작용 (물리학)

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 작용 원리와 관련 개념
5. 현대적 확장
참조

1. 개요

작용(물리학)은 라그랑지언이나 라그랑지언 밀도를 시간 또는 시공간에 대해 적분한 값으로 정의되며, 에너지와 시간의 곱으로 표시되는 물리량이다. 양자역학에서는 플랑크 상수가 작용의 양자 역할을 하며, 작용 값이 플랑크 상수에 접근할 때 양자 효과가 두드러진다. 작용은 범함수로서, 고전역학에서는 해밀턴 원리(최소 작용의 원리)를 통해 실제 진화가 작용이 정류점인 경로임을 나타낸다. 작용 원리는 모페르튀의 원리, 해밀턴 원리, 해밀턴-야코비 방정식, 오일러-라그랑주 방정식, 고전장, 보존 법칙 등과 관련되며, 양자장론의 경로 적분 공식화에도 중요한 역할을 한다.

2. 정의

라그랑주 역학에서 계의 작용은 라그랑지언을 시간으로 적분한 값이다.

: $S=\int L(q(t),\dot q(t),t)\;dt$

라그랑지언은 에너지의 단위를 가지므로, 작용의 단위는 에너지×시간이다. 국제단위는 줄 초(J·s)이다.

장론에서는 라그랑지언 대신 라그랑지언 밀도 $\mathcal L(\phi,\partial_\mu\phi,x^\mu)$ 를 쓴다. 이때 계의 작용은 다음과 같다.

: $S=\int\mathcal L\;d^Dx$

여기서 $D$ 는 시공간의 차원이다.

작용 $S$ 를 가진 고전적 계를 양자화하면, 그 분배 함수 $Z$ 는 다음과 같다.

: $Z=\int\exp(-iS/\hbar)\;d\phi$

여기서 $D\phi$ 는 계의 장에 대한 경로 적분의 측도이고, $\hbar$ 는 디랙 상수이다. $\hbar$ 는 "작용의 양자"라고도 불린다.

지구 상에서 공기가 있는 공간을 움직이는 공의 궤적에 대해 작용은 시간 $t_1$ 과 $t_2$ 사이에서 운동 에너지(KE)에서 포텐셜 에너지(PE)를 뺀 값을 시간에 대해 적분한 것이다.^[7]

: $S = \int_{t_1}^{t_2} \left( KE(t) - PE(t)\right) dt$

작용은 운동 에너지와 포텐셜 에너지 사이의 균형을 맞춘다.^[7]

질량 $m$ 인 공의 운동 에너지는 $(1/2)mv^2$ 이며, 여기서 $v$ 는 공의 속도이다. 포텐셜 에너지는 $mgx$ 이며, 여기서 $g$ 는 중력 상수이다. 그러면 $t_1$ 과 $t_2$ 사이의 작용은 다음과 같다.

: $S = \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{1}{2}m v^2(t) - mg x(t) \right) dt$

플랑크 상수는 $h$ 또는 $\hbar$ 로 표기하며, $1/2\pi$ 를 포함할 때는 "작용 양자"라고 불린다.^[8] 작용과 마찬가지로 이 상수는 에너지에 시간을 곱한 단위를 갖는다. 이는 불확정성 원리와 드브로이 파장과 같이 모든 중요한 양자 방정식에 등장한다. 작용의 값이 플랑크 상수에 접근할 때마다 양자 효과가 두드러진다.^[7]

변분법을 사용하면, 물리계의 진화는 작용의 정상점에 해당한다. 작용은 차원이 [에너지]×[시간]이며, SI 단위는 줄-초이고, 이는 각운동량의 단위와 동일하다.

물리학에서 "작용"에는 몇 가지 다른 정의가 사용된다.^[11]^[12] 작용은 일반적으로 시간에 대한 적분이지만, 장과 관련될 때는 공간 변수에 대해서도 적분될 수 있다.

고전 역학에서, 계가 실제로 따르는 경로는 그 경로의 작용이 정류값을 갖는다고 가정한다. 즉, 고전 역학에서 작용은 최소 작용의 원리를 만족한다. 해밀턴의 원리에서 유도된 미분 방정식에 의한 표현과 변분 원리에 의한 표현은 서로 등가이다.

