무요소법

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 초기 역사
- 2.2. 발전 과정
3. FEM과의 차이점
- 3.1. 형상 함수
- 3.2. 적분
4. 주요 무요소법
- 4.1. 약형식 기반 방법
- 4.2. 강형식 기반 방법
5. 장점 및 단점
- 5.1. 장점
- 5.2. 단점
6. 최근 연구 동향 및 응용 분야
- 6.1. 최근 연구 동향
- 6.2. 응용 분야
7. 결론
참조

1. 개요

무요소법은 요소 분할 없이 문제를 해결하는 수치 해석 기법으로, 1977년 평활 입자 수력학(SPH)이 등장하며 시작되었다. 1990년대에는 갈레르킨 방법을 기반으로 하는 확산 요소법(DEM), 요소 자유 갈레르킨법(EFG), 재생 커널 입자법(RKPM) 등이 개발되었으며, 영화 겨울왕국과 같은 대변형 고체 역학 시뮬레이션에도 활용된다. 무요소법은 유한 요소법(FEM)에 비해 전처리 시간 절약, 복잡한 형상 처리, 균열 전파 문제 해결에 유리하지만, 형상 함수 작성의 어려움, 변위 경계 조건 적용의 난해함, 계산 시간 증가 등의 단점도 존재한다. 최근에는 본질적인 경계 조건 적용, 수치 적분, 접촉 및 대변형 문제 해결을 위한 연구가 진행 중이며, 조선, 자동차, 항공우주, 국방 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.

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무요소법
개요
종류	수치해석 방법
특징	격자 생성이 필요 없음 연속체 모델링에 사용 파티션 오브 유니티 방법 (PUM)에 기반
상세 정보
적용 분야	전산역학 유한요소법 경계요소법
관련 기술
주요 기법	SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) EFG (Element-Free Galerkin) RKPM (Reproducing Kernel Particle Method) hp-clouds 파티션 오브 유니티 방법 (PUM)
장점 및 단점
장점	복잡한 형상이나 큰 변형 문제에 효과적 격자 의존성 감소
단점	기존 유한요소법에 비해 계산 비용이 높을 수 있음 수렴성 및 안정성 보장이 어려울 수 있음

2. 역사

입자완화 유체동력학(SPH)은 1977년에 제시된 최초의 무요소법 중 하나이다.^[40]^[1] 유한 차분법, 유한 체적법, 유한 요소법과 같은 수치해석 기법은 원래 데이터 점들의 메시 위에서 정의되었다. 시뮬레이션 대상 물질이 움직이거나 큰 변형이 발생할 경우, 메시의 연결성을 유지하는 것은 시뮬레이션에 오류를 유발할 수 있다. 무요소법은 이러한 문제와 더불어, 복잡한 3차원 객체의 형상에서 유용한 메쉬를 생성하기 어렵거나, 균열 시뮬레이션과 같이 노드가 생성되거나 소멸될 수 있는 시뮬레이션, 굽힘 시뮬레이션과 같이 문제의 형상이 고정된 메쉬와 정렬되지 않을 수 있는 시뮬레이션, 비선형 재료 거동, 불연속성 또는 특이점을 포함하는 시뮬레이션의 문제를 해결하기 위해 고안되었다.

1990년대에는 갈레르킨 방법을 기반으로 하는 새로운 종류의 무요소법인 확산 요소법(DEM)^[4], 요소 자유 갈레르킨법(EFG)^[5], 재생 커널 입자법(RKPM)^[6] 등이 등장했다.

