L∞-대수

1. 개요

L_∞-대수는 여러 가지 동치인 정의가 존재하는 대수 구조로, 괄호를 통한 정의, 미분 등급 대수를 통한 정의, 오퍼라드를 통한 정의 등 다양한 방식으로 정의된다. L_∞-대수는 변형 이론, 끈 이론, 게이지 이론, 양자화 등 다양한 분야에 응용되며, 특히 아르틴 스택의 도출된 변형 연구에 중요한 역할을 한다. L_∞-대수의 예시로는 미분 등급 리 대수, 리 n-대수, 거스틴해버 대수 등이 있다.

2. 정의

호모토피 리 대수에는 여러 가지 정의가 있으며, 이들은 서로 동치이다. 이 정의들은 각각 다른 관점에서 L_∞-대수의 구조를 설명한다. 가장 일반적인 정의는 대칭 다중 선형 사상(고차 괄호)을 사용하는 것이지만, 형식 기하학의 언어를 사용한 더 간결한 기하학적 정의도 존재한다. 또한 오퍼라드 이론을 사용한 추상적인 정의도 가능하다.

2.1. 괄호를 통한 정의

표수 0인 체 K 위의 초벡터 공간 V에 대해, L_∞-대수는 일련의 등급 반대칭 n항 연산(괄호)들로 정의된다. 이 연산들은 일반화된 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.

K 위의 L_∞-대수 A는 다음과 같은 연산들이 주어진, K 위의 ℤ-등급 벡터 공간이다.
:$A=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}A^i$

* 각 $n\backslash ge1$에 대하여, 등급 반대칭 n항 연산 $[-,-,\backslash dotsc,-]\backslash colon\; \backslash textstyle\backslash bigwedge^n\; V\; \backslash to\; K$. 그 등급은 $n-2$이다. 즉, 2항 괄호의 등급은 0이며, 1항 괄호는 등급 −1의 미분을 이룬다.
*$\backslash deg[a\_1,\backslash dotsc,a\_n]\_n\; =\; n\; -2\; +\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash deg\; a\_i$

이는 다음과 같은 야코비 항등식을 만족시켜야 한다.
:$0=\backslash sum\_\{i+j=n+1\}\backslash sum\_\{\backslash sigma\backslash in\backslash operatorname\{Sh\}(i,n-i)\}\; e(\backslash sigma)(-1)^\{\backslash sigma+i(j-1)\}[[a\_\{\backslash sigma(1)\},\backslash dots,a\_\{\backslash sigma(i)\}]\_i,a\_\{\backslash sigma(i+1)\},\backslash dots,a\_\{\backslash sigma(n)\}]\_j$

여기서
* $\backslash operatorname\{Sh\}(i,n-i)$는 $(i,n-i)$-셔플 순열의 집합이다.
* $e(\backslash sigma)$는 순열 $\backslash sigma$가 홀수 등급을 갖는 원소쌍을 서로 짝수 번 뒤바꾸었을 때 +1, 홀수 번 뒤바꾸었을 때 -1이다. 이를 코쥘 부호(Koszul sign^영어)라고 한다.

이 정의는 무한 개의 대칭적인 다중 선형 사상들의 모음을 통해 이루어지는 고차 괄호를 통한 정의와 동치이다.

2.2. 미분 등급 대수를 통한 정의

표수가 0인 체 $K$ 위의 유한 차원 등급 벡터 공간의 경우, L_∞-대수는 가환 미분 등급 대수(commutative differential graded algebra)를 통해 다음과 같이 정의될 수 있다.

