세르-스완 정리

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1. 개요
2. 위상수학에서의 세르-스완 정리
- 2.1. 실수 벡터 다발
- 2.2. 복소수 벡터 다발
3. 미분기하학에서의 세르-스완 정리
- 3.1. 미분 벡터 다발과 사영 가군
- 3.2. 범주 동치
4. 대수기하학에서의 세르-스완 정리
- 4.1. 대수적 벡터 다발과 사영 가군
- 4.2. 범주 동치
5. 역사
6. 응용
- 6.1. K이론
- 6.2. 비가환 기하학
참조

1. 개요

세르-스완 정리는 위상수학, 미분기하학, 대수기하학 등에서 사용되는 중요한 정리로, 기하학적 구조(벡터 다발)와 대수적 구조(함수 대수의 사영 가군) 사이의 관계를 설명한다. 이 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 실수 또는 복소수 벡터 다발의 범주가 해당 공간 위의 연속 함수 대수의 유한 생성 사영 가군의 범주와 동치임을 보여준다. 미분 다양체에서는 미분 벡터 다발과 매끄러운 함수 대수 위의 사영 가군 사이의 관계를, 아핀 스킴에서는 대수적 벡터 다발과 좌표환의 사영 가군 사이의 관계를 설명한다. 세르-스완 정리는 K이론과 비가환 기하학 분야에도 응용되며, 기하학적 구조를 대수적으로 표현하는 데 기여한다.

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세르-스완 정리

2. 위상수학에서의 세르-스완 정리

위상수학에서 세르-스완 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 벡터다발과 그 공간 위의 연속 함수 대수의 사영 가군 사이의 관계를 설명한다. 이 정리에 따르면, 이러한 공간 위의 벡터 다발의 범주는 연속 함수 대수의 유한 생성 사영 가군들의 범주와 동치이다.

이 정리는 벡터다발 $E\to M$ 의 단면들의 벡터 공간 $\Gamma(E)$ 가 $C(M)$ 에 대한 가군을 이룬다는 사실을 이용한다. 여기서 $C(M)$ 은 $M$ 위에 존재하는 실수 또는 복소수 연속함수들의 C* 대수를 나타낸다. 임의의 함수 $f\in C(M)$ 와 단면 $s\in\Gamma(E)$ 에 대해, $fs$ 는 $fs|_x=f(x)s|_x\in E_x$ 로 정의되며, 이는 벡터 다발의 범주에서 사영 가군들의 범주로 가는 함자를 정의한다.

2. 1. 실수 벡터 다발

M

이 콤팩트 하우스도르프 공간이고,

C(M)

이

M

위의 실수 연속함수들의 C* 대수라고 할 때, ''X''상의 실수 벡터 다발의 범주는 C(''X'')상의 유한 생성 사영 가군들의 범주와 동치이다. "실수 값"을 "복소수 값"으로, "실수 벡터 다발"을 "복소수 벡터 다발"로 바꾸어도 같은 결과가 성립하지만, 전체 불연속인 유리수와 같은 체로 대체하면 성립하지 않는다.

'''Vect''' ''X''를 ''X'' 위의 복소 벡터 다발의 범주로 하고, '''Proj''' ''C''(''X'')를 환 ''C''(''X'') 위의 유한 생성 사영 가군의 범주로 한다. ''X'' 위의 각 복소 벡터 다발 ''E''를 단면의 ''C''(''X'')-가군 Γ(''X'', ''E'')에 보내는 함자 Γ : '''Vect''' ''X'' → '''Proj''' ''C''(''X'')가 존재한다. 스완(Swan)의 정리는 함자 Γ가 범주 동치임을 주장한다.

2. 2. 복소수 벡터 다발

콤팩트 하우스도르프 공간

X

위의 복소수 벡터 다발의 범주는

X

위의 복소수 연속 함수 대수

C(X)

의 유한 생성 사영 가군의 범주와 동치이다. 이 동치는 벡터 다발을 그 단면들의 가군으로 보내는 함자 Γ를 통해 이루어진다.

