복소평면

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복소수의 표현
- 2.2. 편각
3. 역사적 배경
4. 복소 평면의 활용
- 4.1. 복소 연산의 기하학적 의미
- 4.2. 제어 이론에서의 활용 (s-평면)
5. 리만 구면
- 5.1. 스테레오그래픽 투영
6. 다중 값 관계와 분지 절단
- 6.1. 분지점
7. 기타
- 7.1. 복소 평면의 다른 의미
참조

1. 개요

복소평면은 복소수를 좌표로 나타내는 2차원 평면으로, 가우스 평면이라고도 한다. 복소수는 실수부와 허수부로 이루어져 있으며, 복소평면은 이러한 복소수를 시각적으로 표현하는 데 사용된다. 복소평면은 역사적으로 카스파르 베셀, 장로베르 아르강, 카를 프리드리히 가우스 등에 의해 연구되었으며, 복소수의 극형식 표현, 곱셈과 나눗셈의 기하학적 의미, s-평면과 같은 제어 이론에서의 활용 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한 리만 구면과 같은 개념을 통해 복소평면을 확장하여 이해할 수 있으며, 다중 값 관계와 분지 절단을 통해 복소변수 함수의 특성을 분석하는 데 사용되기도 한다.

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복소평면
개요
복소 평면은 복소수를 기하학적으로 표현한 것이다. 가로축은 실수축이고 세로축은 허수축이다.
다른 이름	가우스 평면 아르강 평면
정의	복소수를 기하학적으로 표현하는 좌표 평면
설명	복소수 z = x + iy는 점 (x, y)로 표현됨
좌표
실수부	x
허수부	y
절댓값	}
관련 개념
관련 분야	복소해석학
관련 항목	복소수
역사
최초 고안자	카스파르 베셀 장-로베르 아르강

2. 정의

복소수는 실수부와 허수부로 구성되며, 다음과 같이 정의한다.

: $z=\mathrm{Re}z+i\mathrm{Im} z$ ( $\mathrm{Re}z$ , $\mathrm{Im}z$ 는 실수, $i=\sqrt{-1}$ )

복소수는 순서쌍과 대응시킬 수 있으며, 좌표평면의 한 점으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 실수부는 $x$ 좌표, 허수부는 $y$ 좌표로 대응시킨다.

: $z(x,y)=x+iy$

극좌표를 이용하여 복소수를 표현하거나, 오일러 공식을 이용하여 지수 함수 형태로 나타낼 수 있다. 복소 평면은 실수체 위의 2차원 선형 공간이며, (1, ''i'')는 복소 평면의 기저이다. 복소수의 절댓값에 의해 복소 평면은 곱셈적 노름 선형 공간이 된다.

2. 1. 복소수의 표현

복소수는 일반적으로 z = x + iy 형태로 표현되며, 여기서 x는 실수부, y는 허수부, i는 허수 단위이다.^[10] 복소수는 순서쌍과 대응 시킬 수 있으며, 좌표평면의 한 점으로 나타낼 수 있다. 일반적으로 실수부는 x좌표로, 허수부는 y좌표로 대응시킨다.

극좌표를 이용하면 z = x + iy 를

:z = r(cosθ + isinθ)

라고 표현할 수 있으며, 이 경우 실수부와 허수부는 각각

:x = rcosθ

:y = rsinθ

이다.

오일러 공식을 이용하면

:z = re^iθ

라고 쓸 수 있다.^[11]

원점과 점 z를 이은 직선과 실수축 사이의 각인 θ는 z의 편각이라고 하며, 삼각함수는 주기가 2π이기 때문에^[10] z의 편각이 θ 일 때, θ + 2nπ (n은 임의의 정수) 역시 z의 편각이다. 편각 중에서 구간 (-π, π]에 있는 것은 유일하며, 특별히 주편각이라고 한다. z의 편각을 나타내는 기호는 arg z이며, 주편각은 Arg z이다.

복소수 z를 직교 좌표로 표시하면, z = x + yi (x, y는 실수)가 된다. z를 극형식으로 표시하면, z = r(cosθ + isinθ) (r ≥ 0, θ는 실수)가 된다.

드 무아브르의 정리에 의해, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱은 원점 중심의 θ 회전에 대응한다.

