라플라스 방정식

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1. 개요

라플라스 방정식은 리만 다양체에서 라플라스-벨트라미 연산자의 2차 편미분 방정식으로, 3차원 유클리드 공간에서는 $\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0$ 의 형태를 갖는다. 이 방정식은 푸아송 방정식과 헬름홀츠 방정식의 특수한 경우이며, 코시-리만 방정식의 해의 실수부와 허수부는 라플라스 방정식을 만족한다. 라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 하며, 디리클레 문제와 노이만 경계 조건과 같은 경계 조건을 가질 수 있다. 2차원 라플라스 방정식은 복소 해석적 함수와 밀접한 관련이 있으며, 3차원 공간에서는 구면 좌표계를 사용하여 일반해를 구할 수 있다. 이 방정식은 유체 역학, 정전기학, 자기학, 중력 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

n차원 리만 다양체에서 $\Delta$ 가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, '''라플라스 방정식'''은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.

: $\Delta\phi=0$ .

3차원 유클리드 공간에서는

: $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

이므로, 다음 식이 된다.

: ${\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0$

2. 1. 관련된 편미분 방정식

우변을 주어진 함수

f(x,y,z)

로 바꾼 경우

:

\Delta \phi = f

는 푸아송 방정식이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은

f=0

인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.

우변을 다음과 같이 바꾸면

:

\Delta\phi=k^2\phi

헬름홀츠 방정식을 얻는다. 라플라스 방정식은

k^2=0

인 경우다.

코시-리만 방정식의 해의 두 성분은 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)

변수의 수는 임의의 유한 개로 확장할 수 있다. n개의 변수를 갖는 함수 φ = φ(x₁, x₂, ..., xₙ)에 대한 편미분 방정식

:

{\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi +{\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi +\cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0

을 일반적으로 라플라스 방정식이라고 부른다. 마찬가지로 미분 연산자

:

\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } +{\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }

를 라플라시안이라고 부른다.

라플라시안의 고윳값은 어떤 함수

u \ne 0

에 대해

:

\triangle u= \lambda u

를 만족하는

\lambda

이다. 이것은 헬름홀츠 방정식이다.

3. 경계 조건

라플라스 방정식의 디리클레 문제는 어떤 영역 $D$ 의 경계에서 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 $D$ 위의 해 φ를 구하는 것이다. 열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것으로 해석할 수 있다.

노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 $\varphi$ 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 한다. 물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다. 열 방정식의 예에서, 이것은 경계를 통한 열속을 정하는 것과 같다. 특히, 단열 경계에서 $\varphi$ 의 법선 도함수는 0이다.

라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.

4. 2차원 라플라스 방정식

2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 독립 변수 $x$ , $y$ 에 대한 2차 편미분 방정식으로, 직교좌표계에서 다음과 같이 표현된다.

: $\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \equiv \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0.$

라플라스 방정식은 복소해석함수와 밀접한 관련이 있으며, 그 해는 멱급수와 푸리에 급수로 전개될 수 있다. 특히, 극좌표계에서 라플라스 방정식의 일반해는 푸리에 급수 형태로 표현되며, 이는 로랑 급수의 계수와 관련된다.

4. 1. 2차원 라플라스 방정식의 차분방정식

2차원 라플라스 방정식의 차분방정식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=0

여기서

h

는 격자 간격(mesh size)을 나타낸다.^[1]

푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.^[1]

:

u\left( x+h,y \right)+u\left( x,y+h \right)+u\left( x-h,y \right)+u\left( x,y-h \right)-4u\left( x,y \right)=h^{2}f\left( x,y \right)

4. 2. 해석적 함수와의 관계

복소 해석 함수

f

의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다. z = x + iy이고,

:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

라 하자.

f(z)

가 해석적이려면

:

u_x = v_y, v_x=-u_y

를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서

:

(u_y)_y=(-v_x)_y=-(v_y)_x = -(u_x)_x

이다. 따라서

u

는 라플라스 방정식을 만족한다.

v

도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

반대로, 조화 함수가 주어지면, 그것은 해석 함수

f(z)

의 실수부이다(적어도 국소적으로). 만약 시험 형태가

:

f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y),

라면, 다음을 설정하면 코시-리만 방정식이 만족될 것이다.

