리우빌 미분 형식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소 좌표를 통한 정의
- 2.2. 좌표 독립적인 정의
3. 성질
4. 리만 및 유사 리만 다양체에서의 확장
5. 역사
참조

1. 개요

리우빌 미분 형식은 매끄러운 다양체의 공변접다발 위에 정의되는 미분 형식으로, 국소 좌표 또는 좌표 독립적인 정의를 통해 나타낼 수 있다. 이 형식은 심플렉틱 다양체 구조를 이루며, 해밀턴 역학의 작용과 밀접한 관련이 있다. 또한, 리만 및 유사 리만 다양체로 확장될 수 있으며, 조제프 리우빌의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 과 자연수 $k\in\mathbb N$ 가 주어졌을 때, $M$ 의 공변접다발 $\mathrm T^*M$ 의 $k$ 차 올별 외대수 $E = \bigwedge^k\mathrm T^*M$ 위에서 정의되는 특별한 $k$ 차 미분 형식 $\theta \in \Omega^k(E)$ 를 '''리우빌 미분 형식'''(Liouville differential form^eng) 또는 '''표준 k-형식'''(canonical k-form^eng)이라고 한다.

이는 $E$ 위의 각 점 $(x,p)$ (여기서 $x \in M$ , $p \in \bigwedge^k\mathrm T^*_xM$ )에서 정의되는 사상으로, 접공간 $\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E$ 에서 $\bigwedge^k \mathrm T_xM$ 으로의 자연스러운 사영(projection)을 통해 구성된다. 구체적인 정의 방식은 국소 좌표를 이용하거나 좌표에 의존하지 않는 기하학적 방식으로 설명될 수 있다.

특히 $k=1$ 인 경우, 즉 코탄젠트 다발 $T^*Q$ 위의 리우빌 1-형식은 '''타우톨로지 1-형식'''(tautological one-form^eng), '''표준 1-형식'''(canonical one-form^eng), '''푸앵카레 1-형식'''(Poincaré 1-form^eng) 등으로도 불린다. 이 1-형식의 외미분 $\omega = -d\theta$ 는 코탄젠트 다발 위의 표준적인 심플렉틱 형식을 정의하며, 이는 해밀턴 역학에서 기본적인 역할을 수행한다.

2. 1. 국소 좌표를 통한 정의

위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다.

x\in M

근처의 국소 좌표계

x^i

를 생각하자. 이 경우

E

의 국소 좌표는

:

(x^i, p_{j_1j_2\dotso j_k})

의 꼴이다. 이 경우

:

\theta = \frac1{k!} p_{i_1i_2\dotso i_k} \mathrm dx^{i_1} \wedge \mathrm dx^{i_2} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k}

이다.

자명한 1-형식을 정의하기 위해,

T^*Q

위의 좌표 차트

U

와

U

위의 표준 좌표계를 선택한다. 임의의 점

m \in T^*Q

를 선택한다. 코탄젠트 다발의 정의에 따라,

m = (q,p)

이며, 여기서

q \in Q

이고

p \in T_q^*Q

이다. 자명한 1-형식

\theta_m : T_mT^*Q \to \R

는 다음과 같이 주어진다.

\theta_m = \sum^n_{i=1} p_i \, dq^i,

여기서

n = \mathop{\text{dim}}Q

이고

(p_1, \ldots, p_n) \in U \subseteq \R^n

는

p

의 좌표 표현이다.

이 정의를 전체 미분(완전 형식)까지 보존하는

T^*Q

위의 모든 좌표는 표준 좌표라고 할 수 있다. 서로 다른 표준 좌표계 간의 변환은 표준 변환으로 알려져 있다.

'''표준 심플렉틱 형식''', 즉 '''푸앵카레 2-형식'''은 다음과 같다.

\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i

이 개념을 일반적인 올 다발로 확장한 것을 솔더 형식이라고 한다. 일반적으로 형식에 고유하고 표준적인 정의가 있을 때 "표준 형식"이라는 구문을 사용하고, 임의의 선택을 해야 할 때는 "솔더 형식"이라는 용어를 사용한다. 대수 기하학과 복소 기하학에서는 표준류와의 혼동 때문에 "표준"이라는 용어 사용을 권장하지 않으며, 자명한 다발에서와 같이 "자명한"이라는 용어를 선호한다.

2. 2. 좌표 독립적인 정의

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.

