리우빌 미분 형식

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1. 개요

리우빌 미분 형식은 매끄러운 다양체의 공변접다발 위에 정의되는 미분 형식으로, 국소 좌표 또는 좌표 독립적인 정의를 통해 나타낼 수 있다. 이 형식은 심플렉틱 다양체 구조를 이루며, 해밀턴 역학의 작용과 밀접한 관련이 있다. 또한, 리만 및 유사 리만 다양체로 확장될 수 있으며, 조제프 리우빌의 이름을 따서 명명되었다.

리우빌 미분 형식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 국소 좌표를 통한 정의
- 2.2. 좌표 독립적인 정의
3. 성질
4. 리만 및 유사 리만 다양체에서의 확장
5. 역사

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 과 자연수 $k\in\mathbb N$ 가 주어졌을 때, $M$ 의 공변접다발 $\mathrm T^*M$ 의 $k$ 차 올별 외대수 $E = \bigwedge^k\mathrm T^*M$ 위에서 정의되는 특별한 $k$ 차 미분 형식 $\theta \in \Omega^k(E)$ 를 리우빌 미분 형식(Liouville differential form^영어) 또는 표준 k-형식(canonical k-form^영어)이라고 한다.

이는 $E$ 위의 각 점 $(x,p)$ (여기서 $x \in M$ , $p \in \bigwedge^k\mathrm T^*_xM$ )에서 정의되는 사상으로, 접공간 $\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E$ 에서 $\bigwedge^k \mathrm T_xM$ 으로의 자연스러운 사영(projection)을 통해 구성된다. 구체적인 정의 방식은 국소 좌표를 이용하거나 좌표에 의존하지 않는 기하학적 방식으로 설명될 수 있다.

특히 $k=1$ 인 경우, 즉 코탄젠트 다발 $T^*Q$ 위의 리우빌 1-형식은 타우톨로지 1-형식(tautological one-form^영어), 표준 1-형식(canonical one-form^영어), 푸앵카레 1-형식(Poincaré 1-form^영어) 등으로도 불린다. 이 1-형식의 외미분 $\omega = -d\theta$ 는 코탄젠트 다발 위의 표준적인 심플렉틱 형식을 정의하며, 이는 해밀턴 역학에서 기본적인 역할을 수행한다.

2.1. 국소 좌표를 통한 정의

위 정의는 국소 좌표를 사용하여 간단히 적을 수 있다. $x\in M$ 근처의 국소 좌표계 $x^i$ 를 생각하자. 이 경우 $E$ 의 국소 좌표는
: $(x^i, p_{j_1j_2\dotso j_k})$
의 꼴이다. 이 경우
: $\theta = \frac1{k!} p_{i_1i_2\dotso i_k} \mathrm dx^{i_1} \wedge \mathrm dx^{i_2} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k}$
이다.
자명한 1-형식을 정의하기 위해, $T^*Q$ 위의 좌표 차트 $U$ 와 $U$ 위의 표준 좌표계를 선택한다. 임의의 점 $m \in T^*Q$ 를 선택한다. 코탄젠트 다발의 정의에 따라, $m = (q,p)$ 이며, 여기서 $q \in Q$ 이고 $p \in T_q^*Q$ 이다. 자명한 1-형식 $\theta_m : T_mT^*Q \to \R$ 는 다음과 같이 주어진다.
$\theta_m = \sum^n_{i=1} p_i \, dq^i,$
여기서 $n = \mathop{\text{dim}}Q$ 이고 $(p_1, \ldots, p_n) \in U \subseteq \R^n$ 는 $p$ 의 좌표 표현이다.

이 정의를 전체 미분(완전 형식)까지 보존하는 $T^*Q$ 위의 모든 좌표는 표준 좌표라고 할 수 있다. 서로 다른 표준 좌표계 간의 변환은 표준 변환으로 알려져 있다.

표준 심플렉틱 형식, 즉 푸앵카레 2-형식은 다음과 같다.
$\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i$

이 개념을 일반적인 올 다발로 확장한 것을 솔더 형식이라고 한다. 일반적으로 형식에 고유하고 표준적인 정의가 있을 때 "표준 형식"이라는 구문을 사용하고, 임의의 선택을 해야 할 때는 "솔더 형식"이라는 용어를 사용한다. 대수 기하학과 복소 기하학에서는 표준류와의 혼동 때문에 "표준"이라는 용어 사용을 권장하지 않으며, 자명한 다발에서와 같이 "자명한"이라는 용어를 선호한다.

