발산 (벡터)

2.2. 물리적 해석

벡터장의 발산은 주어진 점에서 벡터장 플럭스가 소스 또는 싱크처럼 얼마나 행동하는지를 나타내는 척도이다. 플럭스가 나가는 지점은 양의 발산을 가지며, "소스"라고 불린다. 플럭스가 안쪽으로 향하는 지점은 음의 발산을 가지며, "싱크"라고 불린다. 주어진 점을 둘러싼 작은 표면을 통과하는 장의 플럭스가 클수록 해당 지점에서의 발산 값도 커진다. 둘러싸는 표면을 통해 플럭스가 0인 지점은 발산이 0이다.

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예를 들어, 움직이는 기체의 속도장을 생각해보자. 기체가 가열되면 팽창하여 모든 방향으로 기체 입자가 바깥으로 운동한다. 따라서 속도장은 모든 곳에서 양의 발산을 갖는다. 반대로 기체가 냉각되면 수축하여 모든 곳에서 음의 발산을 갖는다. 일정한 온도와 압력의 기체에서는 모든 닫힌 표면에서 기체의 순수한 유출 플럭스가 0이므로, 기체 속도는 모든 곳에서 0의 발산을 갖는다. 이처럼 모든 곳에서 0의 발산을 갖는 장을 솔레노이드라고 한다.

어떤 지점에서만 기체가 가열되거나, 기체의 소스가 공급되면, 그곳의 기체는 팽창하여 주변의 유체 입자를 모든 방향으로 밀어낸다. 이 가열된 지점에는 양의 발산이 존재하지만, 해당 지점을 둘러싸지 않는 모든 닫힌 표면은 내부의 기체 밀도가 일정하므로, 부피로 들어오는 유체 입자만큼 나가는 유체 입자도 있어서 부피에서 순수한 유출 플럭스는 0이 된다. 따라서 다른 모든 지점에서의 발산은 0이다.

3차원 벡터장의 발산은 각 지점에서 해당 벡터장이 유입 또는 유출과 같은 유동적 행위를 하는 정도를 국소적으로 측정하는 것이다. 만약 발산이 그 점에서 0이 아니라면, 그 위치는 솟아나는 지점이나 배출 지점이어야 한다.

점 에서의 벡터장 의 발산은, 영역 의 매끄러운 경계 와 교차하는 의 순 흐름을 영역 의 부피 로 나눈 값에, 영역 를 한 점 로 수렴시킬 때의 극한으로 정의된다. 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:$(\backslash operatorname\{div\}\backslash boldsymbol\{F\})\_p\; :=$
\lim_{\Omega \to \{p\}} \frac{1}{\operatorname{vol}(\Omega)} \oint_{\operatorname{bd}(\Omega)} (\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n})\, dS

여기서 적분은 경계면에 직교하는 바깥 방향의 단위 법선 벡터장 을 갖는 면적분이다. 는 의 유속의 유출 밀도(발산 밀도)라고 할 수 있다.

모든 점에서 발산이 0이 되는 벡터장은 비압축성 또는 관상 이라고 하며, 이 경우 임의의 폐곡면에 대해 교차하는 순 흐름은 존재하지 않는다.

발산 정리는 영역에서 흘러나가는 순 흐름을, 모든 솟아나는 양의 합에서 모든 배출량의 합을 빼는 방식으로 계산할 수 있다는 직관을 정교하게 다듬은 것이다.

3. 좌표계에서의 표현

발산은 직교좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계 등 다양한 좌표계에서 표현될 수 있다.

3.1. 직교좌표계 (데카르트 좌표계)

x, y, z가 3차원 유클리드 공간을 나타내는 직교좌표계이고, i, j, k를 각각에 해당하는 단위벡터라고 할 때, 연속이고 미분가능한 벡터장 F = F_x i + F_y j + F_z k의 발산은 각 지점에서 다음과 같은 스칼라 값을 갖는 스칼라 함수가 된다.