자세히 설명하면, Vec(''X'')를 ''X''상의 복소수 벡터 다발의 범주라고 하고, ProjMod(C(''X''))를 C*-대수 C(''X'')상의 유한 생성 사영 가군들의 범주라고 하자. 각 복소수 벡터 다발 ''E''를 ''X''상의 단면들의 C(''X'')-가군 Γ(''X'', ''E'')로 보내는 함자 Γ : Vec(''X'') → ProjMod(C(''X''))가 존재한다. 만약

\tau : (E_1, \pi_1) \to (E_2, \pi_2)

가 ''X''상의 벡터 다발 사상이라면

\pi_2 \circ \tau = \pi_1

이며, 따라서

:

\forall s \in \Gamma(X, E_1) \quad \pi_2 \circ \tau \circ s = \pi_1 \circ s = \text{id}_X,

다음과 같은 사상을 얻는다.

:

\begin{cases} \Gamma \tau : \Gamma(X, E_1) \to \Gamma(X, E_2) \\ s \mapsto \tau \circ s \end{cases}

이는 가군 구조를 존중한다. 스완의 정리는 함자 Γ가 범주 동치임을 주장한다.

"실숫값"을 "복소숫값"으로, "실수 벡터 다발"을 "복소수 벡터 다발"로 바꾸어도 동일한 결과가 성립하지만, 전체 불연속인 유리수와 같은 체로 대체하면 성립하지 않는다.

3. 미분기하학에서의 세르-스완 정리

Serre–Swan|세르-스완^영어 정리는 (반드시 콤팩트일 필요는 없는) 미분 다양체 위의 벡터 다발과 매끄러운 함수 대수의 사영 가군 사이의 관계를 다룬다.

이 정리는 자명한 다발 $M \times \R^k \to E$ 로부터 다발 전사 사상을 구성하여 증명할 수 있다. 예를 들어, 각 점 ''p''에 대해 {''s''_''i''(''p'')}가 ''p'' 위의 올을 생성하는 단면 ''s''₁...''s''_''k''를 제시함으로써 이를 수행할 수 있다.^[1]

이러한 가군은 어떤 ''n''에 대한 ''n'' × ''n'' 멱등 행렬의 값을 갖는 ''M'' 위의 미분 함수 ''f''로 볼 수 있다. 그러면 ''x'' 위의 해당 벡터 다발의 올은 ''f''(''x'')의 치역이 된다.^[1]

3. 1. 미분 벡터 다발과 사영 가군

''M''이 미분 다양체이고, ''E''가 ''M'' 위의 미분 벡터 다발이라고 할 때, ''E''의 미분 단면 공간 ''Γ(E)''는 ''M'' 위의 매끄러운 실수값 함수들의 가환 대수 C^∞(''M'') 위의 가군이다. 스완 정리에 따르면, 이 가군은 C^∞(''M'') 위에서 유한 생성되고 사영된다. 즉, 모든 벡터 다발은 어떤 자명한 다발

M \times \R^k

의 직합 인수가 된다.

''M''이 연결되어 있다면, 역도 성립한다. 즉, C^∞(''M'') 위의 모든 유한 생성 사영 가군은 ''M'' 위의 어떤 미분 벡터 다발로부터 이러한 방식으로 발생한다.

만약 ''M''이 연결되어 있지 않다면, 일정한 랭크가 아닌 벡터 다발을 허용하지 않는 한 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 ''M''이 0차원 2점 다양체인 경우, 가군

\R\oplus 0

은

C^\infty(M)\cong\R\times\R

위에서 유한 생성되고 사영되지만 자유가 아니므로, ''M'' 위의 (모든 것이 자명한) 어떤 (일정 랭크) 벡터 다발의 단면에 해당될 수 없다.

결론적으로, 모든 연결된 미분 다양체 ''M''에 대해 미분 벡터 다발의 범주에서 유한 생성, 사영 C^∞(''M'')-가군의 범주로 가는 단면 함자 ''Γ''는 전사, 충실한, 그리고 본질적 전사이다. 그러므로 ''M'' 위의 미분 벡터 다발의 범주는 유한 생성, 사영 C^∞(''M'')-가군의 범주와 동치이다.

