반평행
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1. 개요
반평행은 각의 이등분선에 평행하거나 수직인 직선, 또는 각대칭인 두 직선을 의미한다. 두 직선이 다른 두 직선에 의해 같은 각도로 잘리지만 순서가 반대일 때도 반평행 관계에 있다. 반평행선은 각의 이등분선과 평행하며, 삼각형의 높이나 외접원의 접선과 같은 기하학적 요소와 관련이 있다. 원뿔 단면에서 반평행 단면은 원형 단면을 생성하며, 이는 아폴로니우스에 의해 연구되었다.
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2. 성질
반평행선은 주어진 각에 대해 특별한 기하학적 관계를 가지는 두 직선으로, 몇 가지 기본적인 성질을 갖는다. 특히, 반평행은 평행, 수직, 각대칭과 같은 다른 기하학적 관계와 밀접하게 연관되어 있으며, 삼각형의 높이나 외접원의 접선 등과 관련하여 중요한 성질을 보인다.
2. 1. 기본 성질
직선 m과 n이 각 BAC에 대해 반평행이면, 다음 성질들이 성립한다.- 반직선 AB, AC와 m, n이 이루는 동측내각의 크기가 같다.
- m과 n의 각의 이등분선은 각 BAC의 이등분선과 평행하다.
- 반직선 AB, AC와 m, n의 네 교점은 한 원 위에 있다.
2. 2. 평행, 수직, 각대칭과의 관계
- 각의 이등분선에 평행한 직선들끼리는 서로 반평행이며, 서로 수직인 직선들끼리도 반평행이다.
- 어떤 각에 대해 서로 각대칭인 두 직선은 반평행이다.
- 세 직선 l, m, n과 어떤 각 A가 주어졌을 때, 만약 직선 l과 m이 각 A에 대해 각대칭이고, 직선 m과 n 역시 각 A에 대해 각대칭이라면, 두 직선 l과 n은 서로 평행하다.
2. 3. 삼각형에서의 반평행
삼각형의 두 높이의 발을 이은 선분은 나머지 한 변에 대해 반평행하다. (참고로, 한 변을 같은 각도로 '바라보는' 모든 체바 선은 반평행선을 만든다.)삼각형의 외접원이 한 꼭짓점에서 접할 때, 그 접선은 해당 꼭짓점의 대변(마주보는 변)에 대해 반평행하다.
한 꼭짓점에서 외접원의 중심을 잇는 반지름은, 그 꼭짓점의 대변에 반평행한 모든 선과 수직으로 만난다.
3. 원뿔 단면에서의 반평행
원뿔을 특정 평면으로 잘랐을 때 단면이 원이 되는 경우는 크게 두 종류로 나눌 수 있다. 하나는 원뿔의 특정 생성원에 평행한 평면들이고, 다른 하나는 아폴로니우스가 '''반평행 단면'''이라고 부른 평면들이다.[1]
이러한 원형 단면의 지름과 원뿔의 꼭짓점을 연결하여 만든 삼각형(예: 삼각형 ABC와 삼각형 ADB)은 서로 닮음 관계에 있다. 다시 말해, 선분 CB와 선분 BD가 각각 선분 AB와 선분 AC에 대해 '''반평행''' 관계에 있다면, 이 원들 중 하나에 평행한 평면으로 원뿔을 자른 단면은 항상 원이 된다. 이는 아폴로니우스의 저서 《원뿔 곡선론》 제1권 명제 5에 설명되어 있다.
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