:$\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}$
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}

발산은 $\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}$으로도 많이 쓰이며, 나블라 연산자(델 연산자, $\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}$)와 벡터장 사이의 도트는 벡터 간의 내적을 연상시키기 때문에 $\backslash boldsymbol\{\backslash nabla\}$를 하나의 벡터로 보고 각 성분을 좌표의 편미분으로 생각하면 정의와 부합한다.

3.2. 원통 좌표계

국소 단위 원통 좌표계로 표현된 벡터의 경우,

:$\backslash mathbf\{F\}=\; \backslash mathbf\{e\}\_r\; F\_r\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_\backslash theta\; F\_\backslash theta\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_z\; F\_z,$

여기서 e_a^영어는 a^영어 방향의 단위 벡터이고, 발산은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\; F\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\; \backslash left(r\; F\_r\backslash right)\; +\; \backslash frac1r\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_\backslash theta\}\{\backslash partial\backslash theta\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_z\}\{\backslash partial\; z\}.$


위 식의 유효성을 위해서는 국소 좌표의 사용이 필수적이다. 만약 위치 벡터를 x^영어로, 벡터에 해당하는 전역 원통 좌표를 할당하는 함수를 r(x)^영어, θ(x)^영어, z(x)^영어라고 할 때, 일반적으로 $r(\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{x\}))\backslash neq\; F\_r(\backslash mathbf\{x\})$, $\backslash theta(\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{x\}))\backslash neq\; F\_\{\backslash theta\}(\backslash mathbf\{x\})$, 그리고 $z(\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{x\}))\backslash neq\; F\_z(\backslash mathbf\{x\})$이다. 특히, 항등 함수 1=F(x) = x^영어를 고려하면 다음과 같다.

:$\backslash theta(\backslash mathbf\{F\}(\backslash mathbf\{x\}))\; =\; \backslash theta\; \backslash neq\; F\_\{\backslash theta\}(\backslash mathbf\{x\})\; =\; 0$.

3.3. 구면 좌표계

구면 좌표계에서, θ^영어는 z^영어 축과의 각도, φ^영어는 z^영어 축 주위의 회전각이며, F를 다시 국소 단위 좌표로 쓰면 발산은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash frac1\{r^2\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; r\}\backslash left(r^2\; F\_r\backslash right)\; +\; \backslash frac1\{r\backslash sin\backslash theta\}\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash theta\}\; (\backslash sin\backslash theta\backslash ,\; F\_\backslash theta)\; +\; \backslash frac1\{r\backslash sin\backslash theta\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_\backslash varphi\}\{\backslash partial\; \backslash varphi\}.$

천정각을 θ^영어, z^영어-축 주위의 회전각을 ϕ^영어라고 할때도, 발산은 위와 같이 쓸 수 있다.

4. 텐서장의 발산

발산은 벡터장뿐만 아니라 텐서장으로도 확장될 수 있다. 2차 텐서장의 발산은 두 가지 방식으로 정의할 수 있으며, 텐서가 대칭이면 두 정의는 같다. 이 때문에 문헌에서는 (특히 텐서 대칭이 가정되는 역학 방정식에서) 두 정의 및 기호가 서로 바꿔서 사용되는 경우가 많다. 원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자 문서에서 원통 좌표 및 구면 좌표에서 $\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\; A$의 표현을 확인할 수 있다.

4.1. 2차 텐서장의 발산 (직교좌표계)

continuously differentiable^영어인 2차 텐서장 A를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{bmatrix}

직교좌표계에서의 발산은 1차 텐서장이며 다음 두 가지 방식으로 정의할 수 있다.

:$\backslash operatorname\{div\}\; (\backslash mathbf\{A\})$
= \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i
= \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial A_{11}}{\partial x_1} +\dfrac{\partial A_{12}}{\partial x_2} +\dfrac{\partial A_{13}}{\partial x_3} \\
\dfrac{\partial A_{21}}{\partial x_1} +\dfrac{\partial A_{22}}{\partial x_2} +\dfrac{\partial A_{23}}{\partial x_3} \\
\dfrac{\partial A_{31}}{\partial x_1} +\dfrac{\partial A_{32}}{\partial x_2} +\dfrac{\partial A_{33}}{\partial x_3}
\end{bmatrix}

그리고

:$$
\nabla\cdot \mathbf A = \cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ki,k}~\mathbf{e}_i =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial A_{11}}{\partial x_1} + \dfrac{\partial A_{21}}{\partial x_2} + \dfrac{\partial A_{31}}{\partial x_3} \\
\dfrac{\partial A_{12}}{\partial x_1} + \dfrac{\partial A_{22}}{\partial x_2} + \dfrac{\partial A_{32}}{\partial x_3} \\
\dfrac{\partial A_{13}}{\partial x_1} + \dfrac{\partial A_{23}}{\partial x_2} + \dfrac{\partial A_{33}}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}


다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{div\}\; (\backslash mathbf\{A^T\})\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\; A$

텐서가 대칭이면 $\backslash operatorname\{div\}\; (\backslash mathbf\{A\})\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\; A$이다. 이 때문에 문헌에서는 두 정의 및 기호가 서로 바꿔서 사용되는 경우가 많다(특히 텐서 대칭이 가정되는 역학 방정식에서).

원통 및 구면 좌표에서의 델 연산자 문서에서 원통 좌표 및 구면 좌표에서 $\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\; A$의 표현을 확인할 수 있다.

5. 일반 좌표계에서의 발산

아인슈타인 표기법을 사용하여, $x^1,\; \backslash cdots,\; x^i,\; \backslash cdots,\; x^n$로 표기되는 곡선 좌표계에서의 발산을 고려할 수 있다. 여기서 $n$은 영역의 차원 수이다. 이때 발산은 바일 공식을 통해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash mathbf\{F\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash rho\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash left(\backslash rho\backslash ,\; F^i\backslash right)\}\{\backslash partial\; x^i\},$

여기서 $\backslash rho$는 부피 요소의 국소 계수이고, $F^i$는 국소 정규화되지 않은 공변 기저에 대한 $\backslash mathbf\{F\}$의 성분이다(때로는 $\backslash mathbf\{e\}\_i\; =\; \backslash partial\backslash mathbf\{x\}\; /\; \backslash partial\; x^i$로 쓰여진다). 아인슈타인 표기법은 $i$가 상첨자와 하첨자로 모두 나타나므로 $i$에 대한 합을 의미한다.

부피 계수 $\backslash rho$는 좌표계에 따라 달라지는 위치의 함수이다. 데카르트 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계에서 이전과 동일한 규칙을 사용하면 각각 $\backslash rho\; =\; 1$, $\backslash rho\; =\; r$, $\backslash rho\; =\; r^2\; \backslash sin\; \backslash theta$를 갖는다. 부피는 $\backslash rho\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left|\backslash det\; g\_\{ab\}\backslash right|\}$로도 표현될 수 있으며, 여기서 $g\_\{ab\}$는 계량 텐서이다.

일부 규칙은 모든 로컬 기저 요소를 단위 길이로 정규화할 것을 예상한다. 정규화된 기저에 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{e\}\}\_i$를 쓰고, 이에 대한 $\backslash mathbf\{F\}$의 성분에 대해 $\backslash hat\{F\}^i$를 쓰면, 다음을 갖는다.

:$\backslash mathbf\{F\}=F^i\; \backslash mathbf\{e\}\_i\; =$
F^i \|{\mathbf{e}_i }\| \frac{\mathbf{e}_i}{\| \mathbf{e}_i \|} =
F^i \sqrt{g_{ii}} \, \hat{\mathbf{e}}_i =
\hat{F}^i \hat{\mathbf{e}}_i,

계량 텐서의 속성 중 하나를 사용한다. 마지막 등식의 양변에 반변 요소 $\backslash hat\{\backslash mathbf\{e\}\}^i$를 곱하면 $F^i\; =\; \backslash hat\{F\}^i\; /\; \backslash sqrt\{g\_\{ii\}\}$임을 알 수 있다. 대입 후 공식은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash mathbf\{F\})\; =\; \backslash frac\; 1\{\backslash rho\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash rho\}\{\backslash sqrt\{g\_\{ii\}\}\}\backslash hat\{F\}^i\backslash right)\}\{\backslash partial\; x^i\}\; =$
\frac 1{\sqrt{\det g}} \frac{\partial \left(\sqrt{\frac{\det g}{g_{ii}}}\,\hat{F}^i\right)}{\partial x^i}.

