리 초대수

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1. 개요

리 초대수는 가환환 위의 두 가군과 쌍선형 연산으로 구성되며, 리 괄호, 반대칭성, 야코비 항등식 등을 만족하는 대수 구조이다. 리 초대수의 짝수 부분은 리 대수를 이루고, 홀수 부분은 리 대수의 표현을 나타낸다. 리 초대수는 일반 선형 초대수, 푸아송 초대수, 초-푸앵카레 대수 등 다양한 종류가 있으며, 초대칭, BRST 대칭, 끈 이론 등 이론물리학의 여러 분야에 응용된다. 펠릭스 알렉산드로비치 베레진과 게오르기 이사코비치 카츠에 의해 1970년에 처음 도입되었다.

리 초대수

기본 정보

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리 초대수의 개념적 다이어그램. 리 대수의 리 괄호는 두 개의 홀수 요소를 결합하여 짝수 요소를 생성한다.

분야	수학, 물리학
하위 분야	대수학, 표현론, 초대칭

관련 구조	리 대수, 초대칭 대수, 클리퍼드 대수

2. 정의

가환환 $K$ 위의 리 초대수는 다음의 데이터로 주어진다.

* 두 $K$ -가군 $\mathfrak g_0$ , $\mathfrak g_1$ 의 직합 $\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1$ 는 $\mathbb Z/(2)=\{0,1\}$ -등급 가군으로, 순수 성분의 등급은 $\deg x\in\{0,1\}$ 로 표기한다.
* $K$ -쌍선형 연산 $[-,-]\colon\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\to\mathfrak g$ (일부 문헌에서는 $[-,-\}$ 로 표기)

이 데이터는 다음 공리들을 만족시켜야 한다. (이는 일반적인 $K$ -리 대수의 공리를 등급을 고려하여 일반화한 것이다.)

* 리 괄호의 등급: $\deg[x,y]=(\deg x+\deg y)\bmod2\qquad\forall x,y\in(\mathfrak g_0\cup\mathfrak g_1)\setminus\{0\}$
* 반대칭성: $[x,y]+(-1)^{\deg x\deg y}[y,x]=0 \qquad\forall x,y\in(\mathfrak g_0\cup\mathfrak g_1)\setminus\{0\}$
* 야코비 항등식: $(-1)^{\deg z\deg x}[x,[y,z]]+(-1)^{\deg x\deg y}[y,[z,x]]+(-1)^{\deg y\deg z}[z,[x,y]]=0 \qquad\forall x,y,z\in(\mathfrak g_0\cup\mathfrak g_1)\setminus\{0\}$

$K$ 에서 2가 가역원일 경우, $[x,x]=0\qquad\forall x\in\mathfrak g_0$ 는 반대칭성으로부터 자동 유도된다. $K$ 에서 3이 가역원일 경우, $[x,[x,x]]=0\qquad\forall x\in\mathfrak g_1$ 는 야코비 항등식으로부터 자동 유도된다. 즉, $K$ 가 표수가 2 또는 3이 아닌 체일 경우 이 조건들은 생략할 수 있다.

2.1. 리 초괄호

리 초대수의 핵심 연산은 리 초괄호(또는 초교환자)라고 불리는 곱 [·, ·]이며, 이는 다음 두 가지 조건을 만족시킨다.

* 초-왜곡 대칭성:

: $[x,y]=-(-1)^$

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[y,x].\
* 초 야코비 항등식:

:

(-1)^

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[x, [y, z]] + (-1)^

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[y, [z, x]] + (-1)^

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[z, [x, y]] = 0,

여기서 x, y, z는 Z₂-등급에서 순수하다. |x|는 x의 차수(0 또는 1)를 나타내며, [x,y]의 차수는 x와 y의 차수의 합을 2로 나눈 나머지이다.

|x| = 0인 경우

[x,x]=0

(2가 가역원이면 자동으로 성립)와 |x| = 1인 경우

[[x,x],x]=0

(3이 가역원이면 자동으로 성립)이라는 조건이 추가되기도 한다.

2.2. 등급 구조

리 초대수는 $\mathbb{Z}/(2) = \{0, 1\}$ -등급 가군으로, 짝수 부분( $\mathfrak{g}_0$ )과 홀수 부분( $\mathfrak{g}_1$ )으로 나뉜다.