2. 1. 범함수로서의 작용

작용은 일반적으로 시간과 공간의 함수를 입력으로 받아 스칼라 값을 반환하는 범함수

\mathcal{S}

로 표현된다.^[13]^[14] 고전역학에서 작용 범함수는 두 시점 ''t''₁과 ''t''₂ 사이의 라그랑지안 ''L''을 시간에 대해 적분한 값으로 정의된다.

:

\mathcal{S}[\boldsymbol{q}(t)] = \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}} L[\boldsymbol{q}(t),\dot{\boldsymbol{q}}(t),t]\, \mathrm dt

여기서 '''q'''는 일반화 좌표를 나타내며, 진화의 끝점은

\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})

및

\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})

로 고정된다. 해밀턴 원리에 따르면, 실제 진화 '''q'''_true(''t'')는 작용

\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]

가 정류점 (최소점, 최대점 또는 안장점)인 진화이다. 이 원리는 라그랑주 역학에서 운동 방정식을 유도한다.

최소 작용의 원리에 따르면, 실제로 실현되는 경로는 작용

\mathcal{S}[\boldsymbol{q}(t)]

의 정류점 (최소점, 최대점, 혹은 안장점)이다. 위의 작용에 대한 최소 작용의 원리는 라그랑주 역학에서의 운동 방정식, 즉 오일러-라그랑주 방정식을 제공한다.

2. 2. 간략화된 작용

간략화된 작용(영어: abbreviated action)은 일반적으로

\mathcal{S}_{0}

로 표시되는 범함수이다. 간략화된 작용은 시간에 따른 매개변수화에 관계없이 물리적 시스템이 따르는 경로에 대한 것으로, 일반화 운동량을 경로에 따라 적분한 값으로 정의된다.

예를 들어, 행성의 궤도는 타원이며, 균일한 중력장 내의 물체의 경로는 포물선이다. 어느 경우든, 경로의 형태는 물체가 통과하는 속도에 의존하지 않는다. 간략화된 작용

\mathcal{S}_{0}

는 일반화 좌표계 내의 경로를 따라 일반화 운동량의 적분으로 정의된다.

:

\mathcal{S}_{0} = \int \boldsymbol{p} \cdot \mathrm d\boldsymbol{q} = \int p_i \,\mathrm dq_i

모페르튀의 원리에 따르면, 실현되는 경로는 간략화된 작용

\mathcal{S}_{0}

가 정류점이 되는 경로이다.

2. 3. 해밀턴의 주함수와 특성 함수

총 에너지 ''E''가 보존될 때, 해밀턴-야코비 방정식은 변수 분리를 통해 다음과 같이 풀 수 있다.^[11]

:''S''(''q''₁, …, ''q''_N, ''t'') = ''W''(''q''₁, …, ''q''_N) - ''E'' · ''t''

여기서 시간 독립 함수 ''W''(''q''₁, ''q''₂, ..., ''q_N'')를 '''해밀턴의 특성 함수'''라고 부른다. 이 함수의 물리적 의미는 전 시간에 대한 미분을 통해 이해할 수 있다.

:

\frac{d W}{d t} = \frac{\partial W}{\partial q_i} \dot q_i = p_i \dot q_i.

이것을 적분하면 다음과 같다.

:

W(q_1, \dots, q_N) = \int p_i\dot q_i \,dt = \int p_i \,dq_i,

이것은 단지 약동작이다.^[15]

해밀턴의 주함수는 해밀턴-야코비 방정식에 의해 정의된다. 해밀턴-야코비 방정식은 고전역학의 또 다른 정식화이다. 일반적으로 해밀턴의 주함수는 ''S''로 표기된다.

전 에너지가 ''E''가 보존되는 경우, 해밀턴-야코비 방정식은 일반화 좌표의 함수와 시간의 함수의 합의 형태로 변수 분리될 수 있다.

:''S''(''q''₁, …, ''q''_N, ''t'') = ''W''(''q''₁, …, ''q''_N) - ''E'' · ''t''

시간에 의존하지 않는 함수 ''W''(''q''₁, ''q''₂ ..., ''q_N'')를 '''해밀턴의 특성 함수'''라고 부른다.

특성 함수의 물리적 중요성은 시간에 관한 전미분으로부터 명확해진다.