2. 1. 초기 역사

입자완화 유체동력학(SPH)은 1977년에 제시된 최초의 무요소법 중 하나이다.^[40]^[1] SPH는 원래 천체물리학 문제를 해결하기 위해 개발되었으나, 이후 Libersky 외.^[2]에 의해 고체 역학에 처음으로 적용되었다. SPH는 경계 부근에서 부정확한 결과를 보이고, Swegle에 의해 처음 연구된 인장 불안정성을 가진다는 단점이 있다.^[3]

1990년대에는 갈레르킨 방법을 기반으로 하는 새로운 종류의 무요소법이 등장했다. Nayroles 등은 확산 요소법(DEM)^[4]을 개발했는데, 이 방법은 이동 최소 자승법(MLS) 근사를 활용하여 편미분 방정식의 갈레르킨 해를 구했다. 이후 테드 벨리츠코는 요소 자유 갈레르킨(EFG) 방법을 개발했다.^[5] EFG는 경계 조건을 강제하기 위해 라그랑주 승수법을 사용하고, 약형식에서 고차 수치 적분을 사용하며, 더 정확한 MLS 근사의 전체 도함수를 사용한다.

거의 동시에 재생 커널 입자법(RKPM)이 개발되었다.^[6] RKPM은 SPH의 커널 추정을 수정하여 경계 근처, 비균일 이산화, 그리고 더 높은 차수의 정확도를 제공한다. 물질점 방법도 비슷한 시기에 개발되었으며,^[7] 영화 겨울왕국의 눈과 같이 대변형 고체 역학을 시뮬레이션하는 데 널리 사용된다.^[8] 1990년대 후반, Chen, Liu, Li는 RKPM과 기타 무요소법을 다양한 응용 분야와 문제에 대해 광범위하게 개발했다.^[9]

프랑스 연구자들은 약형식 형태의 유한 요소법(FEM)의 연장선상에서 이동 최소 자승법(MLS)을 형상 함수 작성에 응용한 DEM(Defused Element Method)을 개발했다. DEM은 형상 함수 계산에 필요한 모멘트 역행렬을 효율화하기 위해 근사 방법을 사용했다. 이후, 노스웨스턴 대학교 연구자들은 모멘트 역행렬을 계산하고 라그랑주 승수법을 사용하여 변위 경계 조건을 설정하는 EFG(Element Free Galerkin)를 제안했다. 기존의 FEM은 대상을 미소 요소(메쉬)로 분할하고 약형식의 가중 잔차법의 갈레르킨법 등을 사용하는 반면, 메쉬 프리법에서는 요소 분할을 하지 않고 Node(절점)를 배치하여 약형식의 갈레르킨법으로 풀거나, 미분 형식(강형식)을 직접 푸는 절점법(collocation)을 사용한다.

2. 2. 발전 과정

1990년대 초, 프랑스 연구자들이 확산 요소법(DEM)을 개발했다.^[4] 확산 요소법은 이동 최소 자승법(MLS)을 형상 함수 작성에 응용했으며, 형상 함수 계산에 필요한 모멘트 역행렬을 효율적으로 구하기 위해 근사 방법을 채택했다.

1994년, 미국 노스웨스턴 대학교 연구진은 요소 자유 갈레르킨법(EFG)을 제안했다.^[5] EFG는 모멘트 역행렬을 정식으로 계산하고, 변위 경계 조건 설정에 라그랑주 승수법을 사용했다.

1995년에는 재생 커널 입자법(RKPM)이 발표되었다.^[6] 이 방법은 평활 입자 수력학(SPH)의 커널 추정을 수정하여 경계 근처, 비균일 이산화, 그리고 더 높은 차수의 정확도를 제공하는 것을 목표로 했다.

이후, 물질점 방법(MPM) 등 다양한 무요소법들이 개발되었다.^[7] MPM은 영화 겨울왕국의 눈과 같은 대변형 고체 역학 시뮬레이션에 널리 사용되고 있다.^[8]

다음은 주요 무요소법 개발 연혁을 정리한 표이다.

연도	기법	약어
1977	평활 입자 수력학	SPH
1992	확산 요소법	DEM
1992	소산 입자 역학	DPD
1994	요소 자유 갈레르킨법	EFG/EFGM
1995	재생 커널 입자법	RKPM
1996	유한 점 방법	FPM
1998	유한 점 집합법	FPM
1998	무요소 국소 페트로프 갈레르킨법	MLPG
2016	일반화 변형 무요소 공식	GSMF

3. FEM과의 차이점

유한 요소법(FEM)과 무요소법의 주요 차이점은 형상 함수 생성 방법과 적분 방식이다. FEM은 요소를 기반으로 형상 함수를 생성하고 요소 단위로 적분을 수행한다. 반면, 무요소법은 점들을 기반으로 형상 함수를 생성하고, 배경 셀(background cell)을 이용하거나 절점 적분(nodal integration)을 사용한다.

