배수 판정법

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1. 개요
2. 10진법에서의 배수 판정법
- 2.1. 1부터 50까지의 배수 판정법
3. 일반적인 배수 판정법
- 3.1. 일반적인 방법의 단계
- 3.2. 합성수의 배수 판정법
4. 다른 진법에서의 배수 판정법
5. 배수 판정법의 활용
6. 같이 보기
참조

1. 개요

배수 판정법은 주어진 수가 특정 수의 배수인지 판단하는 방법을 설명한다. 10진법을 기준으로, 2, 5, 10의 거듭제곱의 배수 판정법은 마지막 n자릿수만 확인하면 된다. 소수 인수의 곱으로 표현된 수의 배수 판정법은 각 소수를 해당 거듭제곱으로 나누어떨어지는지 개별적으로 검사하는 방식으로 이루어진다. 1부터 50까지의 수에 대한 배수 판정법이 표로 정리되어 있으며, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50에 대한 배수 판정법이 자세히 설명되어 있다. 일반적인 배수 판정법은 소인수분해를 통해 각 소인수의 특징을 활용하며, 합성수의 경우 소인수들의 배수 판정법을 모두 만족하는지 확인하는 방식으로 적용된다.

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배수 판정법
배수 판정법
유형	수론
일반 규칙
2	마지막 자릿수가 짝수이면 2로 나누어 떨어진다.
3	각 자릿수의 합이 3으로 나누어 떨어지면 3으로 나누어 떨어진다.
4	마지막 두 자릿수가 4로 나누어 떨어지면 4로 나누어 떨어진다.
5	마지막 자릿수가 0 또는 5이면 5로 나누어 떨어진다.
6	2와 3으로 모두 나누어 떨어지면 6으로 나누어 떨어진다.
7
8	마지막 세 자릿수가 8로 나누어 떨어지면 8로 나누어 떨어진다.
9	각 자릿수의 합이 9로 나누어 떨어지면 9로 나누어 떨어진다.
10	마지막 자릿수가 0이면 10으로 나누어 떨어진다.
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12	3과 4로 모두 나누어 떨어지면 12로 나누어 떨어진다.
더 복잡한 규칙
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29
31
37

2. 10진법에서의 배수 판정법

wikitext

아래에 제시된 규칙들은 주어진 수를 일반적으로 더 작은 수로 변환하며, 관심 있는 제수로의 나누어떨어짐을 유지한다. 따라서, 특별히 언급하지 않는 한, 결과로 나온 수는 동일한 제수로 나누어떨어지는지 평가해야 한다. 어떤 경우에는 이 과정을 나누어떨어짐이 명확해질 때까지 반복할 수 있다. 반면에 다른 경우(예: 마지막 ''n'' 자릿수 검사)에는 다른 방법으로 결과를 검사해야 한다.

여러 규칙이 있는 제수의 경우, 일반적으로 자릿수가 많은 숫자에 적합한 규칙이 먼저 정렬되고, 그 다음 자릿수가 적은 숫자에 유용한 규칙이 정렬된다.

2 또는 5의 거듭제곱(2^''n'' 또는 5^''n'', 여기서 ''n''은 양의 정수)으로 숫자의 [나누어떨어짐]을 테스트하려면 해당 숫자의 마지막 ''n'' 자릿수만 보면 된다.

소수 인수의 곱으로 표현된 모든 숫자 $p_1^n p_2^m p_3^q$ 의 [나누어떨어짐]을 테스트하려면 각 소수를 해당 거듭제곱으로 나누어떨어지는지 별도로 테스트할 수 있다. 예를 들어 24 (24 = 8×3 = 2³×3)로 나누어떨어지는지 테스트하는 것은 8 (2³)과 3으로 동시에 나누어떨어지는지 테스트하는 것과 같다. 따라서 8과 3으로 나누어떨어지는지 보여야 24로 나누어떨어짐을 증명할 수 있다.