:

\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x.

이 관계는

\psi

를 결정하지 않고, 오직 그 증분만을 결정한다.

:

d \psi = -\varphi_y\, dx + \varphi_x\, dy.

\varphi

에 대한 라플라스 방정식은

\psi

에 대한 적분 가능 조건을 만족함을 의미한다.

:

\psi_{xy} = \psi_{yx},

따라서

\psi

는 선적분으로 정의될 수 있다. 적분 가능 조건과 스토크스 정리는 두 점을 연결하는 선적분의 값이 경로에 독립적임을 의미한다. 라플라스 방정식의 결과로 얻어지는 해의 쌍을 '''켤레 조화 함수'''라고 한다. 이 구성은 국소적으로만 유효하거나, 경로가 특이점을 감싸지 않는 경우에만 유효하다. 예를 들어, r과

\theta

가 극좌표이고

:

\varphi = \log r,

이라면, 해당하는 해석 함수는

:

f(z) = \log z = \log r + i\theta.

이다. 그러나 각도

\theta

는 원점을 포함하지 않는 영역에서만 단일값이다.

라플라스 방정식과 해석 함수 사이의 밀접한 관계는 라플라스 방정식의 모든 해가 모든 차수의 도함수를 가지며, 적어도 특이점을 포함하지 않는 원 안에서는 멱급수로 전개될 수 있음을 의미한다. 이것은 일반적으로 규칙성이 덜한 파동 방정식의 해와는 극명한 대조를 이룬다.

멱급수와 푸리에 급수 사이에는 밀접한 관계가 있다. 반지름 R의 원 안에서 함수

f

를 멱급수로 전개하면, 이는

:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n,

을 의미하며, 여기서 적절히 정의된 계수의 실수부와 허수부는 다음과 같이 주어진다.

:

c_n = a_n + i b_n.

따라서

:

f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n r^n \sin n \theta\right] + i \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n r^n \sin n\theta + b_n r^n \cos n \theta\right],

는

f

에 대한 푸리에 급수이다. 이러한 삼각 함수는 배각 공식을 사용하여 자체적으로 전개될 수 있다.

4. 3. 2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수

극좌표계

(r,\theta)

에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.

:

\Delta=r^{-1}\frac\partial{\partial r}r\frac\partial{\partial r}+r^{-2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}

.

따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.

:

\phi(r,\theta)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(a_nr^n\cos n\phi+b_nr^n\sin n\theta\right)

.

이는 함수

\phi

의 푸리에 급수임을 알 수 있다. 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\phi(r,\theta)=\operatorname{Re}\left[\sum_{n=-\infty}^\infty(a_n-ib_n)z^n\right]

.

즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.

5. 3차원 라플라스 방정식

3차원 공간에서 구면좌표계 $(r, \theta, \phi)$ 를 이용해 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

: $f(r,\theta,\phi)=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \left(a_l^m r^l + b_l^m r^{-l-1}\right)Y_l^m(\theta,\phi)$ .

여기서 $Y_l^m(\theta,\phi)$ 는 구면 조화 함수이고, $a_l^m$ 와 $b_l^m$ 은 임의의 계수다. $f$ 가 원점에서 연속이려면 $b_l^m=0$ 이어야 한다.

5. 1. 여러 좌표계에서의 표현

직교좌표계에서,^[4]

:

원통좌표계에서,^[4]

:

구면좌표계에서, (r, \theta, \varphi)^영어 규약을 사용하여,^[4]

:

보다 일반적으로, 임의의 곡선좌표계에서,

:

또는

:

여기서는 새로운 좌표에 대한 유클리드 계량 텐서이고 는 그 크리스토펠 기호를 나타낸다.

