불변량

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1. 개요
2. 정의
3. 수학에서의 불변량
4. 컴퓨터 과학에서의 불변량
- 4.1. MU 퍼즐 예시
5. 불변량과 문제 해결
6. 참고: 불변 집합
참조

1. 개요

불변량은 군 작용, 표현, 변형을 통해 수학에서 공식화되는 개념으로, 수학적 대상이나 함수의 특정 속성이 변환에 대해 변하지 않는 것을 의미한다. 불변량은 대상의 분류, 문제 해결, 프로그램 정확성 검증 등 다양한 분야에서 활용된다. 기하학에서는 삼각형의 내각의 합, 피타고라스 정리, 등각 사상 등이 불변량으로 사용되며, 대수학에서는 다항식의 차수, 행렬식 등이 불변량으로 활용된다. 컴퓨터 과학에서는 프로그램의 논리적 단언인 불변량이 프로그램 정확성을 추론하는 데 사용되며, MU 퍼즐과 같은 문제 해결에도 활용된다. 불변 집합은 매핑 아래에서 변하지 않는 집합을 의미하며, 불변량과 유사한 개념으로 사용된다.

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불변량
일반 정보
분야	수학
관련 분야	대수학, 기하학, 물리학
설명	수학적 변환에 의해 변경되지 않는 속성
상세 정보
정의	어떤 수학적 대상의 속성으로, 특정 변환 하에서 변하지 않는 것
예시	기하학적 변환에서의 거리 대칭 변환에서의 대칭성 물리 법칙에서의 에너지
불변량의 종류	대수적 불변량 기하학적 불변량 위상수학적 불변량
활용	수학적 문제 해결, 대상 분류, 물리 법칙 기술 등에 활용
역사
기원	19세기 대수학 연구에서 시작
주요 연구자	아르투어 케일리, 에미 뇌터, 앙리 푸앵카레
발전	군론, 표현론, 미분기하학 등과 연계되어 발전
응용 분야
수학	대수기하학 위상수학 미분기하학
물리학	상대성이론 양자역학 끈 이론
기타 분야	컴퓨터 과학 암호학 공학

2. 정의

삼각형에서 내각의 합이 $180^\circ$ 라는 것은 변하지 않는 속성, 즉 불변량이다. 이 값은 삼각형의 종류에 관계없이 항상 일정하다.

피타고라스의 정리에서 직각삼각형의 빗변은 밑변 제곱과 높이 제곱의 합의 제곱근으로 표현되는 불변적인 관계를 갖는다.

:

a^2 + b^2 = c^2

등각 사상은 각도를 유지하는 평면 변환으로, 각도는 등각 사상의 불변량이다.

함수에서도 특정 연산에 대해 변하지 않는 불변량을 찾을 수 있다.

불변량은 기하학, 위상수학, 대수학 등 다양한 수학 분야에서 활용되며, 몇몇 변환들은 불변량으로 정의되기도 한다.

불변량은 수학적 대상을 분류하는 데 중요한 역할을 한다.

대상 범주 ''C''와 대상 간의 동형 사상 ∼이 주어졌을 때, 함자 ''f'': ''C'' → ''D''가 다음을 만족하면,

:

\forall X, Y \in \operatorname{ob}(C),\quad X \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} Y \Rightarrow f(X) \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} f(Y)

''f''에 의한 상을 ''D''에 값을 가지는 ''C''의 '''불변량'''이라고 정의한다. 즉, 서로 다른 불변량을 갖는 두 대상은 서로 다르다.

만약 다음이 성립하면,

:

\forall X, Y \in \operatorname{ob}(C), \quad X \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} Y \iff f(X) \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} f(Y)

이 불변량은 '''완전 불변량'''이라고 한다.

3. 수학에서의 불변량

수학에서 불변량은 어떤 변환 과정에서도 값이 변하지 않는 성질을 말한다. 예를 들어, 삼각형의 내각의 합은 항상 180°이며, 이는 삼각형의 모양이 변해도 바뀌지 않는 불변량이다. 피타고라스의 정리에서 직각삼각형의 빗변은 밑변과 높이의 제곱의 합의 제곱근으로 표현되는 불변적인 관계를 갖는다.

: $a^2 + b^2 = c^2$

등각 사상은 각도를 유지하는 평면 변환으로 정의되는 또 다른 불변량의 예시이다.

