레인-엠덴 방정식

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 레인과 엠덴의 초기 연구
- 2.2. 찬드라세카르의 기여
3. 유도
- 3.1. 정역학적 평형으로부터의 유도
- 3.2. 푸아송 방정식으로부터의 유도
4. 해
5. 경계 조건
6. 응용
- 6.1. 별의 구조 모형
- 6.2. 기타 응용
7. 한국의 연구 동향
8. 한계
참조

1. 개요

레인-엠덴 방정식은 구형 대칭을 이루는 자체 중력 유체의 정역학적 평형 상태를 나타내는 비선형 미분 방정식이다. 이 방정식은 천체 물리학에서 별의 내부 구조를 모델링하는 데 사용되며, 특히 폴리트로프 관계식을 따르는 별의 반지름과 질량을 계산하는 데 활용된다. 레인-엠덴 방정식은 유도 과정에서 정역학적 평형, 질량 보존, 푸아송 방정식을 활용하며, 폴리트로프 지수 n 값에 따라 해석적 해 또는 수치적 해를 구할 수 있다.

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2. 역사

2. 1. 레인과 엠덴의 초기 연구

2. 2. 찬드라세카르의 기여

3. 유도

레인-엠덴 방정식을 유도하기 위해, 계가 구대칭이며 정역학적 평형이 성립한다고 가정한다. 그러한 계에서는, 압력 구배에 의한 바깥 방향의 힘과, 만유인력에 의한 안쪽 방향의 힘이 균형을 이루므로

: $\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{r^2}$

이 성립한다(정역학 평형의 식). 여기서 ''m''은 ''r''의 함수이며, 원점을 중심으로 하는 반지름 ''r''의 구 안에 포함되는 질량을 나타낸다. 즉, ''m''과 ρ 사이에는

$m(r) = \int_0^r 4\pi r^2 \rho (r) dr \,$
$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho \,$

의 관계가 있다. 따라서, 정역학 평형의 식의 양변에 ''r'' ²을 곱한 다음 ''r''로 미분하면

:

\frac{d}{dr} \left({ \frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr} }\right) = -G\frac{dm}{dr} = -4\pi G r^2 \rho

가 된다. 여기서 더 나아가, 압력이 밀도의 거듭제곱에 비례한다는 폴리트로프 관계식

:

P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}

을 가정하면,

:

\begin{align}\frac{d}{dr} \left({ \frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr} }\right)&= K \left({ 1+\frac{1}{n} }\right) \frac{d}{dr} \left({ r^2 \rho ^{\frac{1}{n}-1} \frac{d\rho}{dr} }\right) \\&= -4\pi G r^2 \rho \\\end{align}

가 되어, ρ(''r'' )에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다. 마지막으로, ''r''과ρ를 무차원수 ξ와 θ로 다음과 같이 나타낸다.

$r = \alpha \xi =\left(\frac{(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}}{4 \pi G} \right)^{\frac{1}{2}} \xi$
$\rho = \rho_c \theta^n . \,$

ρ_c는 상수이지만, 위에서 정한 θ의 경계 조건으로부터 ρ_c는 ''r'' =0에서의 밀도와 같다는 것을 알 수 있다. 이것들을 대입하면, 구하는 방정식

:

\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0

을 얻을 수 있다. 또한 폴리트로프의 관계식으로부터, ''r'' =0에서의 압력 ''P_c''과 ρ_c 사이에는

:

P_c = K\rho_c^{1+\frac{1}{n}}

의 관계가 있다는 것도 알 수 있다.

3. 1. 정역학적 평형으로부터의 유도

자기 중력 하에서 구형 대칭을 이루는 유체가 정역학적 평형 상태에 있다고 가정한다. 이 경우, 질량 보존 법칙(연속 방정식)은 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho

여기서

\rho

는

r

의 함수이다. 또한, 정역학적 평형 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm}{r^2}

여기서

m

은

r

의 함수이며, 원점을 중심으로 하는 반지름

r

의 구 안에 포함되는 질량을 나타낸다. 위 식을

r

에 대해 미분하고, 연속 방정식을 이용하여 질량 기울기를 대체하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right) &= \frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr} \\&=-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho\end{align}

양변에

r^2

을 곱하고

P

의 미분 항들을 좌변으로 모으면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho}\frac{dP}{dr}= \frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi Gr^2\rho

압력(

P

)과 밀도(

\rho

) 사이에 다음과 같은 폴리트로프 관계식을 가정한다.