제수	나누어떨어짐 조건	예시
1	특별한 조건 없음. 모든 정수는 1로 나누어떨어집니다.	2는 1로 나누어떨어집니다.
2	마지막 자릿수가 짝수(0, 2, 4, 6 또는 8)입니다.^[2]^[3]	1,294: 4는 짝수입니다.
3	자릿수의 합이 3으로 나누어떨어져야 합니다. (9가 3으로 나누어떨어지므로 작동합니다).^[2]^[4]^[5]	405 → 4 + 0 + 5 = 9 및 636 → 6 + 3 + 6 = 15는 모두 3으로 명확히 나누어떨어집니다. 16,499,205,854,376 → 1 + 6 + 4 + 9 + 9 + 2 + 0 + 5 + 8 + 5 + 4 + 3 + 7 + 6은 69 → 6 + 9 = 15가 되며 3으로 나누어떨어집니다.
	숫자에서 2, 5, 8 자릿수의 양을 1, 4, 7 자릿수의 양에서 뺍니다. 결과가 3으로 나누어떨어져야 합니다.	위의 예시를 사용하면: 16,499,205,854,376은 1, 4, 7 자릿수 4개와 2, 5, 8 자릿수 4개를 가집니다. 4 − 4 = 0이 3의 배수이므로 숫자 16,499,205,854,376은 3으로 나누어떨어집니다.
	마지막 자릿수에 2를 곱한 값을 나머지에서 빼면 3의 배수가 됩니다. (21이 3으로 나누어떨어지므로 작동합니다)	405: 40 - 5 x 2 = 40 - 10 = 30 = 3 x 10
4	마지막 두 자릿수가 4로 나누어떨어지는 숫자를 형성합니다.^[2]^[3]	40,832: 32는 4로 나누어떨어집니다.
	십의 자릿수가 짝수이면 일의 자릿수는 0, 4 또는 8이어야 합니다. 십의 자릿수가 홀수이면 일의 자릿수는 2 또는 6이어야 합니다.	40,832: 3은 홀수이고 마지막 자릿수는 2입니다.
	일의 자릿수와 십의 자릿수의 두 배의 합이 4로 나누어떨어집니다.	40,832: 2 × 3 + 2 = 8이며, 이는 4로 나누어떨어집니다.
5	마지막 자릿수가 0 또는 5입니다.^[2]^[3]	495: 마지막 자릿수는 5입니다.
6	2와 3으로 나누어떨어집니다.^[6]	1,458: 1 + 4 + 5 + 8 = 18이므로 3으로 나누어떨어지고 마지막 자릿수가 짝수이므로 이 숫자는 6으로 나누어떨어집니다.
6	일의 자릿수, 10의 자릿수의 4배, 100의 자릿수의 4배, 1000의 자릿수의 4배 등을 더합니다. 결과가 6으로 나누어떨어지면 원래 숫자도 그렇습니다. (이는 $10^n = 4 \pmod{6}$ for $n > 1$ 이므로 작동합니다.)	1,458: (4 × 1) + (4 × 4) + (4 × 5) + 8 = 4 + 16 + 20 + 8 = 48
7	오른쪽에서 왼쪽으로 세 블록의 교대 합을 형성하면 7의 배수가 됩니다.^[5]^[7]	1,369,851: 851 − 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	마지막 자릿수에 5를 곱한 값을 나머지에서 더하면 7의 배수가 됩니다. ((50 − 1)이 7로 나누어떨어지므로 작동합니다.)	483: 48 + (3 × 5) = 63 = 7 × 9.
	마지막 자릿수에 2를 곱한 값을 나머지에서 빼면 7의 배수가 됩니다. ((20 + 1)이 7로 나누어떨어지므로 작동합니다.)	483: 48 − (3 × 2) = 42 = 7 × 6.
	마지막 자릿수에 9를 곱한 값을 나머지에서 빼면 7의 배수가 됩니다. ((90 + 1)이 7로 나누어떨어지므로 작동합니다.)	483: 48 − (3 × 9) = 21 = 7 × 3.
	첫 번째 자릿수에 3을 곱한 값을 다음에 더한 다음 나머지를 쓰면 7의 배수가 됩니다. (이것은 10a + b − 7a = 3a + b에서 작동합니다. 마지막 숫자는 10a + b와 나머지가 같습니다.)	483: 4 × 3 + 8 = 20,
	마지막 두 자릿수를 나머지의 두 배에 더하면 7의 배수가 됩니다. ((100 − 2)가 7로 나누어떨어지므로 작동합니다.)	483,595: 95 + (2 × 4835) = 9765: 65 + (2 × 97) = 259: 59 + (2 × 2) = 63.
	각 자릿수(오른쪽에서 왼쪽으로)에 이 패턴의 해당 위치(왼쪽에서 오른쪽으로)에 있는 자릿수를 곱합니다. 1, 3, 2, −1, −3, −2 (백만 자릿수를 초과하는 자릿수의 경우 반복). 결과를 더하면 7의 배수가 됩니다.	483,595: (4 × (−2)) + (8 × (−3)) + (3 × (−1)) + (5 × 2) + (9 × 3) + (5 × 1) = 7.
	각 자릿수 쌍(오른쪽에서 왼쪽으로)을 7로 나눈 나머지를 계산합니다. 가장 오른쪽 나머지에 1을 곱하고, 왼쪽에서 다음 나머지에 2를 곱하고, 그 다음 나머지에 4를 곱하여 백만 자릿수 이상인 자릿수 쌍에 대해 패턴을 반복합니다. 결과를 더하면 7의 배수가 됩니다.	45\|36 ; (5x4) + (3x2) + (1x1) = 27, so it is not divisible by 7
8	백의 자릿수가 짝수이면 마지막 두 자릿수로 형성된 숫자가 8로 나누어떨어져야 합니다.	624: 24.
	백의 자릿수가 홀수이면 마지막 두 자릿수로 얻은 숫자는 홀수의 4배여야 합니다.	352: 52 = 4 x 13.
	마지막 자릿수를 나머지의 두 배에 더합니다. 결과는 8로 나누어떨어져야 합니다.	56: (5 × 2) + 6 = 16.
	마지막 세 자릿수가 8로 나누어떨어집니다.^[2]^[3]	34,152: 152의 [나누어떨어짐]만 검사: 19 × 8
	일의 자릿수, 십의 자릿수의 두 배, 백의 자릿수의 네 배의 합이 8로 나누어떨어집니다.	34,152: 4 × 1 + 5 × 2 + 2 = 16
9	자릿수의 합이 9로 나누어떨어져야 합니다.^[2]^[4]^[5]	2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18: 1 + 8 = 9.
9	마지막 자릿수에 8을 곱한 값을 나머지에서 빼면 9의 배수가 됩니다. (81이 9로 나누어떨어지므로 작동합니다)	2,880: 288 − 0 x 8 = 288 − 0 = 288 = 9 x 32
10	마지막 자릿수가 0입니다.^[3]	130: 일의 자릿수가 0입니다.
10	2와 5로 나누어떨어집니다.	130: 2와 5로 나누어떨어집니다.
11	자릿수의 교대 합을 형성하거나, 동등하게 sum(홀수) – sum(짝수)를 계산합니다. 결과는 11로 나누어떨어져야 합니다.^[2]^[5]	918,082: 9 − 1 + 8 − 0 + 8 − 2 = 22 = 2 × 11.
	오른쪽에서 왼쪽으로 두 블록씩 자릿수를 더합니다. 결과는 11로 나누어떨어져야 합니다.^[2]	627: 6 + 27 = 33 = 3 × 11.
	마지막 자릿수를 나머지에서 뺍니다. 결과는 11로 나누어떨어져야 합니다.	627: 62 − 7 = 55 = 5 × 11.
	마지막 자릿수에 10을 곱한 값을 나머지에서 더합니다. 결과는 11로 나누어떨어져야 합니다. ((99가 11로 나누어떨어지므로 작동합니다).	627: 62 + 70 = 132: 13 + 20 = 33 = 3 × 11.
	자릿수 짝수 개이면 첫 번째 자릿수를 더하고 마지막 자릿수를 나머지에서 뺍니다. 결과는 11로 나누어떨어져야 합니다.	918,082: 자릿수 짝수 개(6) → 1808 + 9 − 2 = 1815: 81 + 1 − 5 = 77 = 7 × 11
	자릿수 홀수 개이면 첫 번째 자릿수와 마지막 자릿수를 나머지에서 뺍니다. 결과는 11로 나누어떨어져야 합니다.	14,179: 자릿수 홀수 개(5) → 417 − 1 − 9 = 407: 0 − 4 − 7 = −11 = −1 × 11.
12	3과 4로 나누어떨어집니다.^[6]	324: 3과 4로 나누어떨어집니다.
12	마지막 자릿수를 나머지의 두 배에서 뺍니다. 결과는 12로 나누어떨어져야 합니다.	324: 32 × 2 − 4 = 60 = 5 × 12.
13	오른쪽에서 왼쪽으로 세 블록의 교대 합을 형성합니다. 결과는 13으로 나누어떨어져야 합니다.^[7]	2,911,272: 272 − 911 + 2 = −637
	마지막 자릿수에 4를 곱한 값을 나머지에서 더합니다. 결과는 13으로 나누어떨어져야 합니다. ((39가 13으로 나누어떨어지므로 작동합니다).	637: 63 + 7 × 4 = 91, 9 + 1 × 4 = 13.
	마지막 두 자릿수를 나머지의 네 배에서 뺍니다. 결과는 13으로 나누어떨어져야 합니다.	923: 9 × 4 − 23 = 13.
	마지막 자릿수에 9를 곱한 값을 나머지에서 뺍니다. 결과는 13으로 나누어떨어져야 합니다. ((91이 13으로 나누어떨어지므로 작동합니다).	637: 63 - 7 × 9 = 0.
14	2와 7로 나누어떨어집니다.^[6]	224: 2와 7로 나누어떨어집니다.
14	마지막 두 자릿수를 나머지의 두 배에 더합니다. 결과는 14로 나누어떨어져야 합니다.	364: 3 × 2 + 64 = 70. 1,764: 17 × 2 + 64 = 98.
15	3과 5로 나누어떨어집니다.^[6]	390: 3과 5로 나누어떨어집니다.
16	천의 자릿수가 짝수이면 마지막 세 자릿수로 형성된 숫자는 16으로 나누어떨어져야 합니다.	254,176: 176.
	천의 자릿수가 홀수이면 마지막 세 자릿수로 형성된 숫자는 8의 홀수배여야 합니다.	3408: 408 = 8 x 51.
	마지막 두 자릿수를 나머지의 네 배에 더합니다. 결과는 16으로 나누어떨어져야 합니다.	176: 1 × 4 + 76 = 80.
	마지막 네 자릿수가 16으로 나누어떨어져야 합니다.^[2]^[3]	157,648: 7,648 = 478 × 16.
17	마지막 자릿수에 5를 곱한 값을 나머지에서 뺍니다. ((51이 17로 나누어떨어지므로 작동합니다).	221: 22 − 1 × 5 = 17.
	마지막 자릿수에 12를 곱한 값을 나머지에서 더합니다. ((119가 17로 나누어떨어지므로 작동합니다).	221: 22 + 1 x 12 = 22 + 12 = 34 = 17 x 2
	마지막 두 자릿수를 나머지의 두 배에서 뺍니다. ((102가 17로 나누어떨어지므로 작동합니다).	4,675: 46 × 2 − 75 = 17.
	마지막 자릿수에 2를 곱한 값을 나머지 세 배에 더합니다. 후행 0을 버립니다. ((10a + b) × 2 − 17a = 3a + 2b이므로 작동합니다. 17은 소수이고 2는 17과 서로소이므로 3a + 2b는 17으로 나누어떨어집니다. 10a + b가 그렇다면.)	4,675: 467 × 3 + 5 × 2 = 1,411; 238: 23 × 3 + 8 × 2 = 85.
18	2와 9로 나누어떨어집니다.^[6]	342: 2와 9로 나누어떨어집니다.
19	마지막 자릿수의 두 배를 나머지에 더합니다. ((10a + b) × 2 − 19a = a + 2b이므로 작동합니다. 19는 소수이고 2는 19와 서로소이므로 a + 2b는 19로 나누어떨어집니다. 10a + b가 그렇다면.)	437: 43 + 7 × 2 = 57.
19	마지막 두 자릿수에 4를 곱한 값을 나머지에 더합니다. ((399가 19로 나누어떨어지므로 작동합니다).	6,935: 69 + 35 × 4 = 209.
20	10으로 나누어떨어지고 십의 자릿수가 짝수입니다.	360: 10으로 나누어떨어지고 6은 짝수입니다.
	마지막 두 자릿수는 00, 20, 40, 60 또는 80입니다.^[3]	480: 80
	4와 5로 나누어떨어집니다.	480: 4와 5로 나누어떨어집니다.
21	마지막 자릿수의 두 배를 나머지에서 빼면 21의 배수가 됩니다. ((10a + b) × 2 − 21a = −a + 2b이므로 작동합니다. 마지막 숫자는 10a + b와 나머지가 같습니다.)	168: 16 − 8 × 2 = 0.