* $K$ 위의 양의 정수 등급 벡터 공간 $A=\backslash textstyle\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z^+\}A\_i$가 주어져 있을 때, 다음을 정의한다.
$A^*$는 $A$의 대수적 쌍대 공간이다.
$\backslash operatorname\{Sym\}(A^*)$은 등급 벡터 공간 $A^*$ 위의 대칭 대수이며, 이는 자연수 등급 대수를 이룬다.
* $\backslash mathrm\; d\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{Sym\}(V^*)\backslash to\backslash operatorname\{Sym\}(V^*)$는 $\backslash operatorname\{Sym\}(V^*)$ 위에 정의된 등급 +1의 연속 미분이다. 즉, 다음 조건들을 만족시킨다.
$\backslash mathrm\; d$는 $K$-선형 변환이다.
$\backslash mathrm\; d\backslash circ\; \backslash mathrm\; d\; =\; 0$
$\backslash mathrm\; d(ab)\; =\; (\backslash mathrm\; da)b\; +\; (-)^\{\backslash deg\; a\}\; a\backslash mathrm\; db$ (여기서 $a$는 동차 성분이다.)
$\backslash deg(\backslash mathrm\; da)\; =\; 1+\backslash deg\; a$ (여기서 $a$는 동차 성분이다.)
* 추가적으로 다음 조건이 만족되어야 한다.
** 표준 사영 $(\backslash operatorname\{Sym\}(V^*),\backslash mathrm\; d)\; \backslash to\; (K,0)$는 미분 등급 대수의 준동형이다.

이때, 만약 마지막 조건을 생략하면, 굽은 L_∞-대수curved L_∞-algebra^영어의 개념을 얻게 된다.

두 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 괄호 $[-,-,\backslash dotsc,-]\_\backslash bullet$를 통한 정의에서, $A$의 임의의 기저
:$A\; =\; \backslash operatorname\{Span\}\_K\backslash \{t\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$
를 잡는다. 그 쌍대 기저는
:$A^*\; =\; \backslash operatorname\{Span\}\_K\backslash \{t^i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$
이며,
:$\backslash deg\; t^i\; =\; \backslash deg\; t\_i\; +\; 1$
로 놓는다. 그러면,
:$\backslash mathrm\; d\; \backslash colon\; t^i\; \backslash mapsto\; -\backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac1\{n!\}t^i([t\_\{i\_1\},\backslash dotsc,t\_\{i\_n\}]\_n)\; t^\{i\_1\}\; t^\{i\_2\}\; \backslash dotsm\; t^\{i\_n\}$
이다. 이 경우, 멱영 조건
:$\backslash mathrm\; d^2\; =\; 0$
을 전개하고 등급별로 분해하면, 괄호에 대한 조건들과 동치임을 알 수 있다.

호모토피 리 대수는 등급 벡터 공간 $V\; =\; \backslash bigoplus\; V\_i$ 위의 차수 $>1$의 연속적인 미분 $m$으로, 형식적인 다양체 $\backslash hat\{S\}\backslash Sigma\; V^*$에서 제곱하면 0이 된다. 여기서 $\backslash hat\{S\}$는 완비 대칭 대수, $\backslash Sigma$는 등급 벡터 공간의 현수(suspension)이며, $V^*$는 선형 쌍대 공간을 나타낸다. 전형적으로 $(V,m)$을 호모토피 리 대수로, 미분 $m$을 갖는 $\backslash hat\{S\}\backslash Sigma\; V^*$를 그 대표적인 가환 미분 등급 대수로 묘사한다.

이 정의를 사용하여 호모토피 리 대수의 사상 $f\backslash colon(V,m\_V)\backslash to\; (W,m\_W)$을 벡터장과 교환하는, 즉 $f\; \backslash circ\; m\_V\; =\; m\_W\; \backslash circ\; f$를 만족하는 그들의 대표적인 가환 미분 등급 대수의 사상 $f\backslash colon\backslash hat\{S\}\backslash Sigma\; V^*\backslash to\backslash hat\{S\}\backslash Sigma\; W^*$로 정의한다. 호모토피 리 대수와 그 사상은 범주를 정의한다.

2.3. 오퍼라드를 통한 정의

오퍼라드 이론을 사용하여 L_∞-대수를 정의할 수 있다. 이 경우, L_∞-대수는 L_∞ 오퍼라드 위의 대수로 정의된다.

3. 성질

호모토피 리 대수의 사상 $f\backslash colon\; V\backslash to\; W$는 그 선형 성분 $f\backslash colon\; V\backslash to\; W$가 (준) 동형 사상일 때 (준) 동형 사상이라고 한다. 여기서 $V$와 $W$의 미분은 각각 $m\_V$와 $m\_W$의 선형 성분이다.

호모토피 리 대수의 중요한 특별한 부류는 최소 호모토피 리 대수인데, 이는 선형 성분 $l\_1$이 사라지는 것으로 정의된다.