3. 2. 범주 동치

Serre–Swan|세르-스완^영어 정리에 따르면, 모든 연결된 미분 다양체 ''M''에 대해 미분 벡터 다발의 범주에서 유한 생성 사영 C^∞(''M'')-가군의 범주로 가는 단면 함자 ''Γ''는 전사, 충실한, 본질적 전사이다.^[1] 그러므로 ''M'' 위의 미분 벡터 다발의 범주는 유한 생성 사영 C^∞(''M'')-가군의 범주와 동치이다.^[1]

이러한 동치는 연결된 미분 다양체 ''M'' 위의 미분 벡터 다발의 범주가 유한 생성 사영 C^∞(''M'')-가군의 범주와 동치라는 형태로 요약될 수 있다.^[1]

4. 대수기하학에서의 세르-스완 정리

환 달린 공간 $(X, \mathcal{O})$ 위의 (대수적) 벡터다발은 다음 조건을 만족시키는 아벨 군 값을 가지는 층 $\mathcal{F}$ 이다.

$X$ 위에 열린 덮개 $\mathcal{U}$ 가 존재하여, 각 $U \in \mathcal{U}$ 에 대하여 $\Gamma(\mathcal{F}, U)$ 는 $\mathcal{O}(U)$ 의 유한 차원(finite rank) 자유 가군(free module)이다.

즉, 대수적 벡터다발은 유한 차원 국소 자유

\mathcal{O}

-가군층이다. 뇌터 스킴 위의 대수적 벡터다발은 연접층을 이룬다.

(단위원을 가진) 가환 뇌터 환

R

의 스펙트럼

(X, \mathcal{O}_X) \cong \operatorname{Spec} R

은 뇌터 아핀 스킴을 이룬다. 이 경우, 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.

$R$ 의 유한 생성 사영 가군들의 범주 $\operatorname{fgProjMod}(R)$
$X$ 의 대수적 벡터다발들의 범주 $\operatorname{Vect}(X)$

세르-스완 정리에 따르면, 이 두 범주는 서로 동치이다.

4. 1. 대수적 벡터 다발과 사영 가군

뇌터 환

R

의 스펙트럼

X = \operatorname{Spec} R

(뇌터 아핀 스킴) 위의 대수적 벡터 다발

\mathcal{F}

의 단면들

\Gamma(X, \mathcal{F})

는

R

의 유한 생성 사영 가군이다. 역으로,

R

의 유한 생성 사영 가군은

X

위의 어떤 대수적 벡터 다발의 단면 공간으로 나타낼 수 있다.

대수기하학에서 아핀 다양체 범주 내의 벡터 다발에 적용되는 유사한 결과가 있다. ''X''를 구조층

\mathcal{O}_X

를 갖는 아핀 다양체,

\mathcal{F}

를 ''X'' 위의

\mathcal{O}_X

-가군 연접층이라고 할 때,

\mathcal{F}

가 유한 차원 벡터 다발의 층이 되는 것과

\mathcal{F}

의 단면 공간

\Gamma(\mathcal{F}, X)

가 가환환

A = \Gamma(\mathcal{O}_X, X)

위에서 사영 가군인 것은 동치이다.

4. 2. 범주 동치

뇌터 아핀 스킴

X

위의 대수적 벡터 다발의 범주는

X

의 좌표환

R

의 유한 생성 사영 가군의 범주와 동치이다. 이 동치는 다음과 같이 구체적으로 나타낼 수 있다.

대수적 벡터 다발 $\mathcal F\in\operatorname{Vect}(X)$ 가 주어지면, 그 단면들 $\Gamma(X,\mathcal F)$ 는 $R\cong\Gamma(X,\mathcal O_X)$ 의 유한 생성 사영 가군을 이룬다.

대수기하학에서 아핀 다양체 범주 내의 벡터 다발에 적용되는 유사한 결과가 있다. ''X''를 구조층

\mathcal{O}_X

를 갖는 아핀 다양체라고 하고,

\mathcal{F}

를 ''X'' 위의

\mathcal{O}_X

-가군 연접층이라고 하자. 그러면

\mathcal{F}

가 유한 차원 벡터 다발의 층인 것과

\mathcal{F}

의 단면 공간

\Gamma(\mathcal{F}, X)

가 가환환

A = \Gamma(\mathcal{O}_X, X)

위의 사영 가군인 것은 동치이다.

5. 역사

장피에르 세르가 1955년 논문 〈대수연접층〉^[1]에서 대수기하학의 세르-스완 정리를 증명하였다. 위상수학적 세르-스완 정리는 리처드 스완(Richard G. Swan)이 1962년에 증명하였다.^[2]

6. 응용

세르-스완 정리는 기하학/위상수학적 구조(벡터다발)와 대수적 구조(사영 가군)를 연결한다.

