루진-당주아 정리

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1. 개요

루진-당주아 정리는 실수 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합 E에 대해, 무한급수 ∑(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))가 E의 모든 점 x에서 절대수렴하면, 무한급수 ∑(|aₙ| + |bₙ|)도 수렴한다는 정리이다.

루진-당주아 정리

개요

분야	실해석학
이름	루진-당주아 정리
영문명	Denjoy–Luzin theorem
발견자	아르노 당주아 니콜라이 루진
발표 년도	1912년

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1. 개요
2. 공식화
- 2.1. 조건
- 2.2. 결론

2. 공식화

루진-당주아 정리는 특정 조건을 만족하는 삼각급수가 주어졌을 때, 그 계수들의 절댓값으로 이루어진 무한급수 역시 수렴한다는 것을 보이는 정리이다. 구체적인 조건과 내용은 하위 섹션에서 상세히 다룬다.

2.1. 조건

E를 실수의 부분집합으로, 구간 [0, 2π)에 속하며 양측도를 가지는 가측 집합이라고 하자. 만약 다음 형태의 삼각 급수

: $\sum^{\infty}_{n=1} (a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx})$

가 집합 E에 속하는 모든 점 x에서 절대수렴한다면, 계수들의 절대값으로 이루어진 다음의 무한급수

: $\sum^{\infty}_{n=1} (|a_n| + |b_n|)$

는 수렴한다.

2.2. 결론

E를 실수의 부분집합인 구간 [0, 2π)에 속하며 양측도를 가지는 가측 집합이라고 하자. 만약 삼각 무한급수

: $\sum^{\infty}_{n=1} (a_n \cos{nx} + b_n \sin{nx})$

가 집합 E에 속하는 모든 점 x에서 절대수렴한다면, 계수들의 절댓값으로 이루어진 다음 무한급수

: $\sum^{\infty}_{n=1} (|a_n| + |b_n|)$

역시 수렴한다.