델 (연산자)

2. 수학적 정의

델 연산자는 각 좌표 변수에 대한 편미분 연산자를 성분으로 하는 벡터 연산자이다.

3차원 공간에서 델 연산자는 $\backslash nabla\; =\backslash mathbf\{i\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathbf\{j\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash mathbf\{k\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}$로 정의된다.

벡터 연산자로서, 델은 스칼라 곱을 통해 스칼라장에, 내적 및 외적을 통해 벡터장에 작용한다.

스칼라장 $f$와 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}=(F\_x,\; F\_y,\; F\_z)$에 대해, 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash left(\backslash mathbf\{e\}\_i\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}\backslash right)\; f\; :=\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}(\backslash mathbf\{e\}\_i\; f)\; =\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}\backslash mathbf\{e\}\_i$

:$\backslash left(\backslash mathbf\{e\}\_i\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}\backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\}\; :=\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}(\backslash mathbf\{e\}\_i\backslash cdot\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \{\backslash partial\; F\_i\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}$

:$\backslash left(\backslash mathbf\{e\}\_x\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\backslash right)\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; :=\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}(\backslash mathbf\{e\}\_x\backslash times\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}(0,\; -F\_z,\; F\_y)$

:$\backslash left(\backslash mathbf\{e\}\_y\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\backslash right)\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; :=\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}(\backslash mathbf\{e\}\_y\backslash times\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}(F\_z,0,-F\_x)$

:$\backslash left(\backslash mathbf\{e\}\_z\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\backslash right)\; \backslash times\; \backslash mathbf\{F\}\; :=\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}(\backslash mathbf\{e\}\_z\backslash times\; \backslash mathbf\{F\})\; =\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}(-F\_y,F\_x,0),$

위의 $\backslash nabla$ 정의를 사용하면 다음과 같다.

:$$

\nabla f =\left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\right)f + \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\right)f + \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\right)f = {\partial f \over \partial x}\mathbf{e}_x + {\partial f \over \partial y}\mathbf{e}_y + {\partial f \over \partial z}\mathbf{e}_z



:$$

\nabla \cdot \mathbf{F} = \left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\cdot \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\cdot \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\cdot \mathbf{F}\right)= {\partial F_x \over \partial x} + {\partial F_y \over \partial y} + {\partial F_z \over \partial z}



:$\backslash begin\{align\}$

\nabla \times \mathbf{F} &= \left(\mathbf{e}_x {\partial \over \partial x}\times \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_y {\partial \over \partial y}\times \mathbf{F}\right) + \left(\mathbf{e}_z {\partial \over \partial z}\times \mathbf{F}\right)\\

&= {\partial \over \partial x}(0, -F_z, F_y) + {\partial \over \partial y}(F_z,0,-F_x) + {\partial \over \partial z}(-F_y,F_x,0)\\

&= \left({\partial F_z \over \partial y}-{\partial F_y \over \partial z}\right)\mathbf{e}_x + \left({\partial F_x \over \partial z}-{\partial F_z \over \partial x}\right)\mathbf{e}_y + \left({\partial F_y \over \partial x}-{\partial F_x \over \partial y}\right)\mathbf{e}_z

\end{align}

'''예시:'''

:$f(x,\; y,\; z)\; =\; x\; +\; y\; +\; z$

:$\backslash nabla\; f\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_x\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_y\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_z\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; =\; \backslash left(1,\; 1,\; 1\; \backslash right)$

델은 다른 좌표계에서도 표현될 수 있다. 원통 및 구면 좌표에서의 델 참조.