3.1. (준) 동형 사상과 최소 모델

호모토피 리 대수 사이의 사상 $f\backslash colon\; V\backslash to\; W$는 그 선형 성분 $f\backslash colon\; V\backslash to\; W$가 (준) 동형 사상일 때 (준) 동형 사상이라고 한다. 여기서 $V$와 $W$의 미분은 각각 $m\_V$와 $m\_W$의 선형 성분이다.

호모토피 리 대수의 중요한 특별한 부류는 최소 호모토피 리 대수인데, 이는 선형 성분 $l\_1$이 사라지는 것으로 정의된다. 이는 최소 호모토피 리 대수의 임의의 준동형 사상은 동형 사상이어야 함을 의미한다. 임의의 호모토피 리 대수는 최소 호모토피 리 대수와 준동형 관계에 있으며, 이는 동형 사상까지 유일해야 하므로 이를 최소 모델이라고 한다.

4. 예시

$L\_\backslash infty$-대수는 매우 복잡한 구조를 가지고 있어서, 간단한 경우를 설명하는 것조차 쉽지 않다. 하지만, 미분 등급 리 대수에서 파생되는 간단한 경우와 유한 차원 예제에서 파생되는 경우가 존재한다.

2항 L_∞-대수

0이 아닌 기저 벡터 공간이 두 개인 $L\_\backslash infty$-대수는 차수가 0과 1인 경우, 0과 n인 경우 등으로 나눌 수 있으며, 이 경우 고차 괄호는 리 대수 코호몰로지의 고차 코사이클과 관련된다.

유한 차원 예제

$L\_\backslash infty$-대수의 구조는 복잡하지만, 유한 차원 예제를 통해 그 특성을 파악할 수 있다. 예를 들어, 등급 벡터 공간 $V\; =\; V\_0\; \backslash oplus\; V\_1$에서 $V\_0$는 벡터 $w$로, $V\_1$은 벡터 $v\_1,\; v\_2$로 기저가 주어질 때, 다음 규칙에 의해 $L\_\backslash infty$-대수 구조를 정의할 수 있다.

* $l\_1(v\_1)\; =\; l\_1(v\_2)\; =\; w$
* $l\_2(v\_1\backslash otimes\; v\_2)\; =\; v\_1,\; l\_2(v\_1\backslash otimes\; w)\; =\; w$
* $l\_n(v\_2\backslash otimes\; w^\{\backslash otimes\; n-1\})\; =\; C\_nw$ ($n\; \backslash geq\; 3$)

여기서 $C\_n\; =\; (-1)^\{n-1\}(n-3)C\_\{n-1\},\; C\_3\; =\; 1$이며, 처음 몇 개의 상수는 다음과 같다.

4.1. 미분 등급 리 대수

L_∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$에서, 2항 이하 괄호만 0이 아닌 경우, 이는 미분 등급 리 대수를 이룬다. 이 경우, 다음과 같이 정의한다.

:$[a]\_1\; =\; \backslash mathrm\; da$
:$[a,b]\_2\; =\; [a,b]$
:$[a,b,\backslash dotsc,]\_k\; =\; 0\backslash qquad(k\backslash ge3)$

이 때, $(\backslash mathfrak\; g,\backslash mathrm\; d,[-,-])$가 만족시켜야 하는 항등식들은 미분 등급 리 대수의 정의와 일치한다. 즉, 3항 이상의 괄호들이 모두 0이라면, 2항 괄호의 야코비 항등식이 정확히 성립한다.

추가로 $[-]\_1\; =\; \backslash mathrm\; d\; =\; 0$일 경우, 이는 등급 리 초대수를 이루며, 모든 등급이 짝수라면 이는 등급 리 대수를 이룬다.

$L\_\backslash infty$-대수의 예시는 미분 등급 리 대수를 $L\_\backslash infty$-대수 범주에 임베딩하여 얻을 수 있다. 이 때, $l\_1$은 미분을, $l\_2$는 리 대수 구조를 제공하며, 나머지 사상 $l\_k$는 0으로 정의한다.