변수의 수는 임의의 유한 개로 확장할 수 있다. n개의 변수를 갖는 함수 φ = φ(x₁, x₂, ..., xₙ)^영어에 대한 편미분 방정식

:{{lang|en|{\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi +

{\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi +

\cdots +

{\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0}}

을 일반적으로 라플라스 방정식이라고 부른다. 마찬가지로 미분 연산자

:{{lang|en| \Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } +

{\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots +

{\partial^2 \over \partial x_n^2 }}}

를 라플라시안이라고 부른다.

5. 2. 기본 해

라플라스 방정식의 기본 해는 다음을 만족한다.

:

\Delta u = u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z'),

여기서 디랙 델타 함수는 점 (x', y', z')에 집중된 단위 원천을 나타낸다. 이러한 성질을 갖는 함수는 없다. 사실 이것은 함수라기보다는 분포이다. 하지만 공간에 대한 적분이 1이고 지지집합(함수가 0이 아닌 영역)이 한 점으로 축소되는 함수들의 극한으로 생각할 수 있다(약해 참조). 기본 해를 정의할 때 일반적으로 사용하는 것과 다른 부호 규칙을 이 방정식에 사용하는 것이 일반적이다. −Δ가 양의 작용소이기 때문에 이러한 부호 선택은 종종 편리하다. 따라서 기본 해의 정의는 u의 라플라시안을 원점을 포함하는 임의의 부피에 대해 적분하면

:

\iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV =-1.

임을 의미한다.

라플라스 방정식은 좌표의 회전에 대해 불변이며, 따라서 기본 해는 원점으로부터의 거리 r에만 의존하는 해 중에서 얻을 수 있을 것으로 예상할 수 있다. 원점을 중심으로 반지름 a인 구를 부피로 선택하면 가우스의 발산 정리에 의해

:

-1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla u \, dV = \iint_S \frac{du}{dr} \, dS = \left.4\pi a^2 \frac{du}{dr}\right|_{r=a}.

이것으로부터 원점을 중심으로 하는 반지름 r의 구 위에서

:

\frac{du}{dr} = -\frac{1}{4\pi r^2},

이므로

:

u = \frac{1}{4\pi r}.

임을 알 수 있다. 반대 부호 규칙( 물리학에서 사용됨)을 사용하면 이것은 역제곱 법칙 힘에 대한 점입자가 생성하는 퍼텐셜이며, 푸아송 방정식의 해에서 발생한다. 비슷한 논증으로 2차원에서는

:

u = -\frac{\log(r)}{2\pi}.

임을 보일 수 있다. 여기서 log(r)는 자연로그를 나타낸다. 반대 부호 규칙을 사용하면 이것은 점과 같은 싱크( 점입자 참조)가 생성하는 퍼텐셜이며, 이것은 2차원 비압축성 흐름에서 오일러 방정식의 해이다.

5. 3. 그린 함수

그린 함수는 부피 *V*의 경계 *S*에서 적절한 조건을 만족하는 기본 해이다. 예를 들어,

:

G(x,y,z;x',y',z')

는 다음을 만족할 수 있다.

:

\nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \qquad V

내에서,

:

G = 0 \quad (x,y,z) \qquad S

위에서.

이제 *u*가 *V*에서 다음과 같은 푸아송 방정식의 해라면:

:

\nabla \cdot \nabla u = -f,

그리고 *u*가 *S* 위에서 경계값 *g*를 가진다면, 발산 정리의 결과인 그린 정리를 적용할 수 있다. 그린 정리는 다음과 같이 나타낸다.

:

\iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla u - u \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla u - u \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G u_n -u G_n \right] \, dS. \,

여기서 *u*_n과 *G*_n은 *S*에서의 법선 도함수를 나타낸다. *u*와 *G*가 만족하는 조건을 고려하면, 이 결과는 다음과 같이 간소화된다.

