약콤팩트 기수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

약콤팩트 기수는 비가산 기수 κ에 대한 여러 동치 조건을 만족하는 기수를 의미한다. 이러한 조건에는 함수 f: [κ]² → {0,1}에 대한 특정 성질, 전순서 집합의 정렬 부분 집합 존재 여부, 확장성, 무한 논리 Lκ,κ 및 Lκ,ω의 약한 콤팩트성 정리 만족 여부 등이 포함된다. 약콤팩트 기수는 또한 Π¹₁-묘사 불가능하고, 접근 불가능하며 나무 성질을 가지는 등의 특징을 보인다. 모든 강콤팩트 기수와 마흘로 기수는 약콤팩트 기수이며, 약콤팩트 기수는 반사 기수이자 마흘로 기수이다. 에르되시 팔과 알프레트 타르스키가 도입했다.

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가측 기수는 크기가 κ인 집합 위에 주 필터가 아닌 κ-완비 극대 필터가 존재하거나, 멱집합 Pow(κ) 위에 특정 조건을 만족시키는 함수 μ가 존재하거나, κ가 폰 노이만 전체 V로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M으로 가는 기본 매장의 임계점이 되는 조건들을 동치로 만족하는 기수이다.
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강콤팩트 기수는 위상 공간의 콤팩트성과 무한 논리 공식의 모형 존재성 조건을 만족하며 가산 기수가 될 수 없고 비가산일 경우 가측 기수인 특정 기수 $\kappa$ 를 뜻하며, 1960년대 카이슬러와 타르스키에 의해 모델 이론 연구에서 도입되었다.

약콤팩트 기수
서론
유형	큰 기수
집합론	집합론
발견자	파울 에르되시, 알프레트 타르스키
발견 연도	1961년
정의
정의	집합론에서 약콤팩트 기수는 특정 분배 법칙과 분할 성질을 만족하는 큰 기수의 일종이다.
기호	κ (카파)
성질
분배 법칙	κ가 강하게 접근 불가능한 기수이고 κ-완전 분배 법칙을 만족하면 약콤팩트 기수이다.
분할 성질	κ가 약콤팩트 기수일 필요충분조건은 κ → (κ)2인 것이다. 즉, 크기가 κ인 임의의 집합에 대한 모든 쌍의 색칠에 대해 크기가 κ인 동질적인 집합이 존재한다.
모델 이론	κ가 약콤팩트 기수일 필요충분조건은 Lκκ에서 크기가 κ인 모든 이론이 크기가 < κ인 모델을 가지면 모델을 갖는 것이다.
다른 큰 기수와의 관계
관계	모든 약콤팩트 기수는 강하게 접근 불가능한 기수이다. 모든 측정 가능 기수는 약콤팩트 기수이다.

2. 정의

비가산 기수에 대하여 서로 동치인 조건들을 만족시키는 기수를 '''약콤팩트 기수'''라고 정의한다. 강콤팩트 기수는 문장 집합의 농도 제한을 없앤 유사한 방식으로 정의된다.

2. 1. 동치 조건

비가산 기수

\kappa

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 '''약콤팩트 기수'''라고 한다.

$[\kappa]^2=\{S\subset\kappa\colon|S|=2\}$ 라고 하자. 그렇다면 임의의 함수 $f\colon[\kappa]^2\to\{0,1\}$ 에 대하여, $[S]^2\subset f^{-1}(0)$ 또는 $[S]^2\subset f^{-1}(1)$ 인 $S\subset\kappa$ 가 존재한다.
크기가 $\kappa$ 인 임의의 전순서 집합은 순서형이 $\kappa$ 인 정렬 부분 집합을 갖는다.
(확장성 extension property^영어) 임의의 $U\subset V_\kappa$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 추이적 집합 $X$ 및 그 부분집합 $S\subset X$ 가 존재한다.
$(V_\kappa,\in,U)$ 는 $(X,\in,S)$ 의 기본적 부분 구조이다. 여기서 $U$ 와 $S$ 는 (같은) 1항 관계로 여긴다.
무한 논리 $L_{\kappa,\kappa}$ 는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 즉, 다음이 성립한다. 임의의 이론 $\mathcal T\subset L_{\kappa,\kappa}$ 에 대하여, 만약 $|\mathcal T|\le\kappa$ 라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
만약 모든 $\mathcal S\subset\mathcal T$ 에 대하여, $|\mathcal S|<\kappa$ 라면 $\mathcal M_{\mathcal S}\models\mathcal S$ 인 구조 $\mathcal M_{\mathcal S}$ 가 존재한다.
$\mathcal M\models\mathcal T$ 인 구조 $\mathcal T$ 가 존재한다.
무한 논리 $L_{\kappa,\omega}$ 는 약한 콤팩트성 정리를 만족시킨다.

비가산 기수 κ에 대해 다음은 모두 동등하다.

# κ는 약하게 콤팩트하다.

# 모든 λ<κ, 자연수 n ≥ 2 및 함수 f: [κ]ⁿ → λ에 대해, f에 대해 동질적인 기수 κ의 집합이 존재한다.

# κ는 접근 불가능하며 나무 성질을 갖는다. 즉, 높이가 κ인 모든 나무는 크기가 κ인 레벨 또는 크기가 κ인 분기를 갖는다.

# 기수가 κ인 모든 선형 순서는 순서형이 κ인 오름차순 또는 내림차순 수열을 갖는다.

# κ는

\Pi^1_1

-묘사할 수 없다.

# κ는 확장 성질을 갖는다.

# 기수가 κ인 κ의 부분 집합 S의 모든 집합에 대해, S를 결정하는 비자명한 κ-완비 필터가 존재한다.

# κ는 κ-전개 가능하다.

# κ는 접근 불가능하고 무한 언어 ''L''_κ,κ는 약한 콤팩트성 정리를 만족한다.

# κ는 접근 불가능하고 무한 언어 ''L''_κ,ω는 약한 콤팩트성 정리를 만족한다.

언어 ''L''_κ,κ는 Σ가 기수가 최대 κ인 문장의 집합이고, κ보다 작은 원소를 갖는 모든 부분 집합이 모델을 가질 때, Σ가 모델을 가지면 약한 콤팩트성 정리를 만족한다고 말한다.

3. 성질

모든 말로 기수Mahlo cardinal^영어는 약콤팩트 기수이다. (따라서 모든 도달 불가능한 기수는 약콤팩트 기수이다.) 모든 강콤팩트 기수는 약콤팩트 기수이다. 약콤팩트 기수는 모두 반사 기수이며, 반사 기수의 극한이기도 하다. 이는 약콤팩트 기수가 마흘로 기수임을 의미하며, 주어진 약콤팩트 기수보다 작은 마흘로 기수의 집합은 정상 집합이다.

만약 $\kappa$ 가 약콤팩트 기수라면, $(V_\kappa,\in)$ 의 임의 길이 $<\kappa^+$ 의 잘기초적인 기본적 끝 확장 체인이 존재한다.^[1]

약콤팩트 기수는 $L$ 에서도 약콤팩트 기수로 남는다.^[2] V = L이라고 가정하면, 기수는 2-정상일 경우에만 약콤팩트 기수이다.^[3]

4. 역사

에르되시 팔과 알프레트 타르스키가 도입하였다.^[4]

참조

_[1] 논문 Chains of End Elementary Extensions of Models of Set Theory 1996
_[2] 서적 Set Theory: The third millennium edition 2003
_[3] 간행물 On the Consistency Strength of Hyperstationarity https://www.research[...] 2019
_[4] 서적 Essays on the foundations of mathematics Magnes Press 1961

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