해밀턴-야코비 방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 수학적 공식화
4. 다른 역학 공식과의 비교
5. 유도
6. 변수 분리
- 6.1. 다양한 좌표계에서의 예
7. 파동과 입자
- 7.1. 슈뢰딩거 방정식과의 관계
8. 응용
- 8.1. 중력장에서의 HJE
- 8.2. 전자기장에서의 HJE
9. 역사
참조

1. 개요

해밀턴-야코비 방정식은 1차 비선형 편미분 방정식으로, 해밀턴 역학에서 유도되며, 해밀턴 주함수 또는 해밀턴 특성함수를 사용하여 표현된다. 이 방정식은 해밀턴의 주함수에 대한 1계 비선형 편미분 방정식으로, 켤레 운동량과 해밀턴 함수의 관계를 나타낸다. 해밀턴-야코비 방정식은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 변분법 등 다양한 분야에 응용되며, 변수 분리 기법을 통해 해를 구할 수 있다. 또한, 파동과 입자의 이중성을 설명하고, 슈뢰딩거 방정식과 밀접한 관련을 갖는다. 중력장, 전자기장 등 다양한 물리적 상황에서 입자의 운동을 기술하는 데 사용된다. 윌리엄 로언 해밀턴에 의해 처음 제시되었고, 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 일반화되었다.

2. 정의

해밀턴-야코비 방정식은 일차 비선형 편미분 방정식으로, 해밀턴 주함수(principal function) $S(q_{1},\dots,q_{N}; t)$ 를 이용하여 다음과 같이 표현된다.^[17]

: $H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.$

여기서 $H$ 는 계의 해밀토니언을 나타낸다. 이 방정식은 $S$ 를 해밀토니언의 정준변환의 모함수로 생각하여, 해밀턴 역학에서 유도할 수 있다.

계가 에너지를 보존하면, 해밀턴 주함수 대신 해밀턴 특성함수(characteristic function) $W(q_1,\dots,q_N)$ 를 사용할 수 있다. 이때 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같다.

: $H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right)=E.$

이때 해밀턴 주함수와 특성함수는 다음과 같은 관계를 가진다.^[17]

: $S=W-Et$

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 $S$ 의 1계 도함수에 해당한다.^[17]

: $p_k = \frac{\partial S}{\partial q_k}.$

3. 수학적 공식화

해밀턴-야코비 방정식은 해밀턴 주함수 $S(q_{1},\dots,q_{N}; t)$ 에 대한 1계 비선형 편미분 방정식으로, 다음과 같이 표현된다.^[17]

: $H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.$

이 방정식은 해밀턴 역학에서 $S$ 를 정준변환의 모함수로 생각하여 유도할 수 있다.

만약 계가 에너지를 보존하면, 해밀턴 주함수 대신 해밀턴 특성함수 $W(q_1,\dots,q_N)$ 를 사용할 수 있다. 이렇게 쓰면, 해밀턴 야코비 방정식은 다음과 같다.

: $H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right)=E.$

이때 해밀턴 주함수와 특성함수는 다음과 같은 관계를 가진다.

: $S=W-Et$

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 $S$ 의 1계 도함수로 표현된다.^[7]

: $p_k = \frac{\partial S}{\partial q_k}.$

해밀턴-야코비 방정식의 해로서, 주 함수는 $N+1$ 개의 미정 상수를 포함하며, 그중 $N$ 개는 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N$ 로 표시하고, 마지막 하나는 $\frac{\partial S}{\partial t}$ 의 적분에서 나온다.

3. 1. 표기법

'''굵은 글씨''' 변수(예:

\mathbf{q}

)는

N

개의 일반좌표 목록을 나타낸다.

:

\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots, q_{N-1}, q_N)

변수 또는 목록 위에 점이 있는 경우 뉴턴 표기법에 따른 시간 미분을 의미한다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt}.