2. 1. 3차원 델 연산자

여기서 $\backslash mathbf\{i\}$, $\backslash mathbf\{j\}$, $\backslash mathbf\{k\}$는 각각 $x$, $y$, $z$ 축 방향의 단위 벡터이다. $\backslash mathbf\{e\}\_x,\; \backslash mathbf\{e\}\_y,\; \backslash mathbf\{e\}\_z$를 사용해서 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:$\backslash nabla\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_x\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_y\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\; \backslash mathbf\{e\}\_z\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}=\; \backslash left(\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\},\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; y\},\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; \backslash right)$

아인슈타인 표기법에 따라 $\backslash nabla\; =\; \backslash hat\{e\}^i\; \backslash ,\backslash partial\_i$로 쓸 수도 있다.

2. 2. n차원 델 연산자

n차원 유클리드 공간에서 델 연산자는 다음과 같이 정의된다. 여기서 $\backslash mathbf\{e\}\_i$는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 표준기저를 의미한다.

:$\backslash nabla\; =\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash mathbf\{e\}\_i\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_i\}$

데카르트 좌표계 $\backslash mathbb\{R\}^n$에서 좌표 $(x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)$과 표준 기저 $\backslash \{\backslash mathbf\; e\_1,\; \backslash dots,\; \backslash mathbf\; e\_n\; \backslash \}$를 가질 때, $x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n$ 성분이 편미분 연산자 $\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_1\},\; \backslash dots,\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_n\}$인 벡터 연산자로 표현하면 다음과 같다.

:$\backslash nabla\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash mathbf\; e\_i\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_i\}\; =\; \backslash left(\{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_1\},\; \backslash ldots,\; \{\backslash partial\; \backslash over\; \backslash partial\; x\_n\}\; \backslash right)$

아인슈타인 표기법에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash nabla\; =\; \backslash hat\{e\}^i\; \backslash ,\backslash partial\_i$

3. 델 연산자를 이용한 주요 연산

델 연산자(∇)는 기울기, 발산, 회전, 라플라시안과 같은 미분 연산을 간략하게 표현하는 데 사용된다.

• 기울기 (∇f): 스칼라 함수의 값이 가장 크게 증가하는 방향과 그 크기를 나타내는 벡터이다.
• 발산 (∇⋅F): 벡터장이 한 점에서 퍼져 나가는 정도를 나타내는 스칼라 값이다.
• 회전 (∇×F): 벡터장이 한 점 주변에서 회전하는 정도와 방향을 나타내는 벡터이다.
• 라플라시안 (∇²f): 스칼라 함수의 기울기의 발산으로, 어떤 점에서의 함수의 변화율을 나타낸다.

3. 1. 기울기 (Gradient)

'''델 연산자'''를 어떤 함수 $f:A\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}$에 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash nabla\; f=\backslash left(\backslash mathbf\{i\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathbf\{j\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash mathbf\{k\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\; f=\backslash mathbf\{i\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathbf\{j\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash mathbf\{k\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; z\}$

이는 그래디언트의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.

스칼라장 $f$의 벡터 미분을 경사라고 하며 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\backslash operatorname\{grad\}f\; =\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; \backslash hat\backslash mathbf\; x\; +\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; \backslash hat\backslash mathbf\; y\; +\; \{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; \backslash hat\backslash mathbf\; z=\backslash nabla\; f$

이는 항상 $f$가 가장 크게 증가하는 방향을 가리키며, 점에서의 최대 증가율과 같은 크기를 갖는다. 즉, 언덕이 평면 $h(x,y)$에 대한 높이 함수로 정의된다면, 주어진 위치에서의 경사는 xy 평면에서 가장 가파른 방향을 가리키는 벡터(지도에서 화살표로 시각화 가능)가 된다. 경사의 크기는 이 가장 가파른 기울기의 값이다.

특히 이 표기법은 경사 곱 규칙이 1차원 미분 경우와 매우 유사하기 때문에 강력하다.

: $\backslash nabla(f\; g)\; =\; f\; \backslash nabla\; g\; +\; g\; \backslash nabla\; f$

그러나, 점곱에 대한 규칙은 다음과 같이 간단하지 않다.