4.2. 리 n-대수

생성원의 등급이 $\backslash \{0,\; 1,\; \backslash dotsc,\; n\backslash \}$에 속하는 L_∞-대수를 리 $n$-대수라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.
:$n\; \backslash ge\; \backslash deg\; [a\_1,\backslash dotsc,a\_k]\_k\; \backslash ge\; k-2$
따라서,
:$[-,\backslash dotsc,-]\_k\; =\; 0\; \backslash qquad(k>\; n+2)$
이다.

예를 들어, $n=1$인 경우, 오직 1항 · 2항 · 3항 연산만이 자명하지 않다.

특히, $n=0$인 경우, 1항 연산 또한 등급에 의하여 0이 되므로, 이 개념은 리 대수의 개념과 동치이다.

4.3. 거스틴해버 대수

거스틴해버 대수는 L_∞-대수를 이룬다.

4.4. 2항 L_∞-대수

0이 아닌 밑이 되는 벡터 공간이 두 개인 $L\_\backslash infty$-대수는 차수가 0과 1인 경우, 0과 n인 경우 등으로 나눌 수 있으며, 이 경우 고차 괄호는 리 대수 코호몰로지의 고차 코사이클과 관련된다.

차수가 0과 1인 경우

두 개의 0이 아닌 밑이 되는 벡터 공간 $V\_0,\; V\_1$을 갖는 $L\_\backslash infty$-대수는 다음과 같은 선형 사상을 갖는다.^{pg 28}

* $d\backslash colon\; V\_1\; \backslash to\; V\_0$
* 쌍선형 사상 $l\_2\backslash colon\; V\_i\backslash times\; V\_j\; \backslash to\; V\_\{i+j\}$ (여기서 $0\backslash leq\; i\; +\; j\; \backslash leq\; 1$)
* 삼선형 사상 $l\_3\backslash colon\; V\_0\backslash times\; V\_0\backslash times\; V\_0\; \backslash to\; V\_1$

이들은 일련의 항등식을 만족하며, 특히 $l\_2\backslash colon\; V\_0\; \backslash times\; V\_0\; \backslash to\; V\_0$는 호모토피까지의 리 대수 구조를 갖는다. 이는 $l\_3$의 미분으로 주어지는데, 다음 항등식에 의해 고차 리 괄호임을 알 수 있다.

:$dl\_3(a,b,c)\; =\; -[[a,b],c]\; +\; a,c],b]\; +\; [a,[b,c$

(일부 저자는 사상 $l\_n$을 $[-,\backslash cdots,-]\_n:\; V\_\backslash bullet\; \backslash to\; V\_\backslash bullet$로 표기하기도 한다.)

3-괄호의 미분은 2-괄호가 리 대수 구조가 되지 못하는 실패를 보여주며, 이는 호모토피까지의 리 대수임을 의미한다. 복소수 $H\_*(V\_\backslash bullet,\; d)$를 취하면, $H\_0(V\_\backslash bullet,\; d)$는 $[-,-]\_2$의 유도된 사상으로부터 리 대수 구조를 갖는다.

차수가 0과 n인 경우

$n\; \backslash geq\; 2$인 경우, 미분은 존재하지 않으므로 $V\_0$는 자체적으로 리 대수가 된다. 여기에 차수 $n$의 벡터 공간 $V\_n$과 고차 브래킷 $l\_\{n+2\}\backslash colon\; \backslash bigoplus^\{n+2\}\; V\_0\; \backslash to\; V\_n$이 추가된다. 이 고차 브래킷은 리 대수 코호몰로지의 고차 코사이클이다.^{pg 42}

$V\_0$를 리 대수 $\backslash mathfrak\{g\}$로, $V\_n$을 리 대수 표현 $V$(구조 사상 $\backslash rho$에 의해 주어짐)로 다시 쓰면, 다음과 같은 네 개의 튜플 간의 전단사 함수가 존재한다.

:$(\backslash mathfrak\{g\},\; V,\; \backslash rho,\; l\_\{n+2\})$ (여기서 $l\_\{n+2\}\backslash colon\; \backslash mathfrak\{g\}^\{\backslash otimes\; n+2\}\; \backslash to\; V$는 $(n+2)$-코사이클)

이는 차수 $0$과 $n$에서 0이 아닌 벡터 공간을 갖는 2항 $L\_\backslash infty$-대수이다. 이 상황은 군 코호몰로지와 두 개의 비자명 호모토피 군을 갖는 n-군의 구조 사이의 관계와 매우 유사하다.

