매듭 이론

3. 기본 개념

매듭은 일차원 선분을 시작으로, 임의로 자신을 감고 두 자유 끝을 융합하여 닫힌 고리를 형성하여 만들어진다. 간단히 말해서, 매듭 $K$는 3차원 공간 $\backslash mathbb\{R\}^3$ 안에 있는 원 $S^1$의 매장(embedding)으로 생각할 수 있다. 위상수학자들은 매듭이 자기 교차 없이 부드럽게 변형되어 다른 매듭과 일치할 수 있는 경우, 즉 주변 동위 관계에 있을 때 두 매듭을 동등한 것으로 간주한다.

'''매듭 동치'''는 두 매듭이 공간에서 매우 다르게 보이더라도 언제 동일하다고 간주해야 하는지에 대한 수학적 정의이다. 공식적으로 두 매듭 $K\_1,\; K\_2$는 방향 보존 위상동형사상 $h\backslash colon\backslash R^3\backslash to\backslash R^3$가 존재하여 $h(K\_1)=K\_2$가 될 때 동치이다. 이는 두 매듭이 주변 동위(ambient isotopy^영어) 관계에 있다는 것과 동치이다. 주변 동위는 공간 자체를 연속적으로 변형하여 한 매듭을 다른 매듭으로 옮기는 과정으로 생각할 수 있다.

매듭 이론의 기본적인 문제 중 하나는 주어진 두 매듭이 동치인지 판별하는 '''인식 문제'''이다. 이 문제를 해결하기 위한 알고리즘은 1960년대 후반 볼프강 하켄에 의해 처음 제시되었지만, 계산 시간이 매우 오래 걸릴 수 있다. 특히 주어진 매듭이 가장 간단한 매듭인 자명한 매듭(unknot)과 동치인지 판별하는 '''매듭 풀기 문제'''는 중요한 연구 주제이다. 2021년 마크 라켄비는 이 문제를 준 다항 시간에 해결하는 알고리즘을 발표했다.^[2]

매듭 이론은 일상생활에서 신발 끈을 묶는 것과 같은 현상을 수학적으로 탐구하는 분야로 볼 수 있다. 끈의 양 끝을 연결하여 만들어진 고리가 위상적으로 어떻게 다른지 (또는 같은지)를 연구한다. 두 매듭이 같은지 판별하기 위해 라이데마이스터 변형과 같은 국소적인 변형 규칙이나, 매듭을 풀기 위한 최소한의 교차점 변경 횟수인 '''매듭 풀기 수'''(unknotting number^영어)와 같은 매듭 불변량을 사용한다. 매듭 불변량은 매듭이 변형되더라도 변하지 않는 값이나 속성으로, 알렉산더 다항식과 같은 매듭 다항식도 중요한 불변량이다.

하켄의 정칙 곡면(normal surface^영어) 이론은 두 매듭의 동치 여부를 판별하는 알고리즘의 존재를 보장한다. 최근 매듭 이론은 DNA나 단백질 구조 연구, 통계역학, 양자장론 등 다양한 분야와 연관되어 주목받고 있다. 또한 매듭은 3차원 다양체의 구조를 연구하는 데에도 활용된다.

3. 1. 매듭과 얽힘

• 묶음: 영역 $R^2\backslash times\; [0,1]$에 여러 개의 "끈" $[0,1]$를 (높이에 관하여) 임계점을 갖지 않도록 매립한 것. 군 구조를 가지므로 대수적인 시점에서의 연구가 많다.
• 공간 그래프: ''S¹'' 대신 그래프를 매립한 것.
• 탱글: 경계가 있는 3차원 다양체에 일반적인 콤팩트 1차원 다양체를 매립한 것. 범주 구조를 가진다.
• 가상 매듭: 매듭의 조합적인 표시인 가우스 도해를 고찰 대상으로 한 것. 가우스 도해에서는 교점으로 인식되지 않지만, 3차원 공간으로의 실현에서 교차로 그릴 수밖에 없는 "가상적인 교차"를 가진다.