	마지막 자릿수에 19를 곱한 값을 나머지에 더하면 21의 배수가 됩니다. ((189가 21로 나누어떨어지므로 작동합니다).	441: 44 + 1 x 19 = 44 + 19 = 63 = 21 x 3
	3과 7로 나누어떨어집니다.^[6]	231: 3과 7로 나누어떨어집니다.
22	2와 11로 나누어떨어집니다.^[6]	352: 2와 11로 나누어떨어집니다.
23	마지막 자릿수에 7을 곱한 값을 나머지에서 더합니다. ((69가 23으로 나누어떨어지므로 작동합니다).	3,128: 312 + 8 × 7 = 368. 36 + 8 × 7 = 92.
	마지막 두 자릿수에 3을 곱한 값을 나머지에 더합니다. ((299가 23으로 나누어떨어지므로 작동합니다).	1,725: 17 + 25 × 3 = 92.
	마지막 자릿수에 16을 곱한 값을 나머지에서 뺍니다. ((161이 23으로 나누어떨어지므로 작동합니다).	1,012: 101 - 2 x 16 = 101 - 32 = 69 = 23 x 3
	마지막 세 자릿수의 두 배를 나머지에서 뺍니다. ((2,001이 23으로 나누어떨어지므로 작동합니다).	2,068,965: 2,068 − 965 × 2 = 138.
24	3과 8로 나누어떨어집니다.^[6]	552: 3과 8로 나누어떨어집니다.
25	마지막 두 자릿수가 00, 25, 50 또는 75입니다.	134,250: 50은 25로 나누어떨어집니다.
26	2와 13으로 나누어떨어집니다.^[6]	156: 2와 13으로 나누어떨어집니다.
26	숫자의 나머지 두 배에서 마지막 자릿수에 5를 곱한 값을 빼면 26의 배수가 됩니다. ((52가 26으로 나누어떨어지므로 작동합니다.)	1,248 : (124 ×2) - (8×5) = 208 = 26 × 8
27	오른쪽에서 왼쪽으로 세 블록씩 자릿수를 더합니다. ((999가 27로 나누어떨어지므로 작동합니다).	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918.
	마지막 자릿수에 8을 곱한 값을 나머지에서 뺍니다. ((81이 27로 나누어떨어지므로 작동합니다).	621: 62 − 1 × 8 = 54.
	마지막 자릿수에 19를 곱한 값을 나머지에서 더합니다. ((189가 27로 나누어떨어지므로 작동합니다).	1,026: 102 + 6 x 19 = 102 + 114 = 216 = 27 x 8
	마지막 두 자릿수를 나머지 여덟 배에서 뺍니다. ((108이 27로 나누어떨어지므로 작동합니다).	6,507: 65 × 8 − 7 = 520 − 7 = 513 = 27 × 19.
28	4와 7로 나누어떨어집니다.^[6]	140: 4와 7로 나누어떨어집니다.
29	마지막 자릿수의 세 배를 나머지에 더합니다. ((10a + b) × 3 − 29a = a + 3b이므로 작동합니다. 마지막 숫자는 10a + b와 나머지가 같습니다.)	348: 34 + 8 × 3 = 58.
	마지막 두 자릿수에 9를 곱한 값을 나머지에 더합니다. ((899가 29로 나누어떨어지므로 작동합니다).	5,510: 55 + 10 × 9 = 145 = 5 × 29.
	마지막 자릿수에 26을 곱한 값을 나머지에서 뺍니다. ((261이 29로 나누어떨어지므로 작동합니다).	1,015: 101 - 5 x 26 = 101 - 130 = -29 = 29 x -1
	마지막 세 자릿수의 두 배를 나머지에서 뺍니다. ((2,001이 29로 나누어떨어지므로 작동합니다).	2,086,956: 2,086 − 956 × 2 = 174.
30	3과 10으로 나누어떨어집니다.^[6]	270: 3과 10으로 나누어떨어집니다.
	2, 3, 5로 나누어떨어집니다.	270: 2, 3, 5로 나누어떨어집니다.
	2와 15로 나누어떨어집니다.	270: 2와 15로 나누어떨어집니다.
	5와 6으로 나누어떨어집니다.	270: 5와 6으로 나누어떨어집니다.