:

P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}

이 식을 이용하여 밀도

\rho

를 무차원 변수

\theta

로 표현하고,

r

을 무차원 변수

\xi

로 치환하면, 다음과 같은 레인-엠덴 방정식을 얻을 수 있다.

:

\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0

여기서

r=\alpha\xi

이고,

\alpha^2=(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G

이다. 또한,

\rho=\rho_c\theta^n

이며,

\rho_c

는

r=0

에서의 밀도이다.

3. 2. 푸아송 방정식으로부터의 유도

푸아송 방정식은 다음과 같다.

\nabla^2\Phi=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left( r^2\frac{d\Phi}{dr} \right) = 4\pi G\rho

정역학적 평형 방정식을 이용하여 퍼텐셜 기울기를 압력 기울기로 대체할 수 있다.

\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}

계가 구대칭이며 정역학 평형이 성립한다고 가정하면, 압력 구배에 의한 바깥 방향의 힘과 만유인력에 의한 안쪽 방향의 힘이 균형을 이룬다.

:

\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = - \frac{Gm}{r^2}

여기서 ''m''은 ''r''의 함수이며, 원점을 중심으로 하는 반지름 ''r''의 구 안에 포함되는 질량을 나타낸다. ''m''과 ρ 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

$m(r) = \int_0^r 4\pi r^2 \rho (r) dr \,$
$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho \,$

정역학 평형의 식의 양변에 ''r'' ²을 곱한 다음 ''r''로 미분하면 다음과 같다.

:

\frac{d}{dr} \left({ \frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr} }\right) = -G\frac{dm}{dr} = -4\pi G r^2 \rho

압력이 밀도의 거듭제곱에 비례한다는 폴리트로프 관계식을 도입한다.

:

P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}

이를 통해 ρ(''r'' )에 대한 미분 방정식을 얻을 수 있다. ''r''과ρ를 무차원수 ξ와 θ로 다음과 같이 나타낸다.

$r = \alpha \xi =\left(\frac{(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}}{4 \pi G} \right)^{\frac{1}{2}} \xi$
$\rho = \rho_c \theta^n . \,$

ρ_c는 ''r'' =0에서의 밀도와 같다. 이것들을 대입하면, 최종적으로 레인-엠덴 방정식을 얻는다.

:

\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0

4. 해

주어진 다변수 지수 $n$ 에 대해, 레인-엠덴 방정식의 해를 $\theta_n(\xi)$ 로 표기한다. 일반적으로, 레인-엠덴 방정식은 $\theta_n$ 을 구하기 위해 수치적으로 풀어야 한다. 특히 $n = 0,1,5$ 에 대해 정확한 해석적 해가 존재한다. $n$ 이 0과 5 사이일 때, 해는 연속적이고 유한한 범위를 가지며, 별의 반경은 $R = \alpha \xi_1$ 으로 주어진다. 여기서 $\theta_n(\xi_1) = 0$ 이다.

주어진 해 $\theta_n$ 에 대해, 밀도 분포는 다음과 같다.

$\rho = \rho_c \theta_n^n .$

모형 별의 총 질량 $M$ 은 반경 0에서 $\xi_1$ 까지의 밀도를 적분하여 구할 수 있다.

압력은 다변수 상태 방정식 $P = K \rho^{1+\frac{1}{n}}$ 을 사용하여 구할 수 있으며, 즉,

$P = K \rho_c^{1+\frac{1}{n}} \theta_n^{n+1}$

마지막으로, 기체가 이상 기체일 경우, 상태 방정식은 $P = k_B\rho T/\mu$ 이며, 여기서 $k_B$ 는 볼츠만 상수이고 $\mu$ 는 평균 분자량이다. 그러면 온도 분포는 다음과 같다.

$T = \frac{K\mu}{k_B} \rho_c^{1/n} \theta_n$

구 대칭의 경우, 레인-엠덴 방정식은 다변수 지수 $n$ 의 세 가지 값에 대해서만 적분 가능하다.

레인-엠덴 방정식은 ''n'' =0, 1, 5의 경우에만 해석적으로 풀 수 있다. 그 외의 ''n''에 대한 해는 수치 계산을 통해 구한다. ''n'' =0, 1, 5에 대한 해는 다음과 같다.

n =	0	1	5
$\theta$ =	$1 - \frac {\xi^2}{6}$	$\frac{\sin\xi}{\xi}$	$\left(1+ \frac{\xi^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$
$\xi_1$ =	$\sqrt 6$	$\pi$	∞

여기서, ξ₁은 θ=0이 될 때의 ξ이다. 이 값은 물리적으로 중요하며, θ=0이 성립할 때 압력과 밀도도 0(P =0, ρ=0)이 되므로, 이 위치를 별이나 유체의 표면이라고 생각하면, ξ₁을 이용하여 중심으로부터의 반지름을 구할 수 있다.