복소수의 곱셈과 나눗셈은 극형식으로 표시하고 가우스 평면에서의 기하학적 조작을 고려하면 이해하기 쉬워진다.^[10]^[11]

오일러 공식 e^iθ = cosθ + isinθ를 사용하면 극형식은

:z = re^iθ

로 간단하게 기술할 수 있다.^[11]

2. 2. 편각

복소수를 극형식으로 표현했을 때, 원점과 복소수를 이은 직선이 실수축과 이루는 각을 편각(argument^영어)이라고 하며, 기호로는

\arg z

로 나타낸다.^[11] 편각은 일반적으로

2\pi

의 정수배만큼 차이가 나는 값을 가질 수 있다. 예를 들어, 복소수

z

의 편각이

\theta

일 때,

\theta + 2n\pi

(

n

은 임의의 정수) 역시

z

의 편각이 된다.

편각 중에서 구간

(-\pi, \pi]

에 있는 값은 유일하며, 이를 주편각(principal argument^영어)이라고 한다. 주편각은 대문자 A를 사용하여

\mathrm{Arg}\,z

로 나타낸다.^[10]

3. 역사적 배경

복소평면 아이디어를 처음 발표한 사람은 당시 덴마크의 지배하에 있던 노르웨이 출신의 기술자 카스파르 베셀(1745~1818)이다. 베셀은 허수 및 복소수를 측량 기술자의 업무에 활용하기 위한 연구를 독자적으로 수행하여, 현재의 복소평면 아이디어에 도달하였다. 이를 『방정식의 해석적 표현에 관하여』라는 제목의 논문으로 정리하여 1799년에 발표하였고, 그 2년 전인 1797년에는 같은 내용을 덴마크 과학 아카데미에 발표했다.^[1] 그러나 이 발표는 덴마크어로 이루어졌고, 당시 유럽에서는 덴마크어로 쓰인 문헌이 국외에서 널리 읽히는 경우가 많지 않아 이후 100년 동안 빛을 보지 못했다. 베셀의 아이디어가 사회에 널리 알려지게 된 것은 그의 사후 한참 뒤인 1899년, 논문이 프랑스어로 번역되었을 때였다. 이때는 이미 프랑스의 수학자 장로베르 아르강(1768~1822)와 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스(1777~1855)가 발견한 아이디어로 널리 알려져 있었다. 특히 가우스는 베셀보다 먼저 복소평면 아이디어에 도달했을 가능성이 높다고 여겨진다. 1796년, 가우스는 정십칠각형이 자와 컴퍼스만으로 작도 가능하다는 것을 발견했는데, 이 작도에는 복소수 및 복소평면을 활용해야 한다. 이는 가우스가 적어도 1796년 시점에는 복소수 평면 아이디어에 도달했음을 보여준다.^[9]

4. 복소 평면의 활용

복소 평면은 복소수의 연산을 기하학적으로 해석하는 데 유용하다. 복소수의 덧셈, 뺄셈은 평면상의 평행 이동으로, 곱셈, 나눗셈은 회전과 확대/축소로 해석할 수 있다.

허수 단위는 실수 직선에서의 실수 단위 1을 원점 중심, 반시계 방향으로 90° 회전한 위치에 있다고 생각할 수 있다. 복소수 z를 극형식으로 표시하면, z = r(cos θ + i sin θ) (r ≥ 0, θ는 실수)가 되어, 드 무아브르의 정리에 의해, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱은 원점 중심의 θ 회전에 대응한다.

복소수를 복소 평면 상에서 나타내면, 복소수의 절댓값은 원점으로부터의 거리와 같고, 복소 공액은 실축 대칭에 해당한다.

복소수의 대수적 연산은 가우스 평면 상에서 평행 이동과 임의의 아핀 사상을 가능하게 한다. 무한 원점을 추가하여 1점 컴팩트화한 리만 구면(확장 복소 평면) 상에서 생각하면, 복소수 x + iy는 리만 구면 상의 점 [x : y : 1]로 간주할 수 있다. 리만 구면 상의 아핀 변환은 일차 분수 변환이다.

