바이첸뵈크 부등식

1. 개요

바이첸뵈크 부등식은 삼각형의 변의 길이와 넓이 사이의 관계를 나타내는 부등식이다. 삼각형 ABC의 변의 길이를 a, b, c, 넓이를 S라고 할 때, a² + b² + c² ≥ 4√3S가 성립하며, 등호는 정삼각형일 때만 성립한다. 이 부등식은 기하학적으로 해석될 수 있으며, 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 오스트리아의 수학자 롤란트 바이첸뵈크의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$, $B$, $C$의 대변의 길이를 $a$, $b$, $c$라고 하고, 넓이를 $S$라고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 이를 바이첸뵈크 부등식이라고 한다.
:$a^2+b^2+c^2\backslash ge\; 4\backslash sqrt\; 3S$
등호가 성립될 필요 충분 조건은 정삼각형이다.

사실
:$\backslash frac\{a^2+b^2+c^2\}\{4S\}$
는 삼각형 $ABC$의 브로카르 각의 코탄젠트 값과 같다. 따라서 바이첸뵈크 부등식은 모든 삼각형의 브로카르 각이 $30^\backslash circ$ 이하이며, 정확히 $30^\backslash circ$일 필요 충분 조건은 정삼각형이라는 명제와 동치이다.

3. 기하학적 해석

바이첸뵈크 부등식을 다시 쓰면 더 구체적인 기하학적 해석이 가능하며, 이를 통해 즉각적인 증명을 제공할 수 있다.

:$\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a^2\; +\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}b^2\; +\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}c^2\; \backslash geq\; 3\backslash ,\; \backslash Delta$

이 식에서 좌변의 각 항($\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a^2$, $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}b^2$, $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}c^2$)은 각각 원래 삼각형의 변 $a$, $b$, $c$를 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이를 나타낸다. 따라서 이 부등식은, 원래 삼각형의 각 변 위에 세워진 세 정삼각형 넓이의 합($\backslash Delta\_a\; +\; \backslash Delta\_b\; +\; \backslash Delta\_c$)이 항상 원래 삼각형 넓이($\backslash Delta$)의 세 배 이상이라는 것을 의미한다.

:$\backslash Delta\_a\; +\; \backslash Delta\_b\; +\; \backslash Delta\_c\; \backslash geq\; 3\backslash ,\; \backslash Delta$

이 기하학적 해석은 페르마 점을 이용하여 증명할 수 있다. 삼각형의 모든 내각이 $120^\backslash circ$보다 작은 경우, 삼각형 내부에 페르마 점이 존재한다. 이 점을 이용하여 원래 삼각형을 세 개의 둔각 삼각형(각 꼭짓점과 페르마 점을 이어서 만듦)으로 나눌 수 있는데, 각 둔각 삼각형의 꼭지각은 $120^\backslash circ$가 된다. 그리고 각 둔각 삼각형은 그 변에 인접하여 세워진 정삼각형 안에 세 번씩 복제하여 넣을 수 있다. 이를 통해 세 정삼각형 넓이의 합이 원래 삼각형 넓이의 세 배보다 크거나 같음을 보인다.

만약 삼각형의 한 내각이 $120^\backslash circ$ 이상인 경우에는 페르마 점이 삼각형의 내부에 있지 않고 해당 각의 꼭짓점과 일치하게 된다. 이 경우에도 증명은 가능한데, 전체 삼각형을 가장 큰 변 위에 세워진 정삼각형 안에 세 번 복제하여 넣을 수 있으므로, 모든 정삼각형 넓이의 합은 여전히 원래 삼각형 넓이의 세 배보다 크다는 것을 보일 수 있다.

4. 증명

바이첸뵈크 부등식은 다양한 방법으로 증명할 수 있다. 대표적으로 헤론의 공식, 피타고라스 정리, AM-GM 부등식 등을 이용한 대수적인 증명 방법이 있으며, 기하학적인 해석을 통한 증명도 가능하다.

