디리클레 에타 함수

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1. 개요

디리클레 에타 함수는 리만 제타 함수의 변형으로, 급수 표현을 통해 정의되는 수학 함수이다. 에타 함수의 영점에는 제타 함수의 모든 영점이 포함되며, 음의 짝수 정수와 임계선 상의 영점, 그리고 임계선 위에 있지 않은 가설적 영점이 포함된다. 에타 함수는 다양한 적분 표현과 수치 계산 알고리즘을 통해 계산될 수 있으며, 특수한 값과 미분 또한 정의된다.

디리클레 에타 함수

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1. 개요
2. 영점
3. 적분 표현
4. 수치 계산 알고리즘
5. 특수값
6. 미분

2. 영점

디리클레 에타 함수의 영점에는 리만 제타 함수의 모든 영점, 즉 음의 짝수 정수(실수 등간격 단순 영점)와 임계선 상의 영점(어떤 것도 중근으로 알려지지 않았고, 40% 이상이 단순 영점으로 증명됨), 그리고 임계선 위에 있지 않지만 임계 띠 안에 있는 가설적 영점(존재한다면, 실수축과 임계선에 대칭적인 직사각형의 꼭짓점에서 발생하며, 그 중복도는 알려져 있지 않음)이 포함된다. 게다가, 인자 $1-2^{1-s}$ 는 무한히 많은 복소 단순 영점을 추가하며, 이들은 $\Re(s) = 1$ 선상의 등간격 점, 즉 $s_n=1+2n\pi i/\ln(2)$ 에 위치하며, 여기서 n은 0이 아닌 정수이다.

리만 가설이 참이라면, 에타 함수의 영점은 실수축에 대해 대칭적으로 두 개의 평행선 $\Re(s)=1/2, \Re(s)=1$ 과 음의 실수축으로 형성된 수직 반직선 위에 위치할 것이다.

3. 적분 표현

디리클레 에타 함수는 다음과 같은 다양한 적분 공식으로 표현될 수 있다.

$\Re s > 0$ 에서 유효한 다음 공식은 감마 함수의 적분 표현을 변수 변환(Abel, 1823)하여 얻을 수 있으며, 이는 다양한 방식으로 이중 적분으로 표현될 수 있는 멜린 변환을 제공한다(Sondow, 2005).

: $\begin{align}\Gamma(s)\eta(s)&= \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1} \, dx= \int_0^\infty \int_0^x \frac{x^{s-2}}{e^x+1} \, dy \, dx \\[8pt]&= \int_0^\infty \int_0^\infty \frac{(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1} dr \, dt=\int_0^1 \int_0^1 \frac{\left(-\log(x y)\right)^{s-2}}{1 + x y} \, dx \, dy.\end{align}$

Cauchy–Schlömilch 변환(Amdeberhan, Moll 등, 2010)을 사용하면 $\Re s > -1$ 에서 유효한 다음 표현을 증명할 수 있다. 이 절의 첫 번째 적분을 부분 적분하면 또 다른 유도가 가능하다.

: $2^{1-s}\,\Gamma(s+1)\,\eta(s)= 2 \int_0^\infty \frac{x^{2s+1}}{\cosh^2(x^2)} \, dx= \int_0^\infty \frac{t^s}{\cosh^2(t)} \, dt.$

Lindelöf (1905)에 의한 다음 공식은 지수 함수에 내포된 로그에 대해 주 값을 취할 때 전체 복소 평면에서 유효하다.

: $\eta(s) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(1/2 + i t)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}} \, dt.$

이는 전체 함수에 대한 옌센(1895) 공식 $(s-1)\,\zeta(s)$ 에 해당하며, 전체 복소 평면에서 유효하고 Lindelöf에 의해 증명되었다.

: $(s-1)\zeta(s) = 2\pi\,\int_{-\infty}^\infty \frac{(1/2 + i t)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^2} \, dt.$

옌센(1895)은 "이 공식은 그 단순성으로 눈에 띄며, 급수의 합에 매우 중요한 코시 정리를 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다"라고 썼다. 마찬가지로 적분 경로를 윤곽 적분으로 변환하여 모든 $s$ 에 대해 유효한 이 일반화(Milgram, 2013)와 같은 에타 함수에 대한 다른 공식을 얻을 수 있다.

: $\eta(s) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{(c + i t)^{-s}}{\sin{(\pi(c+i t))}} \, dt.$

음의 실수 축에 있는 영점은 $c\to 0^+$ 로 만들어 $\Re s < 0$ 에 대해 유효한 공식을 얻음으로써 깔끔하게 소거된다(Milgram, 2013).

: $\eta(s) = - \sin\left(\frac{s\pi}{2}\right) \int_{0}^\infty \frac{t^{-s}}{\sinh{(\pi t)}} \, dt.$

4. 수치 계산 알고리즘

대부분의 급수 가속 기술은 교대 급수에 적용되어 에타 함수의 계산에 유용하게 사용될 수 있다. 특히 간단하면서도 합리적인 방법은 교대 급수의 오일러 변환을 적용하는 것이다.

: $\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.$

두 번째 안쪽 합은 전방 차분이다.

피터 보르웨인은 에타 함수의 효율적인 계산을 위한 방법을 제시하기 위해 체비쇼프 다항식과 관련된 근사를 사용했다. 만약

: $d_k = n\sum_{\ell=0}^k \frac{(n+\ell-1)!4^\ell}{(n-\ell)!(2\ell)!}$

일 때,

: $\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s),$

이고, $\Re(s) \ge \frac{1}{2}$ 일 때 오차항 $\gamma_n(s)$ 의 경계는 다음과 같다.

: $|\gamma_n(s)| \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|\Im(s)|)\exp\left(\frac{\pi}{2}|\Im(s)|\right).$

오차 경계에 있는 $3+\sqrt{8}\approx 5.8$ 의 인자는 보르웨인 급수가 n이 증가함에 따라 상당히 빠르게 수렴한다는 것을 나타낸다.

5. 특수값

* η^영어(0) = 1/2이며, 아벨 합으로 계산한 그란디 급수 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·이다.
* η^영어(-1) = 1/4이며, 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·의 아벨 합이다.
* k가 1보다 큰 정수이고, B_k가 k번째 베르누이 수일 때, $\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k.$ 이다.
* η^영어(1) = ln2이며, 이는 교대 조화 급수이다.
* η^영어(2) = {{π^2} \over 12}
* η^영어(4) = {{7π^4} \over 720} ≈ 0.94703283
* η^영어(6) = {{31π^6} \over 30240} ≈ 0.98555109
* η^영어(8) = ≈ 0.99975769

짝수인 양의 정수에 대한 일반적인 형태는 다음과 같다.

: $\eta(2n) = (-1)^{n+1}.$

극한 $n \to \infty$ 를 취하면, $\eta (\infty) = 1$ 을 얻는다.

6. 미분

에타 함수의 s에 대한 미분은 s ≠ 1에 대해 다음과 같다.

: η'(s) = 2^1-sln(2)ζ(s)+(1-2^1-s)ζ'(s)

: η'(1) = ln(2)γ - (ln(2))²/2 (γ는 오일러-마스케로니 상수)