복소 평면은 실수체 ℝ 위의 2차원 선형 공간이며, (1, i)는 복소 평면의 기저이다. 복소수의 절댓값에 의해, 복소 평면은 곱셈적 노름 선형 공간이 된다.

4. 1. 복소 연산의 기하학적 의미

복소수 z를 직교 좌표로 표시하면, z = x + yi (x, y는 실수)가 되어, 덧셈, 뺄셈은 기하학적으로 평면상의 평행 이동에 대응한다. z를 극형식으로 표시하면, z = r(cos θ + i sin θ) (r ≥ 0, θ는 실수)가 된다. 드 무아브르의 정리에 의해, 곱셈, 나눗셈은 원점 중심의 θ 회전에 대응한다.

복소수의 덧셈과 뺄셈은 평면 벡터의 덧셈, 뺄셈과 같다. 복소수의 곱셈은 한 복소수를 다른 복소수의 크기만큼 확대/축소하고 편각만큼 회전시키는 변환으로 해석할 수 있다. 복소수의 나눗셈은 곱셈의 역연산으로, 크기를 나누고 편각을 빼는 변환으로 해석할 수 있다.^[10]^[11] 특히, 절댓값이 1인 복소수를 곱하는 것은 원점 중심의 회전을 의미한다.

복소수의 곱셈과 나눗셈은 극형식으로 표시하고 가우스 평면에서의 기하학적 조작을 고려하면 이해하기 쉬워진다.

복소수 z = x + yi (x, y는 실수)에 대해 직교 좌표 표시 (x, y)의 극좌표 표시를 (r, θ) (r ≥ 0)라고 하면 x = r cos θ, y = r sin θ이므로,

:z=r(cos θ + isin θ)

로 나타낼 수 있다. 이 우변의 표시식을 복소수 z의 '''극형식'''(polar form)이라고 부른다.^[10]^[11]

r은 z의 절댓값

|z|=\sqrt{x^2 +y^2}

과 같고, θ를 z의

:θ = arg z = arctan y/x (z≠0)

:(θ는 2π의 정수배 차이를 제외하고 결정되며, 하나의 값이 아니다. 하나의 값으로 결정하는 경우, θ의 범위를 구간 (-π, π] 등으로 제한한다. 이 구간을 편각의 주치라고 하며, 값의 범위를 제한한 arg를, 대문자 A를 사용하여 Arg z로 나타낸다)^[10]

오일러 공식 e^iθ = cos θ + i sin θ를 사용하면 극형식은

:z=re^iθ

로 간단하게 기술할 수 있다.^[11]

두 복소수 z, w의 곱셈 zw를 계산하기 위해, z, w를 극형식으로 표시하고

:z = r(cos α + i sin α),

:w = s(cos β + i sin β)

라고 하면, 삼각 함수의 덧셈 정리:

:cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β

:sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

에서,

:zw=rs { cos (α + β) + isin (α + β) }

가 되어, zw의 극형식을 얻을 수 있다. 따라서

:|zw|=|z||w|

:arg zw ≡ arg z + arg w (mod 2π)

가 되어, 곱셈 zw는 복소 평면에서 z를 원점 중심으로 arg w 회전, |w|배로 닮음 확대한 점임을 알 수 있다.

특히, 절댓값이 1인 복소수를 곱하는 것은, 복소수 평면에서 원점 중심의 회전을 시키는 것과 같다는 것을 알 수 있다.

4. 2. 제어 이론에서의 활용 (s-평면)

제어 이론에서 복소 평면은 ''s-평면''으로 알려져 있다. s-평면은 시스템의 동작을 설명하는 방정식(특성 방정식)의 근을 시각적으로 나타내는 데 사용된다. 방정식은 일반적으로 라플라스 변환의 매개변수 s에 대한 다항식으로 표현된다. s-평면의 점은 ''s'' = ''σ'' + ''jω''^영어 형태로 표현되며, 여기서 j는 허수 성분을 나타낸다. j는 일반적인 i 대신 사용되는데, 변수 i는 엔지니어링 분야에서 전류를 나타내는 데 자주 사용되기 때문이다.