: $\backslash nabla\; (\backslash mathbf\; u\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v)\; =\; (\backslash mathbf\; u\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; \backslash mathbf\; v\; +\; (\backslash mathbf\; v\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; \backslash mathbf\; u\; +\; \backslash mathbf\; u\; \backslash times\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v)\; +\; \backslash mathbf\; v\; \backslash times\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; u)$

3. 2. 발산 (Divergence)

어떤 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}:A\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}^3$의 '''발산'''(Divergence)은 '''델 연산자'''와의 스칼라곱으로 정의된다.

:$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\{F\}=\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}=\backslash left(\backslash mathbf\{i\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathbf\{j\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash mathbf\{k\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(\; F\_1\backslash mathbf\{i\}+F\_2\backslash mathbf\{j\}+F\_3\backslash mathbf\{k\}\backslash right)\; =\backslash frac\{\backslash partial\; F\_1\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash frac\{\backslash partial\; F\_2\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash frac\{\backslash partial\; F\_3\}\{\backslash partial\; z\}$

여기서 $F\_1,~F\_2,~F\_3$는 벡터장 $\backslash mathbf\{F\}$의 성분 스칼라장들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 벡터장의 스칼라곱으로 정의된다.

벡터장 $\backslash mathbf\; v(x,\; y,\; z)\; =\; v\_x\; \backslash hat\backslash mathbf\; x\; +\; v\_y\; \backslash hat\backslash mathbf\; y\; +\; v\_z\; \backslash hat\backslash mathbf\; z$의 발산은 다음과 같이 나타낼 수 있는 스칼라장이다.

:$\backslash operatorname\{div\}\backslash mathbf\; v\; =\; \{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; \{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\; \{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v$

발산은 대략적으로 벡터장이 가리키는 방향으로의 증가를 측정하는 것이지만, 더 정확하게는 해당 장이 한 점으로 수렴하거나 발산하는 경향을 측정하는 것이다.

델 표기법의 강력함은 다음 곱 규칙으로 나타난다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (f\; \backslash mathbf\; v)\; =\; (\backslash nabla\; f)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v\; +\; f\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v)$

벡터 곱의 공식은 이 곱이 교환적이지 않기 때문에 약간 덜 직관적이다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\; u\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v)\; =\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; u)\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v\; -\; \backslash mathbf\; u\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v)$

3. 3. 회전 (Curl)

어떤 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 '''회전''' 또는 '''돌개'''는 '''델 연산자'''와의 벡터곱으로 정의된다.

:

여기서 \(F_1,~F_2,~F_3\)는 벡터장 \(\mathbf{F}\)의 성분 스칼라장들이며 회전연산자의 결과 \(\operatorname{curl}F\) 또는 \(\nabla\times F\)는 같은 차원의 벡터장이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 \(\mathbf{k}\)성분이 없는 3차원 벡터로 놓고 계산하는 경우도 있다.

벡터장 \(\mathbf v(x, y, z) = v_x\hat\mathbf x + v_y\hat\mathbf y + v_z\hat\mathbf z\)의 컬은 다음과 같이 나타낼 수 있는 벡터 함수이다.

:$\backslash operatorname\{curl\}\backslash mathbf\; v\; =\; \backslash left(\{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; -\; \{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; \backslash right)\; \backslash hat\backslash mathbf\; x\; +\; \backslash left(\{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; -\; \{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; \backslash right)\; \backslash hat\backslash mathbf\; y\; +\; \backslash left(\{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; -\; \{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; \backslash right)\; \backslash hat\backslash mathbf\; z\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v$

어떤 점에서의 컬은 그 점에 중심을 둔 작은 바람개비가 받게 될 축 방향 토크에 비례한다.

벡터곱 연산은 의사-행렬식으로 시각화할 수 있다.

