3. 성질
리 초대수 \(\mathfrak g\)는 가군으로서 등급이 0(보손)인 부분 가군 \(\mathfrak g_0\)과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 \(\mathfrak g_1\)의 직합이다. \(\mathfrak g_0\)는 리 대수를 이루고, \(\mathfrak g_1\)은 \(\mathfrak g_0\)의 표현을 이룬다. 또한, \(\mathfrak g_1\)은 다음과 같은 가환 비결합 괄호를 갖는다.[3]
:\(\{\cdot,\cdot\}\colon\mathfrak g_1\otimes\mathfrak g_1\to\mathfrak g_0\)
자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.
리 초대수 \(\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1\)에서 야코비 항등식은 인수가 짝수인지 홀수인지에 따라 여덟 가지 경우가 있으며, 홀수 원소의 개수로 색인화되는 네 가지 클래스로 나뉜다.[3]
# 홀수 원소가 없는 경우, \(\mathfrak g_0\)는 일반적인 리 대수이다.
# 홀수 원소가 하나인 경우, \(\mathfrak g_1\)은 \(\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1\) 작용에 대한 \(\mathfrak g_0\)-가군이다.
# 홀수 원소가 둘인 경우, 야코비 항등식은 괄호 \(\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0\)이 ''대칭'' \(\mathfrak g_1\)-사상임을 나타낸다.
# 홀수 원소가 셋인 경우, 모든 \(b \in \mathfrak g_1\)에 대해, \([b,[b,b]] = 0\)이다.
리 초대수의 짝수 부분 대수 \(\mathfrak g_0\)는 모든 부호가 사라지고 초괄호가 일반적인 리 괄호가 되므로 (정규) 리 대수를 형성한다. \(\mathfrak g_1\)은 \(\mathfrak g_0\)의 선형 표현이며, 다음 조건을 만족하는 대칭 \(\mathfrak g_0\)-등변 선형 사상 \(\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0\)이 존재한다.
:\([\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.\)
조건 (1)–(3)은 선형이며 일반적인 리 대수의 관점에서 모두 이해할 수 있다. 조건 (4)는 비선형이며, 일반적인 리 대수(\(\mathfrak g_0\))와 표현(\(\mathfrak g_1\))에서 시작하여 리 초대수를 구성할 때 확인하기가 가장 어렵다.
단순 복소 유한 차원 리 초대수들은 빅토르 카츠에 의해 분류되었다.[6]
(리 대수를 제외하고) 다음과 같다.
- '''특수 선형 리 초대수''' \(\mathfrak{sl}(m|n)\): 초-대각합이 0인 행렬로 구성된 \(\mathfrak{gl}(m|n)\)의 부분 대수이다. \(m\not=n\)일 때 단순하다. \(m=n\)이면 항등 행렬 \( I_{2m} \)이 아이디얼을 생성한다. 이 아이디얼로 나눈 \(\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle\)는 \(m \geq 2\)일 때 단순하다.
- '''직교 심플렉틱 리 초대수''' \(\mathfrak{osp}(m|2n)\): \(\mathbb{C}^{m|2n}\)에 짝수이고 비퇴화이며, 초-대칭 쌍선형 형식 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\)을 불변으로 유지하는 행렬로 구성된 \(\mathfrak{gl}(m|2n)\)의 부분 대수이다. 짝수 부분은 \(\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)\)으로 주어진다.
:\(\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^ \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}.\)
- '''예외 리 초대수''' \(D(2,1;\alpha)\): 매개변수 \(\alpha\)에 의존하는 (9∣8) 차원 리 초대수의 집합이다. \(\alpha\not=0\)이고 \(\alpha\not=-1\)이면 D(2,1,\alpha)는 단순하다. \(\alpha\)와 \(\beta\)가 \(\alpha \mapsto \alpha^{-1}\) 및 \(\alpha \mapsto -1-\alpha\) 맵 아래에서 동일한 궤도에 있으면 \(D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)\)이다.
- '''예외 리 초대수''' \(F(4)\): 차원은 (24|16)이다. 짝수 부분은 \(\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)\)으로 주어진다.
- '''예외 리 초대수''' \(G(3)\): 차원은 (17|14)이다. 짝수 부분은 \(\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2\)로 주어진다.
- \(\mathfrak{pe}(n)\)과 \(\mathfrak{q}(n)\)이라고 하는 두 개의 소위 '''이상한''' 계열도 있다.
- '''카르탕 유형''': \(W(n)\), \(S(n)\), \(\widetilde{S}(2n)\) 및 \(H(n)\)의 네 가지 계열로 나눌 수 있다. 단순 리 초대수의 카르탕 유형의 경우, 홀수 부분은 더 이상 짝수 부분의 작용에 따라 완전히 기약적이지 않다.
4. 종류
다양한 종류의 리 초대수가 존재하며, 이들은 수학적 구조와 물리학적 응용에 따라 분류된다.
- 아벨 초대수: 가환환 위의 임의의 두 가군 및 에 대해, 리 초괄호가 를 만족하면, 은 리 초대수를 이룬다.
- 일반·특수 선형 초대수: 초행렬로 구성된 리 초대수이다.
- 일반 선형 초대수 는 초행렬의 모임이다.[8]
- 특수 선형 리 초대수 는 초대각합이 0인 행렬로 구성된 의 부분 대수이다.
- 직교 심플렉틱 리 초대수: 에 짝수이고 비퇴화이며, 초-대칭 쌍선형 형식 을 불변으로 유지하는 행렬로 구성된 의 부분 대수이다.[6] 짝수 부분은 으로 주어진다.
- 예외 리 초대수: 빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수 가운데, 리 대수를 제외한 예외적인 리 초대수이다.[6]
- '''''': 매개변수 에 의존하는 (9∣8) 차원 리 초대수 집합.
- '''''': 차원이 (24|16)인 리 초대수. 짝수 부분은 으로 구성.
- '''''': 차원이 (17|14)인 리 초대수. 짝수 부분은 로 구성.
- 이상한 계열: 빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수에는 과 으로 표현되는 두 가지 이상한 계열이 있다.[6]
- 카르탕 유형: 빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수 중 카르탕 유형은 , , , 으로 표현되는 리 초대수들이다.[6]
4. 1. 아벨 초대수
가환환 위의 임의의 두 가군 및 이 주어졌을 때, 리 초괄호
:
를 주면, 은 리 초대수를 이룬다. 이를 '''아벨 리 초대수'''(Abelian Lie superalgebra영어)라고 한다.
4. 2. 일반·특수 선형 초대수
초행렬로 구성된 리 초대수이다.
초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
:
여기서 는 이고, 는 이다. 초행렬의 모임을 '''일반 선형 초대수''' (general linear Lie superalgebra)
이라고 쓴다.[8]
임의의 결합 초대수 가 주어지면, 균질 원소에 대한 초교환자를 다음과 같이 정의할 수 있다.
:
