해밀턴-야코비 방정식

1. 개요

해밀턴-야코비 방정식은 1차 비선형 편미분 방정식으로, 해밀턴 역학에서 유도되며, 해밀턴 주함수 또는 해밀턴 특성함수를 사용하여 표현된다. 이 방정식은 해밀턴의 주함수에 대한 1계 비선형 편미분 방정식으로, 켤레 운동량과 해밀턴 함수의 관계를 나타낸다. 해밀턴-야코비 방정식은 라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 변분법 등 다양한 분야에 응용되며, 변수 분리 기법을 통해 해를 구할 수 있다. 또한, 파동과 입자의 이중성을 설명하고, 슈뢰딩거 방정식과 밀접한 관련을 갖는다. 중력장, 전자기장 등 다양한 물리적 상황에서 입자의 운동을 기술하는 데 사용된다. 윌리엄 로언 해밀턴에 의해 처음 제시되었고, 카를 구스타프 야코프 야코비에 의해 일반화되었다.

2. 정의

해밀턴-야코비 방정식은 일차 비선형 편미분 방정식으로, 해밀턴 주함수(principal function) $S(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\; t)$를 이용하여 다음과 같이 표현된다.

:$H\backslash left(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{1\}\},\backslash dots,\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{N\}\};t\backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}=0.$

여기서 $H$는 계의 해밀토니언을 나타낸다. 이 방정식은 $S$를 해밀토니언의 정준변환의 모함수로 생각하여, 해밀턴 역학에서 유도할 수 있다.

계가 에너지를 보존하면, 해밀턴 주함수 대신 해밀턴 특성함수(characteristic function) $W(q\_1,\backslash dots,q\_N)$를 사용할 수 있다. 이때 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같다.

:$H\backslash left(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{1\}\},\backslash dots,\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{N\}\};t\backslash right)=E.$

이때 해밀턴 주함수와 특성함수는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$S=W-Et$

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 $S$의 1계 도함수에 해당한다.

:$p\_k\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_k\}.$

3. 수학적 공식화

해밀턴-야코비 방정식은 해밀턴 주함수 $S(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\; t)$에 대한 1계 비선형 편미분 방정식으로, 다음과 같이 표현된다.

:$H\backslash left(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{1\}\},\backslash dots,\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{N\}\};t\backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}=0.$

이 방정식은 해밀턴 역학에서 $S$를 정준변환의 모함수로 생각하여 유도할 수 있다.

만약 계가 에너지를 보존하면, 해밀턴 주함수 대신 해밀턴 특성함수 $W(q\_1,\backslash dots,q\_N)$를 사용할 수 있다. 이렇게 쓰면, 해밀턴 야코비 방정식은 다음과 같다.

:$H\backslash left(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{1\}\},\backslash dots,\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{N\}\};t\backslash right)=E.$

이때 해밀턴 주함수와 특성함수는 다음과 같은 관계를 가진다.

:$S=W-Et$

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 $S$의 1계 도함수로 표현된다.

:$p\_k\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_k\}.$

해밀턴-야코비 방정식의 해로서, 주 함수는 $N+1$개의 미정 상수를 포함하며, 그중 $N$개는 $\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash dots,\; \backslash alpha\_N$로 표시하고, 마지막 하나는 $\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}$의 적분에서 나온다.

3.1. 표기법

굵은 글씨 변수(예: $\backslash mathbf\{q\}$)는 $N$개의 일반좌표 목록을 나타낸다.

:$$\backslash mathbf\{q\}\; =\; (q\_1,\; q\_2,\; \backslash ldots,\; q\_\{N-1\},\; q\_N)$$

변수 또는 목록 위에 점이 있는 경우 뉴턴 표기법에 따른 시간 미분을 의미한다. 예를 들면 다음과 같다.

:$$\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}\; =\; \backslash frac\{d\backslash mathbf\{q\}\}\{dt\}.$$

같은 수의 좌표를 가진 두 목록 사이의 내적 표기는 해당 성분의 곱의 합을 의미한다. 예를 들면 다음과 같다.