차수 $0$과 $1$에서 2항 $L\_\backslash infty$-대수의 경우에도 리 대수 코사이클과 그러한 고차 브래킷 사이의 유사한 관계가 존재한다. 호몰로지 복합체 $H\_*(V\_1\; \backslash xrightarrow\{d\}\; V\_0)$를 살펴보면, 미분은 자명해지고, 이는 이전과 같이 분석할 수 있는 등가 $L\_\backslash infty$-대수를 제공한다.

예시

리-2 대수의 간단한 예시는 $L\_\backslash infty$-대수로서 $V\_0=\; (\backslash R^3,\backslash times)$ (여기서 $\backslash times$는 벡터의 외적)이고 $V\_1=\backslash R$ (자명한 표현)이다. 이 경우, 고차 브래킷 $l\_3$는 벡터의 내적으로 주어진다.

:$l\_3(a,b,c)\; =\; a\backslash cdot\; (b\backslash times\; c).$

이 $L\_\backslash infty$-대수의 미분은 기본 선형대수를 사용하여 항상 0임을 확인할 수 있다.^45쪽

4.5. 유한 차원 예제

$L\_\backslash infty$-대수는 매우 복잡한 구조를 가지고 있기 때문에, 간단한 경우를 설명하는 것조차도 대부분의 경우 쉽지 않다. 다행히, 미분 등급 리 대수에서 파생되는 간단한 경우와 유한 차원 예제에서 파생되는 경우가 있다.

리-2 대수의 간단한 예시는 $L\_\backslash infty$-대수로서 $V\_0=\; (\backslash R^3,\backslash times)$로 주어진다. 여기서 $\backslash times$는 벡터의 외적이고 $V\_1=\backslash R$는 자명한 표현이다. 그러면, 다음과 같은 고차 브래킷 $l\_3$가 존재한다. 이는 벡터의 내적으로 주어진다.
:$l\_3(a,b,c)\; =\; a\backslash cdot\; (b\backslash times\; c).$
이 $L\_\backslash infty$-대수의 미분은 기본 선형대수를 사용하여 항상 0임을 확인할 수 있다.

$L\_\backslash infty$-대수의 특성을 연구하기 위한 간단한 예시를 제시하는 것은 복잡한 문제이다. 예를 들어, 등급 벡터 공간 $V\; =\; V\_0\; \backslash oplus\; V\_1$이 주어지고, 여기서 $V\_0$는 벡터 $w$로, $V\_1$은 벡터 $v\_1,\; v\_2$로 기저가 주어질 때, 다음 규칙에 의해 $L\_\backslash infty$-대수 구조가 주어진다.
:$\backslash begin\{align\}$
& l_1(v_1) = l_1(v_2) = w \\
& l_2(v_1\otimes v_2) = v_1, l_2(v_1\otimes w) = w \\
& l_n(v_2\otimes w^{\otimes n-1}) = C_nw \text{ for } n \geq 3
\end{align},
여기서 $C\_n\; =\; (-1)^\{n-1\}(n-3)C\_\{n-1\},\; C\_3\; =\; 1$이다. 처음 몇 개의 상수는 다음과 같다.

5. 응용

L_∞^영어-대수는 변형 이론, 끈 이론, 게이지 이론, 양자화 등 다양한 분야에 응용된다. 특히, 변형 이론에서는 아르틴 스택의 도출된 변형을 연구하는 데 사용되며, 끈 이론 및 게이지 이론에서는 장의 분류와 S-행렬 연구에 응용된다. 또한, 변형 양자화와도 관련이 있다.

5.1. 변형 이론

L_∞^영어-대수는 변형 이론에서 중요한 역할을 하며, 특히 아르틴 스택(Artin stack)의 도출된 변형(derived deformation)을 연구하는 데 사용된다.

5.2. 끈 이론 및 게이지 이론

끈 이론과 게이지 이론에서 L_∞^영어-대수는 장(field)의 분류, S-행렬(S-matrix) 연구 등에 응용된다.

5.3. 양자화

L_∞^영어-대수는 변형 양자화와 관련하여 연구되기도 한다.