6. 성질

발산은 선형 연산자이다. 즉, 임의의 두 벡터장 F, G와 임의의 실수 a, b에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{div\}(a\backslash mathbf\{F\}\; +\; b\backslash mathbf\{G\})\; =\; a\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{F\}\; +\; b\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{G\}$

스칼라 함수와 벡터장의 곱의 발산은 곱의 미분 법칙과 유사한 형태로 표현된다. $\backslash varphi$가 스칼라 값 함수이고 $\backslash mathbf\{F\}$가 벡터장인 경우 다음이 성립한다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \backslash operatorname\{grad\}\; \backslash varphi\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; +\; \backslash varphi\; \backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{F\},$

또는

:$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; (\backslash nabla\backslash varphi)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; +\; \backslash varphi\; (\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}).$

두 벡터장의 외적의 발산은 회전(curl)을 이용하여 표현할 수 있다. 3차원에서 두 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$와 $\backslash mathbf\{G\}$의 외적에 대한 곱 규칙은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash mathbf\{F\}\backslash times\backslash mathbf\{G\})\; =\; \backslash operatorname\{curl\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\backslash mathbf\{G\}\; -\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{curl\}\; \backslash mathbf\{G\},$

또는

:$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash mathbf\{F\}\backslash times\backslash mathbf\{G\})\; =\; (\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})\backslash cdot\backslash mathbf\{G\}\; -\; \backslash mathbf\{F\}\backslash cdot(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{G\}).$

스칼라 함수의 경사(gradient)의 발산은 라플라시안과 같다.
:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{grad\}\backslash varphi)\; =\; \backslash Delta\backslash varphi.$

벡터장의 회전(curl)의 발산은 항상 0이다.
:$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\})=0.$

7. 분해 정리 (헬름홀츠 분해)

충분히 빠르게 감소하는 벡터장은 비회전 성분(irrotational part)과 비발산 성분(source-free part)으로 유일하게 분해될 수 있다. 비회전 성분은 스칼라 포텐셜의 기울기로, 비발산 성분은 벡터 포텐셜의 회전으로 표현된다.

:$\backslash mathbf\{E\}\; =\; -\backslash nabla\backslash Phi(\backslash mathbf\{r\})$

여기서

:$\backslash Phi(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\{R\}^3\}\; d^3\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{v\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\}\{4\backslash pi\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash right|\}$

비발산 성분은 스칼라 포텐셜을 벡터 포텐셜로 대체하고, 항을로, 소스 밀도를 순환 밀도로 대체하여 표현할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\})$

여기서

:$\backslash mathbf\{A\}(\backslash mathbf\{r\})\; =\; \backslash int\_\{\backslash mathbb\{R\}^3\}\; d^3\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash frac\{\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{v\}(\backslash mathbf\{r\}\text{'})\}\{4\backslash pi\; \backslash left|\; \backslash mathbf\{r\}\; -\; \backslash mathbf\{r\}\text{'}\; \backslash right|\}$

이 분해 정리는 전자기학의 정지 상태의 부산물이며, 3차원보다 큰 차원에서도 작동하는 보다 일반적인 헬름홀츠 분해의 특별한 경우이다.

8. 외미분과의 관계

발산은 외미분을 사용하여 표현할 수 있다. flat^영어 동형은 두 개의 음악적 동형사상 중 하나이며, $\backslash star$는 호지 쌍대 연산자이다.

R^영어에서 2-형식을 3-형식으로 변환하는 과정은 다음과 같다. 먼저, 전류 2-형식을 다음과 같이 정의한다.