3. 2. 다듬어진 매듭과 야생 매듭

3. 3. 유향 매듭/얽힘

• 모든 매듭은 소수 매듭들의 합성으로 나타낼 수 있다.
• 임의의 매듭 ''K''에 대해, 두 가지 분해 $K=K\_1\backslash sharp\; K\_2\backslash sharp\; \backslash dots\backslash sharp\; K\_m=L\_1\backslash sharp\; L\_2\backslash sharp\; \backslash dots\backslash sharp\; L\_n$ (여기서 $K\_1,\; K\_2,\; \backslash dots,\; K\_m$과 $L\_1,\backslash dots,\; L\_n$는 모두 자명하지 않은 소수 매듭이라고 가정)가 주어졌을 때, 분해에 사용된 소수 매듭의 개수 ''m''과 ''n''은 같으며, 첨자의 순서를 적절히 바꾸면 모든 ''i''에 대해 $K\_i$와 $L\_i$가 서로 동치인 매듭이 되도록 할 수 있다.

• 매듭 ''K''의 최소 교차수 $c\; (K)$에 대해, $c(\; K\_1\backslash sharp\; K\_2\; )\; \backslash le\; c(K\_1)\; +\; c(K\_2)$가 성립한다.
• 매듭 ''K''의 종수 $g\; (K)$에 대해, $g(\; K\_1\backslash sharp\; K\_2\; )\; =\; g(K\_1)\; +\; g(K\_2)$가 성립한다.
• 매듭 ''K''의 존스 다항식^[9] $P\; (K)$에 대해, $P(\; K\_1\backslash sharp\; K\_2\; )\; =\; P(K\_1)\; P(K\_2)$가 성립한다.

4. 매듭의 동치성

매듭 이론에서는 공간상에서 서로 다른 모양으로 놓여 있는 두 매듭이라도, 특정 조건을 만족하면 같은 매듭으로 간주한다. 이는 위상수학에서 위상동형인 도형을 같은 것으로 보는 것과 유사하지만, 모든 매듭은 원주 $S^1$과 위상동형이기 때문에, 매듭을 구별하기 위해서는 더 엄밀한 기준이 필요하다. 즉, 매듭 자체뿐만 아니라 매듭이 놓인 3차원 공간(Ambient space|주변 공간^eng) 전체를 연속적으로 변형하여 한 매듭을 다른 매듭으로 바꿀 수 있을 때, 두 매듭을 같다고 본다. 이를 '''매듭 동치'''라고 한다.

공식적인 수학적 정의는 다음과 같다. 두 매듭 $K\_1,\; K\_2$가 있을 때, 방향 보존 동형사상 $h\backslash colon\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}^3$가 존재하여 $h(K\_1)=K\_2$를 만족하면, 두 매듭은 동치이다.

이는 '''주변 아이소토피'''(Ambient isotopy^eng)라는 개념으로 더 자세히 설명할 수 있다. 두 매듭 $K\_1$과 $K\_2$는 다음 조건을 만족하는 연속 사상 $H:\; \backslash mathbb\{R\}^3\; \backslash times\; [0,1]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^3$가 존재할 때 동치이다.

# 각 $t\; \backslash in\; [0,1]$에 대해, $x\; \backslash mapsto\; H(x,t)$는 $\backslash mathbb\{R\}^3$에서 자신으로 가는 동형사상이다.

# 모든 $x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^3$에 대해 $H(x,\; 0)\; =\; x$이다. (즉, 변형은 항등사상에서 시작한다.)

# $H(K\_1,1)\; =\; K\_2$이다. (즉, 변형의 마지막 단계에서 $K\_1$이 $K\_2$로 옮겨진다.)

이러한 함수 $H$를 주변 아이소토피라고 한다. 방향 보존 동형사상을 이용한 정의와 주변 아이소토피를 이용한 정의는 결국 같은 매듭 동치 관계를 정의한다.

