멀티심플렉틱 다양체

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1. 개요

멀티심플렉틱 다양체는 매끄러운 다양체 위에 정의된 닫힌 미분 형식인 k차 멀티심플렉틱 구조를 갖는 다양체를 의미한다. k차 멀티심플렉틱 구조는 특정 조건을 만족하는 k+1차 닫힌 미분 형식이며, k차 멀티심플렉틱 다양체는 이러한 구조와 매끄러운 다양체의 순서쌍으로 정의된다. 멀티심플렉틱 다양체는 심플렉틱 다양체의 일반화된 개념으로, 다양한 수학적 구조와 연관되어 있으며, L∞-대수와의 관계, 곱공간에서의 연산, 리 군, 특수 홀로노미, 공변접다발의 외대수, 시그마 모형 등 다양한 예시를 갖는다.

멀티심플렉틱 다양체

개요

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심플렉틱 다양체의 예시

정의	닫힌 비퇴화 2-형식 ω를 갖춘 매끄러운 다양체 M.

상위 유사체	멀티심플렉틱 다양체
유형	켈러 다양체 푸아송 다양체

다른 이름	심플렉틱 공간

2. 정의

자연수 $k\in\mathbb N$ 가 주어졌다고 하자. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $k$ 차 멀티심플렉틱 구조( $k$ -multisymplectic structure^영어)
: $\omega\in\Omega^{k+1}(M)$
은 다음과 같은 성질을 갖는 $k+1$ 차 닫힌 미분 형식이다.
* 임의의 점 $x\in M$ 및 접벡터 $v\in\mathrm T_xM \setminus\{0\}$ 에 대하여, $v \lrcorner \omega_x \ne 0 \in \textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM$ 이다.
여기서
: $\lrcorner \colon \mathrm T_xM \times \bigwedge^{k+1}\mathrm T^*M \to \bigwedge^k\mathrm T^*M$
는 $x$ 에서, 접벡터와 미분 형식의 내부곱이다.

$k$ 차 멀티심플렉틱 다양체( $k$ -multisymplectic manifold^영어) $(M,\omega)$ 는 매끄러운 다양체와 그 위의 $k$ 차 멀티심플렉틱 구조의 순서쌍이다.

3. 성질

$n$ 차원 매끄러운 다양체 위에 $k$ 차 멀티심플렉틱 구조가 존재할 필요 조건은 다음과 같다.
: $k+1 \le n \le \binom nk$
여기서 첫째 부등식은 자명하지 않은 $k+1$ 차 미분 형식이 존재할 필요 조건이며, 둘째 부등식은 $\textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*_xM$ 의 차원이 $\mathrm T_xM$ 의 차원보다 작지 않을 조건이다.

일반적으로, $n\ge6$ 차원 매끄러운 다양체 위에는 2차〜 $n-4$ 차 멀티심플렉틱 구조가 항상 존재한다.

3.1. 멀티심플렉틱 다양체에 대응되는 L<sub>∞</sub>-대수

$k$ 차 멀티심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 위의 해밀토니언 미분 형식(Hamiltonian differential form^영어)은 다음 조건을 만족시키는 $k-1$ 차 미분 형식 $\alpha\in\Omega^{k-1}(M)$ 이다.
: $\exists X \in \operatorname{Vect}(M) \colon \mathrm d\alpha = X \lrcorner \omega$
그 공간을 $\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)$ 이라고 하자.

등급 벡터 공간
: $L = \bigoplus_{i=0}^{n-1}L_i$
: $L_0 = \Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M)$
: $L_i = \Omega^{k-1-i}(M)\qquad(i\in\{1,2,\dotsc,n-1\}$
위에 다음과 같은 L∞-대수의 구조를 줄 수 있다.
: $[\alpha] = \mathrm d\alpha\qquad\forall \alpha\in L,\;\deg \alpha>0$
: $[\alpha_1,\dotsc,\alpha_p] = (-)^{1+\lceil p/2\rceil}(X_1\wedge \dotsb \wedge X_p) \lrcorner \omega\qquad(\alpha_1,\dotsc,\alpha_k\in\Omega^{k-1}_{\operatorname{Ham}}(M),\;\forall i\colon \mathrm d\alpha_i = X_i\lrcorner \omega)$

4. 연산

두 $k$ 차 멀티심플렉틱 다양체 $(M_1,\omega_1)$ , $(M_2,\omega_2)$ 가 주어졌을 때, 곱공간 $M = M_1 \times M_2$ 에 멀티심플렉틱 구조를 부여할 수 있다.

$\pi_i \colon M \twoheadrightarrow M_i$ 에 대하여,

$\omega = \pi_1^*\omega_1 + \pi_2^*\omega_2$

를 정의한다. 만약 $k\ge1$ 이라면, 이는 $M$ 위의 $k$ 차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

임의의 $x=(x_1,x_2)\in M$ 에서, 접벡터 $v = (v_1,v_2) \in \mathrm T_xM = \mathrm T_{x_1}M_1 \oplus \mathrm T_{x_2}M_2$ 에 대하여,

$v \lrcorner \omega = v_1\lrcorner\omega_1 + v_2 \lrcorner\omega_2$

이다. $k>0$ 이라면, 이 두 항은 서로 다른 벡터 공간에 속하므로, 합이 0일 필요충분조건은 각 항이 0인 것이다. 그런데 $M_1$ 과 $M_2$ 가 각각 $k$ 차 멀티심플렉틱 다양체이므로, 이것이 0일 필요충분조건은 $v_1$ 과 $v_2$ 가 각각 0인 것이다.