:$$\backslash mathbf\{p\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{q\}\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^N\; p\_k\; q\_k.$$

3.2. 해밀턴 주함수

헤세 행렬이 가역적일 때, 오일러-라그랑주 방정식은 $n\; \backslash times\; n$ 차수의 2계 상미분 방정식계를 이룬다. 작용 함수에 극값 경로를 대입하면 해밀턴의 주함수(HPF)가 된다.

:$$
S(\mathbf{q},t;\mathbf{q}_0,t_0) \ \stackrel{\text{def}}{=} \int^t_{t_0} \mathcal{L}(\gamma(\tau;\cdot),\dot\gamma(\tau;\cdot),\tau)\,d\tau,


여기서
* $\backslash gamma=\backslash gamma(\backslash tau;t,t\_0,\backslash mathbf\{q\},\backslash mathbf\{q\}\_0),$
* $\backslash gamma|\_\{\backslash tau=t\_0\}\; =\; \backslash mathbf\{q\}\_0,$
* $\backslash gamma|\_\{\backslash tau=t\}\; =\; \backslash mathbf\{q\}.$

해밀턴-야코비 방정식은 해밀턴의 주함수 (Hamilton's principal function) $S(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};\; t)$에 대한 1계 비선형 편미분방정식으로 다음과 같이 표현된다.

:$$
H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.


이 방정식은 해밀턴 역학에서 $S$를 고전적인 해밀토니안 $H(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\};p\_\{1\},\backslash dots,p\_\{N\};t)$의 정준변환의 모함수로 간주함으로써 유도된다. 켤레 운동량은 일반화 좌표에 의한 $S$의 1계 미분

:$$
p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}.


에 해당한다.

운동 경로를 약간 변화시켰을 때 작용의 변화는 다음에 의해 주어진다.

:$\backslash delta\; S=\backslash sum\_\{i=1\}^N\backslash left[\backslash frac\{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{k\}\}\backslash delta\; q\_k\backslash right]\_\{t\_1\}^\{t\_2\}+\backslash sum\_\{i=1\}^N\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}\backslash left(\backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; q\_k\}\; -\; \backslash frac\; \{d\}\{d\; t\}\; \backslash frac\; \{\backslash partial\; L\}\{\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_k\}\backslash right)\backslash delta\; q\_k\; \backslash ,dt.$

실제로 일어나는 운동 경로는 오일러-라그랑주 방정식을 만족하므로, $\backslash delta\; S$의 적분 항은 0이다. 첫 번째 항에서 $\backslash delta\; q\_k(t\_1)=0$으로 하고, $\backslash delta\; q\_k(t\_2)$를 간단히 $\backslash delta\; q\_k$로 쓴다. $\backslash partial\; L/\backslash partial\; \backslash dot\{q\}\_\{k\}$를 $p\_k$로 치환하여 최종적으로

:$\backslash delta\; S=\backslash sum\_\{i=1\}^N\; p\_k\; \backslash delta\; q\_k$

을 얻는다. 이 관계로부터, 좌표에 의한 해밀턴의 주함수 $S(\backslash \{q\_i\backslash \};t)$의 편미분은 대응하는 운동량과 같다는 것이 증명되었다.

마찬가지로, 일반화 좌표는 운동량의 미분으로 얻을 수 있다. 방정식을 거꾸로 풀어서 계의 진화를 얻을 수 있다. 즉, 일반화 좌표가 시간의 함수로 얻어진다. 초기 상태의 위치와 속도는 $S$의 적분에서 상수로 나타나며, 그것들은 전체 에너지, 각운동량, 등의 보존량(운동의 적분)에 대응한다.

3.3. 운동량 공식

운동량(momenta)은 라그랑지안 $\backslash mathcal\{L\}$을 일반화 속도 $\backslash dot\; q$로 편미분하여 정의한다.
: $p\_i(\backslash mathbf\{q\},\backslash mathbf\{\backslash dot\; q\},t)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \{\backslash cal\; L\}\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; q^i\}$
여기서 $q$는 일반화 좌표, $t$는 시간이다.