자명한 매듭(가장 단순한 원형 고리)과 동치인 매듭은 '''풀려 있다'''고 한다. 아래 그림들은 풀려 있는 매듭의 예시이다.

동치인 매듭의 예

풀려있는 매듭

매듭의 동치성을 판별하는 구체적인 방법 중 하나는 매듭의 그림(다이어그램)을 이용하는 것이다. 매듭의 그림을 국소적으로 변형하는 '''라이데마이스터 이동'''이라는 세 가지 기본 조작이 있으며, 두 매듭이 동치일 필요충분조건은 그들의 다이어그램이 유한 번의 라이데마이스터 이동과 평면 아이소토피(다이어그램을 평면상에서 변형하는 것)를 통해 서로 변형될 수 있다는 것이다. 라이데마이스터 이동은 다음과 같다.

라이데마이스터 이동 II와 III 만으로 서로 변형될 수 있는 매듭들은 '''정칙 동위'''(Regular isotopy^eng) 관계에 있다고 하며, 세 가지 이동 모두를 통해 변형될 수 있는 매듭들은 '''전동위'''(Ambient isotopy^eng), 즉 위에서 정의한 매듭 동치 관계에 있다.

매듭 이론의 기본적인 문제 중 하나는 주어진 두 매듭이 동치인지 아닌지를 판별하는 '''인식 문제'''이다. 이 문제를 해결하기 위한 알고리즘은 1960년대 후반 볼프강 하켄에 의해 처음 제시되었지만, 계산에 매우 오랜 시간이 걸릴 수 있다. 특히, 주어진 매듭이 자명한 매듭인지, 즉 풀려 있는 매듭인지를 판별하는 '''매듭 풀기 문제'''는 중요한 연구 주제이다. 2021년에는 마크 라켄비가 시간 복잡도 측면에서 준다항 시간에 작동하는 새로운 매듭 풀기 알고리즘을 발표했다.^[2]

5. 매듭의 표시

매듭은 3차원 공간에 존재하는 복잡한 위상적 대상이지만, 이를 연구하고 분류하기 위해 2차원 평면에 시각적으로 표현하는 다양한 방법이 개발되었다. 가장 기본적인 방법은 매듭을 평면에 투영하여 교차점에서 선의 위아래 관계를 표시하는 매듭 다이어그램을 사용하는 것이다. 동일한 매듭이라도 여러 다른 다이어그램으로 표현될 수 있으며, 두 다이어그램이 같은 매듭을 나타내는지 판별하기 위해 라이데마이스터 이동이라는 기본적인 변형 규칙이 사용된다. 또한 매듭을 체계적으로 식별하고 목록화하기 위해 알렉산더-브리그스 표기법, 도커-시슬스웨이트 표기법, 콘웨이 표기법 등 다양한 표기법이 고안되어 활용되고 있다.

5. 1. 매듭 다이어그램

매듭과 그 정칙 표현(매듭 다이어그램)의 예

매듭 (3D)	정칙 표현 (2D)

5. 2. 라이데마이스터 이동

동일한 매듭의 그림들이 라이데마이스터 이동으로 연결된다는 증명은, 하나의 매듭을 다른 매듭으로 바꾸는 과정에서 평면 투영에 어떤 일이 일어나는지를 분석하는 것에 기반한다. 이 변형 과정은 대부분의 경우 매듭 그림의 형태를 유지하지만, 두 개 이상의 가닥이 한 점에서 교차하거나 여러 가닥이 한 점에서 접하는 등의 특별한 "사건"이 발생할 때 예외가 생긴다. 복잡한 사건들을 제거하고 나면, 가장 단순한 세 가지 기본적인 사건만 남게 된다. (1) 꼬임(kink)이 생기거나 펴지는 경우(제1형), (2) 두 가닥이 한 점에서 접선처럼 만나 통과하는 경우(제2형), (3) 세 가닥이 한 점에서 교차하는 경우(제3형)이다. 이것들이 바로 라이데마이스터 이동에 해당한다.