:$j\; =\; F\_1\; \backslash ,\; dy\; \backslash wedge\; dz\; +\; F\_2\; \backslash ,\; dz\; \backslash wedge\; dx\; +\; F\_3\; \backslash ,\; dx\; \backslash wedge\; dy\; .$

이는 밀도가 $\backslash rho\; =\; 1\; dx\; \backslash wedge\; dy\; \backslash wedge\; dz$인 "물질 유체" 내에서 시간당 표면을 통과하는 "물질"의 양을 국소 속도 $\backslash mathbf\{F\}$로 측정한 값이다. 이 2-형식의 외미분 $dj$는 다음과 같다.

:$dj\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; F\_1\}\{\backslash partial\; x\}\; +\backslash frac\{\backslash partial\; F\_2\}\{\backslash partial\; y\}\; +\backslash frac\{\backslash partial\; F\_3\}\{\backslash partial\; z\}\; \backslash right)\; dx\; \backslash wedge\; dy\; \backslash wedge\; dz\; =\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \{\backslash mathbf\; F\})\; \backslash rho$

여기서 $\backslash wedge$는 쐐기곱이다.

따라서 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$의 발산은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \{\backslash mathbf\; F\}\; =\; \{\backslash star\}\; d\{\backslash star\}\; \backslash big(\{\backslash mathbf\; F\}^\backslash flat\; \backslash big)\; .$

발산이 이런 방식으로 쓰여질 때, 연산자 $\{\backslash star\}\; d\{\backslash star\}$는 공미분이라고 불린다. 발산과는 달리 외미분은 (곡선) 좌표계의 변화와 교환되기 때문에, 벡터장과 발산을 사용하는 것보다 전류 2-형식과 외미분을 사용하는 것이 더 쉽다.

9. 일반화

벡터장의 발산은 임의의 유한 차원 n에서 정의될 수 있다. 좌표 를 갖는 유클리드 좌표계에서 벡터장
:$\backslash mathbf\{F\}\; =\; (F\_1\; ,\; F\_2\; ,\; \backslash ldots\; F\_n)\; ,$
의 발산은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash operatorname\{div\}\; \backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_1\}\{\backslash partial\; x\_1\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_2\}\{\backslash partial\; x\_2\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\_n\}\{\backslash partial\; x\_n\}.$
모든 n에 대해, 발산은 선형 연산자이며, 임의의 스칼라 함수 φ에 대해 다음의 "곱 규칙"을 만족한다.
:$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; (\backslash nabla\backslash varphi)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; +\; \backslash varphi\; (\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\})$

벡터장의 발산은 부피 형식(또는 다양체상의 밀도) μ를 갖는 n차원 미분 가능 다양체로 확장될 수 있다. 예를 들어, 리만 다양체 또는 로렌츠 다양체가 이에 해당한다. 상의 벡터장에 대한 2-형식 구성을 일반화하면, 이러한 다양체에서 벡터장 X는 μ와 X를 축약하여 얻은 (n-1)-형식 j = i_X μ 를 정의한다. 그러면 발산은 다음으로 정의되는 함수이다.
:$dj\; =\; (\backslash operatorname\{div\}\; X)\; \backslash mu\; .$
이는 리 미분의 관점에서 다음과 같이 쓸 수 있다.
:$\{\backslash mathcal\; L\}\_X\; \backslash mu\; =\; (\backslash operatorname\{div\}\; X)\; \backslash mu\; .$
이는 발산이 벡터장을 따라 흐르는 단위 부피(부피 요소)의 팽창률을 측정함을 의미한다.

유사 리만 다양체에서, 부피에 대한 발산은 레비-치비타 접속 ∇의 관점에서 표현될 수 있다.
:$\backslash operatorname\{div\}\; X\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; X\; =\; \{X^a\}\_\{;a\}\; ,$

발산은 텐서로도 일반화될 수 있다. 아인슈타인 표기법에서 반변 벡터 의 발산은 다음과 같이 주어진다.
:$\backslash nabla\backslash cdot\backslash boldsymbol\{F\}=\backslash nabla\_\backslash mu\; F^\backslash mu$
여기서 는 공변 미분이다.