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반사 원리

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목차

1. 개요

반사 원리는 복소해석학에서 사용되는 정리로, 함수가 특정 조건을 만족할 경우 그 함수를 확장할 수 있음을 보여준다. 이 정리는 실수축에 대해 대칭인 영역에서 정의된 정칙 함수가 실수축 상에서 실수값을 가질 때, 이 함수를 원래 영역보다 더 넓은 영역으로 확장할 수 있다는 것을 설명한다. 반사 원리는 함수의 정칙성을 보존하면서 함수의 정의역을 확장하는 데 사용되며, 함수의 표현과 증명 방법을 제공한다.

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반사 원리
개요
분야수학, 복소해석학
하위 분야해석적 연속
이름의 유래카를 헤르만 아만두스 슈바르츠
설명
내용복소 평면의 일부 영역에서 정의된 해석 함수의 경계를 넘어 해석적 연속이 가능한 조건을 제시하는 정리이다. 특히, 실축에 대해 대칭인 영역에서 정의된 해석 함수가 실축 위에서 실수값을 가지면, 그 함수는 전체 영역으로 해석적 연속이 가능하다.
활용디리클레 문제의 해를 구하는 데 활용될 수 있다.
관련 개념
관련 항목해석적 연속
관련 문제디리클레 문제

2. 수학적 기술

복소해석학에서 다루는 반사 원리는 특정 조건을 만족하는 정칙 함수를 확장하는 방법을 수학적으로 기술한다. 이 원리는 주로 실수축에 대해 대칭적인 영역에서 정의된 함수에 적용된다.

함수가 영역의 윗부분(상반평면)과 실수축 일부에서 정의되고, 특정 조건(연속성, 상반평면에서의 정칙성, 실수축 위에서의 실수값)을 만족할 때, 이 함수를 실수축을 기준으로 대칭적인 아랫부분(하반평면)까지 포함하는 전체 영역으로 해석적 연속을 통해 확장할 수 있다는 것이 핵심 내용이다. 확장된 함수는 아랫부분 영역의 한 점에서의 값을, 그 점의 켤레 복소수에 해당하는 윗부분 영역 점에서의 함수값의 켤레 복소수로 정의하는 방식으로 구성된다.

자세한 수학적 정의와 표현 방식은 아래 하위 섹션에서 설명한다.

2. 1. 표현

정리의 가장 기본적인 형태는 다음과 같이 기술할 수 있다.

복소평면 '''C'''의 영역을 ''U''라 하고, U_{\pm} = \{z \in U \mid \pm\operatorname{Im} z > 0\}, I = U \cap \mathbb{R}로 정의한다. 여기서 \operatorname{Im} z는 복소수 ''z''의 허수부를 나타낸다.

이때 영역 ''U''는 실수축에 대해 대칭이라고 가정한다. 즉, \{\bar{z} \mid z \in U\} = U가 성립한다. (\bar{z}는 ''z''의 켤레 복소수이다.)

함수 f: U_+ \cup I \to \mathbb{C}가 다음 두 조건을 만족한다고 하자.

  • ''f''는 연속 함수이다.
  • ''f''는 영역 U_+에서 정칙 함수이다.
  • ''f''는 구간 ''I'' 위에서 항상 실수 값을 가진다. 즉, 모든 z \in I에 대해 f(z) \in \mathbb{R}이다.


이러한 조건을 만족하는 함수 ''f''는 영역 ''U'' 전체에서 정의되는 정칙 함수 \tilde{f}로 확장(해석적 연속)될 수 있다. 이 확장된 함수 \tilde{f}는 다음과 같이 구체적으로 표현된다.

\tilde{f}(z) = \begin{cases}

f(z) & \text{if } z \in U_{+} \cup I \\

\overline{f(\bar{z})} & \text{if } z \in U_{-} \end{cases}

여기서 U_{-} = \{z \in U \mid \operatorname{Im} z < 0\}이다. 즉, 실수축 아래쪽 영역(U_-)에서의 함수값은, 그 점의 켤레 복소수(\bar{z})에서의 원래 함수값(f(\bar{z}))의 켤레 복소수(\overline{f(\bar{z})})와 같다.

