라이데마이스터 변형
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1. 개요
라이데마이스터 변형은 매듭 및 얽힘 이론에서 매듭의 사영도를 변형하는 세 가지 기본 연산이다. 이 변형들은 I, II, III형으로 나뉘며, 꼬임의 성분을 비틀거나, 한쪽 성분을 다른 쪽 성분 아래로 통과시키거나, 교차점을 가로지르도록 성분을 미끄러뜨리는 방식으로 이루어진다. 라이데마이스터 변형은 매듭의 사영도가 동치인지를 판단하는 데 사용되며, 라이데마이스터 정리에 따라 유한 번의 변형으로 서로 변환될 수 있다. 이러한 변형은 매듭의 불변량을 정의하는 데 기여하며, 정칙 호모토피와 전체 호모토피의 개념을 설명하는 데 사용된다. 라이데마이스터 변형은 1926년 쿠르트 라이데마이스터에 의해 도입되었으며, 3차원 사영 공간, 공간 그래프, 가상 매듭 이론 등 다양한 분야로 확장되었다.
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| 라이데마이스터 변형 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 유형 | 매듭 다이어그램의 국소적 변경 |
| 설명 | 매듭 다이어그램을 동일한 매듭을 나타내는 다른 다이어그램으로 변환하는 세 가지 유형의 이동 |
| 중요성 | 매듭 불변량을 정의하고 매듭을 분류하는 데 사용됨 |
| 이동 유형 | |
| 유형 I | 꼬임을 추가하거나 제거함. |
| 유형 II | 한 루프를 다른 루프 위로 완전히 이동시킴. |
| 유형 III | 교차점 위 또는 아래로 문자열을 완전히 이동시킴. |
| 추가 정보 | |
| 역사 | 쿠르트 라이데마이스터에 의해 공식화됨. |
| 불변성 | 라이데마이스터 이동은 매듭의 아이소토피를 보존함. |
| 응용 | 매듭 이론, 3차원 다양체, 양자장론에서 사용됨. |
2. 정의
매듭(knot)이나 꼬임(link)의 (정칙적인) 사영도에서 적용될 수 있는 기본적인 국소 변형으로, 라이데마이스터 변형은 다음 세 가지 유형으로 나뉜다.
| -- | -- | -- |
| 유형 I | 유형 II | 유형 III |
각 변형은 다음과 같은 조작에 해당한다.
- '''유형 I''': 꼬임의 한 부분을 비틀어 고리(loop)를 만들거나 없앤다.
- '''유형 II''': 한 가닥을 다른 가닥 위 또는 아래로 교차시키거나, 교차된 부분을 푼다.
- '''유형 III''': 교차점을 기준으로 한 가닥을 다른 가닥 위 또는 아래로 미끄러뜨린다.
2. 1. 라이데마이스터 변형 I
매듭이나 꼬임의 그림에서, 그림의 일부를 위 그림과 같이 바꾸는 것을 라이데마이스터 변형 I 또는 제1종 라이데마이스터 변형이라고 한다. 이는 꼬임의 한 성분을 비틀어 루프(loop)를 만들거나 없애는 것에 해당한다.2. 2. 라이데마이스터 변형 II
매듭이나 꼬임의 사영도에서, 한쪽 성분을 다른 쪽 성분 아래로 통과시키거나 그 역의 조작을 하는 것을 라이데마이스터 변형 II(또는 2종 변형)라고 한다. 이는 두 가닥의 끈이 서로 교차하는 부분을 만들거나 없애는 것에 해당한다.2. 3. 라이데마이스터 변형 III
매듭 및 꼬임의 정칙적인 사영도에서 적용되는 국소 변형 중 하나이다. 교차점 위 또는 아래를 가로지르도록 다른 성분을 미끄러뜨리는 조작에 해당한다.3. 성질
라이데마이스터 변형은 매듭 이론에서 두 매듭 또는 얽힘의 사영도가 서로 같은 종류인지를 판별하는 기본적인 도구이다. 주요 변형으로는 타입 I, II, III이 있으며, 각 변형은 매듭 사영도의 교차점 수나 꼬임수와 같은 속성에 영향을 미치거나 보존하는 특징을 가진다.
이 변형들의 중요한 성질은 라이데마이스터 정리로 요약된다. 이 정리는 두 매듭 사영도가 동일한 매듭을 나타낼 필요충분조건이 유한 번의 라이데마이스터 변형(과 평면에서의 호모토피 변형)을 통해 서로 변환될 수 있다는 것을 밝힌다. 따라서 라이데마이스터 변형은 매듭을 분류하는 기준이 되며, 이 변형에 대해 변하지 않는 양, 즉 매듭 불변량을 찾는 연구의 기초를 제공한다.