무요소법의 형상 함수는 전역 근사이며, 주변 노드 검색 범위를 지정하는 "지지 영역(domain of influence)" 또는 "영향 범위(support size)"와 같은 매개변수가 존재한다. 이 매개변수 값을 조정하여 국소성 또는 완만한 정도를 조절할 수 있지만, 너무 크게 설정하면 정밀도가 저하될 수 있다.

무요소법은 형상 함수가 유리 함수가 되므로 가우스 적분을 하더라도 많은 평가점이 필요하다. 이를 극복하기 위해 절점 적분(SCNI 등)도 제안되었지만, 각 노드마다 형상 함수가 달라 여러 번 적분해야 한다. 또한 형상 함수를 생성할 때 주변 노드 탐색에 상당한 시간이 소요되어, 결과 해석 시간은 FEM보다 길어질 수 있다. 하지만, 처음에 요소 연결 정보를 생성하는 FEM과 달리, 무요소법은 차례대로 주변 노드를 탐색하므로, 단순히 계산 시간이 짧다고 단정할 수 없다.

무요소법은 변위 경계 조건 적용이 FEM처럼 용이하지 않아 라그랑주 승수법, 페널티 함수 등이 필요하다. 또한 절점 값을 FEM처럼 엄밀하게 만족시키지 않고, 최소 자승법처럼 평균적으로 만족하는 근사해가 되므로, FEM과 같이 크로네커 델타 속성을 기본적으로 갖지 않는다. 따라서 FEM처럼 계수 행렬 = 절점 변위가 되지 않는다.

3. 1. 형상 함수

유한 요소법(FEM)은 요소를 기반으로 형상 함수를 생성하는 반면, 무요소법은 점들을 기반으로 전역 근사 형상 함수를 생성한다. 무요소법의 형상 함수는 "지지 영역(domain of influence)" 또는 "영향 범위(support size)"와 같은 매개변수를 통해 주변 점들의 영향을 고려한다. 이 매개변수들은 주변 노드 검색 범위를 지정하는데 사용된다.

지지 영역이나 영향 범위가 작을 경우 국소성이 강해지고, 클 경우 전체적으로 완만한 근사가 되지만, 너무 크게 설정하면 정밀도가 저하된다. 수학적으로는 약형식인 FEM과 동일하지만, 형상 함수를 작성하는 방식에서 차이가 있다.

3. 2. 적분

유한 요소법(FEM)은 요소 단위로 적분을 수행하지만, 무요소법은 배경 셀(background cell)을 이용하거나 절점 적분(nodal integration)을 사용한다. 절점 적분은 배경 셀을 사용하지 않아 효율적이지만, 해의 정밀도가 낮아지는 문제가 있을 수 있다.

4. 주요 무요소법

무요소법(Meshfree method)은 크게 미분 형식(강형식, strong form)을 직접 푸는 방법과 적분 형식(약형식, weak form)을 사용하는 방법으로 나눌 수 있다.

1990년대 이전에는 프랑스 연구자들이 MLS를 형상 함수 작성에 응용한 DEM을 제안했고, 이후 미국 노스웨스턴 대학교 연구자들이 변위 경계 조건 설정에 라그랑주 승수법을 채용한 EFG를 제안했다.

일반적으로 "무요소법" 범주에 속하는 수치 기법들은 다음과 같다.

주요 무요소법
약형식	강형식

4. 1. 약형식 기반 방법

1990년대에는 갈레르킨 방법을 기반으로 하는 새로운 종류의 무요소법이 등장했다. 이 중 대표적인 방법들은 다음과 같다.