3. 증명

슈바르츠 반사 원리의 증명은 크게 두 방향으로 나누어 진행된다.


  • '''(\rightarrow) 방향:''' 함수 f(z)가 \overline{f(z)}=f(\overline{z}) 조건을 만족하면, 이 함수는 실수축 위에서 실수값을 가진다는 것을 보인다. 즉, f(z)=u(x,y)+iv(x,y)로 표현될 때, 실수축 위의 점 (x,0)에서 허수부 v(x,0)이 0이 됨을 증명한다.
  • '''(\leftarrow) 방향:''' 함수 f(z)가 실수축 위에서 실수값을 가진다고 가정하면, 주어진 영역 D 전체에서 f(z)=\overline{f(\overline{z})}가 성립함을 보인다. 이 증명 과정에서는 함수 \overline{f(\overline{z})}가 코시-리만 방정식을 만족하여 정칙 함수임을 확인하고, f(z)와의 차이를 나타내는 함수 g(z) = f(z)-\overline{f(\overline{z})}가 실수축 위에서 0이 된다는 점을 이용한다. 이후 항등 정리를 적용하여 g(z)가 영역 D 전체에서 0임을 보여 f(z) = \overline{f(\overline{z})}임을 증명한다.


각 방향에 대한 자세한 증명 과정은 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. (→) 방향 증명

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)라 놓자. 만약 \overline{f(z)}=f(\overline{z})이라면, 켤레복소수의 정의에 의해 다음 식이 성립한다.

:u(x,y)-iv(x,y)=u(x,-y)+iv(x,-y)

이 식이 실수축 위에서도 성립해야 하므로, y=0을 대입하면 다음과 같다.

:u(x,0)-iv(x,0)=u(x,0)+iv(x,0)

양 변에서 u(x,0)을 소거하면 -iv(x,0)=iv(x,0)을 얻는다. 이를 정리하면 2iv(x,0)=0이므로, 최종적으로 v(x,0)=0임을 알 수 있다. 이는 함수 f(z)가 실수축 위에서 허수부(v)가 0, 즉 실수값을 가진다는 것을 의미한다.

3. 2. (←) 방향 증명

D에서 f(x,0)이 실수라고 가정하자. 이때 f(z)=\overline{f(\overline{z})}임을 보이면 된다.

먼저 함수 h(z) = \overline{f(\overline{z})}를 정의하자. f(z)가 정칙 함수이므로, 간단한 계산을 통해 h(z) 역시 코시-리만 방정식을 만족함을 보일 수 있다. 따라서 함수 \overline{f(\overline{z})}는 정칙 함수이다.

또한, D 영역 중 실수축에 해당하는 부분, 즉 z가 실수 x일 때, f(z)와 \overline{f(\overline{z})}의 값을 비교해 보자. z=x (실수)이면 \overline{z} = x이므로, \overline{f(\overline{z})} = \overline{f(x)}가 된다. 가정에 따라 f(x)는 실수이므로, \overline{f(x)} = f(x)이다. 따라서 실수축 위에서는 f(x) = \overline{f(\overline{x})}가 성립한다.

이제 g(z) = f(z)-\overline{f(\overline{z})}라고 새로운 함수를 정의하자. f(z)와 \overline{f(\overline{z})}가 모두 정칙 함수이므로, 그 차이인 g(z) 역시 D에서 정칙 함수이다. 위에서 확인했듯이, D 영역 내의 실수축 위의 모든 점 x에 대해서 g(x) = f(x) - \overline{f(\overline{x})} = 0이다.

항등 정리에 따르면, 어떤 해석함수(정칙 함수)가 영역 D에서 0이 되는 점들의 집합이 D 내부에 극한점을 가지면 (여기서는 실수축의 일부가 해당됨), 그 함수는 D 전체에서 0이어야 한다. 함수 g(z)는 D 내의 실수축에서 0이 되므로, 항등 정리에 의해 D 영역 전체에서 g(z) = 0이어야 한다.

따라서, D의 모든 z에 대해 f(z) - \overline{f(\overline{z})} = 0, 즉 f(z) = \overline{f(\overline{z})}가 성립한다.


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