2.2. 좌표 독립적인 정의

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정하자.
* 매끄러운 다양체 $M$
* 자연수 $k\in\mathbb N$

이때, $M$ 의 공변접다발 $\mathrm T^*M$ 의 $k$ 차 올별 외대수 $E = \bigwedge^k\mathrm T^*M$ 를 생각할 수 있다. 이 공간의 국소 좌표는 다음과 같은 형태를 가진다.
: $(x,p)$ 여기서 $x\in M$ 이고, $p\in E_x = \bigwedge^k\mathrm T^*_xM$ 이다.

이 경우, 다음과 같은 동형 사상이 존재한다.
: $\mathrm T_{(x,p)}E \cong \mathrm T_xM \oplus E_x$
또한, 다음과 같은 동형 사상도 생각할 수 있다.
: $\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \cong \bigwedge^k(E_x\oplus\mathrm T_xM) \cong \bigoplus_{i=0}^k\bigwedge^{k-i}E_x \otimes \bigwedge^i \mathrm T_xM = \bigwedge^k \mathrm T_xM \oplus E_x \otimes \bigwedge^{k-1} \mathrm T_xM \oplus \dotsb \oplus \bigwedge^kE_x$

이 동형 사상을 이용하여 사영 사상 $\pi$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\pi\colon \bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \twoheadrightarrow \bigwedge^k \mathrm T_xM$

이제, 임의의 점 $(x,p)\in E$ 에 대하여 미분 형식 $\theta$ 를 다음과 같이 정의한다.
: $\theta|_{(x,p)} \colon \bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E \to \mathbb R$
: $\theta|_{(x,p)}(w) = p(\pi(w)) \qquad\left(x \in M,\;p\in \bigwedge^k\mathrm T^*_xM,\;w\in\bigwedge^k\mathrm T_{(x,p)}E\right)$

이렇게 정의된 $\theta$ 는 $E$ 위의 $k$ 차 미분 형식이 되며, 즉 $\theta \in \Omega^k(E)$ 이다. 이를 $E$ 위의 리우빌 미분 형식이라고 부른다.

특히 $k=1$ 인 경우, 즉 코탄젠트 다발 $M = T^*Q$ 위의 리우빌 1-형식은 위 정의의 특수한 경우로, 다음과 같이 더 추상적으로 정의할 수도 있다. $Q$ 를 다양체라고 하고, $M=T^*Q$ 를 그 코탄젠트 다발이라고 하자.
표준적인 사영을 $\pi : M \to Q$ 라고 하자. 이 사영으로부터 유도되는 접선 사상을 $\mathrm{d} \pi : TM \to TQ$ 라고 표기하자.
$M$ 위의 임의의 점 $m \in M$ 을 생각하자. $M$ 은 코탄젠트 다발이므로, $m$ 은 $q=\pi(m) \in Q$ 위의 점이며, 동시에 $q$ 에서의 접공간 $T_qQ$ 에서 실수 $\mathbb R$ 로 가는 선형 사상으로 볼 수 있다.
: $m : T_qQ \to \mathbb R$
즉, $m$ 은 $q$ 점 위의 올(fiber)에 속하는 원소이다.
점 $m$ 에서의 리우빌 1-형식 $\theta_m$ 은 다음과 같이 정의된다.
: $\theta_m = m \circ \mathrm{d}_m \pi$
여기서 $\circ$ 는 함수의 합성을 나타낸다. $\mathrm{d}_m \pi$ 는 $T_mM$ 에서 $T_qQ$ 로 가는 사상이고, $m$ 은 $T_qQ$ 에서 $\mathbb R$ 로 가는 사상이므로, $\theta_m$ 은 다음과 같은 선형 사상이 된다.
: $\theta_m : T_mM \to \mathbb R$
이는 $m$ 에서의 공변벡터, 즉 $T_m^*M$ 의 원소이다. 따라서 모든 점 $m \in M$ 에 대해 이를 정의하면, 다음과 같은 $M$ 위의 단면(section)을 얻는다.
: $\theta : M \to T^*M$
이는 $M$ 위의 1차 미분 형식이다.

3. 성질

리우빌 미분 형식 $\theta$ 는 몇 가지 중요한 기하학적 성질을 가진다.

우선, 매끄러운 다양체 $M$ 에 대해, $k$ -형식들의 벡터 다발 $E = \textstyle\bigwedge^k \mathrm T^*M$ 위의 리우빌 미분 형식 $\theta \in \Omega^k(E)$ 의 외미분 $\mathrm d\theta$ 는 $E$ 위에 자연스러운 $k$ 차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 특히 $k=1$ 인 경우, 공변접다발 $E = \mathrm T^*M$ 은 $\mathrm d\theta$ 를 통해 표준적인 심플렉틱 다양체 구조를 갖게 된다.

