세제곱수

2. 정수에서의 세제곱수

'''세제곱수''' 또는 '''완전 세제곱수''', 때로는 그냥 '''세제곱'''이라고도 하는 수는 정수의 세제곱인 수이다.

기하학적으로 말하면, 양의 정수 m이 완전 세제곱수일 필요충분조건은 m개의 입체 단위 정육면체를 더 큰 입체 정육면체로 배열할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 27개의 작은 정육면체는 큐브처럼 보이도록 하나로 배열할 수 있는데, 그 이유는 3 × 3 × 3 = 27이기 때문이다.

연속하는 정수의 세제곱의 차이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

또는

:

음의 정수의 세제곱은 음수이므로 최소 완전 세제곱수는 없다. 예를 들어, (−4) × (−4) × (−4) = −64이다.

완전 제곱수와 달리, 완전 세제곱수는 마지막 두 자리에 대한 가능성이 적지 않다. 5로 나누어 떨어지는 세제곱수를 제외하면, 마지막 두 자리가 '''25''', '''75''' 및 '''00'''일 수 있으며, 마지막 자리가 홀수인 ''어떤'' 두 자리 쌍도 완전 세제곱수의 마지막 자릿수로 나타날 수 있다. 짝수 세제곱수의 경우, 상당한 제한이 있어 '''00''', ''o'''''2''', ''e'''''4''', ''o'''''6''' 및 ''e'''''8'''만이 완전 세제곱수의 마지막 두 자릿수가 될 수 있다 (여기서 ''o''는 임의의 홀수를, ''e''는 임의의 짝수를 나타낸다).

각 3제곱수의 마지막 자릿수는 다음과 같다.

그러나 대부분의 숫자가 완전 세제곱수가 아님을 쉽게 보여줄 수 있다. 왜냐하면 ''모든'' 완전 세제곱수는 자릿수 합 '''1''', '''8''' 또는 '''9'''를 가져야 하기 때문이다. 즉, 모듈로 9에서의 값은 0, 1, 8일 수 있다. 또한, 임의의 숫자의 세제곱의 자릿수 합은 숫자를 3으로 나눌 때의 나머지를 통해 결정될 수 있다.

• 숫자 ''x''가 3으로 나누어 떨어지면, 세제곱의 자릿수 합은 9이다. 즉,
• :
• 3으로 나눌 때 나머지가 1이면, 세제곱의 자릿수 합은 1이다. 즉,
• :
• 3으로 나눌 때 나머지가 2이면, 세제곱의 자릿수 합은 8이다. 즉,
• :

2. 1. 세제곱수의 수열

:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, ...

특히 64, 729, 4096, 15625 등은 제곱수인 동시에 세제곱수이다.

60³까지의 음이 아닌 완전 세제곱수는 다음과 같다.

03 =	0
13 =	1	113 =	1331	213 =	9261	313 =	29,791	413 =	68,921	513 =	132,651
23 =	8	123 =	1728	223 =	10,648	323 =	32,768	423 =	74,088	523 =	140,608
33 =	27	133 =	2197	233 =	12,167	333 =	35,937	433 =	79,507	533 =	148,877
43 =	64	143 =	2744	243 =	13,824	343 =	39,304	443 =	85,184	543 =	157,464
53 =	125	153 =	3375	253 =	15,625	353 =	42,875	453 =	91,125	553 =	166,375
63 =	216	163 =	4096	263 =	17,576	363 =	46,656	463 =	97,336	563 =	175,616
73 =	343	173 =	4913	273 =	19,683	373 =	50,653	473 =	103,823	573 =	185,193
83 =	512	183 =	5832	283 =	21,952	383 =	54,872	483 =	110,592	583 =	195,112
93 =	729	193 =	6859	293 =	24,389	393 =	59,319	493 =	117,649	593 =	205,379
103 =	1000	203 =	8000	303 =	27,000	403 =	64,000	503 =	125,000	603 =	216,000

세제곱수 열의 제2 계차수열은 공차 6의 등차수열이며, 제3 계차수열은 정수열 6이다. 따라서 세제곱수 열은 3계 등차수열이다.

피보나치 수열에 나타나는 세제곱수는 1과 8뿐이라고 한다.

2. 2. 세제곱수의 합

1부터 n번째 세제곱수까지의 합은 n번째 삼각수의 제곱과 같다.^[18]

:$1^3+2^3+\backslash dots+n^3\; =\; (1+2+\backslash dots+n)^2=\backslash left(\backslash frac\{n(n+1)\}\{2\}\backslash right)^2.$

예를 들어, 처음 5개의 세제곱의 합은 5번째 삼각수의 제곱이다.

