밀스 상수

1. 개요

밀스 상수는 밀스 소수를 생성하는 데 사용되는 수학 상수이다. 이 상수는 존재는 증명되었지만, 값을 직접 계산하는 것은 어렵다. 밀스 소수는 리만 가설이 참이라는 가정 하에 계산할 수 있으며, 2, 11, 1361, 2521008887 등으로 시작하는 수열을 이룬다. 밀스 상수는 3 외에도 다른 지수 값을 사용하여 일반화할 수 있으며, 최근 연구에 따르면 무리수일 가능성이 제기되었다.

2. 계산법

밀스 상수의 정확한 값을 계산하는 방법은 아직 알려져 있지 않다. 다만, 밀스 소수의 마지막 항이 주어지면 그 다음 항을 계산하는 방법은 존재한다. 이 방법은 이전 항의 세제곱보다 큰 가장 작은 소수를 찾는 방식이다. 그러나 이 방법은 모든 연속된 정수의 세제곱 사이에 항상 소수가 존재한다는 가정을 필요로 하며, 현재까지 $10^\{6\; \backslash cdot\; 10^\{18\}\}$까지의 숫자에 대해서만 이 가정이 성립함이 알려져 있다.

밀스 소수열을 계산하여 밀스 상수를 근사할 수 있는데, $A\backslash approx\; a(n)^\{1/3^n\}$ 와 같이 계산할 수 있다. 캘드웰과 청은 이 방법을 사용하여 리만 가설이 참이라고 가정하에 밀스 상수의 6850자리의 10진수를 계산했다. 밀스 상수에 대한 닫힌 형식의 공식은 알려져 있지 않으며, 이 숫자가 유리수인지조차 알려져 있지 않다.

2017년 4월 현재, 수열의 11번째 숫자가 증명된 소수 중 가장 크다. 그 값은 20562자릿수를 가지고 있으며 수식은 다음과 같다.
:$\backslash displaystyle\; (((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220$

2024년 기준, 가장 큰 알려진 밀스 확률적 소수 (리만 가설 하에서)는 1,665,461자릿수이며, 수식은 다음과 같다.
:$\backslash displaystyle\; (((((((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220)^3+66768)^3+300840)^3+1623568)^3+8436308$

2.1. 리만 가설과의 관계

밀스는 상수의 존재만을 증명했을 뿐 그 값을 보이지는 않았다. 이후 조건을 만족하는 $A$의 값은 무한히 많으며, 그 집합은 비가산집합이라는 것이 증명되었지만, 역시 직접적으로 값을 계산할 수 있는 것은 아니었다.

밀스 소수의 마지막 항 $a(i)$가 알려져 있을 경우, 그 다음 항 $a(i+1)$은 $a(i)^3$보다 큰 가장 작은 소수를 찾는 것으로 계산할 수 있다. 다만 이는 모든 연속된 정수의 세제곱 사이에는 항상 소수가 존재한다는 가정이 필요한데, 현재까지는 $10^\{6\; \backslash cdot\; 10^\{18\}\}$까지의 숫자에 대해서만 이 가정이 성립함이 알려져 있을 뿐이다.

이 방법을 사용해서 2005년에 C. Caldwell과 Y. Cheng은 리만 가설이 참이라는 가정 하에 밀스 상수를 소수점 약 7000자리까지 계산하였다. 리만 가설이 참이 아닐 경우 이 방법으로 밀스 상수를 직접 계산하는 것은 불가능하며, 다른 알려진 계산법이 없기 때문에 밀스 상수를 더 큰 소수의 발견에 사용하는 것은 힘들다.

3. 밀스 소수

밀스 상수를 통해 만들어지는 소수를 밀스 소수라고 한다. 리만 가설이 참이라면, 밀스 소수 수열은 2, 11, 1361, 2521008887, ... 과 같이 시작된다.

$a\_i$가 이 수열의 i번째 소수를 나타낸다면, $a\_i$는 $a\_\{i-1\}^3$보다 큰 가장 작은 소수로 계산할 수 있다. 호하이젤-잉검 결과는 충분히 큰 두 세제곱수 사이에 소수가 존재함을 보장하며, 이는 충분히 큰 첫 번째 소수 $a\_1$에서 시작하는 경우 이 부등식을 증명하기에 충분하다. 리만 가설은 연속하는 두 세제곱 사이에도 소수가 존재함을 의미하며, "충분히 큰" 조건을 제거하고 밀스 소수열이 a₁ = 2에서 시작하도록 허용한다.

2017년 4월 현재, 수열의 11번째 숫자가 증명된 소수 중 가장 크다. 그 값은 다음과 같다.
:$\backslash displaystyle\; (((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220$
그리고 20562자릿수를 가지고 있다.

가장 큰 알려진 밀스 확률적 소수 (리만 가설 하에서)는 다음과 같다.
:$\backslash displaystyle\; (((((((((((((2^3+3)^3+30)^3+6)^3+80)^3+12)^3+450)^3+894)^3+3636)^3+70756)^3+97220)^3+66768)^3+300840)^3+1623568)^3+8436308$
이는 1,665,461자릿수이다.