2. 1. 1부터 50까지의 배수 판정법

'''1'''의 배수: 모든 자연수는 1의 배수이므로 굳이 계산할 필요가 없다.
'''2'''의 배수: 일의 자리 수가 0, 2, 4, 6, 8인 수이다.^[14]^[15]
'''3'''의 배수: 각 자리 수의 합이 3의 배수인 수이다.^[14]
'''4'''의 배수는 가장 끝에 두 자리수가 00이거나 4의 배수인 수이다. (십의 자리가 짝수인 경우에는 일의 자리수가 0, 4, 8이면 되고, 십의 자리수가 홀수인 경우에는 일의 자리수가 2, 6이면 된다.)^[14]^[15]
'''5'''의 배수는 일의 자리수가 5, 0인 수이다.^[14]^[15]
'''6'''의 배수는 2와 3의 공배수, 즉, 짝수이면서 각 자리의 합이 3의 배수인 수이다.^[16]
'''7'''의 배수는 일의 자리를 두 배 한 것을 나머지 수에서 빼면 결과가 0 또는 7의 배수가 나오는 수이다.^[17]다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한 것이 7의 배수일 경우 본래의 수도 7의 배수이다. 이 방법은 7이 1001의 약수임을 이용한 것으로 다른 1001의 약수 11, 13, 77, 91, 143, 1001에도 적용시키는 게 가능하다. 또 다른 방법으로는 본래의 수를 10으로 나눈 뒤에 소수점 아래는 버림한 값에 본래의 수의 일의 자리를 다섯 배한 수를 더한 결과가 7의 배수이면 본래의 수도 7의 배수이다.
'''8'''의 배수는 가장 끝에 세 자리수가 000이거나 8의 배수인 수이다. (좀 더 쉽게 설명하자면 백의 자리가 0이거나 짝수인 경우에는 끝에 두 자리수가 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 다시 말해 8의 배수인 수이고, 백의 자리가 홀수인 경우에는 끝의 두 자리수가 4의 배수면서 8의 배수가 아닌 두 자리수 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92이어야 한다.)^[14]^[15]
'''9'''의 배수는 각 자리 숫자의 합이 9의 배수인 수이다.^[14]
'''10'''의 배수는 일의 자리가 0인 수이다.^[15]
'''11'''의 배수는 홀수 자리의 합과 짝수 자리의 합의 차가 0이거나 11의 배수인 수이다. 다른 방법은 일의 자리 숫자를 제외한 후 남은 숫자에 제외시킨 일의 자리 숫자를 뺀 결과가 0이거나 11의 배수이면 본래의 수도 11의 배수이다.^[14]
'''12'''의 배수는 3과 4의 공배수인 수이다.^[18]
'''13'''의 배수는 일의 자리를 네 배하고 나머지 자리에서 더한 값이 13의 배수인 수이다. 다른 방법으로는 일의 자리부터 세 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한 것이 13의 배수일 경우 본래의 수도 13의 배수이다.
'''14'''의 배수는 2와 7의 공배수 즉 일의 자리를 두 배하고 나머지 수를 뺐을 때 결과가 0 또는 7의 배수인 수이면서 동시에 짝수인 수이다.^[19]
'''15'''의 배수는 3과 5의 공배수인 수이다. 즉 다시 말해 각자리의 합이 3의 배수이면서 일의 자리가 0 또는 5인 수이다.^[20]
'''16'''의 배수는 끝에 네 자리수가 0000이거나 16의 배수인 수이다. 다른 방법은 끝에 네 자리의 앞의 두 자리 (천의 자리와 백의 자리)를 n으로 놓고 그 수를 4로 나눈 나머지에다 4를 곱해서 나머지 수에 더한다 이 값이 0이거나 16의 배수이면 원래 수도 16의 배수이다.^[14]^[15]
'''17'''의 배수는 일의 자리를 다섯 배 하여 나머지 자리에서 뺀 값이 0이거나 17의 배수인 수이다.
'''18'''의 배수는 2와 9의 공배수 즉 각 자리의 합이 9의 배수이면서 짝수인 수이다.^[21]
