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멀티심플렉틱 다양체

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목차

1. 개요

멀티심플렉틱 다양체는 매끄러운 다양체 위에 정의된 닫힌 미분 형식인 k차 멀티심플렉틱 구조를 갖는 다양체를 의미한다. k차 멀티심플렉틱 구조는 특정 조건을 만족하는 k+1차 닫힌 미분 형식이며, k차 멀티심플렉틱 다양체는 이러한 구조와 매끄러운 다양체의 순서쌍으로 정의된다. 멀티심플렉틱 다양체는 심플렉틱 다양체의 일반화된 개념으로, 다양한 수학적 구조와 연관되어 있으며, L∞-대수와의 관계, 곱공간에서의 연산, 리 군, 특수 홀로노미, 공변접다발의 외대수, 시그마 모형 등 다양한 예시를 갖는다.

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멀티심플렉틱 다양체
개요
심플렉틱 다양체의 예시
심플렉틱 다양체의 예시
정의닫힌 비퇴화 2-형식 ω를 갖춘 매끄러운 다양체 M.
관련 개념
상위 유사체멀티심플렉틱 다양체
유형켈러 다양체
푸아송 다양체
추가 정보
다른 이름심플렉틱 공간

2. 정의

자연수 k\in\mathbb N가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 M 위의 '''k차 멀티심플렉틱 구조'''(k-multisymplectic structure영어)

:\omega\in\Omega^{k+1}(M)

은 다음과 같은 성질을 갖는 k+1차 닫힌 미분 형식이다.


  • 임의의 점 x\in M 및 접벡터 v\in\mathrm T_xM \setminus\{0\}에 대하여, v \lrcorner \omega_x \ne 0 \in \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM이다.

여기서

:\lrcorner \colon \mathrm T_xM \times \bigwedge^{k+1}\mathrm T^*M \to \bigwedge^k\mathrm T^*M

는 x에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

'''k차 멀티심플렉틱 다양체'''(k-multisymplectic manifold영어) (M,\omega)는 매끄러운 다양체와 그 위의 k차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

3. 성질

n차원 매끄러운 다양체 위에 k차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.

:k+1 \le n \le \binom nk

여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 k+1차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM의 차원이 \mathrm T_xM의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, n\ge6차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜n-4차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.[1]

3. 1. 멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L∞-대수

k차 멀티심플렉틱 다양체 (M,\omega) 위의 '''해밀토니언 미분 형식'''(Hamiltonian differential form}})은 다음 조건을 만족시키는 k-1차 미분 형식 \alpha\in\Omega^{k-1}(M)이다.[1]

:\exists X \in \operatorname{Vect}(M) \colon \mathrm d\alpha = X \lrcorner \omega

그 공간을 \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)이라고 하자.

등급 벡터 공간

:L = \bigoplus_{i=0}^{n-1}L_i

:L_0 = \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)

:L_i = \Omega^{k-1-i}(M)\qquad(i\in\{1,2,\dotsc,n-1\}

위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.

:[\alpha] = \mathrm d\alpha\qquad\forall \alpha\in L,\;\deg \alpha>0

:[\alpha_1,\dotsc,\alpha_p] = (-)^{1+\lceil p/2\rceil}(X_1\wedge \dotsb \wedge X_p) \lrcorner \omega\qquad(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k\in\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham영어(M),\;\forall i\colon \mathrm d\alpha_i = X_i\lrcorner \omega)

4. 연산

두 k차 멀티심플렉틱 다양체 (M_1,\omega_1), (M_2,\omega_2)가 주어졌을 때, 곱공간 M = M_1 \times M_2에 멀티심플렉틱 구조를 부여할 수 있다.

\pi_i \colon M \twoheadrightarrow M_i에 대하여,

\omega = \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2

를 정의한다. 만약 k\ge1이라면, 이는 M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

임의의 x=(x_1,x_2)\in M에서, 접벡터 v = (v_1,v_2) \in \mathrm T_xM = \mathrm T_{x_1}M_1 \oplus \mathrm T_{x_2}M_2에 대하여,

v \lrcorner \omega = v_1\lrcorner\omega_1 + v_2 \lrcorner\omega_2

이다. k>0이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요충분조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 M_1과 M_2가 각각 k차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요충분조건은 v_1과 v_2가 각각 0인 것이다.

5. 예

0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

n차원 n-1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 n차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

5. 1. 리 군

콤팩트 단순 리 군 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

G의 실수 리 대수를

:\mathfrak g = \mathfrak{lie}(G)

라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수 (작용]]하며, 이에 대한 불변 L₂-대수

:L(G)^G = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G\oplus\Omega^0(G)^G[1]

를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로

:\Omega^1_{\operatorname{Ham/string algebra}})

:\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathfrak g\oplus \mathbb R[1]

:[x,y,z] = \mu(x,y,z) \in \mathbb R[1]\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g

를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 G에 대응되는 L₂-대수

:L(G) = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)\oplus\Omega^0(G)[1]

를 생각하자. G는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로

:\Omega^0(G)^G \cong \mathbb R

이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

5. 2. 특수 홀로노미

홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 \omega_1,\omega_2,\omega_3이 주어졌을 때,

:\omega_1\wedge\omega_1+\omega_2\wedge\omega_2+\omega_3\wedge\omega_3

은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.[1]

5. 3. 공변접다발의 외대수

매끄러운 다양체 M의 공변접다발의 k차 외대수

:\bigwedge^k\mathrm T^*M

위에는 표준적인 k차 미분 형식

:\theta \in \Omega^k\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)

:\theta|_{(x,p)} = p_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)

이 존재한다.[1] 그 외미분

:\omega = \mathrm d\theta \in \Omega^{k+1}\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)

:\omega|_{(x,p)} = \mathrm dp_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)

은 n+\textstyle\binom nk차원 매끄러운 다양체 \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M 위의 k차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.[1]

5. 4. 시그마 모형

m차원 매끄러운 다양체 M과 k차원 매끄러운 다양체 \Sigma, 그리고 \Sigma 위의 부피 형식 \omega\in\Omega^k(\Sigma)가 주어졌을 때, 벡터 다발 \mathrm T\Sigma \otimes_{M\times\Sigma} \mathrm T^*M의 전체 공간의 국소 좌표 (x^\mu,\phi^i,\pi^\mu_i) (x\in\Sigma,\;\phi\in M,\;\pi\in\mathrm T_x\Sigma \otimes \mathrm T^*_xM) 위에 다음과 같은 구조를 정의할 수 있다.

:\theta= \pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega

이는 k차 미분 형식을 이루며, 이 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.

:\mathrm d\theta= \mathrm d\pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega

이 외미분은 k+1차 미분 형식이며, k\ge2일 경우, \mathrm d\theta는 k차 멀티심플렉틱 다양체를 구성한다. 이 구성은 \Sigma\to M 시그마 모형의 공변 위상 공간(covariant phase space영어)으로 해석되며, 이 때 좌표 \pi^\mu_i는 일반화 운동량에 해당한다.


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