:

\frac{\mathrm d W}{\mathrm d t}= \frac{\partial W}{\partial q_i}\dot q_i=p_i\dot q_i

특성 함수의 전미분을 다시 적분하면

:

W(q_{1},\dots,q_{N}) = \int p_i\dot q_i \,\mathrm dt = \int p_i\,\mathrm dq_i

가 되며, 특성 함수가 상수를 제외하고 축약된 작용과 일치한다는 것을 알 수 있다.

2. 4. 일반화 좌표의 작용

작용-각 좌표계의 변수 ''J_k''는 회전 또는 진동 운동에 해당하는 위상 공간에서 닫힌 경로를 따라 단일 일반화 운동량을 적분하여 정의된다.^[15]

J_k = \oint p_k \,dq_k

''J_k''에 해당하는 정준 변수는 "각도" ''w_k''이다. 적분은 단일 변수 ''q_k''에 대해서만 수행되므로, 요약된 작용 적분에서의 적분된 내적과는 다르다. ''J_k'' 변수는 ''q_k''가 닫힌 경로를 따라 변화함에 따라 ''S_k''(''q_k'')의 변화와 같다. 몇 가지 흥미로운 물리적 시스템에서 ''J_k''는 상수이거나 매우 천천히 변한다. 따라서 변수 ''J_k''는 종종 섭동 계산 및 단열 불변량 결정에 사용된다.^[15]

3. 역사

작용이라는 개념은 처음 개발될 때 그 의미가 일정하지 않았다.

고트프리트 라이프니츠, 요한 베르누이, 피에르루이 모페르튀는 빛의 작용을 그 경로에서 속도(혹은 그 역수)를 적분한 것으로 정의했다.
레온하르트 오일러(라이프니츠도 포함될 수 있음)는 물질 입자의 작용을 그 경로에서 속도를 적분한 것으로 정의했다.
모페르튀는 정의에 여러 예외 조건을 두고, 논문 《형이상학적 원리로부터 유도한 운동과 평형의 법칙》^[21]에서 작용을 현대의 위치 에너지로 정의하거나 가상 운동 에너지 및 충돌시에 운동량을 보존시키는 무언가로 정의하기도 하는 등 서로 모순되는 정의들을 제시했다.

피에르 루이 모페르튀와 레온하르트 오일러는 1740년대에 작용 원리의 초기 버전을 개발했다. 조제프루이 라그랑주는 변분법을 발명하면서 수학적 내용을 명확히 했다. 윌리엄 로언 해밀턴은 1853년에 해밀턴 원리를 공식화하면서 큰 발전을 이루었다.^[9] 해밀턴 원리는 리처드 파인만과 줄리언 슈윙거가 양자 작용 원리를 개발할 때까지 다양한 형태의 작용과 관련된 고전적 연구의 초석이 되었다.^[10]

작용은 개념의 발달과 함께 다양한 방법으로 정의되었다.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠, 요한 베르누이, 피에르 루이 모페르튀 등은 빛의 작용을 빛의 속도나 그 역수의 경로 길이에 따른 적분으로 정의했다.
레온하르트 오일러 (그리고 아마 라이프니츠도) 물질 입자의 작용을 입자가 따르는 공간상의 경로를 따라 입자의 속도를 적분한 것으로 정의했다.
모페르튀는 서로 모순되는 몇 가지 임시변통의 작용 정의를 사용했다. 모페르튀는 자신의 논문(영문 번역)에서 작용을 포텐셜 에너지로 정의하거나, 가상적인 운동 에너지로 정의하거나, 또는 이들의 조합으로 정의했다. 이 서로 다른 작용의 정의는 입자의 충돌과 관련하여 운동량 보존 법칙을 보장하도록 도입되었다.^[19]

4. 작용 원리와 관련 개념

물리 법칙은 종종 미분 방정식으로 표현되는데, 이는 위치와 운동량과 같은 물리량이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 설명한다. 이러한 미분 방정식의 해는 시스템의 동작을 설명하는 운동 방정식이 된다.

작용은 이러한 운동 방정식을 찾는 또 다른 접근 방식이다. 고전 역학에서는 물리적 시스템이 실제로 따르는 경로는 작용이 정류점이 되는 경로라고 가정한다. 즉, 정류 작용 원리가 적용되며, 이는 변분법 원리를 만족한다. 작용은 적분으로 정의되며, 시스템의 고전적인 운동 방정식은 해당 적분의 값을 최소화하여 파생될 수 있다.