매끄러운 다양체 $M$
자연수 $k\in\mathbb N$

이때,

M

의 공변접다발

\mathrm T^*M

의

k

차 올별 외대수

E = \bigwedge^k\mathrm T^*M

를 생각할 수 있다. 이 공간의 국소 좌표는 다음과 같은 형태를 가진다.

:

(x,p)

여기서

x\in M

이고,

p\in E_x = \bigwedge^k\mathrm T^*_xM

이다.

이 경우, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.

:

\mathrm T_{(x,p)}E \cong \mathrm T_xM \oplus E_x

또한, 다음과 같은 동형 사상도 생각할 수 있다.

:

\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \cong \bigwedge^k(E_x\oplus\mathrm T_xM) \cong \bigoplus_{i=0}^k\bigwedge^{k-i}E_x \otimes \bigwedge^i \mathrm T_xM = \bigwedge^k \mathrm T_xM \oplus E_x \otimes \bigwedge^{k-1} \mathrm T_xM \oplus \dotsb \oplus \bigwedge^kE_x

이 동형 사상을 이용하여 사영 사상

\pi

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\pi\colon \bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \twoheadrightarrow \bigwedge^k \mathrm T_xM

이제, 임의의 점

(x,p)\in E

에 대하여 미분 형식

\theta

를 다음과 같이 정의한다.

:

\theta|_{(x,p)} \colon \bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \to \mathbb R

:

\theta|_{(x,p)}(w) = p(\pi(w)) \qquad\left(x \in M,\;p\in \bigwedge^k\mathrm T^*_xM,\;w\in\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E\right)

이렇게 정의된

\theta

는

E

위의

k

차 미분 형식이 되며, 즉

\theta \in \Omega^k(E)

이다. 이를

E

위의 '''리우빌 미분 형식'''이라고 부른다.

특히

k=1

인 경우, 즉 코탄젠트 다발

M = T^*Q

위의 리우빌 1-형식은 위 정의의 특수한 경우로, 다음과 같이 더 추상적으로 정의할 수도 있다.

Q

를 다양체라고 하고,

M=T^*Q

를 그 코탄젠트 다발이라고 하자.

표준적인 사영을

\pi : M \to Q

라고 하자. 이 사영으로부터 유도되는 접선 사상을

\mathrm{d} \pi : TM \to TQ

라고 표기하자.

M

위의 임의의 점

m \in M

을 생각하자.

M

은 코탄젠트 다발이므로,

m

은

q=\pi(m) \in Q

위의 점이며, 동시에

q

에서의 접공간

T_qQ

에서 실수

\mathbb R

로 가는 선형 사상으로 볼 수 있다.

:

m : T_qQ \to \mathbb R

즉,

m

은

q

점 위의 올(fiber)에 속하는 원소이다.

점

m

에서의 리우빌 1-형식

\theta_m

은 다음과 같이 정의된다.

:

\theta_m = m \circ \mathrm{d}_m \pi

여기서

\circ

는 함수의 합성을 나타낸다.

\mathrm{d}_m \pi

는

T_mM

에서

T_qQ

로 가는 사상이고,

m

은

T_qQ

에서

\mathbb R

로 가는 사상이므로,

\theta_m

은 다음과 같은 선형 사상이 된다.

:

\theta_m : T_mM \to \mathbb R

이는

m

에서의 공변벡터, 즉

T_m^*M

의 원소이다. 따라서 모든 점

m \in M

에 대해 이를 정의하면, 다음과 같은

M

위의 단면(section)을 얻는다.

:

\theta : M \to T^*M

이는

M

위의 1차 미분 형식이다.

3. 성질

리우빌 미분 형식 $\theta$ 는 몇 가지 중요한 기하학적 성질을 가진다.

우선, 매끄러운 다양체 $M$ 에 대해, $k$ -형식들의 벡터 다발 $E = \textstyle\bigwedge^k \mathrm T^*M$ 위의 리우빌 미분 형식 $\theta \in \Omega^k(E)$ 의 외미분 $\mathrm d\theta$ 는 $E$ 위에 자연스러운 $k$ 차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 특히 $k=1$ 인 경우, 공변접다발 $E = \mathrm T^*M$ 은 $\mathrm d\theta$ 를 통해 표준적인 심플렉틱 다양체 구조를 갖게 된다.