또한, 라이데마이스터 변형의 종류에 따라 정칙 호모토피와 전체 호모토피와 같은 매듭 간의 관계를 정의할 수 있다. 라이데마이스터 변형의 개념은 일반적인 3차원 공간의 매듭뿐만 아니라, 사영 공간에서의 매듭, 공간 그래프, 가상 매듭 등 더 확장된 수학적 대상과 이론에서도 유사한 형태로 적용된다.[1][2][3][4]
3. 1. 교차점 및 꼬임수 변화
라이데마이스터 변형 I을 수행하면, 매듭 사영도의 교차점 수와 꼬임수가 각각 1씩 증가하거나 감소한다. 라이데마이스터 변형 II에서는 꼬임수는 변하지 않지만, 교차점 수는 2만큼 증가하거나 감소한다. 라이데마이스터 변형 III의 경우에는 교차점 수와 꼬임수 모두 변하지 않는다. 이 차이 때문에 라이데마이스터 변형 I은 변형 II, III과 독립적인 변형으로 간주된다.두 매듭(또는 얽힘)의 사영도가 서로 같은 종류의 매듭(또는 얽힘)을 나타내기 위한 필요충분조건은, 이 사영도들이 유한 번의 라이데마이스터 변형(과 평면에서의 호모토피 변형)을 통해 서로 변환될 수 있다는 것이다. 즉, 매듭(또는 얽힘)은 그 사영도를 "유한 번의 라이데마이스터 변형으로 서로 변환될 수 있다"는 동치 관계에 따라 분류할 수 있다. 이를 라이데마이스터 정리라고 하며, 1926년에 증명되었다. 이 정리에 따라, 매듭(또는 얽힘)의 사영도에 대해 라이데마이스터 변형을 적용해도 변하지 않는 성질(양)을 찾아낸다면, 그것은 매듭(또는 얽힘)의 불변량이 된다.
라이데마이스터 변형 I과 유사하지만 다른 변형으로 라이데마이스터 변형 I'을 정의하기도 한다. 이 변형은 라이데마이스터 변형 II와 III의 반복적인 적용으로도 구현될 수 있다. 라이데마이스터 변형 I'은 교차점 수를 2만큼 증가시키거나 감소시키지만, 일반적인 라이데마이스터 변형 I과는 다르게 꼬임수는 변화시키지 않는다. 꼬임수를 변화시키지 않는 라이데마이스터 변형 II와 III(그리고 I')만으로 서로 변환될 수 있는 매듭(또는 얽힘)의 관계를 정칙 호모토피라고 한다. 반면, 라이데마이스터 변형 I, II, III 모두를 사용하여 서로 변환될 수 있는 매듭(또는 얽힘)의 관계는 전체 호모토피라고 부른다.
3. 2. 라이데마이스터 정리
두 매듭(얽힘)의 사영도가 같은 매듭(또는 얽힘)을 나타내기 위한 필요충분조건은, 그 사영도들이 유한 번의 라이데마이스터 변형(과 평면에서의 호모토피 변형)을 통해 서로 변환될 수 있다는 것이다. 즉, 매듭(또는 얽힘)은 그 사영도를 "유한 번의 라이데마이스터 변형으로 서로 변환될 수 있다"는 동치 관계로 나누어 정의할 수 있다. 이를 라이데마이스터 정리라고 하며, 1926년에 증명되었다. 이 정리는 매듭(또는 얽힘)의 사영도에 대해 라이데마이스터 변형에 의해 변하지 않는 양을 찾으면, 그것이 바로 매듭(또는 얽힘)의 불변량이 된다는 중요한 의미를 가진다.라이데마이스터 변형 I은 교차점 수와 꼬임수를 1만큼 변화시키지만, II와 III은 꼬임수를 변화시키지 않는다(II는 교차점 수를 2만큼 변화시키고, III은 교차점 수도 변화시키지 않는다). 때로는 라이데마이스터 변형 I'이라는 변형이 정의되기도 하는데, 이는 II와 III의 반복으로 만들어질 수 있으며 교차점 수를 2만큼 변화시키지만 꼬임수는 바꾸지 않는다. 꼬임수를 변화시키지 않는 라이데마이스터 변형 II와 III(그리고 I')만으로 서로 변환될 수 있는 매듭(또는 얽힘)의 관계를 정칙 호모토피라고 하며, 라이데마이스터 변형 I, II, III 모두를 사용하여 서로 변환될 수 있는 관계를 전체 호모토피라고 한다.