최소 작용의 원리는 물리학에 대한 깊은 통찰력을 제공하며, 현대 이론 물리학에서 중요한 개념이다. 해밀턴의 원리에서 유도된 바에 따르면, 미분 방정식에 의한 표현과 변분 원리에 의한 표현은 서로 동등하다. 해밀턴의 원리는 임의의 계의 운동 방정식인 미분 방정식을 등가적인 적분 방정식으로 재정식화할 수 있다는 것을 보여준다. 이는 단일 입자의 운동뿐만 아니라, 전자기장이나 중력장과 같은 고전장론에도 적용된다. 또한, 해밀턴의 원리는 양자 역학이나 양자장론으로 확장되어 경로 적분 정식화에 사용된다.

4. 1. 모페르튀의 원리

마페르튀의 원리는 물리적 시스템이 따르는 경로는 최소 길이의 경로라고 명시한다(경로와 길이에 대한 적절한 해석과 함께). 마페르튀의 원리는 경로상의 두 일반화된 점 사이의 약식 작용을 사용한다.^[21]

'''간략화된 작용'''은 일반적으로

\mathcal{S}_{0}

로 표시되는 범함수이다. 간략화된 작용은, 라그랑지안(및 해밀토니안)이 시간에 명시적으로 의존하지 않는 작용에 대해, 작용의 시간에 관한 항을 제외한 것으로 정의된다.

예를 들어, 행성의 궤도는 타원이며, 균일한 중력장 내의 물체의 경로는 포물선이다. 어느 경우든, 경로의 형태는 물체가 통과하는 속도에 의존하지 않는다. 간략화된 작용

\mathcal{S}_{0}

는 일반화 좌표계 내의 경로를 따라 일반화 운동량의 적분으로 정의된다.

:

\mathcal{S}_{0} = \int \boldsymbol{p} \cdot \mathrm d\boldsymbol{q} = \int p_i \,\mathrm dq_i

모페르튀의 원리에 따르면, 실현되는 경로는, 간략화된 작용

\mathcal{S}_{0}

가 정류가 되는 경로이다.

4. 2. 해밀턴 원리

해밀턴 원리는 물리 시스템의 운동에 대한 미분 방정식을 적분 방정식으로 재구성할 수 있다는 원리이다. 이는 단일 입자의 고전역학뿐만 아니라 전자기학 및 중력 장과 같은 고전장에도 적용된다.^[17] 양자역학 및 양자장론으로도 확장되었으며, 특히 양자역학의 경로 적분 공식은 이 개념을 사용한다.^[17]

물리 법칙은 흔히 미분 방정식으로 표현되는데, 이는 위치나 운동량과 같은 물리량이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다. 각 상황에 맞는 초기 조건과 경계 조건이 주어지면, 이 조건에서 얻을 수 있는 미분 방정식의 해가 시스템의 움직임을 결정한다.

운동 방정식을 찾는 방법 중 하나는 최소 작용의 원리를 이용하는 것이다. 고전 역학에서는 시스템이 실제로 따르는 경로는 그 경로의 작용이 정류값을 갖는 경로로 한정된다고 가정한다. 즉, 작용의 제1 변분이 0이 되는 경로가 고전적 경로가 된다. 작용은 적분 형태로 정의되며, 이를 '''작용 적분'''(action integral^영어)이라고 한다. 시스템의 고전적 운동 방정식은 작용 적분을 최소화하는 조건에서 얻어진다.

이처럼 미분 방정식과 변분 원리를 이용한 두 가지 접근 방식은 서로 동등하며, 이는 해밀턴 원리에서 유도된다. 해밀턴 원리는 어떤 계의 운동 방정식인 미분 방정식을 적분 방정식으로 다시 표현할 수 있음을 보여준다.

에너지 보존 법칙이 성립하는 계에서 시간 함수를 분리할 수 있는 것처럼, 특별한 경우 해밀턴-야코비 방정식의 해는 변수 분리 형태로 나타난다. 어떤 독립 변수에 대해 해밀턴의 주함수가 변수 분리될 수 있는 경우, 그 변수 분리된 항 또한 "작용"이라고 불리기도 한다.