'''19'''의 배수는 일의 자리를 두 배하고 나머지 수를 더하는데 그 결과가 19의 배수인 수이다.
'''20'''의 배수는 십의 자리가 0, 2, 4, 6, 8이고 일의 자리가 0인 수이다. (즉, 끝의 두 자리 수가 00, 20, 40, 60, 80 이면 20의 배수이다.)^[15]
'''21'''의 배수는 3과 7의 공배수인 수이다. 즉 각 자리의 합이 3의 배수이면서 7의 배수로 판정되는 수이다. 다른 방법으로는 일의 자리를 두 배 하고 나머지 수를 빼는데 결과가 0 또는 21의 배수일 경우 본래의 수도 21의 배수이다.^[22]
'''22'''의 배수는 2와 11의 공배수인 수이다. 다시 말해 짝수이면서 홀수 자리의 합과 짝수 자리의 합의 차가 0이거나 11의 배수인 수.^[23]
'''23'''의 배수는 일의 자리 숫자를 7배하여 나머지 자리를 더한 값이 23의 배수인 수이다.
'''24'''의 배수는 3과 8의 공배수인 수이다.4와 6의 공배수이기도 하지만 4 와 6의 최소공배수가 아니기 때문에 4와 6의 배수 판별법이 섞일수 없다.^[24]
'''25'''의 배수는 끝의 두 자리가 00, 25, 50, 75인 수이다.
'''26'''의 배수는 2와 13의 공배수인 수이다.^[25]
'''27'''의 배수는 4자리 이상일 경우에는 9의 배수의 확장 개념으로 37의 배수와 비슷하게 일의 자리부터 세 자리씩 나눠 묶은 후 그 숫자들을 모두 더한 값이 27의 배수인 수이다. 1001이 7, 11, 13의 배수인 것과 비슷하게 999가 27, 37의 배수인 것처럼 말이다. 다른 방법으로는 일의 자리 숫자를 8배 하여 나머지 자리에서 뺀 값이 27의 배수면 본래의 수도 27의 배수이다.
'''28'''의 배수는 4와 7의 공배수인 수이다.^[26]
'''29'''의 배수는 일의 자리 숫자를 3배하여 나머지 자리에서 더한 결과가 29의 배수인 수이다.
'''30'''의 배수는 3의 배수이면서 일의 자리가 0인 수이다.^[27]
'''31'''의 배수는 일의 자리를 3배하고 나머지 자리에서 뺀 값이 0 또는 31의 배수인 수이다.
'''32'''의 배수는 마지막 다섯 자리가 00000이거나 32의 배수인 수이다.
'''33'''의 배수는 3과 11의 공배수인 수이다. 다시 말해 각 자리의 합이 3의 배수면서 짝수자리의 합에서 홀수자리의 합을 뺀 값이 0이거나 11의 배수인 수이다. 다른 방법으로는 두 자리 씩 끊어서 더한 값이 33의 배수일 경우 본래의 수도 33의 배수이다.
'''34'''의 배수는 17의 배수이면서 짝수인 수이다.
'''35'''의 배수는 일의 자리가 0이거나 5이면서 7의 배수인 수이다.
'''36'''의 배수는 4와 9의 공배수인 수이다.
'''37'''의 배수는 27의 배수와 마찬가지로 일의 자리부터 세 자리씩 나눠 묶은 후 그 숫자들을 모두 더한 값이 37의 배수인 수이다. 이 방법도 역시 37이 999의 약수라는 것을 이용했으며, 111, 333, 999에도 적용할 수 있다. 단, 9와 3은 각 자리숫자의 합이기 때문에 해당이 되지 않는다. 다른 방법으로는 일의 자리를 11배하여 나머지 자리에서 뺀 값이 0 또는 37의 배수인 수이다.
'''38'''의 배수는 19의 배수이면서 짝수인 수이다.
'''39'''의 배수는 3의 배수이면서 13의 배수인 수이다.
'''40'''의 배수는 일의 자리가 0이고, 백의 자리와 십의 자리가 4의 배수인 수이다.
'''41'''의 배수는 일의 자리수와 나머지 자릿수를 더한수의 8배에다 일의 자리수를 더한 수가 41의 배수이면 41의 배수이다.
'''43'''의 배수는 일의 자리를 지운수의 2배에 일의 자리와 나머지 자리를 더한수의 5배를 더한수가 43의 배수이면 43의 배수이다.
'''50'''의 배수는 맨 끝 두자리가 00 또는 50 이면 50의 배수이다.