방법	약어	개발 연도	특징
확산 요소법	DEM	1992년	MLS 함수의 근사 도함수를 사용하여 편미분 방정식의 갈레르킨 해에서 MLS 근사를 활용^[4]
요소 자유 갈레르킨법	EFG	1994년	경계 조건을 강제하기 위해 라그랑주 승수를 사용하고, 약형식에서 고차 수치 적분을 사용하며, 더 나은 정확도를 제공하는 MLS 근사의 전체 도함수를 사용^[5]
재생 커널 입자법	RKPM	1995년	SPH의 커널 추정을 수정하기 위해 개발. 경계 근처, 비균일 이산화, 그리고 일반적으로 더 높은 차수의 정확도를 제공^[6]
자연 요소법	NEM

이 방법들은 미분 방정식을 적분 방정식으로 바꿔서 푸는 약형식(weak form)을 기반으로 한다.

4. 2. 강형식 기반 방법

입자완화 유체동력학(SPH)은 1977년에 제시된 최초의 무요소법 가운데 하나이다.^[40] 이 방법은 데이터를 질량과 밀도를 가진 물리적 입자로 취급하며, 이 입자는 시간이 지남에 따라 이동하면서 특정 값

u_i

를 함께 운반한다. SPH는 입자 사이의

u(x,t)

값을 다음과 같이 정의한다.

:

u(x,t_n) = \sum_i m_i \frac{u_i^n}{\rho_i} W(|x-x_i|)

여기서

m_i

는 입자

i

의 질량,

\rho_i

는 입자

i

의 밀도이고,

W

는 인접한 데이터 포인트에서 작동하며 매끄러움 및 기타 유용한 품질을 위해 선택된 커널 함수이다. 선형성에 의해 공간 도함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

{\partial u\over \partial x} = \sum_i m_i \frac{u_i^n}{\rho_i} {\partial W(|x-x_i|) \over \partial x}

그런 다음

u(x,t)

와 공간 도함수의 이러한 정의를 사용하여 시뮬레이션되는 방정식을 상미분 방정식으로 작성하고, 여러 수치적 방법 중 하나로 방정식을 시뮬레이션할 수 있다. 물리적 용어로, 이는 입자 간의 힘을 계산한 다음 시간에 따라 이러한 힘을 적분하여 움직임을 결정하는 것을 의미한다.

SPH의 장점은

u(x,t)

와 도함수에 대한 공식이 입자에 대한 인접 정보에 의존하지 않는다는 것이다. 즉, 입자를 임의의 순서로 사용할 수 있으며, 입자가 움직이거나 위치를 교환하는지 여부는 중요하지 않다.

SPH의 단점 중 하나는 입자의 가장 가까운 이웃을 결정하기 위해 추가 프로그래밍이 필요하다는 것이다. 커널 함수

W

는 "평활 길이"의 두 배 이내의 인접 입자에 대해서만 0이 아닌 결과를 반환하므로(조밀한 지지대가 있는 커널 함수를 일반적으로 선택하기 때문), 대규모 시뮬레이션의 모든 입자에 대해 위의 합계를 계산하는 것은 비효율적이다. 따라서 일반적으로 SPH 시뮬레이터는 이 가장 가까운 이웃 계산을 가속화하기 위해 추가 코드가 필요하다.

콜로케이션 법(Collocation method)도 강형식에 속한다.

5. 장점 및 단점

무요소법은 기존의 메시 기반 방법의 한계를 극복하는 여러 장점을 가지고 있지만, 동시에 몇 가지 단점도 존재한다. 주요 장점과 단점은 다음과 같다.

무요소법의 장점과 단점
장점	단점

5. 1. 장점

요소 분할을 수행하지 않으므로 전처리 시간을 절약할 수 있으며, 복잡한 형상도 다룰 수 있다.
균열 전파나 큰 변형 등, 메시가 해석에 영향을 미치는 문제도 다룰 수 있다.
C1 보간이 용이하여 판이나 쉘 해석에 유리하다. 가중 함수(weight/kernel/window function)와 동일한 연속성으로 보간이 가능하다.
엔리치 함수의 삽입이 용이하다.
노드 증가에 따른 해의 수렴 속도가 유한 요소법(FEM)보다 빠르다.