:

곱 규칙은 다음과 같다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; (f\; \backslash mathbf\; v)\; =\; (\backslash nabla\; f)\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v\; +\; f\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v)$

벡터곱 규칙은 복잡하다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; (\backslash mathbf\; u\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v)\; =\; \backslash mathbf\; u\; \backslash ,\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v)\; -\; \backslash mathbf\; v\; \backslash ,\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; u)\; +\; (\backslash mathbf\; v\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; \backslash ,\; \backslash mathbf\; u\; -\; (\backslash mathbf\; u\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; \backslash ,\; \backslash mathbf\; v$

3. 4. 라플라시안 (Laplacian)

'''라플라시안''' 또는 '''라플라스 연산자'''($\backslash nabla^2$)는 그래디언트의 발산으로 정의된다.

:$\backslash nabla^2f=\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\backslash nabla\; f\backslash right)\; =\backslash left(\backslash mathbf\{i\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathbf\{j\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash mathbf\{k\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\backslash cdot\backslash left(\backslash mathbf\{i\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathbf\{j\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}+\backslash mathbf\{k\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; z\}\backslash right)\; =\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; x^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; y^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2f\}\{\backslash partial\; z^2\}$

3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 그래디언트의 n차원 발산으로 정의된다.

라플라스 연산자는 벡터 또는 스칼라장에 적용될 수 있는 스칼라 연산자이다. 데카르트 좌표계에서는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash Delta\; =\; \{\backslash partial^2\; \backslash over\; \backslash partial\; x^2\}\; +\; \{\backslash partial^2\; \backslash over\; \backslash partial\; y^2\}\; +\; \{\backslash partial^2\; \backslash over\; \backslash partial\; z^2\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; =\; \backslash nabla^2$

일반적인 좌표계에 대한 정의는 벡터 라플라시안에 나와 있다.

라플라시안은 현대 수리 물리학 전반에 걸쳐 널리 사용되며, 라플라스 방정식, 푸아송 방정식, 열 방정식, 파동 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등에 나타난다.

$\backslash nabla^2$는 라플라시안을 나타낼 때 사용하지만, 때로는 헤세 행렬을 나타내기도 한다. 전자는 $\backslash nabla$의 내적을 의미하고, 후자는 $\backslash nabla$의 다이아딕 곱을 의미한다.

:$\backslash nabla^2\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla^T$.

따라서 $\backslash nabla^2$가 라플라시안을 나타내는지, 헤세 행렬을 나타내는지는 문맥에 따라 다르다.

4. 델 연산자의 성질

델 연산자는 선형변환이며, 곱의 미분 법칙 등 다양한 미분 규칙을 만족한다.

$g\backslash left(\backslash mathbf\{x\}\backslash right)\backslash ne\; 0$인 $\backslash mathbf\{x\}$에 대해서는 다음과 같은 식이 성립한다.

:$\backslash nabla\backslash left(\backslash frac\{f\}\{g\}\backslash right)\; =\backslash frac\{g\backslash nabla\; f-f\backslash nabla\; g\}\{g^2\}$

또한 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\; f\backslash nabla\; g-g\backslash nabla\; f\backslash right)\; =f\backslash nabla^2g-g\backslash nabla^2f$

∇를 벡터로 대체하여 벡터 항등식을 얻을 수도 있지만, 그 역은 항상 성립하지는 않는다. ∇는 가환적이지 않기 때문이다.

∇의 가환성에 대한 반례로, 일반적으로 성립하는 등식 $(\backslash boldsymbol\; u\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; v)\; f\; =\; (\backslash boldsymbol\; v\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; u)\; f$에 대해 $(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; v)\; f\; \backslash ne\; (\backslash boldsymbol\; v\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; f$가 성립한다.

∇의 미분적 성질을 사용한 반례로는, $(\backslash nabla\; x)\; \backslash times\; (\backslash nabla\; y)\; =\; \backslash hat\{\backslash boldsymbol\{z\}\}$가 성립하지만, 일반적인 벡터의 경우에는 $(\backslash boldsymbol\{u\}x\; )\backslash times\; (\backslash boldsymbol\{u\}\; y)\; =\; \backslash boldsymbol\{0\}$이다.