:$1^3+2^3+3^3+4^3+5^3\; =\; 15^2$

• 세제곱수 역수의 합은 아페리 상수(약 1.2020569)로 수렴한다.
• 모든 자연수는 9개 이하의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. (와링 문제)
• * 이 중 정확히 9개의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 수는 23, 239 뿐이다.
• 두 가지 방법으로 두 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 최소의 자연수는 1729이다. (택시 수, 슈리니바사 라마누잔)

3. 유리수, 실수 및 기타 수 체계에서의 세제곱수

모든 양의 유리수는 세 양의 유리수의 세제곱의 합으로 표현할 수 있다.^[9] 또한, 두 유리수 세제곱의 합이 아닌 유리수도 존재한다.^[10]

실수에서 세제곱 함수는 순서를 보존한다. 즉, 큰 숫자는 더 큰 세제곱 값을 가지며, 세제곱은 (엄격하게) 단조 함수로 증가한다. 또한, 그 공역은 전체 실수선이다. 함수 는 전사 함수이다(가능한 모든 값을 취함). -1, 0, 1 세 개의 숫자만 자기 자신의 세제곱과 같다. 만약 또는 이면, 이다. 만약 또는 이면, 이다. 언급된 모든 속성은 실수의 모든 더 높은 홀수 거듭제곱 (, , ...)에도 적용된다.

복소수에서 허수의 세제곱은 또한 순수 허수이다. 예를 들어, 이다.

4. 역사

큰 수의 세제곱 계산은 많은 고대 문명에서 매우 흔한 일이었다. 메소포타미아 수학자들은 고대 바빌로니아 시대(기원전 20세기~16세기)에 세제곱과 세제곱근을 계산하기 위한 표가 담긴 설형 문자 점토판을 만들었다.^[12][13] 3차 방정식은 그리스 수학의 고대 그리스 수학자 디오판토스에게 알려졌다.^[14] 알렉산드리아의 헤론은 서기 1세기에 세제곱근을 계산하는 방법을 고안했다.^[15] 3차 방정식을 풀고 세제곱근을 추출하는 방법은 기원전 2세기경에 편찬되고 서기 3세기에 유휘가 주석을 단 중국 수학 텍스트인 ''구장산술''에 나타난다.^[16]

5. 추가 정보

모든 정수(양수 또는 음수)는 모듈러 산술에서 9를 기준으로 ±4와 합동되지 않는 한, 무수히 많은 방법으로 세 개의 (양수 또는 음수) 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측이 있다.^[1] 예를 들어, 6 = 2³ + (-1)³ + (-1)³이다. ±4를 기준으로 9와 합동인 정수는 세 개의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 없으므로 제외된다.

방정식 x³ + y³ = z³는 정수에서 0이 아닌 해(xyz ≠ 0)를 갖지 않는다. 아이젠슈타인 정수에서도 해를 갖지 않는다.^[6]

1을 제외한 모든 세제곱수는 연속하는 두 삼각수의 제곱의 차로 나타낼 수 있다.

:math>n^3 = \textstyle\sum\limits_{k=1}^n k^3 - \sum\limits_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ \dfrac{n(n+1)}{2} \right\}^2 - \left\{ \dfrac{(n-1)n}{2} \right\}^2 \quad n \geqq 2

피보나치 수열에 나타나는 세제곱수는 1과 8뿐이라고 한다.

세제곱수를 두 세제곱수의 합으로 나타낼 수 없다.

세제곱수 중 제곱수이기도 한 수는 n⁶으로 나타낼 수 있다. 또한, 약수를 7개 갖는 수는 모두 소수를 6제곱한 수이다.

참조

_[1] arXiv Newer sums of three cubes 2016-04-27
_[2] 학술지 On a question of Mordell
_[3] OEIS Sequences A060465, A060466 and A060467 in OEIS
_[4] 웹사이트 Threecubes http://cr.yp.to/thre[...]
_[5] 웹사이트 n=x^3+y^3+z^3 http://www.asahi-net[...]
_[6] 책 Hardy & Wright, Thm. 227
_[7] 책 Hardy & Wright, Thm. 232
_[8] citation Perfect powers that are sums of consecutive cubes
_[9] 책 Hardy & Wright, Thm. 234
_[10] 책 Hardy & Wright, Thm. 233
_[11] 설명 The multiplicative group of Fp is cyclic of order p − 1, and if it is not divisible by 3, then cubes define a group automorphism.
_[12] 서적 The History of Mathematics https://books.google[...] John Wiley & Sons 2012-11-08
_[13] 서적 Daily Life in Ancient Mesopotamia https://archive.org/[...] Greenwood Publishing Group
_[14] 서적 Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983
_[15] 학술지 Heron's Formula for Cube Root Trinity College Dublin
_[16] 서적 The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary https://books.google[...] Oxford University Press
_[17] Mathworld Weisstein, Eric W., “Cubic Number", Wolfram MathWorld
_[18] 웹사이트 PROBLEM COLLECTION http://users.tru.eas[...] 2015-03-12

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