가군으로서, 리 초대수 $\mathfrak{g}$ 는 그 등급이 0(보손)인 부분 가군 $\mathfrak{g}_0$ 과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 $\mathfrak{g}_1$ 의 직합이다. 이렇게 분해하면, $\mathfrak{g}_0$ 는 리 대수를 이루고, $\mathfrak{g}_1$ 은 $\mathfrak{g}_0$ 의 표현을 이룬다. 또한, $\mathfrak{g}_1$ 은 다음과 같은 가환 비결합 괄호를 가진다.
: $\{\cdot, \cdot\} \colon \mathfrak{g}_1 \otimes \mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_0$

3. 성질

리 초대수 $\mathfrak g$는 가군으로서 등급이 0(보손)인 부분 가군 $\mathfrak g_0$과 등급이 1(페르미온)인 부분 가군 $\mathfrak g_1$의 직합이다. $\mathfrak g_0$는 리 대수를 이루고, $\mathfrak g_1$은 $\mathfrak g_0$의 표현을 이룬다. 또한, $\mathfrak g_1$은 다음과 같은 가환 비결합 괄호를 갖는다.
:$\{\cdot,\cdot\}\colon\mathfrak g_1\otimes\mathfrak g_1\to\mathfrak g_0$

자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수를 단순 리 초대수라고 하며, 이들은 모두 분류되었다.

리 초대수 $\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$에서 야코비 항등식은 인수가 짝수인지 홀수인지에 따라 여덟 가지 경우가 있으며, 홀수 원소의 개수로 색인화되는 네 가지 클래스로 나뉜다.

# 홀수 원소가 없는 경우, $\mathfrak g_0$는 일반적인 리 대수이다.
# 홀수 원소가 하나인 경우, $\mathfrak g_1$은 $\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1$ 작용에 대한 $\mathfrak g_0$-가군이다.
# 홀수 원소가 둘인 경우, 야코비 항등식은 괄호 $\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0$이 대칭 $\mathfrak g_1$-사상임을 나타낸다.
# 홀수 원소가 셋인 경우, 모든 $b \in \mathfrak g_1$에 대해, $[b,[b,b]] = 0$이다.

리 초대수의 짝수 부분 대수 $\mathfrak g_0$는 모든 부호가 사라지고 초괄호가 일반적인 리 괄호가 되므로 (정규) 리 대수를 형성한다. $\mathfrak g_1$은 $\mathfrak g_0$의 선형 표현이며, 다음 조건을 만족하는 대칭 $\mathfrak g_0$-등변 선형 사상 $\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0$이 존재한다.

:$[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.$

조건 (1)–(3)은 선형이며 일반적인 리 대수의 관점에서 모두 이해할 수 있다. 조건 (4)는 비선형이며, 일반적인 리 대수($\mathfrak g_0$)와 표현($\mathfrak g_1$)에서 시작하여 리 초대수를 구성할 때 확인하기가 가장 어렵다.

단순 복소 유한 차원 리 초대수들은 빅토르 카츠에 의해 분류되었다.

(리 대수를 제외하고) 다음과 같다.

* 특수 선형 리 초대수 $\mathfrak{sl}(m|n)$: 초-대각합이 0인 행렬로 구성된 $\mathfrak{gl}(m|n)$의 부분 대수이다. $m\not=n$일 때 단순하다. $m=n$이면 항등 행렬 $ I_{2m} $이 아이디얼을 생성한다. 이 아이디얼로 나눈 $\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle$는 $m \geq 2$일 때 단순하다.
* 직교 심플렉틱 리 초대수 $\mathfrak{osp}(m|2n)$: $\mathbb{C}^{m|2n}$에 짝수이고 비퇴화이며, 초-대칭 쌍선형 형식 $\langle \cdot, \cdot \rangle$을 불변으로 유지하는 행렬로 구성된 $\mathfrak{gl}(m|2n)$의 부분 대수이다. 짝수 부분은 $\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)$으로 주어진다.
:\(\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^

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\langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}.\)
* 예외 리 초대수 $D(2,1;\alpha)$: 매개변수 $\alpha$에 의존하는 (9∣8) 차원 리 초대수의 집합이다. $\alpha\not=0$이고 $\alpha\not=-1$이면 D(2,1,\alpha)는 단순하다. $\alpha$와 $\beta$가 $\alpha \mapsto \alpha^{-1}$ 및 $\alpha \mapsto -1-\alpha$ 맵 아래에서 동일한 궤도에 있으면 $D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)$이다.
* 예외 리 초대수 $F(4)$: 차원은 (24|16)이다. 짝수 부분은 $\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$으로 주어진다.
* 예외 리 초대수 $G(3)$: 차원은 (17|14)이다. 짝수 부분은 $\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$로 주어진다.
* $\mathfrak{pe}(n)$과 $\mathfrak{q}(n)$이라고 하는 두 개의 소위 이상한 계열도 있다.
* 카르탕 유형: $W(n)$, $S(n)$, $\widetilde{S}(2n)$ 및 $H(n)$의 네 가지 계열로 나눌 수 있다. 단순 리 초대수의 카르탕 유형의 경우, 홀수 부분은 더 이상 짝수 부분의 작용에 따라 완전히 기약적이지 않다.