:

u(x',y',z') =  \iiint_V G f \, dV - \iint_S G_n g \, dS. \,

따라서 그린 함수는 *f*와 *g*의 데이터가 (*x*′, *y*′, *z*′)에 미치는 영향을 설명한다. 반지름 *a*인 구의 내부의 경우, 그린 함수는 반사를 이용하여 얻을 수 있다: 구의 중심으로부터 거리 ρ에 있는 점 P는 그 방사선을 따라 거리

:

\rho' = \frac{a^2}{\rho}. \,

에 있는 점 P′로 반사된다. P가 구의 내부에 있다면, P′는 구의 외부에 있을 것이다. 그린 함수는 다음과 같이 주어진다.

:

\frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}, \,

여기서 *R*은 점 P까지의 거리를 나타내고 *R*′는 반사된 점 P′까지의 거리를 나타낸다. 그린 함수에 대한 이 표현식의 결과는 푸아송 적분 공식이다. ρ, θ, φ를 점 P에 대한 구면 좌표라 하자. 여기서 θ는 수직축과의 각도를 나타내는데, 이는 일반적인 미국 수학 표기법과는 반대이지만 표준 유럽 및 물리학 관행과 일치한다. 그러면 구 내부에서 디리클레 경계값 *g*를 갖는 라플라스 방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

u(P) =\frac{1}{4\pi} a^3\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right) \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{g(\theta',\varphi') \sin \theta'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{\frac{3}{2}}} d\theta' \, d\varphi'

여기서

:

\cos \Theta = \cos \theta \cos \theta' + \sin\theta \sin\theta'\cos(\varphi -\varphi')

는 (θ, φ)와 (θ′, φ′) 사이의 각도의 코사인이다. 이 공식의 간단한 결과는 *u*가 조화 함수라면, 구의 중심에서 *u*의 값은 구 위의 값들의 평균값이라는 것이다. 이 평균값 성질은 비상수 조화 함수가 내부 점에서 최댓값을 가질 수 없다는 것을 즉시 의미한다.

6. 라플라스 방정식의 응용

라플라스 방정식은 여러 물리 현상을 설명하는 데 유용하게 사용된다.

'''유체 역학:''' 2차원 정상 비압축성 비회전 유동에서 유선 함수는 라플라스 방정식을 만족한다. 코시-리만 방정식을 통해 속도 포텐셜과 유선 함수의 관계를 알 수 있으며, 모든 해석 함수는 이러한 유체 흐름에 대응된다.^[7]
'''정전기학:''' 시간에 무관한 2차원 공간의 전기장은 맥스웰 방정식을 따르며, 전기 전위는 푸아송 방정식을 만족한다. 전하가 없는 영역에서는 푸아송 방정식이 라플라스 방정식으로 단순화된다. 전기적 포텐셜은 주어진 경계 조건에서 유일하게 결정된다.^[7]
'''자기학:''' 자유 전류가 없는 경우, 자기 스칼라 포텐셜을 정의할 수 있으며, 이는 자기장과 관련된 방정식을 통해 라플라스 방정식으로 표현될 수 있다. 정전기와 마찬가지로 전하가 없는 영역에서 포아송 방정식은 자기 스칼라 포텐셜에 대한 라플라스 방정식으로 축소된다.^[8]
'''중력:''' 중력장은 중력 포텐셜의 음의 기울기로 표현될 수 있으며, 가우스 중력 법칙을 통해 중력장에 대한 푸아송 방정식을 유도할 수 있다. 진공 상태에서는 이 방정식이 라플라스 방정식으로 단순화된다.^[9]
'''슈바르츠실트 계량:''' 슈바르츠실트 시공간의 라플라스 방정식 해는 구면 조화 함수와 르장드르 함수를 사용하여 표현할 수 있다.^[10]

6. 1. 유체 역학

수평 및 수직 속도 성분을 각각 u^영어, v^영어라 하자. 2차원 정상 비압축성 비회전 유동의 연속 조건은 다음과 같다.

:''u''_x + ''v''_y = 0

그리고 유동이 비회전임을 나타내는 조건은 다음과 같다.