복소 평면은 나이퀴스트 안정도 판별법과도 관련이 있다. 나이퀴스트 안정도 판별법은 폐루프 피드백 시스템의 안정성을 복소 평면에서 주파수(또는 루프 전달 함수)의 함수로 나타낸 개루프 크기 및 위상 응답의 나이퀴스트 선도를 검사하여 결정할 수 있는 기하학적 원리이다.

z-평면은 s-평면의 이산 시간 버전으로, 라플라스 변환 대신 z-변환을 사용한다.

5. 리만 구면

리만 구는 구의 한 점을 제외한 모든 점을 복소 평면의 모든 점에 매핑한다.

복소 평면에 무한원점을 추가하여 1점 컴팩트화하면 리만 구를 얻을 수 있다. 복소 평면과 무한원점으로 이루어진 위상 공간은 확장 복소 평면이라고도 불린다. 복소해석학에서는 무한원점을 하나만 고려한다. 실수선에는 양의 무한대와 음의 무한대 두 개가 있지만, 확장 복소 평면에는 하나의 무한대 점(북극)만 있다.^[1]

복소수 전체에 무한원점을 추가하면 콤팩트 공간이 된다(1점 컴팩트화). 이 콤팩트 공간은 2차원 구면과 동상이다. 이 2차원 구면을 리만 구면이라고 한다.

5. 1. 스테레오그래픽 투영

복소 평면은 스테레오그래픽 투영을 통해 구면으로 나타낼 수 있다. 반지름이 1인 구가 있을 때, 구의 중심을 복소 평면의 원점에 놓고 구의 적도가 평면의 단위 원과 일치하도록 한다. 이때 구의 북극은 평면 "위"에 위치한다.^[1]

북극을 제외한 구의 표면 위의 점과 복소 평면의 점 사이에는 일대일 대응이 가능하다. 평면의 한 점과 구의 북극을 잇는 직선은 구의 표면과 정확히 한 점에서 만난다. 이때, 복소 평면의 원점(0)은 구의 남극에 대응된다. 단위 원 내부는 남반구, 단위 원 자체는 적도, 단위 원 외부는 북반구에 대응된다.

이 투영에서 북극은 복소 평면의 어떤 점과도 연결되지 않는다. 따라서 복소 평면에 ''무한대 점''을 추가하여 구의 북극과 연결함으로써 일대일 대응을 완성한다. 이 확장된 복소 평면을 확장 복소 평면이라고 한다. 실수선에는 양과 음의 두 무한대가 있지만, 확장 복소 평면에는 하나의 무한대(북극)만 존재한다.^[1]

스테레오그래픽 투영에서 구의 위도선은 복소 평면에서 원점을 중심으로 하는 원이 되고, 경도선은 원점을 지나는 직선(무한대 점도 통과)이 된다. 구를 평면에 투영하는 다른 방법도 있지만, 모든 스테레오그래픽 투영은 하나의 "무한대 점"을 만들고, 위도선과 경도선을 각각 원과 직선으로 매핑한다.

6. 다중 값 관계와 분지 절단

복소 함수를 논할 때, 복소 평면에 '''분지 절단'''을 도입하는 것이 유용한 경우가 많다. 이 개념은 여러 상황에서 자연스럽게 나타난다.

예를 들어, 다음과 같은 이중 관계를 살펴보자.

:

이 관계를 단일 함수로 다루기 위해서는 결과 값의 범위를 제한해야 한다. 음수가 아닌 실수의 제곱근을 다룰 때는 (는 인 음수가 아닌 실수)와 같이 정의하면 된다. 하지만 2차원 복소 평면에서는 이러한 방식이 잘 적용되지 않는다.

이유를 알아보기 위해, 의 값이 단위원을 따라 움직일 때 의 값이 어떻게 변하는지 생각해보자. 로 나타내면,

:

가 된다. 가 원을 한 바퀴 돌면, 는 원의 절반만 그리게 된다. 즉, 복소 평면에서의 연속적인 움직임으로 인해 양의 제곱근 이 음의 제곱근 로 변환된다.

이러한 문제는 일 때는 제곱근이 하나뿐이지만, 가 아닌 다른 모든 복소수는 정확히 두 개의 제곱근을 갖기 때문에 발생한다. 실수 축에서는 에 "장벽"을 놓아 이 문제를 해결할 수 있지만, 복소 평면에서는 닫힌 경로가 분기점 을 완전히 둘러싸는 것을 막기 위해 더 큰 장벽이 필요하다.