기하학적 증명 중 하나는 부등식을 다음과 같은 형태로 변형하여 해석하는 것이다.
: $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a^2\; +\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}b^2\; +\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}c^2\; \backslash geq\; 3\backslash ,\; \backslash Delta$
여기서 좌변의 각 항은 원래 삼각형의 각 변($a,\; b,\; c$)을 한 변으로 하는 정삼각형의 넓이($\backslash Delta\_a,\; \backslash Delta\_b,\; \backslash Delta\_c$)를 나타내므로, 위 부등식은 세 정삼각형 넓이의 합이 원래 삼각형 넓이($\backslash Delta$)의 세 배 이상임을 의미한다.
: $\backslash Delta\_a\; +\; \backslash Delta\_b\; +\; \backslash Delta\_c\; \backslash geq\; 3\backslash ,\; \backslash Delta$
이 증명은 페르마 점을 이용하여 삼각형을 세 개의 부분 삼각형으로 나누고, 각 부분을 인접한 정삼각형 내에서 복제하는 방식으로 이루어진다. 단, 이 방법은 삼각형의 모든 각이 $120^\backslash circ$보다 작을 때만 직접적으로 적용 가능하다.

또 다른 증명 방법으로는 내부 나폴레옹 삼각형의 넓이가 음수가 될 수 없다는 성질을 이용하는 것이 있다. 내부 나폴레옹 삼각형의 넓이는 $\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{24\}(a^2+b^2+c^2-4\backslash sqrt\{3\}\backslash Delta)$로 표현되는데, 이 값이 0 이상이어야 하므로 바이첸뵈크 부등식 $a^2+b^2+c^2\; \backslash ge\; 4\backslash sqrt\{3\}\backslash Delta$이 성립함을 알 수 있다.

제곱 항의 합이 항상 0 이상이라는 기본적인 성질을 이용한 증명도 가능하다.
: $(a^2\; -\; b^2)^2\; +\; (b^2\; -\; c^2)^2\; +\; (c^2\; -\; a^2)^2\; \backslash geq\; 0$
위 식을 전개하고 정리하면 바이첸뵈크 부등식과 동치인 $\backslash frac\{(a^2\; +\; b^2\; +\; c^2)^2\}\{3\}\; \backslash geq\; (4\backslash Delta)^2$ 형태를 유도할 수 있다.

삼각함수의 코탄젠트($\backslash cot$)를 이용한 증명도 존재한다. 삼각형의 세 각 $A,\; B,\; C$에 대해 $\backslash cot\; A\; +\; \backslash cot\; B\; +\; \backslash cot\; C\; =\; \backslash frac\{a^2+b^2+c^2\}\{4\backslash Delta\}$ 임을 이용하고, $\backslash cot\; A\; +\; \backslash cot\; B\; +\; \backslash cot\; C\; \backslash ge\; \backslash sqrt\{3\}$ 임을 보임으로써 부등식을 증명할 수 있다.

대부분의 증명 방법에서 등호가 성립하는 경우는 $a=b=c$일 때, 즉 주어진 삼각형이 정삼각형일 때뿐임을 확인할 수 있다.

4.1. 헤론의 공식을 이용한 증명

헤론의 공식
:$S=\backslash frac\{\backslash sqrt\{(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)\}\}4$
에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다. 부등식 $a^2+b^2+c^2\; \backslash ge\; 4\backslash sqrt\; 3S$의 양변은 음수가 아니므로, 양변을 제곱하여 얻는 부등식 $(a^2+b^2+c^2)^2\; \backslash ge\; (4\backslash sqrt\; 3S)^2$과 동치이다. 따라서 후자를 증명하는 것으로 충분하다.

:$\backslash begin\{align\}$
(a^2+b^2+c^2)^2-(4\sqrt 3S)^2
& =(a^2+b^2+c^2)^2-48 \cdot \frac{(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}{16} \\
& =(a^2+b^2+c^2)^2-3(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c) \\
& =(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-3(2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)) \\
& =4(a^4+b^4+c^4)-4(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2) \\
& =2(2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2) \\
& =2((a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(b^2-c^2)^2) \\
& \ge 0
\end{align}
위 부등식에서 등식이 성립할 필요충분조건은 $a^2=b^2=c^2$이고, 삼각형의 변의 길이는 양수이므로 $a=b=c$이다. 따라서 바이첸뵈크 부등식에서 등식이 성립하는 경우는 삼각형이 정삼각형일 때이다.