:∇ × '''V''' = ''v''_x - ''u''_y = 0

함수 ψ^영어의 미분을 다음과 같이 정의하면

:d''ψ'' = ''u''d''y'' - ''v''d''x''

연속 조건은 이 미분에 대한 적분 가능 조건이 된다. 이렇게 얻어진 함수를 유선 함수라고 하는데, 이는 유선을 따라 일정하기 때문이다. ψ^영어의 1차 도함수는 다음과 같다.

:''ψ''_x = -''v'', ''ψ''_y = ''u''

그리고 비회전 조건은 ψ^영어가 라플라스 방정식을 만족함을 의미한다. ψ^영어와 켤레인 조화 함수 φ^영어를 속도 포텐셜이라고 한다. 코시-리만 방정식은 다음을 의미한다.

:''φ''_x = ''ψ''_y = ''u'', ''φ''_y = -''ψ''_x = ''v''

따라서 모든 해석 함수는 평면에서 정상 비압축성 비회전 비점성 유체 흐름에 해당한다. 실수부는 속도 포텐셜이고, 허수부는 유선 함수이다.

6. 2. 정전기학

맥스웰 방정식에 따르면, 시간에 무관한 2차원 공간의 전기장

(u, v)

는 다음을 만족한다.

\nabla \times (u,v,0) = (v_x -u_y)\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{0},

\nabla \cdot (u,v) = \rho,

여기서

\rho

는 전하 밀도이다. 첫 번째 맥스웰 방정식은 미분 방정식

d \varphi = -u\, dx -v\, dy,

에 대한 적분 조건이며, 따라서 전기 전위

\varphi

는 다음을 만족하도록 구성될 수 있다.

\varphi_x = -u, \quad \varphi_y = -v.

두 번째 맥스웰 방정식은 다음을 의미한다.

\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho,

이는 푸아송 방정식이다. 라플라스 방정식은 2차원과 마찬가지로 정전기학과 유체 흐름에서 3차원 문제에 사용될 수 있다.

전기장을

\mathbf{E}

, 전하 밀도를

\rho

, 진공의 유전율을

\varepsilon_0

라고 하자. 그러면 미분 형태의 전기에 대한 가우스 법칙(맥스웰 방정식의 첫 번째 방정식)^[7]은 다음과 같다.

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

이제 전기장은 전기적 포텐셜

V

의 음의 기울기로 표현될 수 있다.

\mathbf E=-\nabla V,

단, 전기장이 회전이 없을 경우, 즉

\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}

일 때 성립한다.

\mathbf{E}

의 회전이 없는 성질은 정전기 조건으로도 알려져 있다.^[7]

\nabla\cdot\mathbf E = \nabla\cdot(-\nabla V)=-\nabla^2 V

\nabla^2 V = -\nabla\cdot\mathbf E

이 관계를 가우스 법칙에 대입하면 전기에 대한 포아송 방정식^[7]을 얻는다.

\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

전하가 없는 영역(

\rho = 0

)의 특수한 경우에는 포아송 방정식은 전기적 포텐셜에 대한 라플라스 방정식으로 축소된다.^[7]

정전기적 포텐셜

V

가 영역

\mathcal{R}

의 경계에서 지정되면, 그 값은 유일하게 결정된다. 만약

\mathcal{R}

가 지정된 전하 밀도

\rho

를 가진 도체 물질로 둘러싸여 있고, 총 전하

Q

가 알려져 있다면,

V

역시 유일하다.^[8]

6. 3. 자기학

자유 전류가 없는 경우, 자기장

\mathbf{H}

는 다음과 같이 표현된다.

\nabla\times\mathbf{H} = \mathbf{0}.

따라서 자기 스칼라 포텐셜

\psi

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

\mathbf{H} = -\nabla\psi.

\mathbf{H}

의 정의를 이용하면,

\nabla\cdot\mathbf{B} = \mu_{0}\nabla\cdot\left(\mathbf{H} + \mathbf{M}\right) = 0,

이므로, 다음을 얻는다.