일반적으로 '''분지 절단'''을 도입하여 이 문제를 해결한다. "절단"은 에서 시작하여 양의 실수 축을 따라 무한대까지 뻗어 나가, 절단된 평면에서 의 편각을 범위로 제한한다.

를 완전히 설명하려면, 각각 실수 축을 따라 절단된 평면의 두 복사본, 즉 두 개의 ''시트''가 필요하다. 한 시트에서는 1의 제곱근을 로, 다른 시트에서는 로 정의한다. 연속성 논증을 통해, 단일 값 함수 는 첫 번째 시트를 평면의 위쪽 절반( )에, 두 번째 시트를 아래쪽 절반( )에 대응시킨다는 것을 알 수 있다.^[2]

분지 절단은 꼭 실수 축을 따라 있을 필요는 없으며, 직선일 필요도 없다. 과 무한대를 잇는 임의의 연속 곡선이면 가능하다. 심지어 분지 절단이 무한대를 지나지 않아도 되는 경우도 있다.

:

와 같은 관계를 예로 들 수 있다. 여기서 다항식 는 일 때 0이 되므로, 는 두 개의 분기점을 가진다. 실수 축을 따라 에서 까지 평면을 절단하여 가 단일 값 함수가 되는 시트를 얻을 수 있다. 또는 에서 양의 실수 축을 따라 무한대까지, 그리고 다시 음의 실수 축을 따라 까지 절단할 수도 있다.

스테레오 투영을 이용하면 이 상황을 쉽게 시각화할 수 있다. 구에서 첫 번째 절단은 남반구를 세로로 가로질러 적도의 두 점( , )을 연결하고 남극( )을 통과한다. 두 번째 절단은 북반구를 세로로 가로질러 북극(무한대)을 통과하며 같은 두 점을 연결한다.

6. 1. 분지점

분지점은 다중 값 함수에서 여러 개의 함수 값이 만나는 점이다. 분지 절단은 분지점을 포함하는 선 또는 곡선으로, 정의역을 분지 절단을 따라 잘라내어 다중 값 함수를 단일 값 함수로 만들 수 있다.^[2]

복소변수 함수에서 복소평면에 '''절단'''을 생각하는 것이 편리한 경우가 많다. 예를 들어, 다음과 같은 이중 관계를 생각해 보자.

:

이 관계를 단일 함수로 만들기 위해서는 결과 값의 범위를 제한해야 한다. 음수가 아닌 실수의 제곱근을 다룰 때는 쉽게 정의할 수 있다.

:

여기서 인 음수가 아닌 실수 로 정의한다. 그러나 이 아이디어는 2차원 복소 평면에서는 잘 작동하지 않는다. 의 값이 단위 원을 따라 점이 움직일 때 어떻게 변하는지 생각해 보자. 로 쓸 수 있고 다음을 취할 수 있다.

:

가 원을 완전히 한 바퀴 돌면, 는 원의 절반만 그려낸다. 복소 평면에서 한 번의 연속적인 움직임은 양의 제곱근 을 음의 제곱근 로 변환한다.

이 문제는 점 이 하나의 제곱근만 갖는 반면, 다른 모든 복소수 은 정확히 두 개의 제곱근을 갖기 때문에 발생한다. 실수선에서는 단일 점 에 "장벽"을 세워 이 문제를 우회할 수 있다. 복소 평면에서는 닫힌 윤곽이 분기점 을 완전히 에워싸는 것을 방지하기 위해 더 큰 장벽이 필요하다. 이는 일반적으로 '''분지 절단'''을 도입하여 수행된다. 이 경우 "절단"은 점 에서 시작하여 양의 실수 축을 따라 무한대까지 확장되어 절단 평면에서 변수 의 인수가 범위로 제한될 수 있다.