위상수학에서는 연속 사상을 통해 연속적으로 변형하여 서로 일치시킬 수 있는 도형을 위상동형이라고 하며, 일반적으로 같은 것으로 간주한다. 매듭 이론 역시 위상수학의 한 분야이므로 비슷한 방식으로 매듭의 동일성을 다룬다. 하지만 모든 매듭은 원주 ''S''¹과 위상동형이기 때문에, 위상동형 여부만으로는 매듭을 구별할 수 없다. 따라서 매듭 이론에서는 주어진 매듭을 자르거나 붙이지 않고 연속적으로 변형하여 다른 매듭과 일치시킬 수 있을 때, 두 매듭이 같다고 정의한다. 이는 매듭 자체뿐만 아니라 매듭이 놓인 주변 공간(ambient space)까지 포함하여 연속적으로 변형할 수 있는지 여부를 따지는 것으로, 다음과 같이 수학적으로 정의된다.

두 매듭 ''K''와 ''K′''에 대해, 3차원 구 ''S''³와 시간 구간 [0, 1]의 곱공간 ''S''³ × [0, 1] 상의 자기동형 사상(호모토피) ''H''와 ''S''³ 상의 자기동형 사상 ''h'': ''S''³ → ''S''³가 존재하여 다음 조건을 만족할 때, ''K''와 ''K′''는 '''동치인 매듭'''이라고 한다.

• ''h''(''K'') = ''K′''
• 각 시간 ''i'' ∈ [0, 1]에서 ''H''를 ''S''³ × {''i''}에 제한한 사상 ''H''|_{''S''³×{''i''}}는 ''S''³ × {''i''} 상의 위상동형 사상이다.
• ''H''를 시간 0에 제한하면 항등 사상 ''H''|_''S''³×{0} = id_''S''³이고, 시간 1에 제한하면 ''H''|_''S''³×{1} = ''h''이다.

5. 3. 표기법

6. 매듭 불변량

매듭 이론에서 어떤 것을 분류하기 위해 다른 것으로 매개변수화하는 것은 수학의 여러 분야에서 흔히 사용되는 방법이다. 매듭에 대해서도, 주어진 두 개의 매듭이 동치인지 아닌지를 판단하는 "지표"로서 '''매듭 불변량'''(knot invariant^영어)을 생각할 수 있다. 매듭 불변량은 동치인, 즉 같은 매듭에는 동일한 값이 부여되도록 정의된 수학적 대상 또는 수량이다. (대우를 생각하면, 만약 두 매듭이 서로 다른 불변량 값을 가진다면 그 두 매듭은 동치가 아님을 의미한다.) 예를 들어, 어떤 불변량이 매듭 그림에서 계산된다면, 동치인 매듭을 나타내는 두 개의 서로 다른 그림에 대해서도 그 값은 동일해야 한다.

매듭 불변량은 두 매듭이 다른지 구별하는 데 유용하지만, 역이 항상 성립하는 것은 아니다. 즉, 두 매듭이 같은 불변량 값을 가진다고 해서 반드시 동치라고 단정할 수는 없다. 만약 어떤 불변량이 있어서, 그 불변량의 값이 같은 매듭들이 항상 동치가 된다면, 이러한 불변량은 모든 매듭을 완벽하게 구별할 수 있으며 '''완전 불변량'''이라고 부른다. 다양한 종류의 매듭 불변량이 연구되고 있으며, 이는 매듭을 분류하고 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

6. 1. 예시

6. 2. 다항식 불변량

• $C(O)\; =\; 1$ (여기서 $O$는 매듭 풀림의 임의의 다이어그램이다)
• $C(L\_+)\; =\; C(L\_-)\; +\; z\; C(L\_0)$

