래와 같다.

$u\backslash rfloor\; \backslash phi=u^A\backslash phi\_A\; +\; (-1)^\{[\backslash phi\_a]\}u^a\backslash phi\_a$

여기서 $[\; \backslash cdot\; ]$는 등급을 나타낸다.

등급 외형 곱은 다음 관계식으로 정의된다.

$dz^A\backslash wedge\; dc^i=-dc^i\backslash wedge\; dz^A,\; \backslash qquad\; dc^i\backslash wedge\; dc^j=\; dc^j\backslash wedge\; dc^i$

이러한 등급 1-형식들은 등급 다양체 위의 등급 외대수 $O^*(Z)$를 생성한다. 이 대수의 원소들은 다음 교환 관계를 만족한다.

$\backslash phi\backslash wedge\backslash phi\text{'}=(-1)^\{|\backslash phi||\backslash phi\text{'}|\; +[\backslash phi][\backslash phi\text{'}]\}\backslash phi\text{'}\backslash wedge\backslash phi$

여기서 $|\backslash phi|$는 형식 $\backslash phi$의 형식 차수(form degree)를 나타낸다.

등급 외형 대수 $O^*(Z)$는 등급 외형 미분 $d$에 대해 미분 등급 대수를 이룬다. 등급 외형 미분은 다음과 같이 정의된다.

$d\backslash phi=\; dz^A\; \backslash wedge\; \backslash partial\_A\backslash phi\; +dc^a\backslash wedge\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; c^a\}\backslash phi$

여기서 미분 연산자 $\backslash partial\_A$와 $\backslash partial/\backslash partial\; c^a$는 등급 형식 $dz^A$, $dc^a$와 등급 가환(graded commutative) 관계를 가진다. 등급 외형 미분 $d$는 다음과 같은 라이프니츠 규칙을 만족한다.

$d(\backslash phi\backslash wedge\backslash phi\text{'})=d(\backslash phi)\backslash wedge\backslash phi\text{'}\; +(-1)^$