항등식은 변수의 값에 관계없이 항상 참인 방정식이며, 부등식도 변수 값이 변해도 참을 유지하는 경우가 있다. 수직선 상의 두 점 사이 거리는 두 숫자에 같은 값을 더해도 변하지 않지만, 곱셈에 대해서는 이러한 불변성이 성립하지 않는다.

각도와 거리의 비율은 확대, 회전, 평행이동, 반사에 대해 변하지 않는다. 이러한 변환은 닮음 도형을 만들며, 삼각법의 기본 원리가 된다.

MU 퍼즐^[7]은 불변량을 이용하여 풀이의 불가능성을 증명하는 좋은 예시이다. 이 퍼즐은 특정 규칙에 따라 문자열을 변환하는 문제인데, 문자열 내 I의 개수가 항상 3의 배수가 아니라는 불변량을 통해 목표 문자열에 도달할 수 없음을 보일 수 있다.

다음 표는 각 변환 규칙이 불변량에 미치는 영향을 나타낸다.

규칙	I의 개수 변화	U의 개수 변화	불변량에 미치는 영향
1	+0	+1	I의 수는 변경되지 않음.
2	×2	×2	n이 3의 배수가 아니라면, 2×n도 3의 배수가 아님.
3	−3	+1	n이 3의 배수가 아니라면, n−3도 3의 배수가 아님.
4	+0	−2	I의 수는 변경되지 않음.

이처럼 불변량은 기하학, 위상수학, 대수학 등 다양한 수학 분야에서 활용되며, 수학적 대상을 분류하고 특성을 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

3. 1. 기하학 및 위상수학

삼각형의 내각의 합(180°)은 모양이 변해도 변하지 않는 불변량이다. 모든 원은 서로 닮았으며, 원주와 지름의 비율(π|원주율^grc)은 원의 크기가 변해도 일정하게 유지되는 불변량이다. 도형의 면적은 합동 변환에 대해 불변한다.^[6] 위상 객체의 차원과 호몰로지 군은 동형 사상에 대해 불변하다.^[5] 오일러 지표는 호몰로지 군의 군 동형성에 관한 불변량이며, 따라서 복합체의 호모토피 동형성에 관한 불변량이다. 매듭 불변량은 매듭의 동형성에 관한 불변량이다.

3. 2. 대수학

다항식의 차수는 변수의 선형 변화에 대해 불변한다.^[4] 선형 자기 사상의 행렬식, 대각합, 고유 벡터, 고유값은 기저 변환에 대해 불변하다. 즉, 행렬의 스펙트럼은 기저 변환에 대해 불변하다. 텐서의 주 불변량은 좌표계의 회전에 따라 변경되지 않는다 (텐서의 불변량 참조).

3. 3. 복소수

복소수의 실수 부분과 절댓값은 복소 공액에 대해 불변한다.^[4]

3. 4. 동적 시스템

동적 시스템에서 고정점의 수는 많은 수학적 연산에서 불변한다.^[5]

3. 5. 확률론

확률 분포의 분산은 실수선의 평행 이동에 대해 불변하다. 따라서 확률 변수의 분산은 상수를 더한 후에도 변경되지 않는다.^[4]

4. 컴퓨터 과학에서의 불변량

컴퓨터 과학에서 불변량은 컴퓨터 프로그램 실행 중 특정 시점에 항상 참으로 유지되는 논리적 단언이다. 예를 들어, 루프 불변량은 루프를 반복할 때마다 시작과 끝에서 항상 참인 조건이다.

불변량은 프로그램 정확성을 검증하거나, 최적화 컴파일러 이론, 계약에 의한 설계, 형식적 방법 등에서 중요한 역할을 한다.

프로그래머는 코드에서 어설션을 사용하여 불변량을 명시적으로 나타내기도 한다. 일부 객체 지향 프로그래밍 언어에는 클래스 불변량을 지정하는 특별한 문법이 있다.