이 부등식의 증명은 1961년 국제 수학 올림피아드 문제로 출제되었다. 헤론의 공식을 이용하면 비교적 간단하게 유도할 수 있다. 헤론의 공식을 변형하면 삼각형의 넓이 $\backslash Delta$를 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:$$
\begin{align}
\Delta & {} =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\[4pt]
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{( (a+b)^2 - c^2 ) ( c^2 - (a-b)^2 )} \\
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+2ab+b^2-c^2)(c^2-a^2+2ab-b^2)} \\
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{(2ab + (a^2+b^2-c^2))(2ab - (a^2+b^2-c^2))} \\
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2} \\
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2)} \\
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
\end{align}

4.2. 피타고라스 정리를 이용한 증명

편의상 삼각형의 세 각을 $A,\; B,\; C$라 하고, 마주보는 변의 길이를 각각 $a,\; b,\; c$라고 하자. 또한, 삼각형의 넓이를 $S$라고 하자. 꼭짓점 $C$에서 대변 $AB$ (길이 $c$)에 내린 수선의 발을 $D$라고 하고, 선분 $CD$의 길이를 $h$, 선분 $AD$의 길이를 $x$라고 하자. 그러면 $BD\; =\; c-x$ 이다. 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}$
a^2 & = h^2 + (c-x)^2 \\
b^2 & = h^2 + x^2
\end{align}
이를 이용하여 바이첸뵈크 부등식의 좌변을 정리하면,
:$\backslash begin\{align\}$
a^2+b^2+c^2
& = (h^2 + (c-x)^2) + (h^2 + x^2) + c^2 \\
& = h^2 + c^2 - 2cx + x^2 + h^2 + x^2 + c^2 \\
& = 2(h^2 + x^2 - cx + c^2) \\
& = 2\left(x^2 - cx + \frac{c^2}{4} + h^2 + \frac{3c^2}{4}\right) \\
& = 2\left(\left(x - \frac{c}{2}\right)^2 + h^2 + \frac{3c^2}{4}\right) \\
& = 2\left(\left(x - \frac{c}{2}\right)^2 + \left(h - \frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 + \sqrt{3}ch \right) \quad \left(\because h^2 + \frac{3c^2}{4} = \left(h - \frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 + \sqrt{3}ch \right) \\
& \ge 2(\sqrt{3}ch) \quad \left(\because \left(x - \frac{c}{2}\right)^2 \ge 0, \left(h - \frac{\sqrt{3}}{2}c\right)^2 \ge 0 \right) \\
& = 4\sqrt{3} \left(\frac{1}{2}ch\right) \\
& = 4\sqrt{3} S \quad \left(\because S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2}ch \right)
\end{align}
여기서 등식이 성립할 필요충분조건은 제곱 항들이 0이 되는 경우이다. 즉,
:$x\; -\; \backslash frac\{c\}\{2\}\; =\; 0\; \backslash implies\; x\; =\; \backslash frac\{c\}\{2\}$
:$h\; -\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}c\; =\; 0\; \backslash implies\; h\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}c$
이다. $x\; =\; AD\; =\; \backslash frac\{c\}\{2\}$는 점 $D$가 선분 $AB$의 중점임을 의미하며, 이는 삼각형 $ABC$가 이등변삼각형($a=b$)임을 뜻한다. 또한, $h\; =\; CD\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}c$는 정삼각형의 높이 공식을 만족한다. 이 두 조건을 동시에 만족하는 삼각형은 정삼각형이다. 따라서 등호는 삼각형 $ABC$가 정삼각형일 때 성립한다.

4.3. AM-GM 부등식을 이용한 증명

이 증명은 AM-GM 부등식에 대한 지식을 전제로 한다.

$$
\begin{align}
& & (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 & \geq & & 0 \\
\iff & & 2a^2+2b^2+2c^2 & \geq & & 2ab+2bc+2ac \\
\iff & & 3(a^2+b^2+c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\
\iff & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & \sqrt{3(a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\
\Rightarrow & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
\iff & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta.
\end{align}


산술-기하 평균 부등식을 사용했으므로, 등호는 $a\; =\; b\; =\; c$일 때만 성립하며, 삼각형은 정삼각형이다.

5. 역사

오스트리아의 수학자 롤란트 바이첸뵈크Roland Weitzenböck^독일어의 이름을 땄다.