또한, $k=1$ 일 때의 리우빌 형식, 즉 타우톨로지 1-형식 $\theta \in \Omega^1(\mathrm T^*M)$ 는 당김 연산과 관련하여 독특한 성질을 만족한다. 구체적으로, $M$ 위의 임의의 1-형식 $\beta$ 를 단면 $\beta: M \to \mathrm T^*M$ 으로 간주할 때, $\theta$ 를 $\beta$ 를 통해 당겨오면 자기 자신( $\beta$ )이 된다( $\beta^*\theta = \beta$ ). 이 성질은 타우톨로지 1-형식을 유일하게 특징짓는다.

3.1. 심플렉틱 포텐셜

매끄러운 다양체 $M$ 에 대하여, $E = \textstyle\bigwedge^k \mathrm T^*M$ 위의 리우빌 미분 형식 $\theta\in\Omega^k(E)$ 가 주어졌을 때, 이의 외미분
: $\mathrm d\theta \in\Omega^{k+1}(E)$
는 $E$ 위의 $k$ 차 멀티심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 특히, $k=1$ 인 경우, 공변접다발의 전체 공간 $E = \mathrm T^*M$ 은 $\mathrm d\theta$ 를 통해 표준적인 심플렉틱 다양체 구조를 갖는다.

이 맥락에서 $k=1$ 일 때의 리우빌 형식 $\theta \in \Omega^1(\mathrm T^*M)$ 는 표준 1-형식 또는 리우빌-푸앵카레 1-형식 등으로 불리며, 심플렉틱 형식 $\omega = -\mathrm d\theta$ 의 심플렉틱 포텐셜 역할을 한다. 국소적인 표준 좌표계 $(q^1, \dots, q^n, p_1, \dots, p_n)$ 에서 표준 1-형식 $\theta$ 는 다음과 같이 표현된다.
$\theta = \sum^n_{i=1} p_i \, \mathrm dq^i$
여기서 $n = \dim M$ 이고, $(q^i)$ 는 $M$ 위의 국소 좌표계, $(p_i)$ 는 해당 좌표계에서 쌍대 공간 $\mathrm T_q^*M$ 의 기저에 대한 좌표이다. 이 정의는 완전 형식을 더하는 차이까지 유일하게 결정된다. 이러한 $\theta$ 를 보존하는 $\mathrm T^*M$ 위의 좌표 변환을 표준 변환이라고 한다.

표준 1-형식 $\theta$ 의 외미분에 음수를 취하여 얻는 2-형식
$\omega = -\mathrm d\theta = \sum_{i=1}^n \mathrm dq^i \wedge \mathrm dp_i$
를 표준 심플렉틱 형식 또는 푸앵카레 2-형식이라고 한다. 이는 $\mathrm T^*M$ 위에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한다.

보다 일반적으로, 심플렉틱 다양체 $(X, \omega)$ 에서 심플렉틱 형식 $\omega$ 가 완전 형식일 때, 즉 $\omega = -\mathrm d\phi$ 를 만족하는 1-형식 $\phi \in \Omega^1(X)$ 가 존재할 경우, 이 $\phi$ 를 $\omega$ 의 심플렉틱 포텐셜 또는 국소 포텐셜이라고 부른다. 공변접다발 $\mathrm T^*M$ 의 경우, 표준 1-형식 $\theta$ 가 표준 심플렉틱 형식 $\omega = -\mathrm d\theta$ 의 심플렉틱 포텐셜이 된다. 임의의 다른 심플렉틱 포텐셜 $\phi$ 는 표준 1-형식 $\theta$ 와 닫힌 형식만큼의 차이를 가진다 ( $\phi = \theta + \alpha$ 이고 $\mathrm d\alpha = 0$ ).

"표준 형식"이라는 용어는 일반적으로 대상에 내재된 고유하고 표준적인 정의가 있을 때 사용된다. 임의의 선택이 필요한 경우 솔더 형식과 같은 다른 용어가 사용될 수 있다. 대수 기하학이나 복소 기하학에서는 표준류와의 혼동을 피하기 위해 "표준" 대신 "자명한"이라는 용어를 사용하기도 한다(예: 자명한 다발).

3.2. 당김과의 관계

타우톨로지 1-형식 $\theta$ 는 공변접다발 $T^*Q$ 위에서 정의되는 특별한 1-형식으로, "당김" 연산을 "상쇄"하는 고유한 성질을 가진다.