일반적으로 매듭 이론에서는 3차원 구 (또는 3차원 유클리드 공간) 안에 놓인 원주를 매듭으로 다루지만, 연구 대상 공간이 달라지면 필요한 변형도 달라질 수 있다. 예를 들어, 3차원 사영 공간에서의 매듭 이론에서는 기존의 라이데마이스터 변형 I, II, III에 추가로 두 종류의 변형(IV, V)을 도입해야 라이데마이스터 정리가 성립한다.[1] 마찬가지로, 3차원 공간에 원주 대신 그래프를 놓는 공간 그래프 이론에서도 일반적인 라이데마이스터 변형 외에 두 종류의 변형(IV, V)을 추가해야 라이데마이스터 정리와 동등한 결과가 성립한다.[2][3]
또한, 가상 매듭 이론에서는 일반적인 교차점 외에 위아래 구분이 없는 가상 교차점을 포함한 사영도를 다루기 때문에, 가상 교차점을 포함하는 변형인 가상 라이데마이스터 변형이 정의된다.[4]
3. 3. 정칙 호모토피와 전체 호모토피
라이데마이스터 변형 I'이라고 정의되는 변형이 있다. 이 변형은 라이데마이스터 변형 II와 III의 반복으로 실현할 수 있다. 이 조작에서는 교차점 수가 2 증가하거나 감소하지만, 일반적인 라이데마이스터 변형 I과 달리 꼬임수는 변하지 않는다. 꼬임수를 변화시키지 않는 라이데마이스터 변형 II와 III(그리고 I')으로 서로 변환되는 매듭이나 얽힘은 '''정칙 호모토피'''라고 하며, 라이데마이스터 변형 I, II, III으로 서로 변환되는 매듭이나 얽힘을 '''전체 호모토피'''라고 한다.4. 역사
1926년에 쿠르트 라이데마이스터가 도입하였다.[5] 이듬해인 1927년에는 제임스 워델 알렉산더와 G. B. Briggs|G. B. 브리그스eng도 독립적으로 발견하였다.[6]
5. 확장
라이데마이스터 변형은 기본적인 매듭 이론에서 3차원 유클리드 공간이나 3차원 구 안의 매듭을 다룰 때 사용되는 세 가지 기본적인 변형(I, II, III)을 의미한다. 이 세 가지 변형은 두 매듭 사영도가 같은 매듭을 나타내는지 판별하는 기준이 된다.
하지만 매듭 이론의 개념을 다른 공간이나 대상으로 확장 적용할 경우, 기존의 세 가지 라이데마이스터 변형만으로는 동치 관계를 완전히 설명하기 어려울 수 있다. 예를 들어 3차원 사영 공간에서의 매듭, 공간 그래프, 또는 가상 매듭과 같은 보다 일반화된 대상을 다루는 이론에서는, 기존 변형 규칙에 더해 해당 이론 체계에 맞는 새로운 종류의 변형 규칙을 추가로 정의해야 한다. 이러한 확장된 변형 규칙들은 각각의 이론 체계에서 라이데마이스터 정리가 성립하도록 보장하는 역할을 한다.
5. 1. 사영 공간에서의 매듭 이론
일반적인 매듭 이론에서는 3차원 구나 3차원 유클리드 공간 안에 놓인 원주를 매듭으로 다룬다. 하지만 3차원 사영 공간에서 매듭 이론을 다룰 때는 기존의 라이데마이스터 변형 I, II, III만으로는 부족하다. 사영 공간에서는 이 세 가지 변형에 더해 두 가지 새로운 변형(IV, V)을 추가해야만, 일반적인 매듭 이론에서처럼 라이데마이스터 정리가 성립하게 된다.[1]5. 2. 공간 그래프 이론
3차원 공간에 원주 대신 그래프를 매립하는 것을 다루는 공간 그래프 이론에서도 라이데마이스터 변형과 유사한 개념이 적용된다. 일반적인 라이데마이스터 변형 I, II, III 외에 추가적으로 두 종류의 변형(IV, V)을 고려하면, 공간 그래프에서도 라이데마이스터 정리와 동등한 정리가 성립하게 된다.[2][3]5. 3. 가상 매듭 이론
가상 매듭 이론에서는 일반적인 매듭 이론에서 다루는, 성분의 위아래가 구분되는 교차점 외에도 위아래 구분이 없는 가상적인 교차점을 포함하는 사영도를 다룬다. 이 때문에 가상적인 교차점을 포함하는 변형으로서 가상 라이데마이스터 변형이 정의된다.[4]참조
[1]
서적
Knots, Links, Braids and 3-Manifolds
[2]
서적
量子不変量―3次元トポロジーと数理物理の遭遇
[3]
서적
結び目理論入門
[4]
간행물
仮想糸について
http://insei.math.ky[...]
[5]
논문
Elementare Begründung der Knotentheorie
1927-12
[6]
논문
On types of knotted curves
1927
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