4. 1. 해석적 해

레인-엠덴 방정식은 일반적으로

n=0, 1, 5

인 경우에만 해석적인 해를 갖는다.^[3]

$n=0$ 인 경우: $\theta = 1 - \frac{\xi^2}{6}$
$n=1$ 인 경우: $\theta = \frac{\sin\xi}{\xi}$
$n=5$ 인 경우: $\theta = \left(1+ \frac{\xi^2}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$

n=0, 1, 5

일 때 θ=0 이 되는 ξ의 값(ξ₁)은 각각

\sqrt 6, \pi

, ∞ 이다. 이 값은 별이나 유체의 표면으로 간주되어 반지름을 결정하는데 사용된다.^[3]

1962년 삼부나트 스리바스타바(Sambhunath Srivastava)는

n=5

일 때, 다음과 같은 또 다른 명시적인 해를 발견했다.^[3]

:

\theta = \frac{\sin(\ln \sqrt \xi)}{\sqrt{3\xi-2\xi \sin^2 (\ln \sqrt\xi)}}

이 해는 원점에서 진동하며 무한대로 발산하는 특성을 가지므로, 복합 별 모델에는 사용될 수 없다.

레인-엠덴 방정식의 해석적 해는 멱급수로 표현될 수 있으며, 이는 수치 적분에도 사용된다. 멱급수 해는 다음과 같다.

:

\theta(\xi) = \theta(0) - \frac{\theta(0)^{n}}{6} \xi^{2} + O(\xi^{3}),\quad  \xi \approx 0.

이 급수의 수렴 반경은 복소 평면의 허수 축에 존재하는 두 개의 특이점에 의해 제한된다.^[6]

4. 2. 수치적 해

일반적으로 레인-엠덴 방정식의 해는 수치 적분을 통해 구한다.^[8] 많은 표준 방법은 문제를 1차 상미분 방정식 시스템으로 공식화해야 한다. 예를 들어, 다음과 같이 표현할 수 있다.^[8]

:

\begin{align}& \frac{d\theta}{d\xi}=-\frac{\varphi}{\xi^2} \\[6pt]& \frac{d\varphi}{d\xi}=\theta^n\xi^2\end{align}

여기서

\varphi(\xi)

는

m(r) = 4\pi\alpha^3\rho_c\varphi(\xi)

로 정의된 무차원 질량으로 해석된다. 관련 초기 조건은

\varphi(0) = 0

및

\theta(0) = 1

이다. 첫 번째 방정식은 정역학적 평형을 나타내고 두 번째 방정식은 질량 보존을 나타낸다.^[8]

레인-엠덴 방정식은 ''n'' = 0, 1, 5의 경우에만 해석적으로 풀 수 있고, 그 외의 ''n''에 대한 해는 수치 계산을 통해 구한다.

4. 3. 상동 변수

만약 θ(ξ)가 레인-엠덴 방정식의 해라면, C^(2/(n-1))θ(Cξ)도 해가 된다.^[9] 이러한 방식으로 관련된 해를 "상동(homologous)"이라고 부르며, 이들을 변환하는 과정을 "상동성(homology)"이라고 한다. 상동성에 불변인 변수를 선택하면, 레인-엠덴 방정식의 차수를 하나 줄일 수 있다.

상동성 불변 변수를 도입하여 방정식의 차수를 낮출 수 있다. 변수 U와 V는 다음과 같이 정의된다.

U = (dlog m)/(dlog r) = (ξ³θⁿ)/φ
V = (dlog P)/(dlog r) = (n+1)φ/(ξθ)

이 변수들의 로그를 ξ에 대해 미분하고, 두 방정식을 나누어 ξ에 대한 의존성을 제거하면 하나의 1차 방정식을 얻을 수 있다.

상동성 불변 방정식은 자율 방정식 쌍으로 간주할 수 있으며, 이 방정식의 해의 거동은 선형 안정성 분석을 통해 결정할 수 있다. 방정식의 임계점과 야코비 행렬의 고유값 및 고유 벡터는 아래 표에 정리되어 있다.^[10]

5. 경계 조건

레인-엠덴 방정식은 2계 상미분 방정식이므로, 유일한 해를 구하기 위해서는 두 가지 경계 조건이 필요하다.