구체적으로, $Q$ 위의 임의의 1-형식 $\beta$ 가 주어졌다고 하자. 이 1-형식 $\beta$ 는 단면 $\beta: Q \to T^*Q$ 으로 생각할 수 있다. 이제 $T^*Q$ 위에 정의된 또 다른 1-형식 $\sigma$ 를 생각해보자. $\beta$ 에 의한 $\sigma$ 의 당김은 정의에 따라 $\beta^*\sigma := \sigma \circ \beta_*$ 이다. 여기서 $\beta_* : TQ\to TT^*Q$ 는 $\beta$ 의 앞으로 밀기(pushforward)를 나타낸다. 이렇게 얻어진 $\beta^*\sigma$ 는 다시 $Q$ 위의 1-형식이 된다.

타우톨로지 1-형식 $\theta$ 의 핵심적인 성질은, $Q$ 위의 모든 1-형식 $\beta$ 에 대해 다음 등식이 성립한다는 것이다.
$\beta^*\theta = \beta$
이 성질을 만족하는 1-형식은 $\theta$ 가 유일하다.

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증명

이 성질로부터 중요한 결과가 도출된다. 당김 연산

\beta^*

와 외미분

d

는 교환 가능하므로(

\beta^* d = d \beta^*

), 리우빌 형식(심플렉틱 형식)

\omega = -d\theta

의 당김은 다음과 같이 계산된다.

\beta^*\omega = -\beta^* (d\theta) = -d (\beta^*\theta) = -d\beta.

이는

Q

위의 1-형식

\beta

가 닫힌 형식(closed form, 즉

d\beta=0

)일 필요충분조건은, 해당 단면

\beta(Q) \subset T^*Q

가 심플렉틱 형식

\omega

에 대해 라그랑주 부분다양체(Lagrangian submanifold)가 되는 것임을 의미한다.

3.3. 작용(Action)과의 관계

만약 $H$ 가 해밀턴 역학에서의 공간의 쌍대 벡터 다발에 대한 해밀토니안이고, $X_H$ 가 해당 해밀턴 벡터장이라면, 그에 대응하는 작용 $S$ 는 다음과 같이 주어진다.
$S = \theta(X_H).$

좀 더 쉽게 설명하면, 해밀턴 흐름은 해밀턴-야코비 방정식을 따르는 역학계의 고전적인 궤적을 나타낸다. 해밀턴 흐름은 해밀턴 벡터장의 적분이며, 따라서 작용-각 변수에 대한 전통적인 표기법을 사용하여 다음과 같이 적을 수 있다.
$S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i$
여기서 적분은 에너지 $E$ 를 일정하게 유지하는 다양체, 즉 $H=E=\text{const}$ 인 조건에서 수행되는 것으로 이해된다.

4. 리만 및 유사 리만 다양체에서의 확장

만약 다양체 $Q$ 가 리만 또는 유사 리만 계량 텐서 $g$ 를 갖는다면, 리우빌 형식의 정의를 일반 좌표계를 사용하여 확장할 수 있다. 구체적으로, 계량 $g$ 를 접공간 $TQ$ 에서 공변접공간 $T^*Q$ 로 가는 사상으로 간주하면,
$g : TQ \to T^*Q,$
다음과 같이 새로운 형식들을 정의할 수 있다.
$\Theta = g^*\theta$
그리고
$\Omega = -d\Theta = g^*\omega$
여기서 $\theta$ 는 표준 1-형식이고 $\omega = -d\theta$ 는 표준 심플렉틱 형식이다. $g^*$ 는 $g$ 에 의한 당김(pullback)을 나타낸다.

$TQ$ 위의 일반 좌표계 $(q^1,\ldots,q^n,\dot q^1,\ldots,\dot q^n)$ 에서, 이 형식들은 다음과 같이 표현된다.
$\Theta = \sum_{ij} g_{ij} \dot q^i dq^j$
그리고
$\Omega = \sum_{ij} g_{ij} \; dq^i \wedge d\dot q^j +\sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \;\dot q^i\, dq^j \wedge dq^k$
여기서 $g_{ij}$ 는 국소 좌표계에서 계량 텐서 $g$ 의 성분이고, $dq^i$ 와 $d\dot q^j$ 는 좌표 기저의 미분 형식이며, $\wedge$ 는 쐐기곱을 나타낸다.

이 계량 $g$ 는 $T^*Q$ 위에 단위 반지름의 구(sphere)를 정의하는 것을 가능하게 한다. 이 구에 제한된 표준 1-형식 $\theta$ 는 접촉 구조를 형성한다. 이 접촉 구조는 해당 계량에 대한 측지 흐름을 생성하는 데 사용될 수 있다.

5. 역사

조제프 리우빌의 이름을 땄다.