해밀턴 주함수(HPF)가 알려지면 운동량 $p\_i$의 일반화 속도 $\backslash mathbf\{\backslash dot\; q\}$에 대한 의존성이 사라진다.

시간 $t\_0$과 구성 공간의 한 점 $\backslash mathbf\{q\}\_0$를 고정하고, 모든 시간 $t$와 점 $\backslash mathbf\{q\}$에 대해, $\backslash gamma=\backslash gamma(\backslash tau;t,t\_0,\backslash mathbf\{q\},\backslash mathbf\{q\}\_0)$를 해밀턴 주함수의 정의에서 나오는 유일한 극값 경로(extremal)라고 하자. $\backslash tau\; =\; t$ 에서의 속도를 $\backslash mathbf\{v\}\backslash ,\; \backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\backslash ,\; \backslash dot\; \backslash gamma(\backslash tau;t,t\_0,\backslash mathbf\{q\},\backslash mathbf\{q\}\_0)|\_\{\backslash tau=t\}$라고 하면, 다음이 성립한다.

: $\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q^i\}\; =\; \backslash left.\backslash frac\{\backslash partial\; \{\backslash cal\; L\}\}\{\backslash partial\; \backslash dot\; q^i\}\backslash right|\_\{\backslash mathbf\{\backslash dot\; q\}\; =\; \backslash mathbf\{v\}\}\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !\backslash !,\; \backslash quad\; i=1,\backslash ldots,n.$

켤레 운동량은 일반화 좌표에 대한 해밀턴 주함수 $S$의 1계 도함수이다.
: $$p\_k\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_k\}.$$

4. 다른 역학 공식과의 비교

해밀턴-야코비 방정식은 N개의 일반좌표와 시간 t에 대한 함수 S에 대한 단일 1계 편미분 방정식이다. 일반화 운동량은 나타나지 않고, 고전 작용 S의 도함수로만 나타난다.

이와 비교하여, 라그랑주 역학의 오일러-라그랑주 방정식에서는 일반화 운동량이 나타나지 않지만, 이 방정식들은 일반적으로 일반화 좌표의 시간적 진화에 대한 N개의 2계 방정식 계이다. 마찬가지로, 해밀턴 역학의 해밀턴 방정식은 일반화 좌표와 그 일반화 운동량의 시간적 진화에 대한 2N개의 1계 방정식 계이다.

해밀턴-야코비 방정식은 해밀턴의 원리와 같은 적분 최소화 문제의 동등한 표현이므로, 변분법의 다른 문제들과 더 일반적으로 수학과 물리학의 다른 분야들, 예를 들어 동역학계, 사교기하학 및 양자 혼돈에서 유용하게 사용될 수 있다. 예를 들어, 해밀턴-야코비 방정식은 리만 다양체에서의 측지선을 결정하는 데 사용될 수 있으며, 이는 리만 기하학에서 중요한 변분 문제이다.

5. 유도

해밀턴-야코비 방정식은 정준변환을 사용하여 유도할 수 있다. 2종 생성함수 $G\_2\; (\backslash mathbf\{q\},\; \backslash mathbf\{P\},\; t)$를 사용하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$$
\mathbf{p} = {\partial G_2 \over \partial \mathbf{q}}, \quad
\mathbf{Q} = {\partial G_2 \over \partial \mathbf{P}}, \quad
K(\mathbf{Q},\mathbf{P},t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}


여기서 $K$는 새로운 해밀토니안이다. 새로운 해밀토니안 $K=0$이 되도록 생성함수를 선택하면, 해밀턴 방정식은 다음과 같이 간단해진다.