대수기하학에서 이와 유사한 결과가 세르에 의해 증명되었으며, 아핀 다양체 범주 내의 벡터 다발에 적용된다. ''X''를 구조층 $\mathcal{O}_X$ 를 갖는 아핀 다양체, $\mathcal{F}$ 를 ''X'' 위의 $\mathcal{O}_X$ -가군 가환층이라고 하자. 그러면 $\mathcal{F}$ 는 $\Gamma(\mathcal{F}, X)$ ( $\mathcal{F}$ 의 단면 공간)가 가환환 $A = \Gamma(\mathcal{O}_X, X)$ 위에서 사영 가군일 때, 그리고 그 때만 유한 차원 벡터 다발의 층이 된다.

''M''을 콤팩트하고 매끄러운 다양체라고 하고, ''V''를 ''M'' 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 그러면 ''V''의 매끄러운 단면 공간은 ''C''^∞(''M'') (''M'' 위의 매끄러운 실수 값 함수의 가환 대수) 위의 가군이다. 스완의 정리는 이 가군이 ''C''^∞(''M'') 위에서 유한 생성이면서 사영이라고 말한다. 다시 말해, 모든 벡터 다발은 어떤 ''n''에 대해 자명 다발 ''M'' × '''C'''^''n''의 직합이다. 역도 마찬가지로 성립한다. 즉, ''C''^∞(''M'') 위의 모든 유한 생성 사영 가군은 ''M'' 위의 어떤 매끄러운 벡터 다발로부터 생성된다.

''X''를 콤팩트 하우스도르프 공간으로 하고, ''C''(''X'')를 ''X'' 위의 실숫값 연속 함수의 환으로 한다. ''X'' 위의 실 벡터 다발의 범주는 ''C''(''X'') 위의 유한 생성 사영 가군의 범주와 동치이다. "복소수 값"을 "실수 값"으로, "복소수 벡터 다발"을 "실수 벡터 다발"로 바꿔도 같은 결과가 성립하지만, 유리수 전체와 같은 완전 비연결체로 체를 바꾸면 성립하지 않는다.

6. 1. K이론

작용소 K이론은 위상 K이론에서 다루는 벡터다발의 K군들을 함수 대수의 가군들을 통해 함수해석학적으로 정의한다. 이러한 대수적인 구조는 "함수 대수"가 가환환이 아닐 경우에도 쉽게 확장할 수 있다. 이를 통하여, 비가환 공간의 "벡터다발" 및 K이론을 대수적으로 정의할 수 있다.

자세히 설명하면, Vec(''X'')를 ''X''상의 복소수 벡터 다발의 범주라고 하고, ProjMod(C(''X''))를 C*-대수 C(''X'')상의 유한 생성 사영 가군들의 범주라고 하자. 각 복소수 벡터 다발 ''E''를 ''X''상의 단면들의 C(''X'')-가군 Γ(''X'', ''E'')로 보내는 함자 Γ : Vec(''X'') → ProjMod(C(''X''))가 존재한다. 만약

\tau : (E_1, \pi_1) \to (E_2, \pi_2)

가 ''X''상의 벡터 다발 사상이라면

\pi_2 \circ \tau = \pi_1

이며, 따라서

:

\forall s \in \Gamma(X, E_1) \quad \pi_2 \circ \tau \circ s = \pi_1 \circ s = \text{id}_X,

다음과 같은 사상을 얻는다.

:

\begin{cases} \Gamma \tau : \Gamma(X, E_1) \to \Gamma(X, E_2) \\ s \mapsto \tau \circ s \end{cases}

이는 가군 구조를 존중한다. Swan^영어의 정리는 함자 Γ가 범주 동치임을 주장한다.

6. 2. 비가환 기하학

세르-스완 정리는 벡터다발을 대수적인 구조와 대응시켜, 비가환 공간의 "벡터 다발" 및 K이론을 대수적으로 정의할 수 있게 한다. 작용소 K이론은 위상 K이론에서 다루는 벡터 다발의 K군들을 함수 대수의 가군을 통해 함수해석학적으로 정의한다.

참조

_[1] 저널 Faisceaux algébriques cohérents http://www1.mat.unir[...] 2013-08-06
_[2] 저널 Vector bundles and projective modules 1962

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