이러한 차이는 ∇가 단순한 벡터가 아니라 벡터 연산자이기 때문에 발생한다. 벡터는 크기와 방향을 갖는 대상이지만, ∇는 어떤 것에 작용해야 비로소 크기와 방향이 명확해진다.

4. 1. 선형성

$c$는 상수이고 함수 $f,~g,~\backslash mathbf\{F\},~\backslash mathbf\{G\}$는 다음과 같이 정의된다. $f:A\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\},~g:B\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\},~\backslash mathbf\{F\}:C\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}^3,~\backslash mathbf\{G\}:D\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}^3$

다음과 같은 델 연산자의 선형성질이 성립한다.

# $\backslash nabla\backslash left(\; f+g\backslash right)\; =\backslash nabla\; f+\backslash nabla\; g$

# $\backslash nabla\backslash left(\; cf\backslash right)\; =c\backslash nabla\; f$

# $\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\backslash mathbf\{F\}+\backslash mathbf\{G\}\backslash right)\; =\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}+\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{G\}$

# $\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\; c\backslash mathbf\{F\}\backslash right)\; =c\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}$

# $\backslash nabla\backslash times\backslash left(\backslash mathbf\{F\}+\backslash mathbf\{G\}\backslash right)\; =\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}+\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{G\}$

# $\backslash nabla\backslash times\backslash left(\; c\backslash mathbf\{F\}\backslash right)\; =c\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}$

위의 1번과 2번 성질에 의하여 그래디언트가, 3번과 4번 성질에 의하여 발산이, 5번과 6번 성질에 의하여 회전이 선형변환임을 알 수 있다.

4. 2. 곱의 미분 법칙

델 연산자는 곱의 미분 법칙과 유사한 규칙을 만족한다. 함수 $f,~g,~\backslash mathbf\{F\},~\backslash mathbf\{G\}$가 다음과 같이 정의될 때,

:$f:A\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\},~g:B\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\},~\backslash mathbf\{F\}:C\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}^3,~\backslash mathbf\{G\}:D\backslash sub\backslash mathbb\{R\}^3\backslash to\backslash mathbb\{R\}^3$

다음과 같은 곱의 미분 법칙과 유사한 규칙들이 성립한다.

• $\backslash nabla\backslash left(\; fg\backslash right)\; =f\backslash nabla\; g+g\backslash nabla\; f$
• $\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\; f\backslash mathbf\{F\}\backslash right)\; =f\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}+\backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash nabla\; f$
• $\backslash nabla\backslash times\backslash left(\; f\backslash mathbf\{F\}\backslash right)\; =f\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}+\backslash nabla\; f\backslash times\backslash mathbf\{F\}$
• $\backslash nabla^2\backslash left(\; fg\backslash right)\; =f\backslash nabla^2g+2\backslash left(\backslash nabla\; f\backslash cdot\backslash nabla\; g\backslash right)\; +g\backslash nabla^2f$

벡터 미적분학의 경우, 다음과 같은 추가적인 곱의 미분 법칙 유사 규칙이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\nabla (fg) &= f\nabla g + g\nabla f \\

\nabla(\mathbf u \cdot \mathbf v) &= \mathbf u \times (\nabla \times \mathbf v) + \mathbf v \times (\nabla \times \mathbf u) + (\mathbf u \cdot \nabla) \mathbf v + (\mathbf v \cdot \nabla)\mathbf u \\

\nabla \cdot (f \mathbf v) &= f (\nabla \cdot \mathbf v) + \mathbf v \cdot (\nabla f) \\

\nabla \cdot (\mathbf u \times \mathbf v) &= \mathbf v \cdot (\nabla \times \mathbf u) - \mathbf u \cdot (\nabla \times \mathbf v) \\

\nabla \times (f \mathbf v) &= (\nabla f) \times \mathbf v + f (\nabla \times \mathbf v) \\

\nabla \times (\mathbf u \times \mathbf v) &= \mathbf u \, (\nabla \cdot \mathbf v) - \mathbf v \, (\nabla \cdot \mathbf u) + (\mathbf v \cdot \nabla) \, \mathbf u - (\mathbf u \cdot \nabla) \, \mathbf v

\end{align}

이러한 규칙들은 델 연산자가 단순한 벡터가 아니라 벡터 연산자이기 때문에, 일반적인 벡터 항등식과는 다르게 동작할 수 있다는 점에 유의해야 한다.

