루진-당주아 정리

1. 개요

루진-당주아 정리는 실수 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합 E에 대해, 무한급수 ∑(aₙcos(nx) + bₙsin(nx))가 E의 모든 점 x에서 절대수렴하면, 무한급수 ∑(|aₙ| + |bₙ|)도 수렴한다는 정리이다.

2. 공식화

루진-당주아 정리는 특정 조건을 만족하는 삼각급수가 주어졌을 때, 그 계수들의 절댓값으로 이루어진 무한급수 역시 수렴한다는 것을 보이는 정리이다. 구체적인 조건과 내용은 하위 섹션에서 상세히 다룬다.

2.1. 조건

E를 실수의 부분집합으로, 구간 [0, 2π)에 속하며 양측도를 가지는 가측 집합이라고 하자. 만약 다음 형태의 삼각 급수

: $\backslash sum^\{\backslash infty\}\_\{n=1\}\; (a\_n\; \backslash cos\{nx\}\; +\; b\_n\; \backslash sin\{nx\})$

가 집합 E에 속하는 모든 점 x에서 절대수렴한다면, 계수들의 절대값으로 이루어진 다음의 무한급수

: $\backslash sum^\{\backslash infty\}\_\{n=1\}\; (|a\_n|\; +\; |b\_n|)$

는 수렴한다.

2.2. 결론

E를 실수의 부분집합인 구간 [0, 2π)에 속하며 양측도를 가지는 가측 집합이라고 하자. 만약 삼각 무한급수

: $\backslash sum^\{\backslash infty\}\_\{n=1\}\; (a\_n\; \backslash cos\{nx\}\; +\; b\_n\; \backslash sin\{nx\})$

가 집합 E에 속하는 모든 점 x에서 절대수렴한다면, 계수들의 절댓값으로 이루어진 다음 무한급수

: $\backslash sum^\{\backslash infty\}\_\{n=1\}\; (|a\_n|\; +\; |b\_n|)$

역시 수렴한다.