:$$
\dot{\mathbf{P}} = \dot{\mathbf{Q}} = 0


즉, 새로운 일반화 좌표 $\backslash mathbf\{Q\}$와 운동량 $\backslash mathbf\{P\}$는 보존량이 된다. 이때, $\backslash mathbf\{P\}$는 보통 $\backslash alpha\_1,\backslash ,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash dots\; ,\; \backslash alpha\_N$로, $\backslash mathbf\{Q\}$는 $\backslash beta\_1,\backslash ,\; \backslash beta\_2,\; \backslash dots\; ,\; \backslash beta\_N$로 표기한다.

생성함수를 해밀턴의 주함수 $S(\backslash mathbf\{q\},t)$에 임의의 상수 $A$를 더한 것으로 설정하면,

:$$
G_2(\mathbf{q},\boldsymbol{\alpha},t)=S(\mathbf{q},t)+A


다음과 같이 해밀턴-야코비 방정식을 얻을 수 있다.

:$$
\mathbf{p}=\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} \, \rightarrow \,
H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}=0 \, \rightarrow \,
H\left(\mathbf{q},\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t}=0.


$S(\backslash mathbf\{q\},\backslash boldsymbol\backslash alpha,\; t)$에 대해 풀면 다음과 같은 방정식을 얻는다.

:$$
\mathbf{Q} = \boldsymbol\beta = {\partial S \over \partial \boldsymbol\alpha}


또는,

:$$
Q_{m} = \beta_{m} = \frac{\partial S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)}{\partial \alpha_{m}}.


이러한 N개의 방정식을 통해 원래의 일반화 좌표 $\backslash mathbf\{q\}$를 상수 $\backslash boldsymbol\backslash alpha,\; \backslash ,\backslash boldsymbol\backslash beta$와 $t$의 함수로 나타낼 수 있다.

6. 변수 분리

해밀턴-야코비 방정식은 변수분리를 통해 풀리는 경우 가장 편리하며, 이 경우 보존량을 직접적으로 구할 수 있다.

예를 들어, 해밀토니안이 시간 t에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 시간 t를 분리할 수 있다. 이때, 해밀턴-야코비 방정식에서 시간 미분 $\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}$는 상수(보통 $-E$)가 되며, 분리된 해는 다음과 같다.

:$S\; =\; W(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{N\})\; -\; Et$

여기서 시간에 의존하지 않는 함수 $W(\backslash mathbf\{q\})$는 해밀턴의 특성함수라고 불린다. 축약된 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$H\backslash left(\backslash mathbf\{q\},\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{q\}\}\; \backslash right)\; =\; E$

어떤 일반화좌표 $q\_\{k\}$와 그 미분 $\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{k\}\}$가 하나의 함수 $\backslash psi\; \backslash left(q\_\{k\},\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; q\_\{k\}\}\; \backslash right)$를 통해서만 해밀토니안에 나타나는 경우에도 변수 분리가 가능하다.

:$H\; =\; H(q\_\{1\},\backslash dots,q\_\{k-1\},\; q\_\{k+1\},\; \backslash ldots,\; q\_\{N\};p\_\{1\},\; \backslash dots,\; p\_\{k-1\},\; p\_\{k+1\},\; \backslash ldots,\; p\_\{N\};\; \backslash psi;\; t)$

이 경우, 함수 $S$는 $q\_\{k\}$에만 의존하는 함수 $S\_\{k\}(q\_\{k\})$와 나머지 일반화좌표에 의존하는 함수 $S\_\{rem\}(q\_\{1\},\; \backslash dots,\; q\_\{k-1\},\; q\_\{k+1\},\; \backslash ldots,\; q\_\{N\};\; t)$로 분리할 수 있다.

:$S\; =\; S\_\{k\}(q\_\{k\})\; +\; S\_\{rem\}(q\_\{1\},\; \backslash dots,\; q\_\{k-1\},\; q\_\{k+1\},\; \backslash ldots,\; q\_\{N\};\; t)$

이 식을 해밀턴-야코비 방정식에 대입하면, 함수 $\backslash psi$는 상수(여기서는 $\backslash Gamma\_\{k\}$)가 되며, $S\_\{k\}(q\_\{k\})$에 관한 1계 상미분방정식을 얻을 수 있다.