4. 일반화

지수 값 3에는 특별한 것이 없다. 다른 지수 값을 사용하여 유사한 소수 생성 함수를 만드는 것이 가능하다. 실제로, 2.106보다 큰 모든 실수에 대해, 항상 소수를 생성하기 위해 이 중간 지수와 함께 작동할 다른 상수 A를 찾을 수 있다. 또한, 르장드르의 추측이 참이라면, 중간 지수는 값 2로 대체될 수 있다.

Matomäki는 르장드르의 추측을 가정하지 않고 모든 n에 대해 $\backslash lfloor\; A^\{2^\{n\}\}\; \backslash rfloor$가 소수가 되는 상수 A가 존재함을 보였다.

또한, Tóth는 공식의 바닥 함수를 천장 함수로 대체할 수 있음을 증명하여, $r>2.106\backslash ldots$에 대해서도

:$\backslash lceil\; B^\{r^\{n\}\}\; \backslash rceil$

가 소수를 나타낼 수 있는 상수가 존재한다. $r=3$인 경우 상수 $B$의 값은 1.24055470525201424067...로 시작한다. 생성된 처음 몇 개의 소수는 다음과 같다.

:$2,\; 7,\; 337,\; 38272739,\; 56062005704198360319209,\; 176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\; \backslash ldots$

Elsholtz는 리만 가설을 가정하지 않고 $\backslash lfloor\; A^\{10^\{10n\}\}\; \backslash rfloor$가 모든 양의 정수 n에 대해 소수이고(여기서 $A\; \backslash approx\; 1.00536773279814724017$), $\backslash lfloor\; B^\{3^\{13n\}\}\; \backslash rfloor$가 모든 양의 정수 n에 대해 소수(여기서 $B\; \backslash approx\; 3.8249998073439146171615551375$)임을 증명했다.

$\backslash left\backslash lfloor\; A^\{c^n\}\; \backslash right\backslash rfloor$은 c = 3 이외에도, c ≥ 2.106이면 n = 1, 2, 3, ...가 모두 소수인 A가 존재한다. 르장드르 추측이 참이라면 c = 2의 경우에도 A가 존재한다는 것을 말할 수 있지만, 나중에 르장드르 추측을 가정하지 않는 증명이 주어졌다.

바닥 함수를 천장 함수로 바꾼 $\backslash left\backslash lceil\; B^\{r^n\}\; \backslash right\backslash rceil$에서도, 임의의 자연수 r ≥ 3에 대해 n = 1, 2, 3, ...가 모두 소수인 B가 존재한다는 것이 증명되었다. r = 3일 때, B는 1.24055470525201424067...이며, 생성되는 소수는 다음과 같다.

: 2, 7, 337, 38272739, ...

Elsholtz는 리만 가설을 가정하지 않고 $\backslash left\backslash lfloor\; A^\{10^\{10n\}\}\; \backslash right\backslash rfloor$ 및 $\backslash left\backslash lfloor\; B^\{3^\{13n\}\}\; \backslash right\backslash rfloor$에 대해 n = 1, 2, 3, ...가 모두 소수인 A 및 B의 값을 이끌어냈다.

* A ≈ 1.00536773279814724017
* B ≈ 3.8249998073439146171615551375

5. 수치 계산

밀스 상수 $A$는 밀스 소수 수열을 계산하여 근사할 수 있다. 밀스 상수에 대한 닫힌 형식의 공식은 알려져 있지 않으며, 이 숫자가 유리수인지 여부도 아직 밝혀지지 않았다.

밀스 소수의 마지막 항 $a(i)$가 알려져 있을 경우, 그 다음 항 $a(i+1)$은 $a(i)^3$보다 큰 가장 작은 소수를 찾는 것으로 계산할 수 있다. 다만 이는 모든 연속된 정수의 세제곱 사이에는 항상 소수가 존재한다는 가정이 필요한데, 현재까지는 $10^\{6\; \backslash cdot\; 10^\{18\}\}$까지의 숫자에 대해서만 이 가정이 성립함이 알려져 있을 뿐이다.

이 방법을 사용하여 2005년에 C. Caldwell과 Y. Cheng은 리만 가설이 참이라는 가정 하에 밀스 상수를 소수점 약 7000자리까지 계산하였다.

밀스 소수열을 계산하여 밀스 상수를 다음과 같이 근사할 수 있다.
:$A\backslash approx\; a(n)^\{1/3^n\}.$

캘드웰과 청은 이 방법을 사용하여 리만 가설이 참이라고 가정하고 밀스 상수의 6850자리의 10진수를 계산했다.

6. 근사 분수

수렴 분수는 굵게 표시했다.

7. 최근 연구 동향

2024년 4월 30일, 사이토 코타에 의해 밀스 상수가 무리수라는 논문이 ArXiv에 투고되었다.