4. 3. 해밀턴-야코비 방정식

해밀턴의 주함수

S=S(q,t;q_0,t_0)

는 작용 범함수

\mathcal{S}

로부터 초기 시간

t_0

와 초기 종점

q_0

를 고정하고, 상한 시간

t

와 두 번째 종점

q

를 변화시키면서 얻어진다. 해밀턴의 주함수는 고전역학의 한 공식인 해밀턴-야코비 방정식을 만족한다. 슈뢰딩거 방정식과의 유사성 때문에 해밀턴-야코비 방정식은 양자역학과 가장 직접적인 관련성을 제공한다고 할 수 있다.^[7]

해밀턴의 주함수는 해밀턴-야코비 방정식에 의해 정의된다. 해밀턴-야코비 방정식은 고전역학의 또 다른 정식화이다. 일반적으로 해밀턴의 주함수는 S로 표기된다. 이 표기법은 해밀턴의 주함수 S와 작용 범함수

\mathcal{S}

를 동일시할 수 있다는 데 기인한다. 작용 범함수

\mathcal{S}

의 적분의 초기 시각 t_i와 경로의 시작점 q_i 및 종단 시각 t_f와 경로의 종점 q_f를 변수로 간주하면, 해밀턴의 주함수는 이들을 독립 변수로 하는 함수가 된다. 다시 말해, 해밀턴의 주함수 S는 라그랑지안의 시간에 대한 부정적분이다.

에너지 보존 법칙이 성립하는 계에 대해 시간의 함수를 분리할 수 있었던 것처럼, 특별한 경우에는 해밀턴-야코비 방정식의 해는 변수 분리 형태로 나타난다. 어떤 독립 변수에 대해 해밀턴의 주함수가 변수 분리될 수 있는 경우, 그 변수 분리된 항 S_k(q_k) 또한 "작용"이라고 불리는 경우가 있다.

4. 4. 오일러-라그랑주 방정식

라그랑주 역학에서, 작용 적분이 작은 섭동에 대해 정지해야 한다는 요구는 변분법을 사용하여 얻을 수 있는 일련의 미분 방정식(오일러-라그랑주 방정식)과 동일하다.^[21] 계가 따라가는 실제 시간 발전 경로는 작용의 정류점(통상 최소점)에 해당한다. 작용의 정류점은 작용 적분에 대한 변분에 의해 주어진다.

작용 범함수 절에서 언급했듯이, 일반화 좌표의 시간 발달에 작은 섭동이 가해질 때 작용 적분이 정류점을 갖는다는 요구는, 변분법을 사용하여 얻어지는 일련의 미분 방정식(즉, 오일러-라그랑주 방정식)과 동등하다. 이 사실을 일반화 좌표가 변수 하나인 경우를 예로 들어 설명한다. 다변수 확장에는 변수 하나에 대한 논의를 그대로 적용하면 된다.^[21]

해밀턴의 원리를 받아들인다면, 작용 적분의 피적분 함수인 라그랑지안 L은 좌표 x와 그 시간 미분 dxdt에만 의존하거나, 문제에 따라 그 외에 시간 t에 명시적으로 의존한다. 이 라그랑지안에 대한 작용 적분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\mathcal{S} = \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}}\; L(x,\dot{x},t)\mathrm dt

여기서 운동의 초기 시간 t_i와 최종 시간 t_f, 그리고 초기 위치 x_i = x(t_i)와 최종 위치 x_f = x(t_f)는 미리 고정한다.

x_true(t)를 구하는 참 시간 발달이라 하고, 그 섭동 버전을 x_per(t)라고 하자. 단, 섭동 버전의 종점은 참 시간 발달과 일치하는 것으로 하고, x_per(t_i) = x_i이고 x_per(t_f) = x_f인 것을 선택한다. 동일 시간에 두 시간 발달의 차이

:

\varepsilon(t) = x_{\mathrm{per}}(t) - x_{\mathrm{true}}(t)

는 모든 시간에 충분히 작은 것으로 한다. 섭동에 관한 가정에서, 시간 발달의 양쪽 끝에서 이 차이는 정확히 0과 같다.

작용 적분의 변분

:

\delta \mathcal{S} = \mathcal{S}_\mathrm{per} - \mathcal{S}_\mathrm{true}

에 대해, 작용의 차이는 라그랑지안의 차이의 적분으로 대체된다.