4. 종류

다양한 종류의 리 초대수가 존재하며, 이들은 수학적 구조와 물리학적 응용에 따라 분류된다.

* 아벨 초대수: 가환환 $K$ 위의 임의의 두 가군 $\mathfrak g_0$ 및 $\mathfrak g_1$ 에 대해, 리 초괄호가 $[x,y]=0\qquad\forall x,y\in\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1$ 를 만족하면, $\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_q$ 은 리 초대수를 이룬다.
* 일반·특수 선형 초대수: 초행렬로 구성된 리 초대수이다.
* 일반 선형 초대수 $\mathfrak{gl}(m|n)$ 는 $(m|n)\times(m|n)$ 초행렬의 모임이다.
* 특수 선형 리 초대수 $\mathfrak{sl}(m|n)$ 는 초대각합이 0인 행렬로 구성된 $\mathfrak{gl}(m|n)$ 의 부분 대수이다.
* 직교 심플렉틱 리 초대수: $\mathbb{C}^{m|2n}$ 에 짝수이고 비퇴화이며, 초-대칭 쌍선형 형식 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 을 불변으로 유지하는 행렬로 구성된 $\mathfrak{gl}(m|2n)$ 의 부분 대수이다. 짝수 부분은 $\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)$ 으로 주어진다.
* 예외 리 초대수: 빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수 가운데, 리 대수를 제외한 예외적인 리 초대수이다.
* $D(2,1;\alpha)$ : 매개변수 $\alpha$ 에 의존하는 (9∣8) 차원 리 초대수 집합.
* $F(4)$ : 차원이 (24|16)인 리 초대수. 짝수 부분은 $\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$ 으로 구성.
* $G(3)$ : 차원이 (17|14)인 리 초대수. 짝수 부분은 $\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$ 로 구성.
* 이상한 계열: 빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수에는 $\mathfrak{pe}(n)$ 과 $\mathfrak{q}(n)$ 으로 표현되는 두 가지 이상한 계열이 있다.
* 카르탕 유형: 빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수 중 카르탕 유형은 $W(n)$ , $S(n)$ , $\widetilde{S}(2n)$ , $H(n)$ 으로 표현되는 리 초대수들이다.

4.1. 아벨 초대수

가환환 $K$ 위의 임의의 두 가군 $\mathfrak g_0$ 및 $\mathfrak g_1$ 이 주어졌을 때, 리 초괄호
: $[x,y]=0\qquad\forall x,y\in\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_1$
를 주면, $\mathfrak g=\mathfrak g_0\oplus\mathfrak g_q$ 은 리 초대수를 이룬다. 이를 아벨 리 초대수(Abelian Lie superalgebra^영어)라고 한다.

4.2. 일반·특수 선형 초대수

초행렬로 구성된 리 초대수이다.

$(m|n)\times(m|n)$ 초행렬은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
: $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$
여기서 $A$ 는 $m\times m$ 이고, $B$ 는 $n\times n$ 이다. $(m|n)\times(m|n)$ 초행렬의 모임을 일반 선형 초대수 (general linear Lie superalgebra)
$\mathfrak{gl}(m|n)$ 이라고 쓴다.

임의의 결합 초대수 $A$ 가 주어지면, 균질 원소에 대한 초교환자를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $[x,y] = xy - (-1)^$

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yx\

그런 다음 선형성을 통해 모든 원소로 확장한다. 초교환자를 갖춘 대수

A

는 리 초대수가 된다. 이러한 절차의 가장 간단한 예는

A

가 초 벡터 공간

V

에서 자신으로의 모든 선형 함수

\mathbf {End}(V)

의 공간일 때이다.

V = \mathbb K^{p|q}

일 때, 이 공간은

M^{p|q}

또는

M(p|q)

로 표시된다. 위의 리 괄호를 사용하여 이 공간은

\mathfrak {gl}(p|q)

로 표시된다.

특수 선형 리 초대수

\mathfrak{sl}(m|n)

는 초대각합이 0인 행렬로 구성된

\mathfrak{gl}(m|n)

의 부분 대수이다.

4.3. 직교 심플렉틱 리 초대수

$\mathbb{C}^{m|2n}$ 에 짝수이고 비퇴화이며, 초-대칭 쌍선형 형식 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 을 고려한다. 그러면 직교 심플렉틱 리 초대수는 이 형식을 불변으로 유지하는 행렬로 구성된 $\mathfrak{gl}(m|2n)$ 의 부분 대수이다.
: $\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^$

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\langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}.
짝수 부분은

\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)

으로 주어진다.