같은 수의 좌표를 가진 두 목록 사이의 내적 표기는 해당 성분의 곱의 합을 의미한다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = \sum_{k=1}^N p_k q_k.

3. 2. 해밀턴 주함수

헤세 행렬이 가역적일 때, 오일러-라그랑주 방정식은

n \times n

차수의 2계 상미분 방정식계를 이룬다. 작용 함수에 극값 경로를 대입하면 해밀턴의 주함수(HPF)가 된다.

:

S(\mathbf{q},t;\mathbf{q}_0,t_0) \ \stackrel{\text{def}}{=} \int^t_{t_0} \mathcal{L}(\gamma(\tau;\cdot),\dot\gamma(\tau;\cdot),\tau)\,d\tau,

여기서

$\gamma=\gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0),$
$\gamma|_{\tau=t_0} = \mathbf{q}_0,$
$\gamma|_{\tau=t} = \mathbf{q}.$

해밀턴-야코비 방정식은 '''해밀턴의 주함수''' (Hamilton's principal function)

S(q_{1},\dots,q_{N}; t)

에 대한 1계 비선형 편미분방정식으로 다음과 같이 표현된다.^[17]

:

H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

이 방정식은 해밀턴 역학에서

S

를 고전적인 해밀토니안

H(q_{1},\dots,q_{N};p_{1},\dots,p_{N};t)

의 정준변환의 모함수로 간주함으로써 유도된다. 켤레 운동량은 일반화 좌표에 의한

S

의 1계 미분

:

p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}.

에 해당한다.

운동 경로를 약간 변화시켰을 때 작용의 변화는 다음에 의해 주어진다.

:

\delta S=\sum_{i=1}^N\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\delta q_k\right]_{t_1}^{t_2}+\sum_{i=1}^N\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac {\partial L}{\partial q_k} - \frac {d}{d t}  \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta q_k \,dt.

실제로 일어나는 운동 경로는 오일러-라그랑주 방정식을 만족하므로,

\delta S

의 적분 항은 0이다. 첫 번째 항에서

\delta q_k(t_1)=0

으로 하고,

\delta q_k(t_2)

를 간단히

\delta q_k

로 쓴다.

\partial L/\partial \dot{q}_{k}

를

p_k

로 치환하여 최종적으로

:

\delta S=\sum_{i=1}^N p_k \delta q_k

을 얻는다. 이 관계로부터, 좌표에 의한 해밀턴의 주함수

S(\{q_i\};t)

의 편미분은 대응하는 운동량과 같다는 것이 증명되었다.

마찬가지로, 일반화 좌표는 운동량의 미분으로 얻을 수 있다. 방정식을 거꾸로 풀어서 계의 진화를 얻을 수 있다. 즉, 일반화 좌표가 시간의 함수로 얻어진다. 초기 상태의 위치와 속도는

S

의 적분에서 상수로 나타나며, 그것들은 전체 에너지, 각운동량, 등의 보존량(운동의 적분)에 대응한다.^[18]

3. 3. 운동량 공식

운동량(momenta)은 라그랑지안

\mathcal{L}

을 일반화 속도

\dot q

로 편미분하여 정의한다.

:

p_i(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot q^i}

^[6]

여기서

q

는 일반화 좌표,

t

는 시간이다.

해밀턴 주함수(HPF)가 알려지면 운동량

p_i

의 일반화 속도

\mathbf{\dot q}

에 대한 의존성이 사라진다.

시간

t_0

과 구성 공간의 한 점

\mathbf{q}_0

를 고정하고, 모든 시간

t

와 점

\mathbf{q}

에 대해,

\gamma=\gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0)

를 해밀턴 주함수의 정의에서 나오는 유일한 극값 경로(extremal)라고 하자.

\tau = t

에서의 속도를

\mathbf{v}\, \stackrel{\text{def}}{=}\, \dot \gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0)|_{\tau=t}

라고 하면, 다음이 성립한다.

