오일러 삼각형 정리

3. 증명

삼각형 $ABC$의 외심을 $O$, 내심을 $I$라고 하고, $I$를 지나는 외접원의 지름을 $XY$라고 하자. $\backslash angle\; A$의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을 $M$이라고 하고, $MO$의 연장선과 외접원의 교점을 $D$라고 하자. $I$를 지나는 $AC$의 수선의 발을 $E$라고 하자. 그렇다면 방멱 정리에 의하여

:$AI\backslash cdot\; IM=XI\backslash cdot\; YI=(R-d)(R+d)=R^2-d^2$

이며, 또한 맨션 정리에 의하여 $BM=IM$이다. 삼각형 $AEI$와 $DBM$을 생각할 때, 호 $BM$의 원주각의 성질에 의하여

:$\backslash angle\; BDM=\backslash angle\; BAM=\backslash angle\; EAI$

이고, $DM$은 지름이므로

:$\backslash angle\; DBM=90^\backslash circ=\backslash angle\; AEI$

이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 닮음이며, 특히

:$AI\backslash cdot\; BM=DM\backslash cdot\; EI=2Rr$

가 성립한다. 이 결과들을 연립하면

:$R^2-d^2=2Rr$

를 얻는다.

4. 방접원

만약 $r\_a$가 꼭짓점 $A$의 맞은편에 있는 방접원의 반지름을 나타내고, $d\_a$가 방접원의 중심과 외접원의 중심 사이의 거리를 나타낸다면, 다음 식이 성립한다.

:$d\_a^2=R(R+2r\_a)$

방접원의 반지름을 $r\_A$, 그 중심과 외심의 거리를 $d\_A$라고 할 때도 위와 같은 식이 성립한다. 증명은 내심의 경우와 거의 같다.^[1]

5. 일반화

n차원 단순체에 내접 및 외접하는 n-1차원 초구의 반지름을 이용한 부등식은 오일러 부등식의 일반화된 형태이다.^[2][3]

5. 1. n차원

5. 2. 절대 기하학

6. 다른 형태

주어진 삼각형의 외접원의 반지름을 ''R'', 내접원의 반지름을 ''r''이라 하고, 외심과 내심 사이의 거리를 ''d''라고 할 때, 다음 식이 성립한다.

:$d^2\; =R(R-2r)$

이 식을 변형하면 ''R'' ≧ 2''r''가 성립한다. 이것은 '''오일러 부등식'''이라고 불린다. 또한, 이 식의 양변을 2로 나눔으로써, 9점 원의 반지름이 내접원의 반지름보다 크다는 것을 알 수 있다.

3변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c'', 면적을 ''S''라고 할 때, 오일러는 이 식을 다음과 같은 형태로 제시하고 있다.^[1]

:$d^2\; =\; \backslash frac\{a^2\; b^2\; c^2\}\{16\; S^2\}\; -\; \backslash frac\{abc\}\{a+b+c\}$

반대로, 2원의 반지름이 위 관계를 만족하는 경우, 2개의 원을 외접원과 내접원으로 하는 삼각형은 무한히 존재한다. 이것은 퐁슬레의 폐형 정리의 가장 간단한 예이다.

7. 관련 정리

• 방멱 정리
• 맨션 정리
• 닮음
• 퐁슬레의 폐형 정리
• 이건 추측
• 파스 정리
• 삼각형 부등식 목록

참조

_[1] 서적 幾何学大事典
_[2] 논문 The Euler and Grace-Danielsson inequalities for nested triangles and tetrahedra: a derivation and generalisation using quantum information theory https://doi.org/10.1[...] 2015-12-01
_[3] 논문 A Simplex Contained in a Sphere https://people.clas.[...] 2008-10-01