추상 해석 도구를 이용하면 주어진 명령형 프로그램에서 간단한 불변량을 자동으로 계산할 수 있다. 발견 가능한 속성의 종류는 사용된 추상 도메인에 따라 달라진다. 예를 들어, `0<=x<1024`와 같은 단일 정수 변수의 범위, `0<=i-j<2*n-1`과 같은 여러 변수 간의 관계, `y%4==0`과 같은 모듈러스 정보 등이 있다.^[16]

하지만 더 정교한 불변량은 보통 수동으로 제공해야 한다. 특히 호어 계산법을 사용하여 명령형 프로그램을 검증할 때는,^[17] 프로그램의 각 루프에 대해 루프 불변량을 직접 작성해야 한다.

4. 1. MU 퍼즐 예시

MU 퍼즐^[7]은 불가능성 증명에 불변량을 이용하는 예시이다. 이 퍼즐은 MI라는 문자열에서 시작하여 다음 규칙에 따라 MU 문자열로 변환이 가능한지를 묻는다.

# 문자열이 I로 끝나면 U를 추가할 수 있다(''x''I → ''x''IU).

# M 뒤의 문자열을 완전히 복제할 수 있다(M''x'' → M''xx'').

# 연속된 세 개의 I (III)는 하나의 U로 바꿀 수 있다(''x''III''y'' → ''x''U''y'').

# 연속된 두 개의 U는 제거할 수 있다(''x''UU''y'' → ''xy'').

예를 들어 다음과 같은 변환이 가능하다.

:MI →² MII →² MIIII →³ MUI →² MUIUI →¹ MUIUIU →² MUIUIUUIUIU →⁴ MUIUIIUIU → ...

하지만, MI를 MU로 변환하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 "문자열의 I의 수는 항상 3의 배수가 아니다"라는 불변량이 있기 때문이다. 각 변환 규칙은 이 불변량을 유지한다.

규칙	#I	#U	불변량에 미치는 영향
1	+0	+1	I의 수는 변경되지 않는다.
2	×2	×2	n이 3의 배수가 아니라면, 2×n도 3의 배수가 아니다.
3	−3	+1	n이 3의 배수가 아니라면, n−3도 3의 배수가 아니다.
4	+0	−2	I의 수는 변경되지 않는다.

MI는 I가 1개이고, 1은 3의 배수가 아니므로, 어떤 규칙을 적용해도 I의 개수는 3의 배수가 될 수 없다. 따라서 MU (I가 0개, 즉 3의 배수)는 만들 수 없다.

5. 불변량과 문제 해결

가우스가 1부터 100까지의 합을 계산할 때 사용한 방법은 불변량 개념을 잘 보여주는 예시이다. 가우스는 아래와 같이 식을 배열하여 101이라는 불변량을 이용했다.^[1]

: $\begin{array}{cc}$

\begin{array}{r} \\ \\ \end{array}

&

\begin{array}

6. 참고: 불변 집합

특정 매핑에서 집합의 모든 원소가 그 집합 안에 그대로 있으면, 그 집합을 불변 집합이라고 한다. 예를 들어, 원은 원의 중심을 기준으로 회전하는 변환을 했을 때 불변 집합이 된다. 정규 부분군은 군의 내부 자기 동형 사상에서 안정적인 부분군인데, 이는 불변 집합의 개념과 관련이 있다.^[10]^[11]^[12]

참조

_[1] 웹사이트 Invariant Definition (Illustrated Mathematics Dictionary) https://www.mathsisf[...] 2019-12-05
_[2] 웹사이트 Invariant http://mathworld.wol[...] 2019-12-05
_[3] 웹사이트 Invariant – Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclop[...] 2019-12-05
_[4] 웹사이트 Tricolorability.pdf https://web.math.ucs[...] 2024-05-25
_[5] 간행물
_[6] 간행물
_[7] 서적 Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid https://archive.org/[...] Basic Books
_[8] 서적 Representations of Finite and Compact Groups https://books.google[...] American Mathematical Soc.
_[9] 서적 A Course in Modern Geometries https://archive.org/[...] Springer
_[10] 간행물
_[11] 간행물
_[12] 간행물
_[13] 간행물
_[14] 간행물
_[15] 간행물
_[16] conference Invariant Synthesis for Programs Manipulating Lists with Unbounded Data https://link.springe[...]
_[17] journal An axiomatic basis for computer programming http://www.spatial.m[...] 1969-10
_[18] 서적 수학의 파노라마: 피타고라스에서 57차원까지 수학의 역사를 만든 250개의 아이디어 https://books.google[...]

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