4.4. 예외 리 초대수

빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수 가운데, 리 대수를 제외한 예외적인 리 초대수는 다음과 같다.

* $D(2,1;\alpha)$ : 매개변수 $\alpha$ 에 의존하는 (9∣8) 차원 리 초대수 집합이다. 이들은 $D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)$ 의 변형이며, $\alpha\not=0$ 이고 $\alpha\not=-1$ 이면 단순 리 초대수이다. $\alpha$ 와 $\beta$ 가 $\alpha \mapsto \alpha^{-1}$ 및 $\alpha \mapsto -1-\alpha$ 변환에 대해 같은 궤도에 있으면 $D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)$ 이다.

* $F(4)$ : 차원이 (24|16)인 리 초대수이다. 짝수 부분은 $\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$ 으로 구성된다.

* $G(3)$ : 차원이 (17|14)인 리 초대수이다. 짝수 부분은 $\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$ 로 구성된다.

4.5. 이상한 계열

빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수에는 $\mathfrak{pe}(n)$ 과 $\mathfrak{q}(n)$ 으로 표현되는 두 가지 이상한 계열이 있다.

4.6. 카르탕 유형

빅토르 카츠가 분류한 단순 복소 유한 차원 리 초대수 중 카르탕 유형은 $W(n)$ , $S(n)$ , $\widetilde{S}(2n)$ , $H(n)$ 으로 표현되는 리 초대수들이다. 이들의 홀수 부분은 짝수 부분의 작용에 따라 더 이상 완전히 기약적이지 않다.

5. 무한 차원 리 초대수

초끈 이론에서 중요한 대칭으로 사용되는 무한 차원 아핀 리 초대수는 $\mathcal{N}$ 초대칭을 가진 비라소로 대수이며, $K(1, \mathcal{N})$ 로 표기된다. 이는 $\mathcal{N} = 4$ 까지의 중심 확장을 갖는다.

6. 응용

이론물리학에서 리 초대수는 중요한 역할을 한다. 푸앵카레 초대칭에서는 짝수 등급이 보손을, 홀수 등급이 페르미온을 나타내지만, BRST 대칭에서는 그 반대이다.

6.1. 초대칭

초대칭 이론은 시공간 대칭과 초대칭을 통합하는 리 초대수를 대칭으로 갖는다. 이 대수의 보손 생성원은 푸앵카레 군과 R대칭에 해당하고, 페르미온 생성원은 초대칭에 해당한다. 일반적인 초대칭에서 초대수의 "짝수" 원소는 보손에 해당하고 "홀수" 원소는 페르미온에 해당한다.

6.2. BRST 대칭

게이지 이론은 BRST 대칭이라는 대칭을 지닌다. BRST 초대수는 0|1차원 초대수이며, 그 페르미온 생성원 $Q$ 의 초괄호는 다음과 같다.

: $\{Q,Q\}=0$

즉, 이는 멱영(nilpotent^영어) 리 초대수이다. BRST 초대칭과 바탈린-빌코비스키 형식에서는 일반적인 초대칭에서와 반대로 "짝수" 원소가 페르미온에 해당하고 "홀수" 원소가 보손에 해당한다. 이는 등급이 -1인 괄호에 해당한다.

: $|[a,b]| = |a|+|b|-1$

6.3. 기타 응용

리 초대수는 초대칭, BRST 초대칭, 바탈린-빌코비스키 형식 등 다양한 물리학 분야에서 나타난다. 일반적인 초대칭에서는 초대수의 "짝수" 원소는 보손에 해당하고 "홀수" 원소는 페르미온에 해당한다. 하지만 BRST 초대칭과 바탈린-빌코비스키 형식에서는 그 반대이다.

리 괄호 외에 "일반적인" 곱이 있는 경우, 푸아송 초대수와 게르스텐하버 대수가 발생할 수 있다. 이러한 등급은 변형 이론에서도 관찰된다.

푸아송 대수에 Z₂-등급이 주어지면, 리 괄호가 리 초괄호가 되어 푸아송 초대수를 얻는다. 결합 곱이 초가환으로 만들어지면, 초가환 푸아송 초대수가 된다.

화이트헤드 곱은 호모토피 군에 대한 정수 위에서 리 초대수의 많은 예를 제공한다.

초-푸앵카레 대수는 평평한 초공간의 등거 변환을 생성한다.

7. 역사

1970년에 펠릭스 알렉산드로비치 베레진과 게오르기 이사코비치 카츠가 도입하였다.

분야	수학, 물리학
하위 분야	대수학, 표현론, 초대칭