:

\mathcal{S}_\mathrm{per} - \mathcal{S}_\mathrm{true} = \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}}\;\left[ L(x_\mathrm{per}, \dot x_\mathrm{per}, t)- L(x_\mathrm{true},\dot x_\mathrm{true},t) \right]\mathrm dt

섭동된 시간 발달 x_per을 참 시간 발달과 섭동항의 합 x_true + ε으로 대체하면, 섭동항은 무한소량으로 간주할 수 있다고 가정하므로, 라그랑지안을 섭동항에 관한 1차 전개로 다시 쓸 수 있다. 따라서 작용 적분의 변분은

:

\begin{align}\delta \mathcal{S} &= \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}}\;\left[ L(x_{\mathrm{true}}+\varepsilon,\dot x_{\mathrm{true}} +\dot\varepsilon,t)- L(x_{\mathrm{true}},\dot x_{\mathrm{true}},t) \right]\mathrm dt \\&= \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}}\;\left(\varepsilon{\partial L\over\partial x} +\dot\varepsilon{\partial L\over\partial \dot x}  \right)\mathrm dt\end{align}

로 계산할 수 있다. 마지막 항을 부분 적분하고, 경계 조건 ε(t_i) = ε(t_f) = 0을 적용하면, 다음 등식이 얻어진다.

:

\delta \mathcal{S} =\int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}}\;\left(\varepsilon{\partial L\over \partial x} -\varepsilon{\mathrm d\over \mathrm dt }{\partial L\over\partial \dot x}\right)\mathrm dt

작용 S가 정류점을 갖는다는 요구는, 참 시간 발달 주변의 모든 가능한 섭동이 그 1차 변화가 0이라는 요구를 암묵적으로 포함한다. (정류 작용의 원리).

이 정류 작용의 원리는, 라그랑지안이 다음 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 경우에만 성립한다.

: dLdt(∂L∂x˙)=0

작용의 변분에 관한 논의는 범함수 미분에 의해 표현할 수도 있다. 오일러-라그랑주 방정식이 성립한다면, 작용 적분의 범함수 미분은 항등적으로 0이다.

:

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta x(t)}=0

오일러-라그랑주 방정식에 나타나는 양 ∂L∂x˙는, 좌표 x의 '''공액 운동량''' (conjugate momentum)이라고 불린다. 오일러-라그랑주 방정식에 관한 중요한 결과로, 라그랑지안 L이 명시적으로 좌표 x를 포함하지 않는 경우, 즉

:

\frac{\partial L}{\partial x}=0

이 성립하는 경우, 대응하는 공액 운동량은 시간에 관계없이 일정하다.

:

{\mathrm d \over \mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x} = 0

이 경우의 x는 '''순환''' (cyclic) 좌표라고 불리며, 그 공액 운동량은 보존된다.

간단한 문제를 예로 들어, 오일러-라그랑주 방정식을 통해 작용 원리를 사용하는 것의 이점을 보인다. 유클리드 공간 상의 직선을 자유 입자(질량 m, 속도 v)가 운동을 하고 있다고 가정한다. 이 운동을 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 극좌표 형식으로 다시 쓰는 것을 생각해보자. 포텐셜이 없는 경우, 라그랑지안은 단순히 운동 에너지와 같고, 직교 좌표 (x, y)에서는,

:

L = \frac{1}{2} mv^2= \frac{1}{2}m \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right)

가 된다. 점은 곡선의 매개변수(보통은 시각 t에 대응한다)에 관한 미분을 나타낸다.

한편, 극좌표 (r, φ)에 의해 라그랑지안을 다시 쓰면

:

L = \frac{1}{2}m \left( \dot{r}^2 + r^2\dot\varphi^2 \right)

가 된다. 각 성분 r과 φ에 관한 오일러-라그랑주 방정식은, 각각,

:

\begin{align}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right) - \frac{\partial L}{\partial r} &= 0\qquad \Rightarrow \qquad\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2 &= 0 \\\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 0\qquad \Rightarrow \qquad\ddot{\varphi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi} &= 0\end{align}

이 된다.

이들 두 방정식의 해는, 초기 조건으로서 결정되는 상수 a, b, c, d에 대해,

:

\begin{align}r\cos\varphi &= a t + b \\r\sin\varphi &= c t + d\end{align}

에 의해 주어진다. 이 해는 등속 직선 운동을 나타내며, 자유 입자가 실제로 등속 직선 운동을 하는 것과 일치한다.