:$\backslash psi\; \backslash left(q\_\{k\},\; \backslash frac\{d\; S\_\{k\}\}\{d\; q\_\{k\}\}\; \backslash right)\; =\; \backslash Gamma\_\{k\}$

함수 $S$가 $N$개의 함수 $S\_\{m\}(q\_\{m\})$로 완전히 분리될 수 있다면, 문제는 $N$개의 상미분방정식으로 귀결된다.

:$S=S\_\{1\}(q\_\{1\})+S\_\{2\}(q\_\{2\})+\backslash cdots+S\_\{N\}(q\_\{N\})-Et$

$S$의 분리 가능성은 해밀토니안과 일반화좌표의 선택 모두에 따라 달라진다. 직교좌표에서 해밀토니안이 시간에 의존하지 않고, 일반화 운동량에 대해 2차식인 경우, 퍼텐셜 에너지 항이 각각의 좌표에 대해 가법적으로 분리 가능하고, 각 좌표에 대한 퍼텐셜에너지 항이 해밀토니안의 대응하는 운동항과 같은 좌표 의존 인자를 곱하고 있는 경우 (슈테켈 조건) $S$는 분리 가능하다.

6.1. 다양한 좌표계에서의 예

Hamilton–Jacobi equation^영어은 다양한 직교 좌표계에서 변수 분리를 통해 해를 구할 수 있다.

* 구면 좌표계

구면 좌표계에서 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$H\; =\; \backslash frac\{1\}\{2m\}\; \backslash left[\; p\_\{r\}^\{2\}\; +\; \backslash frac\{p\_\{\backslash theta\}^\{2\}\}\{r^\{2\}\}\; +\; \backslash frac\{p\_\{\backslash phi\}^\{2\}\}\{r^\{2\}\; \backslash sin^\{2\}\; \backslash theta\}\; \backslash right]\; +\; U(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi).$$

퍼텐셜 $U(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)$가 다음과 같은 형태일 때, 해밀턴-야코비 방정식은 완전히 분리 가능하다.

:$$U(r,\; \backslash theta,\; \backslash phi)\; =\; U\_\{r\}(r)\; +\; \backslash frac\{U\_\{\backslash theta\}(\backslash theta)\}\{r^\{2\}\}\; +\; \backslash frac\{U\_\{\backslash phi\}(\backslash phi)\}\{r^\{2\}\backslash sin^\{2\}\backslash theta\}\; .$$

* 타원 원통 좌표계

타원 원통 좌표계에서 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$H\; =\; \backslash frac\{p\_\{\backslash mu\}^\{2\}\; +\; p\_\{\backslash nu\}^\{2\}\}\{2ma^\{2\}\; \backslash left(\; \backslash sinh^\{2\}\; \backslash mu\; +\; \backslash sin^\{2\}\; \backslash nu\backslash right)\}\; +\; \backslash frac\{p\_\{z\}^\{2\}\}\{2m\}\; +\; U(\backslash mu,\; \backslash nu,\; z)$$

퍼텐셜 $U(\backslash mu,\; \backslash nu,\; z)$가 다음과 같은 형태일 때, 해밀턴-야코비 방정식은 완전히 분리 가능하다.

:$$U(\backslash mu,\; \backslash nu,\; z)\; =\; \backslash frac\{U\_\{\backslash mu\}(\backslash mu)\; +\; U\_\{\backslash nu\}(\backslash nu)\}\{\backslash sinh^\{2\}\; \backslash mu\; +\; \backslash sin^\{2\}\; \backslash nu\}\; +\; U\_\{z\}(z)$$

* 포물선 원통 좌표계

포물선 원통 좌표계에서 해밀토니안은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$$H\; =\; \backslash frac\{p\_\{\backslash sigma\}^\{2\}\; +\; p\_\{\backslash tau\}^\{2\}\}\{2m\; \backslash left(\; \backslash sigma^\{2\}\; +\; \backslash tau^\{2\}\backslash right)\}\; +\; \backslash frac\{p\_\{z\}^\{2\}\}\{2m\}\; +\; U(\backslash sigma,\; \backslash tau,\; z).$$

퍼텐셜 $U(\backslash sigma,\; \backslash tau,\; z)$가 다음과 같은 형태일 때, 해밀턴-야코비 방정식은 완전히 분리 가능하다.