:

\frac{\partial S}{\partial q^i} = \left.\frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot q^i}\right|_{\mathbf{\dot q} = \mathbf{v}}\!\!\!\!\!\!\!, \quad i=1,\ldots,n.

^[6]

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 해밀턴 주함수

S

의 1계 도함수이다.

:

p_k = \frac{\partial S}{\partial q_k}.

^[7]

4. 다른 역학 공식과의 비교

해밀턴-야코비 방정식은 N개의 일반좌표와 시간 t에 대한 함수 S에 대한 단일 1계 편미분 방정식이다. 일반화 운동량은 나타나지 않고, 고전 작용 S의 도함수로만 나타난다.^[4]

이와 비교하여, 라그랑주 역학의 오일러-라그랑주 방정식에서는 일반화 운동량이 나타나지 않지만, 이 방정식들은 일반적으로 일반화 좌표의 시간적 진화에 대한 N개의 2계 방정식 계이다. 마찬가지로, 해밀턴 역학의 해밀턴 방정식은 일반화 좌표와 그 일반화 운동량의 시간적 진화에 대한 2N개의 1계 방정식 계이다.^[7]

해밀턴-야코비 방정식은 해밀턴의 원리와 같은 적분 최소화 문제의 동등한 표현이므로,^[8] 변분법의 다른 문제들과 더 일반적으로 수학과 물리학의 다른 분야들, 예를 들어 동역학계, 사교기하학 및 양자 혼돈에서 유용하게 사용될 수 있다. 예를 들어, 해밀턴-야코비 방정식은 리만 다양체에서의 측지선을 결정하는 데 사용될 수 있으며, 이는 리만 기하학에서 중요한 변분 문제이다.^[8]

5. 유도

해밀턴-야코비 방정식은 정준변환을 사용하여 유도할 수 있다. 2종 생성함수 $G_2 (\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)$ 를 사용하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\mathbf{p} = {\partial G_2 \over \partial \mathbf{q}}, \quad\mathbf{Q} = {\partial G_2 \over \partial \mathbf{P}}, \quadK(\mathbf{Q},\mathbf{P},t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}$

여기서 $K$ 는 새로운 해밀토니안이다. 새로운 해밀토니안 $K=0$ 이 되도록 생성함수를 선택하면, 해밀턴 방정식은 다음과 같이 간단해진다.

: $\dot{\mathbf{P}} = \dot{\mathbf{Q}} = 0$

즉, 새로운 일반화 좌표 $\mathbf{Q}$ 와 운동량 $\mathbf{P}$ 는 보존량이 된다. 이때, $\mathbf{P}$ 는 보통 $\alpha_1,\, \alpha_2, \dots , \alpha_N$ 로, $\mathbf{Q}$ 는 $\beta_1,\, \beta_2, \dots , \beta_N$ 로 표기한다.

생성함수를 해밀턴의 주함수 $S(\mathbf{q},t)$ 에 임의의 상수 $A$ 를 더한 것으로 설정하면,

: $G_2(\mathbf{q},\boldsymbol{\alpha},t)=S(\mathbf{q},t)+A$

다음과 같이 해밀턴-야코비 방정식을 얻을 수 있다.

: $\mathbf{p}=\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} \, \rightarrow \,H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}=0 \, \rightarrow \,H\left(\mathbf{q},\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t}=0.$

$S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)$ 에 대해 풀면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

: $\mathbf{Q} = \boldsymbol\beta = {\partial S \over \partial \boldsymbol\alpha}$

또는,

: $Q_{m} = \beta_{m} = \frac{\partial S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)}{\partial \alpha_{m}}.$

이러한 ''N''개의 방정식을 통해 원래의 일반화 좌표 $\mathbf{q}$ 를 상수 $\boldsymbol\alpha, \,\boldsymbol\beta$ 와 $t$ 의 함수로 나타낼 수 있다.