4. 3. 기타 성질

# $\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\backslash nabla\; f\backslash times\backslash nabla\; g\backslash right)\; =0$

# $\backslash nabla\backslash times\backslash nabla\; f=\backslash mathbf\{0\}$

# $\backslash nabla\backslash cdot\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{F\}=0$

# $\backslash nabla^2\backslash left(\; fg\backslash right)\; =f\backslash nabla^2g+2\backslash left(\backslash nabla\; f\backslash cdot\backslash nabla\; g\backslash right)\; +g\backslash nabla^2f$

# $\backslash nabla\backslash cdot\backslash left(\; f\backslash nabla\; g-g\backslash nabla\; f\backslash right)\; =f\backslash nabla^2g-g\backslash nabla^2f$

그래디언트는 1번과 2번 성질에 의하여, 발산은 5번과 6번 성질에 의하여, 회전은 9번과 10번 성질에 의하여 선형변환임을 알 수 있다.

위에 언급된 벡터의 성질 대부분은 (∇의 미분적 성질에 명시적으로 의존하는 부분을 제외하고, 예를 들어 곱의 법칙 등) 기호의 재배치에만 의존하며, ∇를 다른 벡터로 대체하더라도 필연적으로 성립해야 한다. 이것은 ∇를 그 자체로 벡터로 나타냄으로써 얻어진 엄청난 가치의 일부이다.

∇를 벡터로 대체하여 벡터의 항등식을 종종 얻을 수 있지만, 항등식을 직관적으로 만드는 것에 관해서는 역은 반드시 신뢰할 수 없다. ∇는 종종 가환적이지 않다는 것이 그 이유이다.

∇의 가환성에 대한 반례로, 일반적으로 성립하는 등식 $(\backslash boldsymbol\; u\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; v)\; f\; =\; (\backslash boldsymbol\; v\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; u)\; f$에 대해 $(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; v)\; f\; \backslash ne\; (\backslash boldsymbol\; v\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; f$임을 들 수 있다. 실제로, $$(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; v)\; f\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\_x\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\_y\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\_z\}\{\backslash partial\; z\}\; \backslash right)\; f\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\_x\}\{\backslash partial\; x\}\; f\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\_y\}\{\backslash partial\; y\}\; f\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\_z\}\{\backslash partial\; z\}\; f$$와 $$(\backslash boldsymbol\; v\; \backslash cdot\; \backslash nabla)\; f\; =\; \backslash left(\; v\_x\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; v\_y\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; v\_z\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\; \backslash right)\; f\; =\; v\_x\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; v\_y\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; v\_z\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; z\}$$는 다르다.

또한 ∇의 미분적인 성질을 사용한 반례로는, $(\backslash nabla\; x)\; \backslash times\; (\backslash nabla\; y)$

= \left( \hat{\boldsymbol{x}} \frac{\partial x}{\partial x}

+ \hat{\boldsymbol{y}} \frac{\partial x}{\partial y}

+ \hat{\boldsymbol{z}} \frac{\partial x}{\partial z} \right)

\times \left( \hat{\boldsymbol{x}} \frac{\partial y}{\partial x}

+ \hat{\boldsymbol{y}} \frac{\partial y}{\partial y}

+ \hat{\boldsymbol{z}} \frac{\partial y}{\partial z} \right)

= \hat{\boldsymbol{x}} \times \hat{\boldsymbol{y}}

= \hat{\boldsymbol{z}}가 성립하지만, 일반적으로 $(\backslash boldsymbol\{u\}x\; )\backslash times\; (\backslash boldsymbol\{u\}\; y)$

= x y (\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{u})

= \boldsymbol{0}이다.