7. 매듭의 합성

8. 매듭 풀기 조작

자명한 매듭을 기준으로 삼아, 임의의 매듭이 자명한 매듭과 얼마나 유사한지를 비교하여 매듭의 "복잡성"을 파악하려는 시도가 있다. 이러한 접근 방식 중 하나는 매듭을 점진적으로 변형하여 푸는 과정인 매듭 풀기(unknotting|언놋팅^영어)이다. 매듭 풀기는 일반적으로 매듭을 자르거나 붙이는 등의 조작을 포함한다.

구체적으로, 어떤 매듭이든 유한 번의 적용으로 자명한 매듭으로 만들 수 있는 특정 규칙의 조작을 매듭 풀기 조작(unlinking or unknotting operation|언링킹 또는 언놋팅 오퍼레이션^영어)이라고 부른다. 이는 매듭의 위상적 동일성을 유지하는 라이데마이스터 이동과 같은 국소 변형과는 구별되는 개념으로, 매듭 자체를 변형시키는 조작이다.

만약 매듭 풀기 조작 ''X''가 역을 따라갈 수 있다면(즉, 조작을 되돌릴 수 있다면), 두 매듭 사이의 거리를 정의할 수 있다. 이는 한 매듭을 다른 매듭으로 변환하는 데 필요한 최소한의 조작 ''X'' 횟수로 정의된다.

다양한 종류의 매듭 풀기 조작과 이를 통해 정의되는 매듭 불변량에 대해서는 하위 섹션에서 더 자세히 설명한다.

8. 1. 예시

교차 교환

↔

• 교차점 수: 매듭을 평면에 그렸을 때 나타나는 교차점의 최소 개수. 매듭의 복잡성을 나타내는 기본적인 지표이다.
• 교차 교환 Crossing switch^영어: 매듭 그림의 한 교차점에서 위아래 줄을 바꾸는 조작이다. 이 조작과 관련된 개념은 다음과 같다.
• * 매듭 풀기 수 Unknotting number^영어: 주어진 매듭을 자명한 매듭으로 만들기 위해 필요한 최소한의 교차 교환 횟수.
• * 골디아스 거리 Gordian distance^영어: 두 매듭 사이를 변환하는 데 필요한 최소한의 교차 교환 횟수.
• * 골디아스 복소수 Gordian complex^영어: 매듭들을 꼭짓점으로 하고, 교차 교환으로 변환 가능한 매듭 쌍을 변으로 연결한 그래프 구조.

• 델타형 매듭 풀기 조작 Delta unknotting operation^영어: 매듭의 일부를 특정 형태(델타 모양)로 바꾸는 조작이다.
• * 델타형 매듭 풀기 수 Delta unknotting number^영어: 주어진 매듭을 자명한 매듭으로 만들기 위해 필요한 최소한의 델타형 매듭 풀기 조작 횟수.
• * 델타형 골디아스 거리 Delta Gordian distance^영어: 두 매듭 사이를 변환하는 데 필요한 최소한의 델타형 매듭 풀기 조작 횟수.

9. 고차원 매듭/얽힘

'''고차원 매듭'''은 매듭 이론을 고차원으로 일반화한 개념이다. 일반적으로 ''n''-매듭은 ''n''차원 구면 $\backslash mathbb\{S\}^n$ 하나를 ''m''차원 유클리드 공간 $\backslash R^m$에 매장(embedding)한 것을 의미한다.^[3][4] 여기서 ''m''은 보통 ''n''보다 2 이상 크다. 매듭이 형성되려면 주변 공간의 차원 ''m''이 매듭 자체의 차원 ''n''보다 충분히 커야 한다. 예를 들어, 구간 선형 ''n''-구는 (''n'' + 2)차원 공간에서 매듭을 형성할 수 있다. 그러나 부드러운 매듭의 경우, 더 낮은 차원에서도 매듭이 형성될 수 있다. 실제로 $\backslash R^6$에는 부드럽게 매듭이 맺어진 3-구가 존재한다. 일반적으로 $2n-3k-3>0$을 만족하는 $\backslash R^n$에 매장된 모든 부드러운 ''k''-구는 매듭이 풀려 있다.