:$$U(\backslash sigma,\; \backslash tau,\; z)\; =\; \backslash frac\{U\_\{\backslash sigma\}(\backslash sigma)\; +\; U\_\{\backslash tau\}(\backslash tau)\}\{\backslash sigma^\{2\}\; +\; \backslash tau^\{2\}\}\; +\; U\_\{z\}(z)$$

7. 파동과 입자

해밀턴-야코비 방정식(HJE)은 궤적과 파면 사이의 이중성을 확립한다. 기하광학에서 빛은 “광선” 또는 파동으로 간주될 수 있는데, 파면은 시간 $t=0$에 방출된 빛이 시간 $t$에 도달한 표면 $\{\backslash cal\; C\}\_\{t\}$으로 정의할 수 있다. 광선과 파면은 이중적이어서, 하나가 알려지면 다른 하나를 추론할 수 있다.

기하광학은 “작용”이 경로를 따라 이동 시간 $T$인 변분 문제로 표현할 수 있다.

:$T\; =\; \backslash frac\{1\}\{c\}\backslash int\_\{A\}^\{B\}\; n\; \backslash ,\; ds$

여기서 $n$은 매질의 굴절률이고 $ds$는 무한소 호 길이이다. 위 공식에서 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 광선 경로를 계산하거나, 해밀턴-야코비 방정식을 풀어 파면을 계산할 수 있다.

이러한 이중성은 변분 원리에서 유도된 모든 시스템에 적용된다. 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 궤적을 계산하거나 해밀턴-야코비 방정식을 사용하여 파면을 계산하는 것이 가능하다.

시간 $t$에서의 파면은 시간 $t\_\{0\}$에 $\backslash mathbf\{q\}\_\{0\}$에 있던 시스템에 대해 $S(\backslash mathbf\{q\},t)=\backslash text\{const\}$인 점 $\backslash mathbf\{q\}$의 집합으로 정의된다. $S(\backslash mathbf\{q\},t)$가 알려지면 운동량은 다음과 같이 즉시 추론된다.

:$\backslash mathbf\{p\}=\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\backslash mathbf\{q\}\}.$

$\backslash mathbf\{p\}$가 알려지면, 다음 방정식을 $\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}$에 대해 풀어 궤적의 접선 $\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}$를 계산한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\{\backslash cal\; L\}\}\{\backslash partial\backslash dot\{\; \backslash mathbf\{q\}\}\}=\backslash boldsymbol\{p\}$

여기서 $\{\backslash cal\; L\}$은 라그랑지언이다. 그런 다음 $\backslash dot\{\backslash mathbf\{q\}\}$를 통해 궤적을 복구한다.

7.1. 슈뢰딩거 방정식과의 관계

함수 $S(\backslash mathbf\{q\},\; t)$의 등위면은 임의의 시간 t에서 결정될 수 있다. $S$-등위면의 시간에 따른 움직임은 등위면 위의 점 $\backslash mathbf\{q\}$에서 시작하는 입자들의 움직임으로 정의된다. 이러한 등위면의 움직임은 $\backslash mathbf\{q\}$-공간을 통과하는 파동으로 생각할 수 있지만, 파동 방정식을 정확하게 따르지는 않는다. 이를 보이기 위해, S를 파동의 위상으로 나타내면 다음과 같다.

:$$\backslash psi\; =\; \backslash psi\_\{0\}\; e^\{iS/\backslash hbar\}$$

여기서 $\backslash hbar$는 지수 인수를 무차원으로 만들기 위해 도입된 상수(플랑크 상수)이며, 파동의 진폭 변화는 $S$를 복소수로 하여 나타낼 수 있다. 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:$$\backslash frac\{\backslash hbar^\{2\}\}\{2m\}\; \backslash nabla^2\; \backslash psi\; -\; U\backslash psi\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar\}\{i\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; t\}$$

이는 슈뢰딩거 방정식이다.