$\theta(0)=1 \,$
$\left( \frac{d \theta}{d \xi} \right)_{\xi=0} = 0 \,$

첫 번째 식은 구체의 중심(''r'' =0, 즉 ξ=0)에서의 밀도가 유한한 값 ρ_c 를 갖는다는 것을 의미한다. 두 번째 식은 구체의 중심에서 중력이 0(''m'' →0)이 되는 것과 동시에 압력 기울기도 0(''dP/dr'' =0)이 되며, 압력과 밀도는 폴리트로픽 관계에 의해 결합되어 있으므로, 밀도 기울기도 0이 된다는 것을 의미한다.

6. 응용

물리적으로 정역학적 평형은 포텐셜의 기울기, 밀도, 압력의 기울기를 연결하며, 푸아송 방정식은 포텐셜을 밀도와 연결한다. 따라서 압력과 밀도가 서로 어떻게 변하는지 지시하는 추가적인 방정식을 갖는다면 해에 도달할 수 있다. 위에서 주어진 바와 같이 폴리트로프 기체를 특별히 선택하면 문제의 수학적 표현이 매우 간결해지고 레인-엠덴 방정식으로 이어진다. 이 방정식은 별과 같은 자체 중력 플라즈마 구에 대한 유용한 근사이지만, 일반적으로 다소 제한적인 가정이다.

레인-엠덴 방정식을 실제 물리 현상에 적용하는 예로, 폴리트로프로 간주할 수 있는 구대칭 별의 반지름과 질량 유도를 설명한다.

==== 별의 구조 모형 ====

레인-엠덴 방정식은 폴리트로프 관계식을 따르는 구형 대칭 별의 내부 구조를 모형화하는 데 사용된다. 정역학적 평형은 포텐셜의 기울기, 밀도, 압력의 기울기를 연결하며, 푸아송 방정식은 포텐셜을 밀도와 연결한다. 이러한 관계를 통해 별의 반지름과 질량을 계산할 수 있다.

폴리트로프의 반지름 ''R''은 다음과 같이 표현된다.

: $R = \alpha \xi_1 =\left(\frac{(n+1)P_c}{4 \pi G \rho_c^2} \right)^{\frac{1}{2}} \xi_1$

폴리트로프의 질량 ''M''은 다음과 같이 계산된다.

: $M = \int_0^{R}4\pi\rho r^2 \ dr = \int_0^{\xi_1}4\pi\rho\alpha^3 \xi^2 \ d\xi = 4\pi\rho_c \alpha^3 \int_0^{\xi_1} \theta^n \xi^2 \ d\xi$

여기서 레인-엠덴 방정식을 대입하고, θ^''n''를 다시 쓰면,

: $M = 4\pi\rho_c \alpha^3 \int_0^{\xi_1} \left\{ -\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) \right\} \xi^2 \ d\xi = 4\pi\rho_c \alpha^3 \left\{ -\xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi=\xi_1} \right\}$

가 된다. 또한, α의 정의를 이용하면,

: $M = \left(\frac{(n+1)^3P_c^3}{4 \pi G^3 \rho_c^4} \right)^{\frac{1}{2}} \left\{ -\xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi=\xi_1} \right\}$

가 된다.

''n'' =5의 경우 ξ₁→∞가 되지만, 질량 자체는 유한한 값을 갖는다.

특히, 레인-엠덴 방정식은 백색왜성과 중성자별과 같이 밀도가 매우 높은 천체의 구조를 연구하는 데 유용하다.

==== 기타 응용 ====

정역학적 평형은 포텐셜의 기울기, 밀도, 압력의 기울기를 연결하며, 푸아송 방정식은 포텐셜을 밀도와 연결한다. 압력과 밀도가 서로 어떻게 변하는지 알려주는 추가적인 방정식을 통해 해를 구할 수 있다. 폴리트로피 기체를 선택하면 문제가 간결해지고 레인-엠덴 방정식으로 이어진다. 이 방정식은 별과 같은 자체 중력 플라즈마 구에 대한 유용한 근사이지만, 제한적인 가정을 전제로 한다.

6. 1. 별의 구조 모형

레인-엠덴 방정식은 폴리트로프 관계식을 따르는 구형 대칭 별의 내부 구조를 모형화하는 데 사용된다. 정역학적 평형은 포텐셜의 기울기, 밀도, 압력의 기울기를 연결하며, 푸아송 방정식은 포텐셜을 밀도와 연결한다. 이러한 관계를 통해 별의 반지름과 질량을 계산할 수 있다.