6. 변수 분리

해밀턴-야코비 방정식은 변수분리를 통해 풀리는 경우 가장 편리하며, 이 경우 보존량을 직접적으로 구할 수 있다.^[8]

예를 들어, 해밀토니안이 시간 ''t''에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 시간 ''t''를 분리할 수 있다. 이때, 해밀턴-야코비 방정식에서 시간 미분 $\frac{\partial S}{\partial t}$ 는 상수(보통 $-E$ )가 되며, 분리된 해는 다음과 같다.

: $S = W(q_{1},\dots,q_{N}) - Et$

여기서 시간에 의존하지 않는 함수 $W(\mathbf{q})$ 는 '''해밀턴의 특성함수'''라고 불린다.^[8] 축약된 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $H\left(\mathbf{q},\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} \right) = E$

어떤 일반화좌표 $q_{k}$ 와 그 미분 $\frac{\partial S}{\partial q_{k}}$ 가 하나의 함수 $\psi \left(q_{k}, \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)$ 를 통해서만 해밀토니안에 나타나는 경우에도 변수 분리가 가능하다.

: $H = H(q_{1},\dots,q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_{N};p_{1}, \dots, p_{k-1}, p_{k+1}, \ldots, p_{N}; \psi; t)$

이 경우, 함수 $S$ 는 $q_{k}$ 에만 의존하는 함수 $S_{k}(q_{k})$ 와 나머지 일반화좌표에 의존하는 함수 $S_{rem}(q_{1}, \dots, q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_{N}; t)$ 로 분리할 수 있다.

: $S = S_{k}(q_{k}) + S_{rem}(q_{1}, \dots, q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_{N}; t)$

이 식을 해밀턴-야코비 방정식에 대입하면, 함수 $\psi$ 는 상수(여기서는 $\Gamma_{k}$ )가 되며, $S_{k}(q_{k})$ 에 관한 1계 상미분방정식을 얻을 수 있다.

: $\psi \left(q_{k}, \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}$

함수 $S$ 가 $N$ 개의 함수 $S_{m}(q_{m})$ 로 완전히 분리될 수 있다면, 문제는 $N$ 개의 상미분방정식으로 귀결된다.

: $S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N})-Et$

$S$ 의 분리 가능성은 해밀토니안과 일반화좌표의 선택 모두에 따라 달라진다. 직교좌표에서 해밀토니안이 시간에 의존하지 않고, 일반화 운동량에 대해 2차식인 경우, 퍼텐셜 에너지 항이 각각의 좌표에 대해 가법적으로 분리 가능하고, 각 좌표에 대한 퍼텐셜에너지 항이 해밀토니안의 대응하는 운동항과 같은 좌표 의존 인자를 곱하고 있는 경우 (슈테켈 조건) $S$ 는 분리 가능하다.

6. 1. 다양한 좌표계에서의 예

Hamilton–Jacobi equation^영어은 다양한 직교 좌표계에서 변수 분리를 통해 해를 구할 수 있다.

'''구면 좌표계'''

구면 좌표계에서 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H = \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r, \theta, \phi).

퍼텐셜

U(r, \theta, \phi)

가 다음과 같은 형태일 때, 해밀턴-야코비 방정식은 완전히 분리 가능하다.

:

U(r, \theta, \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta} .

'''타원 원통 좌표계'''

타원 원통 좌표계에서 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} +  \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\mu, \nu, z)

퍼텐셜

U(\mu, \nu, z)

가 다음과 같은 형태일 때, 해밀턴-야코비 방정식은 완전히 분리 가능하다.

:

U(\mu, \nu, z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)

'''포물선 원통 좌표계'''

포물선 원통 좌표계에서 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H = \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\sigma, \tau, z).

퍼텐셜

U(\sigma, \tau, z)

가 다음과 같은 형태일 때, 해밀턴-야코비 방정식은 완전히 분리 가능하다.