반대로, 슈뢰딩거 방정식과 $\backslash psi$에 대한 가정으로 시작하면, 다음을 유도할 수 있다.

:$$\backslash frac\{1\}\{2m\}\; \backslash left(\; \backslash nabla\; S\; \backslash right)^\{2\}\; +\; U\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash frac\{i\backslash hbar\}\{2m\}\; \backslash nabla^\{2\}\; S.$$

위 슈뢰딩거 방정식의 고전적 한계($\backslash hbar\; \backslash rightarrow\; 0$)는 다음과 같은 해밀턴-야코비 방정식의 변형과 동일해진다.

:$$\backslash frac\{1\}\{2m\}\; \backslash left(\; \backslash nabla\; S\; \backslash right)^\{2\}\; +\; U\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; 0.$$

8. 응용

해밀턴-야코비 방정식은 중력장이나 전자기장 내에서 입자의 운동을 기술하는 데 사용될 수 있다.

* 비상대론적 입자의 해밀턴-야코비 방정식
:$\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash frac\{1\}\{2m\}\backslash left\backslash \{\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)^2\backslash right\backslash \}=0$
* 상대론적 역학에서의 해밀턴-야코비 방정식
:$\backslash frac\{1\}\{c^2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)^2-\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x\}\backslash right)^2-\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; y\}\backslash right)^2-\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)^2=m^2c^2$

여기서 $g^\{ik\}$는 계량 텐서의 공변 성분이며, $m$은 입자의 정지 질량, $c$는 광속이다.

8.1. 중력장에서의 HJE

곡선 공간에서 운동하는 정지 질량 m^영어의 입자에 대해, 에너지-운동량 관계식 g^{\alpha\beta}P_\alpha P_\beta - (mc)^2 = 0^영어을 사용한다. 여기서 g^{\alpha \beta^영어}는 계량 텐서의 반변 좌표(즉, 역계량)이며, 아인슈타인 장 방정식에서 구해진다. c^영어는 광속이다. 작용 S^영어의 사차구배와 사차운동량 P_\alpha^영어를 같다고 설정하면(P_\alpha =-\frac{\partial S}{\partial x^\alpha^영어}), 계량 g^영어에 의해 결정되는 기하학에서 해밀턴-야코비 방정식을 얻는다.
:g^{\alpha\beta}\frac{\partial S}{\partial x^\alpha}\frac{\partial S}{\partial x^\beta} -(mc)^2 = 0^영어
이는 중력장에서의 해밀턴-야코비 방정식이다.
여기서 g^{ik^영어}는 계량 텐서의 공변 성분이며, m^영어은 입자의 정지 질량, c^영어는 광속이다.

8.2. 전자기장에서의 HJE

정지 질량이 $m$이고 전하가 $e$인 입자가 진공에서 사중 벡터 포텐셜 $A\_i\; =\; (\backslash phi,\backslash mathbf\{A\})$를 갖는 전자기장 내에서 운동하는 경우, 계량 텐서 $g^\{ik\}\; =\; g\_\{ik\}$에 의해 결정되는 기하학에서 해밀턴-야코비 방정식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:$g^\{ik\}\backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^i\}\; +\; \backslash frac\; \{e\}\{c\}A\_i\; \backslash right\; )\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{\backslash partial\; S\}\{\backslash partial\; x^k\}\; +\; \backslash frac\; \{e\}\{c\}A\_k\; \backslash right\; )\; =\; m^2\; c^2$

이 방정식은 해밀턴 주 작용 함수 $S$에 대해 풀 수 있으며, 입자의 궤적과 운동량에 대한 추가적인 해를 얻을 수 있다.

9. 역사

윌리엄 로언 해밀턴이 1833년에 발표하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비가 일반화하였다.