또한, $k=1$ 일 때의 리우빌 형식, 즉 타우톨로지 1-형식 $\theta \in \Omega^1(\mathrm T^*M)$ 는 당김 연산과 관련하여 독특한 성질을 만족한다. 구체적으로, $M$ 위의 임의의 1-형식 $\beta$ 를 단면 $\beta: M \to \mathrm T^*M$ 으로 간주할 때, $\theta$ 를 $\beta$ 를 통해 당겨오면 자기 자신( $\beta$ )이 된다( $\beta^*\theta = \beta$ ). 이 성질은 타우톨로지 1-형식을 유일하게 특징짓는다.

3. 1. 심플렉틱 포텐셜

매끄러운 다양체

M

에 대하여,

E = \textstyle\bigwedge^k \mathrm T^*M

위의 리우빌 미분 형식

\theta\in\Omega^k(E)

가 주어졌을 때, 이의 외미분

:

\mathrm d\theta \in\Omega^{k+1}(E)

는

E

위의

k

차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 특히,

k=1

인 경우, 공변접다발의 전체 공간

E = \mathrm T^*M

은

\mathrm d\theta

를 통해 표준적인 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다.

이 맥락에서

k=1

일 때의 리우빌 형식

\theta \in \Omega^1(\mathrm T^*M)

는 표준 1-형식 또는 리우빌-푸앵카레 1-형식 등으로 불리며, 심플렉틱 형식

\omega = -\mathrm d\theta

의 심플렉틱 포텐셜 역할을 한다. 국소적인 표준 좌표계

(q^1, \dots, q^n, p_1, \dots, p_n)

에서 표준 1-형식

\theta

는 다음과 같이 표현된다.

\theta = \sum^n_{i=1} p_i \, \mathrm dq^i

여기서

n = \dim M

이고,

(q^i)

는

M

위의 국소 좌표계,

(p_i)

는 해당 좌표계에서 쌍대 공간

\mathrm T_q^*M

의 기저에 대한 좌표이다. 이 정의는 완전 형식을 더하는 차이까지 유일하게 결정된다. 이러한

\theta

를 보존하는

\mathrm T^*M

위의 좌표 변환을 표준 변환이라고 한다.

표준 1-형식

\theta

의 외미분에 음수를 취하여 얻는 2-형식

\omega = -\mathrm d\theta = \sum_{i=1}^n \mathrm dq^i \wedge \mathrm dp_i

를 표준 심플렉틱 형식 또는 푸앵카레 2-형식이라고 한다. 이는

\mathrm T^*M

위에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한다.

보다 일반적으로, 심플렉틱 다양체

(X, \omega)

에서 심플렉틱 형식

\omega

가 완전 형식일 때, 즉

\omega = -\mathrm d\phi

를 만족하는 1-형식

\phi \in \Omega^1(X)

가 존재할 경우, 이

\phi

를

\omega

의 심플렉틱 포텐셜 또는 국소 포텐셜이라고 부른다. 공변접다발

\mathrm T^*M

의 경우, 표준 1-형식

\theta

가 표준 심플렉틱 형식

\omega = -\mathrm d\theta

의 심플렉틱 포텐셜이 된다. 임의의 다른 심플렉틱 포텐셜

\phi

는 표준 1-형식

\theta

와 닫힌 형식만큼의 차이를 가진다 (

\phi = \theta + \alpha

이고

\mathrm d\alpha = 0

).

"표준 형식"이라는 용어는 일반적으로 대상에 내재된 고유하고 표준적인 정의가 있을 때 사용된다. 임의의 선택이 필요한 경우 솔더 형식과 같은 다른 용어가 사용될 수 있다. 대수 기하학이나 복소 기하학에서는 표준류와의 혼동을 피하기 위해 "표준" 대신 "자명한"이라는 용어를 사용하기도 한다(예: 자명한 다발).

3. 2. 당김과의 관계

타우톨로지 1-형식

\theta

는 공변접다발

T^*Q

위에서 정의되는 특별한 1-형식으로, "당김" 연산을 "상쇄"하는 고유한 성질을 가진다.

구체적으로,

Q

위의 임의의 1-형식

\beta

가 주어졌다고 하자. 이 1-형식

\beta

는 단면

\beta: Q \to T^*Q

으로 생각할 수 있다. 이제

T^*Q

위에 정의된 또 다른 1-형식

\sigma

를 생각해보자.