:

U(\sigma, \tau, z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)

7. 파동과 입자

해밀턴-야코비 방정식(HJE)은 궤적과 파면 사이의 이중성을 확립한다.^[10] 기하광학에서 빛은 “광선” 또는 파동으로 간주될 수 있는데, 파면은 시간 $t=0$ 에 방출된 빛이 시간 $t$ 에 도달한 표면 ${\cal C}_{t}$ 으로 정의할 수 있다. 광선과 파면은 이중적이어서, 하나가 알려지면 다른 하나를 추론할 수 있다.

기하광학은 “작용”이 경로를 따라 이동 시간 $T$ 인 변분 문제로 표현할 수 있다.

: $T = \frac{1}{c}\int_{A}^{B} n \, ds$

여기서 $n$ 은 매질의 굴절률이고 $ds$ 는 무한소 호 길이이다. 위 공식에서 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 광선 경로를 계산하거나, 해밀턴-야코비 방정식을 풀어 파면을 계산할 수 있다.

이러한 이중성은 변분 원리에서 유도된 모든 시스템에 적용된다. 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 궤적을 계산하거나 해밀턴-야코비 방정식을 사용하여 파면을 계산하는 것이 가능하다.

시간 $t$ 에서의 파면은 시간 $t_{0}$ 에 $\mathbf{q}_{0}$ 에 있던 시스템에 대해 $S(\mathbf{q},t)=\text{const}$ 인 점 $\mathbf{q}$ 의 집합으로 정의된다. $S(\mathbf{q},t)$ 가 알려지면 운동량은 다음과 같이 즉시 추론된다.

: $\mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial\mathbf{q}}.$

$\mathbf{p}$ 가 알려지면, 다음 방정식을 $\dot{\mathbf{q}}$ 에 대해 풀어 궤적의 접선 $\dot{\mathbf{q}}$ 를 계산한다.

: $\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{ \mathbf{q}}}=\boldsymbol{p}$

여기서 ${\cal L}$ 은 라그랑지언이다. 그런 다음 $\dot{\mathbf{q}}$ 를 통해 궤적을 복구한다.

7. 1. 슈뢰딩거 방정식과의 관계

함수

S(\mathbf{q}, t)

의 등위면은 임의의 시간 ''t''에서 결정될 수 있다.

S

-등위면의 시간에 따른 움직임은 등위면 위의 점

\mathbf{q}

에서 시작하는 입자들의 움직임으로 정의된다. 이러한 등위면의 움직임은

\mathbf{q}

-공간을 통과하는 ''파동''으로 생각할 수 있지만, 파동 방정식을 정확하게 따르지는 않는다. 이를 보이기 위해, ''S''를 파동의 위상으로 나타내면 다음과 같다.

:

\psi = \psi_{0} e^{iS/\hbar}

여기서

\hbar

는 지수 인수를 무차원으로 만들기 위해 도입된 상수(플랑크 상수)이며, 파동의 진폭 변화는

S

를 복소수로 하여 나타낼 수 있다. 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^2 \psi - U\psi = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}

이는 슈뢰딩거 방정식이다.

반대로, 슈뢰딩거 방정식과

\psi

에 대한 가정으로 시작하면,^[11] 다음을 유도할 수 있다.

:

\frac{1}{2m} \left( \nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S.

위 슈뢰딩거 방정식의 고전적 한계(

\hbar \rightarrow 0

)는 다음과 같은 해밀턴-야코비 방정식의 변형과 동일해진다.

:

\frac{1}{2m} \left( \nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0.

8. 응용

해밀턴-야코비 방정식은 중력장이나 전자기장 내에서 입자의 운동을 기술하는 데 사용될 수 있다.

비상대론적 입자의 해밀턴-야코비 방정식^[21]

:

\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\left\{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2\right\}=0

상대론적 역학에서의 해밀턴-야코비 방정식^[22]

:

\frac{1}{c^2}\left(\frac{\partial S}{\partial t}\right)^2-\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2-\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2=m^2c^2

여기서

g^{ik}

는 계량 텐서의 공변 성분이며,

m

은 입자의 정지 질량,

c

는 광속이다.