이러한 차이가 발생하는 근본적인 이유는 ∇가 단순한 벡터가 아니라 벡터 연산자라는 사실이다. 벡터가 명확하게 수치적인 크기와 방향을 갖는 대상인 데 반해, ∇는 어떤 것에 작용할 수 있어야 비로소 크기와 방향이 명확해진다.

이러한 이유로 ∇를 포함하는 항등식의 유도는 벡터의 항등식과 (곱의 법칙과 같은) 미분의 항등식의 양쪽을 기반으로 신중하게 수행되어야 한다.

5. 2차 미분

델 연산자(∇)를 한 번 적용하면 기울기(스칼라 곱), 발산(점 곱), 회전(외적)의 세 가지 주요 도함수가 발생한다. 이 세 가지 도함수에 델 연산자를 다시 적용하면, 스칼라장 ''f'' 또는 벡터장 '''v'''에 대해 다섯 가지 가능한 2차 미분 연산이 생성된다. 스칼라 라플라시안과 벡터 라플라스 연산자를 사용하면 두 개가 더 생성되어 총 7가지의 2차 미분 연산이 가능하다.

이 2차 미분 연산들은 항상 고유하거나 서로 독립적인 것은 아니다. 함수가 제대로 작동하는($C^\backslash infty$인 경우) 경우, 다음 두 연산은 항상 0이다.

• $\backslash operatorname\{curl\}(\backslash operatorname\{grad\}f)\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; (\backslash nabla\; f)\; =\; 0$
• $\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{curl\}\backslash mathbf\; v)\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v)\; =\; 0$

또한, 다음 두 연산은 항상 같다.

• $\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{grad\}f)\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; f)\; =\; \backslash nabla^2\; f\; =\; \backslash Delta\; f$

나머지 3개의 벡터 도함수는 다음 방정식으로 관련된다.

• $\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\; v\backslash right)\; =\; \backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v)\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{v\}$

그리고 함수가 제대로 작동하는 경우 다음 관계가 성립한다.

• $\backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; v)\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash mathbf\; v\; \backslash otimes\; \backslash nabla\; )$

5. 1. 기울기의 발산

스칼라나 벡터에 ∇를 적용하면 기울기, 발산, 회전의 세 종류의 미분이 발생한다. 이 세 종류의 미분에 다시 미분을 적용하면 다섯 종류의 결과가 나오며, 라플라스 연산자를 포함하여 다음이 성립한다. ''f''는 스칼라장, '''v'''는 벡터장이다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{grad\}f\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; f)$

특성이 좋은 함수에 대해서는,

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{grad\}f\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; f)\; =\; \backslash nabla^2\; f\; =\; \backslash Delta\; f.$

즉, 기울기의 발산은 라플라스 연산자와 같다.

5. 2. 기울기의 회전

특성이 좋은 함수에 대해서, 기울기의 회전은 항상 0이 된다.

:$\backslash operatorname\{curl\}(\backslash operatorname\{grad\}f\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; (\backslash nabla\; f)\; =\; 0$

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{curl\}\; \backslash boldsymbol\; v\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}\; =\; 0$

5. 3. 발산의 기울기

∇를 스칼라나 벡터에 적용하면 스칼라 곱, 벡터 곱 등 벡터의 다양한 곱셈 방식 때문에 기울기(스칼라 곱), 발산(스칼라 곱), 회전(벡터 곱)의 세 종류의 미분이 발생한다. 이 세 종류의 미분에 다시 각종 미분을 적용하면 다섯 종류가 가능하며, 라플라스 연산자와 벡터 라플라스 연산자를 더하면 다음과 같다. ''f''는 스칼라장, '''v'''는 벡터장이다.