\nabla^2 \psi = -\nabla\cdot\mathbf{H} = \nabla\cdot\mathbf{M}.

정전기와 유사하게, 전하가 없는 영역(

\mathbf{M} = 0

)에서 포아송 방정식은 자기 스칼라 포텐셜에 대한 라플라스 방정식으로 축소된다.

\nabla^2 \psi = 0

라플라스 방정식과 경계 조건을 만족시키지 않는 포텐셜은 유효하지 않은 정전기 또는 자기 스칼라 포텐셜이다.

6. 4. 중력

'''g'''를 중력장, ρ를 질량 밀도, ''G''를 중력 상수라고 할 때, 미분 형태의 가우스 중력 법칙은 다음과 같다.^[9]

:

\nabla\cdot\mathbf g=-4\pi G\rho.

중력장은 보존장이므로 중력 포텐셜의 음의 기울기로 표현할 수 있다.

:

\begin{align}\mathbf g &= -\nabla V, \\\nabla\cdot\mathbf g &= \nabla\cdot(-\nabla V) = -\nabla^2 V, \\\implies\nabla^2 V &= -\nabla\cdot\mathbf g.\end{align}

가우스 중력 법칙의 미분 형태를 사용하면 다음과 같다.

:

\nabla^2 V = 4\pi G\rho,

이는 중력장에 대한 푸아송 방정식이다.^[9]

진공 상태에서는 ρ = 0 이므로, 다음을 얻는다.

:

\nabla^2 V = 0,

이는 중력장에 대한 라플라스 방정식이다.

6. 5. 슈바르츠실트 계량

S. Persides^[10]는 일정한 의 초곡면 상에서 슈바르츠실트 시공간의 라플라스 방정식을 풀었다. 정준 변수 , , 를 사용하면 해는 다음과 같다.

:

여기서 는 구면 조화 함수이고,

:

여기서 과 은 각각 제1종과 제2종 르장드르 함수이고, 는 슈바르츠실트 반지름이다. 매개변수 은 임의의 음이 아닌 정수이다.

7. 일반화

변수의 수는 임의의 유한 개로 확장할 수 있다. n개의 변수를 갖는 함수 φ = φ(x₁, x₂, ..., xₙ)에 대한 편미분 방정식

: ${\partial^2 \over \partial x_1^2 }\phi +{\partial^2 \over \partial x_2^2 }\phi +\cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }\phi = 0$

을 일반적으로 라플라스 방정식이라고 부른다. 마찬가지로 미분 연산자

: $\Delta = {\partial^2 \over \partial x_1^2 } +{\partial^2 \over \partial x_2^2 } + \cdots +{\partial^2 \over \partial x_n^2 }$

를 라플라시안이라고 부른다.

라플라시안의 고윳값은 어떤 함수 ''u'' ≠ 0에 대해

: $\triangle u= \lambda u$

를 만족하는 λ이다. 이것은 헬름홀츠 방정식이다.

8. 고유값 문제

라플라시안의 고유값은 어떤 함수 u ≠ 0 에 대해

: $\triangle u= \lambda u$

를 만족하는 λ이다. 이것은 헬름홀츠 방정식이다.

참조

_[1] 문서 The delta symbol, Δ, is also commonly used to represent a finite change in some quantity
_[2] 서적 Calculus : Early Transcendentals https://books.google[...] Brooks/Cole, Cengage Learning
_[3] 서적 Differential Equations with Boundary-Value Problems Brooks/Cole, Cengage Learning
_[4] 서적 Introduction to Electrodynamics https://books.google[...] Pearson
_[5] 간행물 The approach to spherical harmonics taken here is found in
_[6] 문서 Physical applications often take the solution that vanishes at infinity
_[7] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson
_[8] 서적 Introduction to Electrodynamics Pearson
_[9] 학술지 Nonlocal Gravity: Modified Poisson's Equation 2011-11-20
_[10] 학술지 The Laplace and poisson equations in Schwarzschild's space-time 1973

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