8. 1. 중력장에서의 HJE

곡선 공간에서 운동하는 정지 질량 m^영어의 입자에 대해, 에너지-운동량 관계식^[12] 을 사용한다. 여기서 g^{\alpha \beta^영어}는 계량 텐서의 반변 좌표(즉, 역계량)이며, 아인슈타인 장 방정식에서 구해진다. c^영어는 광속이다. 작용 S^영어의 사차구배와 사차운동량 P_\alpha^영어를 같다고 설정하면(}), 계량 g^영어에 의해 결정되는 기하학에서 해밀턴-야코비 방정식을 얻는다.

:

이는 중력장에서의 해밀턴-야코비 방정식이다.^[24]

여기서 g^{ik^영어}는 계량 텐서의 공변 성분이며, m^영어은 입자의 정지 질량, c^영어는 광속이다.

8. 2. 전자기장에서의 HJE

정지 질량이

m

이고 전하가

e

인 입자가 진공에서 사중 벡터 포텐셜

A_i  =  (\phi,\mathbf{A})

를 갖는 전자기장 내에서 운동하는 경우, 계량 텐서

g^{ik} = g_{ik}

에 의해 결정되는 기하학에서 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.^[13]

:

g^{ik}\left ( \frac{\partial S}{\partial x^i} + \frac {e}{c}A_i \right ) \left ( \frac{\partial S}{\partial x^k} + \frac {e}{c}A_k \right ) = m^2 c^2

이 방정식은 해밀턴 주 작용 함수

S

에 대해 풀 수 있으며, 입자의 궤적과 운동량에 대한 추가적인 해를 얻을 수 있다.^[13]

9. 역사

윌리엄 로언 해밀턴^[27]^[28]이 1833년에 발표하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비^[29]^[30]가 일반화하였다.^[31]

참조

_[1] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[2] 서적 Modern Quantum Mechanics Addison-Wesley
_[3] 서적 Mathematical Optimization Techniques University of California Press
_[4] 서적 Analytical Mechanics Cambridge University Press
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_[6] 서적 Analytical Mechanics Cambridge University Press
_[7] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[8] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley 2008
_[9] 저널 Variational mechanics in one and two dimensions https://pubs.aip.org[...] 2005-07-01
_[10] 저널 The Hamilton-Jacobi Equation : an alternative approach https://aapt.scitati[...] 2020
_[11] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[12] 서적 Gravitation W.H. Freeman & Co
_[13] 서적 The Classical Theory of Fields Addison-Wesley
_[14] 저널 Inductively Coupling Plasma Reactor With Plasma Electron Energy Controllable in the Range from ~6 to ~100 eV
_[15] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[16] 서적
_[17] 서적 Analytical Mechanics Cambridge University Press
_[18] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[19] 서적 岩波講座現代の物理学〈1〉力学岩波書店
_[20] 서적 Classical Mechanics Addison-Wesley
_[21] 서적 랜다우-리프시츠
_[22] 서적 랜다우-리프시츠
_[23] 서적 랜다우-리프시츠
_[24] 서적 랜다우-리프시츠
_[25] 저널 Hamilton-Jacobi equation 2010-07-19
_[26] 서적 Classical Mechanics http://pearsonhigher[...] Addison-Wesley 2001-06-15
_[27] 저널 On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function http://www.emis.de/c[...]
_[28] 저널 On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics http://www.emis.de/c[...]
_[29] 저널 Zur Theorie der Variations-Rechnung und der Differential-Gleichungen 1837-01
_[30] 저널 Ueber die Reduction der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen irgend einer Zahl Variablen auf die Integration eines einzigen Systemes gewöhnlicher Differentialgleichungen 1837-01
_[31] 저널 The Early History of Hamilton-Jacobi Dynamics 1834–1837 http://homes.chass.u[...] Wiley 2013-01-21

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