:$\backslash operatorname\{grad\}(\backslash operatorname\{div\}\; \backslash boldsymbol\; v\; )\; =\; \backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\; v)$

이들은 항상 유일하지도, 서로 독립적이지도 않다는 점에서 흥미롭다. 특성이 좋은 함수에 대해서는, 다음 두 식이 항상 성립한다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{curl\}\; \backslash boldsymbol\; v\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}\; =\; 0$

또한 다음 두 식도 항상 성립한다.

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{grad\}f\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; f)\; =\; \backslash nabla^2\; f\; =\; \backslash Delta\; f.$

남은 세 종류의 벡터 미분 사이에는 다음 등식이 성립한다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}\; =\; \backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{v\})\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash boldsymbol\{v\}$

게다가 특성이 좋은 함수에 대해서는 다음이 성립한다.

:$\backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{v\})\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash otimes\; \backslash boldsymbol\{v\})$

5. 4. 회전의 발산

특성이 좋은 함수에 대해서는, 회전의 발산은 항상 0이다. 즉,

:$\backslash operatorname\{div\}(\backslash operatorname\{curl\}\; \backslash boldsymbol\; v)\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\})\; =\; 0$

이 성립한다.

5. 5. 회전의 회전

회전의 회전은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash operatorname\{curl\}(\backslash operatorname\{curl\}\; \backslash boldsymbol\; v\; )\; =\; \backslash nabla\; \backslash times\; (\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\; v)$

벡터 미분 사이에는 다음 등식이 성립한다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{v\}\; =\; \backslash nabla\; (\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{v\})\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash boldsymbol\{v\}$

6. 역사

델 연산자는 19세기 윌리엄 로언 해밀턴이 처음 도입했으며, 이후 제임스 클러크 맥스웰, 조사이어 윌러드 기브스 등이 발전시켰다. 해밀턴은 사원수를 연구하면서 델 연산자를 고안했고, 맥스웰은 이 연산자를 전자기학에 적용하여 발산과 회전의 물리적 의미를 발견했다. 기브스는 발산(divergence)과 회전(curl)이라는 용어를 처음 사용하고, 그 의미를 더 명확하게 정의하였다.

6. 1. 윌리엄 로언 해밀턴

윌리엄 로언 해밀턴은 사원수를 연구하면서 델 연산자의 개념을 생각해냈다. 그는 $\backslash nabla\; =\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\backslash mathbf\{i\}+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; y\}\backslash mathbf\{j\}+\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}\backslash mathbf\{k\}$로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 스칼라장 $f$와 곱하면 $f$의 그래디언트를 얻을 수 있고, 3차원 벡터장과 사원수 곱을 하면 스칼라 성분은 발산의 음수, 벡터 성분은 회전이다.($\backslash nabla\backslash mathbf\{V\}=-\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{V\}+\backslash nabla\backslash times\backslash mathbf\{V\}$, 여기서 $\backslash nabla\backslash mathbf\{V\}$는 그래디언트가 아니라 단순히 델과 '''V'''의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만, 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.

6. 2. 제임스 클러크 맥스웰

제임스 클러크 맥스웰은 델 연산자를 사용하여 전자기학의 맥스웰 방정식을 간결하게 표현하고, 발산과 회전의 물리적 의미를 처음으로 발견하였다. 맥스웰은 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서 발산과 회전을 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 전기장과 자기장 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 발산의 물리적 의미를 가우스의 발산정리를 이용하여 설명하였으나 회전의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다.

6. 3. 조사이어 윌러드 기브스

조사이어 윌러드 기브스는 ‘발산(divergence^영어)’과 ‘회전(curl^영어)’이라는 용어를 붙였다. 그는 맥스웰보다 발산과 회전의 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 발산의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, 회전의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다.

7. 응용

델 연산자는 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다.

---

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com