5. 2. 단점

요소 단위의 적분이 불가능하며 형상 함수가 유리 함수가 되므로 가우스 적분에서도 많은 평가점이 필요하다. 절점 적분(SCNI 등)도 제안되어 가우스 적분 정밀도를 보다 효율적으로 계산할 수 있게 되었지만, 각 노드마다 형상 함수가 다르기 때문에 여러 번의 적분이 필요하다.
형상 함수 생성에 주변 노드 탐색에 상당한 시간이 소요되어, 결과 해석 시간은 FEM보다 길어질 수 있다. 처음에 요소 연결 정보를 생성하는 FEM과, 차례대로 주변 노드를 탐색하는 메쉬 프리법을 단순 비교하면 계산 시간이 짧다고 단정할 수 없다.
변위 경계 조건의 적용이 FEM처럼 용이하지 않다. 라그랑주 승수법, 페널티 함수 등이 필요하다.
절점 값을 FEM처럼 엄밀하게 만족시키지 않는다. 최소 자승법처럼 평균적으로 만족하는 근사해가 되므로, FEM처럼 크로네커 델타 속성을 기본적으로 갖지 않는다. 따라서, FEM처럼 계수 행렬 = 절점 변위가 되지 않는다.

6. 최근 연구 동향 및 응용 분야

무요소법은 메시에 의한 해석 제한이 없는 장점을 바탕으로 꾸준히 발전하고 있으며, 다양한 분야에 적용되고 있다. 주요 응용 분야는 다음과 같다.^[1]

매우 큰 변형 문제: 물질의 큰 변형을 다루는 문제
파쇄 문제: 재료의 파괴 및 균열 발생을 다루는 문제
복잡한 형상 문제: 복잡한 형태의 객체를 다루는 문제
불연속 문제: 균열 등 재료의 연속성이 끊어지는 문제를 다루는 문제
응력 특이성 문제: 특정 지점에서 응력이 집중되는 현상을 다루는 문제

유한 요소법(FEM)을 대체하는 이론으로 기대되었지만, 현실적인 문제로 인해 유한 요소법을 완전히 대체하지는 못하고 있다. 하지만, 유한 요소법으로 다루기 어려운 메시 관련 문제가 발생하는 현상을 해석하는 데에는 여전히 유용한 방법으로 활용되고 있다.

6. 1. 최근 연구 동향

무요소법의 주요 발전 분야는 본질적인 경계 조건, 수치 적분, 접촉 및 대변형 문제 해결에 초점을 맞추고 있다.^[25] 일반적인 약한 공식은 본질적인 경계 조건을 강력하게 적용해야 하지만, 일반적으로 무요소법은 크로네커 델타 속성을 갖지 않아 적용이 쉽지 않다. 라그랑주 승수, 니체 방법, 페널티 방법 등 본질적인 경계 조건을 약하게 적용하기 위한 여러 방법이 개발되었다.

수치 적분의 경우, 단순성과 효율성을 제공하고 무요소법을 임의의 메쉬로부터 자유롭게 유지하는 노드 적분이 일반적으로 선호된다. 하지만 노드 적분은 수치적 불안정성을 겪으며,^[26] 부정확하고 수렴하지 않는 결과를 생성한다.^[27] 이러한 문제를 해결하기 위해 안정화된 적합 노드 적분(SCNI)이 개발되었다.^[27] 이 방법은 1차 패치 테스트를 만족하는 변형-스무딩을 기반으로 하지만, SCNI에 저에너지 모드가 여전히 존재한다는 것이 밝혀져 추가적인 안정화 방법이 개발되었다.^[25] 최근에는 페트로프-갤러킨 방법을 기반으로 하는 임의 차수 패치 테스트를 통과하기 위한 프레임워크가 개발되었다.^[28]