고차원 매듭의 대표적인 예로는 4차원 유클리드 공간 $\backslash R^4$에 매장된 2차원 구 $\backslash mathbb\{S\}^2$를 생각할 수 있다. 이러한 매장이 $\backslash R^4$ 자체의 동형사상을 통해 표준적인 "둥근" 2-구로 변형될 수 없다면, 이 2-구는 매듭져 있다고 말한다. 매달린 매듭(suspended knots)과 회전 매듭(spun knots)은 이러한 2차원 구면 매듭의 대표적인 종류이다.

흥미롭게도, 우리가 일상적으로 경험하는 3차원 공간에서의 매듭(1-매듭)은 4차원 공간에서는 항상 풀 수 있다. 이는 4차원 방향으로 끈을 들어 올려 교차점을 해소하는 방식으로 이해할 수 있다. 마치 평면 위의 얽힌 끈을 3차원 공간으로 들어 올려 푸는 것과 유사하다. 4차원에서는 1차원 끈의 비 교차 닫힌 루프는 매듭이 없는 것과 동일하다.

'''고차원 얽힘''' 또는 '''고차원 링크'''(''n''-link)는 여러 개의 ''n''차원 구면 $\backslash mathbb\{S\}^n$ (''k''개의 복사본)을 ''m''차원 유클리드 공간 $\backslash R^m$ 또는 고차원 구면 $\backslash mathbb\{S\}^m$에 매장한 것을 의미한다.^[3][4]

고차원 매듭과 얽힘은 $m=n+2$인 경우와 $m>n+2$인 경우 모두 활발히 연구되고 있으며, 특히 $n>1$인 경우가 주요 대상이다.^[3][4] 고차원에서는 1차원 매듭과는 다른 독특한 현상들이 나타나기 때문에 위상수학의 흥미로운 연구 분야 중 하나로 여겨진다.^[10][11] 예를 들어, ''n''-구 $\backslash mathbb\{S\}^n$의 모든 매듭은 $\backslash R^\{n+1\}$에서 고립된 특이점을 가진 실 대수적 집합의 연결체라는 사실도 알려져 있다. 또한 4차원 공간에서 슬라이스 매듭과 리본 매듭 연구는 중요한 주제 중 하나이다.

참조

_[1] 간행물 Haken manifold
_[2] citation Marc Lackenby announces a new unknot recognition algorithm that runs in quasi-polynomial time https://www.maths.ox[...] Mathematical Institute, University of Oxford 2021-02-03
_[3] 서적 Surveys on Surgery Theory: Papers Dedicated to C.T.C. Wall Princeton University Press
_[4] 서적 Introduction to high dimensional knots
_[5] 학술지 Circuit Topology for Bottom-Up Engineering of Molecular Knots 2021-12-07
_[6] 학술지 A tile model of circuit topology for self-entangled biopolymers 2023-06-01
_[7] 웹사이트 The Revenge of the Perko Pair http://richardelwes.[...] 2016-02
_[8] 문서 S3 は二つの三次元球を境界で貼り合わせてできる。説明の便宜上片方の三次元球を北半球、他方を南半球、境界となる二次元球面を赤道と呼ぶことにする。
_[9] 문서 自明な結び目に対する値を 1として定義した。
_[10] 문서 A survey of applications of surgery to knot and link theory: J Levine, K Orr - Ann. of Math. Stud, 2000 http://citeseerx.ist[...]
_[11] 문서 arxiv1304.6053 Introduction to high dimensional knots: Eiji Ogasa http://arxiv.org/pdf[...]