에 대한 완전한 설명을 제공하기 위해, 각각 실수 축을 따라 절단된 평면의 두 복사본이 필요하다. 한 복사본에서는 1의 제곱근을 로 정의하고, 다른 복사본에서는 1의 제곱근을 로 정의한다. 이러한 완전한 절단 평면의 두 복사본을 ''시트''라고 부른다. 연속성 논증을 통해 (이제 단일 값) 함수 는 첫 번째 시트를 평면의 윗 반쪽( )에 매핑하고, 두 번째 시트를 아랫 반쪽( )에 매핑한다는 것을 알 수 있다.^[2]

분지 절단은 반드시 실수 축을 따라 놓일 필요는 없으며, 직선일 필요도 없다. 원점 과 무한대 사이를 연결하는 모든 연속적인 곡선이 가능하다. 심지어 분지 절단이 무한대를 통과할 필요조차 없는 경우도 있다. 예를 들어, 다음 관계를 고려해 보자.

:

여기서 다항식 는 일 때 사라지므로 는 두 개의 분기점을 갖는다. 실수 축을 따라 에서 까지 평면을 "절단"하여 가 단일 값 함수인 시트를 얻을 수 있다. 또는 절단은 에서 양의 실수 축을 따라 무한대를 거쳐 다른 분기점 까지 음의 실수 축을 따라 "위로" 이동할 수 있다.

이 상황은 위에 설명된 스테레오 투영법을 사용하여 가장 쉽게 시각화할 수 있다. 구에서는 이러한 절단 중 하나가 남반구를 가로질러 세로로 이동하며, 적도( )의 한 점을 적도( )의 다른 점과 연결하고, 그 과정에서 남극(원점, )을 통과한다. 절단의 두 번째 버전은 북반구를 가로질러 세로로 이동하며 북극(즉, 무한대)을 통과하여 동일한 두 적도 점을 연결한다.

7. 기타

복소평면은 복소수를 좌표로 하는 2차원 벡터 공간을 의미하기도 한다. 2차원 복소 벡터 공간은 좌표가 복소수인 2차원 벡터 공간이라는 의미에서 "복소 평면"이라고 할 수 있다. 복소 아핀 공간의 두 개의 차원도 참고할 수 있다.

분할 복소 평면은 민코프스키 공간의 일종으로, 대수적 분할 복소수가 데카르트 평면의 점과 쉽게 연관될 수 있는 두 개의 실수 성분으로 분리될 수 있다는 점에서 "복소 평면"이라고 불린다.

이중수는 복소수와는 다른 대수 체계를 가지지만, 복소 평면과 유사하게 기하학적으로 표현될 수 있다. 실수를 넘는 이중수의 집합도 데카르트 평면의 점과 일대일 대응을 이루기 때문이다.

7. 1. 복소 평면의 다른 의미

복소 평면은 복소수를 좌표로 하는 2차원 벡터 공간을 의미하기도 한다. 예를 들어, 2차원 복소 벡터 공간은 좌표가 복소수인 2차원 벡터 공간이라는 의미에서 "복소 평면"이라고 할 수 있다. 복소 아핀 공간의 두 개의 차원도 참고하라.

분할 복소 평면은 민코프스키 공간의 일종으로, 대수적 분할 복소수가 데카르트 평면의 점과 쉽게 연관될 수 있는 두 개의 실수 성분으로 분리될 수 있다는 점에서 "복소 평면"이다.

이중수는 복소수와는 다른 대수 체계를 가지지만, 복소 평면과 유사하게 기하학적으로 표현될 수 있다. 실수를 넘는 이중수의 집합도 데카르트 평면의 점과 일대일 대응을 이루기 때문이다.

참조

_[1] 웹사이트 Argand Diagram https://mathworld.wo[...] 2024-02-08
_[2] 서적
_[3] 문서 竹内『函数概論』p.6, 高木貞治『代数学講義』など
_[4] 서적 函数概論 https://books.google[...]
_[5] 웹사이트 Argand Diagram https://mathworld.wo[...]
_[6] 문서 例えば岩波数学辞典
_[7] 웹사이트 複素数平面 vs 複素平面 http://mathsci.blog4[...] 2012-11-05
_[8] 웹사이트 学習指導要領の変遷 https://pbs.twimg.co[...] pbs.twimg.com
_[9] 서적 Newton別冊　虚数がよくわかる[改訂第二版] ニュートンプレス 2020-04-10
_[10] 서적 技術者のための高等数学4 複素関数論（原書第8版）培風館 2003-03
_[11] 서적 複素関数 (理工系の基礎数学 5) 岩波書店 1996-06

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