4. 5. 고전장

'''작용 원리'''는 전자기장 또는 중력장과 같은 장에 대한 운동 방정식을 얻기 위해 확장될 수 있다. 맥스웰 방정식은 정지 작용의 조건으로 유도될 수 있다.

아인슈타인 방정식은 변분 원리에 의해 제약된 ''아인슈타인-힐베르트 작용''을 활용한다. 중력장 내의 물체의 궤적(시공간에서의 경로)은 작용 원리를 사용하여 찾을 수 있다. 자유 낙하하는 물체의 경우, 이 궤적은 측지선이다.

입자의 운동 방정식에 대한 작용 원리를 확장하여, 전자기장이나 중력장과 같은 장의 운동 방정식을 제공하는 작용 원리를 생각할 수 있다.

아인슈타인 방정식은 아인슈타인-힐베르트 작용에 변분 원리를 적용하여 얻을 수 있다.

중력장 속의 물체의 세계선은 작용 원리에 의해 결정될 수 있다. 자유 낙하하는 물체의 세계선은 측지선이다.

4. 6. 보존 법칙

물리적 상황에서 대칭성이란 오일러-라그랑주 방정식과 작용 원리를 사용하여 찾을 수 있는데, 이는 작용 원리에서 파생된 것이다. 뇌터 정리는 물리적 상황의 모든 연속 대칭에 보존 법칙이 대응된다는(그리고 그 반대도) 사실을 보여주는 예시이다. 이러한 깊은 연관성은 작용 원리가 가정되어야 함을 요구한다.^[17]

4. 7. 양자장론의 경로 적분 공식화

양자역학에서, 시스템은 작용이 정지되어 있는 단일 경로를 따르지 않고, 모든 허용된 경로와 그 작용 값에 따라 행동한다.^[7] 여러 경로에 해당하는 작용은 다양한 결과의 확률 진폭을 계산하는 데 사용되는 경로 적분 공식화를 통해 나타난다.^[8]

양자역학에서 계는 작용의 정류점에 있는 경로뿐만 아니라, 모든 가능한 경로에 대한 작용이 그 계의 거동에 영향을 준다. 개별 경로의 작용은 경로 적분에서 나타나며, 해당 경로의 확률 진폭을 결정한다.

5. 현대적 확장

작용 원리는 더욱 일반화될 수 있다. 예를 들어, 작용은 비국소 작용이 가능하기 때문에 적분일 필요가 없다. 구성 공간은 함수 공간일 필요도 없으며, 비가환 기하학과 같은 특정 특징이 주어질 경우에도 마찬가지이다. 그러나 이러한 수학적 확장의 물리적 기반은 실험적으로 확립되어야 한다.

참조

_[1] 논문 Action: Forcing Energy to Predict Motion https://pubs.aip.org[...] 2006-03-01
_[2] 논문 Quantum physics explains Newtons laws of motion https://www.eftaylor[...] 2005-01-01
_[3] 논문 A call to action https://pubs.aip.org[...] 2003-05-01
_[4] 간행물 Action https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1993
_[5] 간행물 Least-action principle https://archive.org/[...] McGraw-Hill 1993
_[6] 논문 Maupertuis and the Principle of Least Action https://www.jstor.or[...] 1942
_[7] 웹사이트 The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 19: The Principle of Least Action https://www.feynmanl[...] 2023-11-03
_[8] 웹사이트 Max Planck Nobel Lecture https://www.nobelpri[...] 2023-07-14
_[9] 서적 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[10] 서적 Variational principles in dynamics and quantum theory Dover Publ 1979
_[11] 서적 Analytical Mechanics Cambridge University Press 2008
_[12] 서적 Encyclopaedia of Physics VHC publishers 1991
_[13] 서적 The Road to Reality Vintage books 2007
_[14] 서적 Classical Mechanics McGraw-Hill (UK) 1973
_[15] 서적 Classical mechanics Addison Wesley 2008
_[16] 문서 The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971
_[17] 서적 Quantum Mechanics Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc 2004
_[18] 문서 트라ジェクトリとか軌道とも呼ばれる。
_[19] 문서 Œuvres de Mr de Maupertuis
_[20] 문서 The Classical Theory of Fields Addison-Wesley 1971
_[21] 저널 인용 https://fr.wikisourc[...]

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