최근에는 모델링 및 시뮬레이션 자동화를 위한 계산 도구 개발도 진행 중이다. 이는 G 공간 이론을 기반으로 하는 약화된 약형식(W2) 공식을 통해 가능하다.^[29]^[30] W2 공식은 삼각 메쉬와 잘 작동하는 다양한 모델을 공식화할 가능성을 제공하며, 삼각 메쉬는 자동 생성이 가능하여 재메쉬가 훨씬 쉬워 모델링 및 시뮬레이션 자동화를 가능하게 한다. 또한, W2 모델은 상한 해를 생성할 수 있으며, 강성 모델과 함께 양쪽에서 편리하게 해를 제한할 수 있다. 대표적인 W2 모델은 스무딩된 점 보간법(S-PIM)이다.^[31] S-PIM은 노드 기반(NS-PIM),^[32] 엣지 기반(ES-PIM),^[33] 셀 기반(CS-PIM)이 될 수 있다.^[34] NS-PIM은 SCNI 기술을 사용하여 개발되었으며,^[27] 상한 해와 체적 잠금을 생성할 수 있다.^[35] ES-PIM은 정확성 측면에서 우수하며, CS-PIM은 NS-PIM과 ES-PIM 사이에 위치한다. W2 공식은 형상 함수 생성에 다항식 및 방사형 기저 함수를 사용할 수 있어 미래 발전을 위한 더 많은 여지를 열어준다. W2 공식은 또한 무요소 기술과 FEM 기술의 조합으로 이어졌으며, 소위 스무딩된 유한 요소법(S-FEM)이다.^[36]

일반적으로 무요소법은 FEM 방식보다 훨씬 비싸다는 인식이 있지만, 최근 연구에 따르면 S-PIM 및 S-FEM과 같은 일부 무요소법은 FEM 방식보다 훨씬 빠를 수 있다.^[31]^[36]

S-PIM과 S-FEM은 고체 역학 문제에 적합하며, CFD 문제의 경우, 강력한 공식을 통해 공식화가 더 간단할 수 있다. 기울기 스무딩 방법(GSM)은 강력한 형태로 기울기 스무딩 아이디어를 구현하여 CFD 문제를 위해 최근에 개발되었다.^[37]^[38]

6. 2. 응용 분야

무요소법은 매우 큰 변형 문제, 파쇄 문제, 복잡한 형상 문제, 균열 등의 불연속 문제, 응력 특이성 문제 등 다양한 분야에 적용되고 있다.^[1] 특히, 조선, 자동차, 항공우주, 국방 등 한국의 주요 산업 분야에서 활용되고 있다. 영화 산업에서도 특수 효과(VFX) 제작에 활용되기도 한다. (예: 영화 '겨울왕국'의 눈 표현)^[1]

유한 요소법(FEM)을 대체하는 이론으로 기대되었지만, 현실적인 문제로 인해 유한 요소법을 대체하지는 못했다. 유한 요소법으로 다루기 어려운 메쉬 관련 문제 발생 시 해당 현상을 해석하는 방법으로 한정되어 발전할 것으로 보인다.^[1]

7. 결론

무요소법은 매우 큰 변형 문제, 파쇄 문제, 복잡한 형상 문제, 균열 등의 불연속 문제, 응력 특이성 등 메쉬에 의한 해석 제한이 없는 점이 특징이다. 유한 요소법(FEM)을 대체하는 이론으로 기대되었지만, 현실적인 문제로 인해 유한 요소법을 완전히 대체하지는 못했다. 유한 요소법이 다루기 어려운, 메쉬로 인해 문제가 발생하는 현상을 해석하는 방법으로 한정되어 발전할 것으로 보인다.^[1]

참조

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_[5] 논문 Element-free Galerkin methods 1994-01-30
_[6] 논문 Reproducing kernel particle methods 1995-04-30
_[7] 논문 A particle method for history-dependent materials https://digital.libr[...] 1994-09
_[8] PDF https://www.math.ucla.edu/~jteran/papers/SSCTS13.pdf 2022-03
_[9] 논문 Overview and applications of the reproducing Kernel Particle methods 1996-03
_[10] 논문 A new Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) approach in computational mechanics 1998-08-24
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