5. 예

0차 멀티심플렉틱 다양체는 1차원에서만 존재하며, 그 개념은 부피 형식을 갖춘 1차원 매끄러운 다양체와 같다.

1차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 심플렉틱 다양체의 개념과 같다.

$n$ 차원 $n-1$ 차 멀티심플렉틱 다양체의 개념은 부피 형식이 주어진 $n$ 차원 매끄러운 다양체의 개념과 같다.

5.1. 리 군

콤팩트 단순 리 군 위에는 표준적인 3차 미분 형식이 존재하며, 그 계수는 리 대수의 구조 상수이다. 이를 통하여 콤팩트 단순 리 군은 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다. 마찬가지로, 콤팩트 단순 리 대수는 2차 멀티심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

$G$ 의 실수 리 대수를
: $\mathfrak g = \mathfrak{lie}(G)$
라고 하자. 그렇다면, 끈 L₂-대수 (string algebra^영어)
: $\mathfrak{string}(\mathfrak g) = \mathfrak g\oplus \mathbb R[1]$
: $[x,y,z] = \mu(x,y,z) \in \mathbb R[1]\qquad\forall x,y,z\in\mathfrak g$
를 정의할 수 있다.

2-멀티심플렉틱 다양체 $G$ 에 대응되는 L₂-대수
: $L(G) = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)\oplus\Omega^0(G)[1]$
를 생각하자. $G$ 는 스스로 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하며, 이에 대한 불변 L₂-대수
: $L(G)^G = \Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G\oplus\Omega^0(G)^G[1]$
를 적을 수 있다. 여기서 표준적으로
: $\Omega^1_{\operatorname{Ham}}(G)^G \cong \mathfrak g^* \cong \mathfrak g$
: $\Omega^0(G)^G \cong \mathbb R$
이며, 따라서 이는 끈 L₂-대수와 동형이다.

5.2. 특수 홀로노미

홀로노미가 리 군 G₂인 7차원 리만 다양체는 표준적으로 2차 멀티심플렉틱 다양체를 이룬다.

초켈러 다양체의 세 심플렉틱 구조 $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ 이 주어졌을 때,
: $\omega_1\wedge\omega_1+\omega_2\wedge\omega_2+\omega_3\wedge\omega_3$
은 그 위의 3차 멀티심플렉틱 구조를 이룬다.

5.3. 공변접다발의 외대수

매끄러운 다양체 $M$ 의 공변접다발의 $k$ 차 외대수
: $\bigwedge^k\mathrm T^*M$
위에는 표준적인 $k$ 차 미분 형식
: $\theta \in \Omega^k\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)$
: $\theta|_{(x,p)} = p_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)$
이 존재한다. 그 외미분
: $\omega = \mathrm d\theta \in \Omega^{k+1}\left(\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)$
: $\omega|_{(x,p)} = \mathrm dp_{i_1\dotso i_k}\,\mathrm dx^{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx^{i_k} \qquad\left(x\in M,\;p\in\bigwedge^k\mathrm T^*_xM\right)$
은 $n+\textstyle\binom nk$ 차원 매끄러운 다양체 $\textstyle\bigwedge^k\mathrm T^*M$ 위의 $k$ 차 멀티심플렉틱 구조를 정의한다.

5.4. 시그마 모형

$m$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 과 $k$ 차원 매끄러운 다양체 $\Sigma$ , 그리고 $\Sigma$ 위의 부피 형식 $\omega\in\Omega^k(\Sigma)$ 가 주어졌을 때, 벡터 다발 $\mathrm T\Sigma \otimes_{M\times\Sigma} \mathrm T^*M$ 의 전체 공간의 국소 좌표 $(x^\mu,\phi^i,\pi^\mu_i)$ ( $x\in\Sigma,\;\phi\in M,\;\pi\in\mathrm T_x\Sigma \otimes \mathrm T^*_xM$ ) 위에 다음과 같은 구조를 정의할 수 있다.

: $\theta= \pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega$

이는 $k$ 차 미분 형식을 이루며, 이 미분 형식의 외미분은 다음과 같다.

: $\mathrm d\theta= \mathrm d\pi^\mu_i \mathrm d\phi^i \wedge \frac\partial{\partial x^\mu} \lrcorner \omega$

이 외미분은 $k+1$ 차 미분 형식이며, $k\ge2$ 일 경우, $\mathrm d\theta$ 는 $k$ 차 멀티심플렉틱 다양체를 구성한다. 이 구성은 $\Sigma\to M$ 시그마 모형의 공변 위상 공간(covariant phase space^영어)으로 해석되며, 이 때 좌표 $\pi^\mu_i$ 는 일반화 운동량에 해당한다.