폴리트로프의 반지름 ''R''은 다음과 같이 표현된다.

:

R = \alpha \xi_1 =\left(\frac{(n+1)P_c}{4 \pi G \rho_c^2} \right)^{\frac{1}{2}} \xi_1

폴리트로프의 질량 ''M''은 다음과 같이 계산된다.

:

M = \int_0^{R}4\pi\rho r^2 \ dr = \int_0^{\xi_1}4\pi\rho\alpha^3 \xi^2 \ d\xi = 4\pi\rho_c \alpha^3 \int_0^{\xi_1} \theta^n \xi^2 \ d\xi

여기서 레인-엠덴 방정식을 대입하고, θ^''n''를 다시 쓰면,

:

M = 4\pi\rho_c \alpha^3 \int_0^{\xi_1} \left\{ -\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) \right\} \xi^2 \ d\xi = 4\pi\rho_c \alpha^3  \left\{ -\xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi=\xi_1} \right\}

가 된다. 또한, α의 정의를 이용하면,

:

M = \left(\frac{(n+1)^3P_c^3}{4 \pi G^3 \rho_c^4} \right)^{\frac{1}{2}}  \left\{ -\xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi=\xi_1} \right\}

가 된다.

''n'' =5의 경우 ξ₁→∞가 되지만, 질량 자체는 유한한 값을 갖는다.

특히, 레인-엠덴 방정식은 백색왜성과 중성자별과 같이 밀도가 매우 높은 천체의 구조를 연구하는 데 유용하다.

6. 2. 기타 응용

정역학적 평형은 포텐셜의 기울기, 밀도, 압력의 기울기를 연결하며, 푸아송 방정식은 포텐셜을 밀도와 연결한다. 압력과 밀도가 서로 어떻게 변하는지 알려주는 추가적인 방정식을 통해 해를 구할 수 있다. 폴리트로피 기체를 선택하면 문제가 간결해지고 레인-엠덴 방정식으로 이어진다. 이 방정식은 별과 같은 자체 중력 플라즈마 구에 대한 유용한 근사이지만, 제한적인 가정을 전제로 한다.

7. 한국의 연구 동향

8. 한계

참조

_[1] 논문 On the theoretical temperature of the Sun, under the hypothesis of a gaseous mass maintaining its volume by its internal heat, and depending on the laws of gases as known to terrestrial experiment https://zenodo.org/r[...]
_[2] 웹사이트 Zero Values of the TOV Equation https://github.com/j[...] 2024-01-04
_[3] 논문 A New Solution of the Lane-Emden Equation of Index n=5.
_[4] 논문 Perturbed Lane–Emden Equations as a Boundary Value Problem with Singular Endpoints
_[5] 논문 Series solutions for polytropes and the isothermal sphere 2001-12-11
_[6] 간행물 On the Singularities of the Emden–Fowler Type Equations http://link.springer[...] Springer International Publishing 2020-07-19
_[7] 논문 On the generalized Emden–Fowler and isothermal spheres equations https://linkinghub.e[...]
_[8] 서적 Stellar Interiors: Physical Principles, Structure, and Evolution Springer 2004
_[9] 서적 An Introduction to the Study of Stellar Structure https://books.google[...] Dover
_[10] 논문 Topology of the Lane-Emden equation 1987
_[11] 간행물 On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment
_[12] 저널 On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment

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레인-엠덴 방정식
개요
Lane-Emden 방정식의 해 (n=1)
유형	무차원 방정식
분야	천체물리학
이름의 유래	조너선 호머 레인 로베르트 에민 엠덴
수학적 설명
방정식	1/ξ^2 d/dξ (ξ^2 dθ/dξ) + θ^n = 0
변수	ξ (무차원 반경) θ (무차원 온도)
매개변수	n (폴리트로프 지수)
경계 조건	θ(0) = 1, θ'(0) = 0
특징
특성	2차 비선형 상미분 방정식
활용
사용	구형으로 대칭인 폴리트로프의 구조 모델링

임계점	고유값	고유 벡터
(0,0)	3, -1	(1,0), (0,1)
(3,0)	-3,2	(1,0), (-3n,5+5n)
(0,n+1)	1, 3-n	(0,1), (2-n,1+n)
( (n-3)/(n-1), 2(n+1)/(n-1) )	(n-5±Δn)/(2-2n)	(1-n∓Δn,4+4n)