\beta

에 의한

\sigma

의 당김은 정의에 따라

\beta^*\sigma := \sigma \circ \beta_*

이다. 여기서

\beta_* : TQ\to TT^*Q

는

\beta

의 앞으로 밀기(pushforward)를 나타낸다. 이렇게 얻어진

\beta^*\sigma

는 다시

Q

위의 1-형식이 된다.

타우톨로지 1-형식

\theta

의 핵심적인 성질은,

Q

위의 모든 1-형식

\beta

에 대해 다음 등식이 성립한다는 것이다.

\beta^*\theta = \beta

이 성질을 만족하는 1-형식은

\theta

가 유일하다.

증명

이 성질로부터 중요한 결과가 도출된다. 당김 연산 $\beta^*$ 와 외미분 $d$ 는 교환 가능하므로( $\beta^* d = d \beta^*$ ), 리우빌 형식(심플렉틱 형식) $\omega = -d\theta$ 의 당김은 다음과 같이 계산된다.

$\beta^*\omega = -\beta^* (d\theta) = -d (\beta^*\theta) = -d\beta.$

이는 $Q$ 위의 1-형식 $\beta$ 가 닫힌 형식(closed form, 즉 $d\beta=0$ )일 필요충분조건은, 해당 단면 $\beta(Q) \subset T^*Q$ 가 심플렉틱 형식 $\omega$ 에 대해 라그랑주 부분다양체(Lagrangian submanifold)가 되는 것임을 의미한다.

3. 3. 작용(Action)과의 관계

만약

H

가 해밀턴 역학에서의 공간의 쌍대 벡터 다발에 대한 해밀토니안이고,

X_H

가 해당 해밀턴 벡터장이라면, 그에 대응하는 작용

S

는 다음과 같이 주어진다.

S = \theta(X_H).

좀 더 쉽게 설명하면, 해밀턴 흐름은 해밀턴-야코비 방정식을 따르는 역학계의 고전적인 궤적을 나타낸다. 해밀턴 흐름은 해밀턴 벡터장의 적분이며, 따라서 작용-각 변수에 대한 전통적인 표기법을 사용하여 다음과 같이 적을 수 있다.

S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i

여기서 적분은 에너지

E

를 일정하게 유지하는 다양체, 즉

H=E=\text{const}

인 조건에서 수행되는 것으로 이해된다.

4. 리만 및 유사 리만 다양체에서의 확장

만약 다양체 $Q$ 가 리만 또는 유사 리만 계량 텐서 $g$ 를 갖는다면, 리우빌 형식의 정의를 일반 좌표계를 사용하여 확장할 수 있다. 구체적으로, 계량 $g$ 를 접공간 $TQ$ 에서 공변접공간 $T^*Q$ 로 가는 사상으로 간주하면,

$g : TQ \to T^*Q,$

다음과 같이 새로운 형식들을 정의할 수 있다.

$\Theta = g^*\theta$

그리고

$\Omega = -d\Theta = g^*\omega$

여기서 $\theta$ 는 표준 1-형식이고 $\omega = -d\theta$ 는 표준 심플렉틱 형식이다. $g^*$ 는 $g$ 에 의한 당김(pullback)을 나타낸다.

$TQ$ 위의 일반 좌표계 $(q^1,\ldots,q^n,\dot q^1,\ldots,\dot q^n)$ 에서, 이 형식들은 다음과 같이 표현된다.

$\Theta = \sum_{ij} g_{ij} \dot q^i dq^j$

그리고

$\Omega = \sum_{ij} g_{ij} \; dq^i \wedge d\dot q^j +\sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \;\dot q^i\, dq^j \wedge dq^k$

여기서 $g_{ij}$ 는 국소 좌표계에서 계량 텐서 $g$ 의 성분이고, $dq^i$ 와 $d\dot q^j$ 는 좌표 기저의 미분 형식이며, $\wedge$ 는 쐐기곱을 나타낸다.

이 계량 $g$ 는 $T^*Q$ 위에 단위 반지름의 구(sphere)를 정의하는 것을 가능하게 한다. 이 구에 제한된 표준 1-형식 $\theta$ 는 접촉 구조를 형성한다. 이 접촉 구조는 해당 계량에 대한 측지 흐름을 생성하는 데 사용될 수 있다.

5. 역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.

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