2. 1. 1. 1의 배수

모든 정수는 1의 배수이다.

2. 1. 2. 2의 배수

임의의 숫자(예시에서는 376)를 가져와서 일의 자리만 남기고 다른 자릿수는 무시한다. 남은 일의 자리의 숫자(6)가 2로 나누어 떨어지는지 확인한다. 2로 나누어 떨어진다면 원래 숫자도 2로 나누어 떨어진다.

'''예시'''

# 376 (원래 숫자)

# 37 6 (마지막 자릿수를 가져옴)

# 6 ÷ 2 = 3 (마지막 자릿수가 2로 나누어 떨어지는지 확인)

# 376 ÷ 2 = 188 (마지막 자릿수가 2로 나누어 떨어지면 전체 숫자도 2로 나누어 떨어짐)

따라서, 2의 배수는 일의 자리가 0, 2, 4, 6, 8 중 하나인 수이다.

2. 1. 3. 3의 배수

어떤 숫자(예시에서는 492)를 가지고 각 숫자를 더한다(4 + 9 + 2 = 15). 그런 다음 그 합(15)을 가지고 3으로 나누어 떨어지는지 확인한다. 원래 숫자는 숫자의 합이 3으로 나누어 떨어질 때에만 3으로 나누어 떨어진다.

숫자의 각 자릿수를 더한 다음, 결과에 대해 이 과정을 반복하여 하나의 숫자만 남게 되면, 원래 숫자를 9로 나눈 나머지를 얻게 된다(그 단일 숫자가 9인 경우는 제외한다. 이 경우 숫자는 9로 나누어 떨어지고 나머지는 0이다).

이는 모든 표준 위치적 시스템으로 일반화될 수 있으며, 이 경우 문제의 제수는 기수보다 1 작아진다. 따라서 12진법에서는 숫자를 더하면 원래 숫자를 11로 나눈 나머지가 되며, 숫자의 합이 11로 나누어 떨어질 때만 11로 나누어 떨어진다.

'''예시'''

# 492 (원래 숫자)

# 4 + 9 + 2 = 15 (각 개별 숫자를 더함)

# 15는 3으로 나누어 떨어지므로 여기서 멈출 수 있다. 또는 숫자가 여전히 너무 크면 동일한 방법을 계속 사용할 수 있다.

# 1 + 5 = 6 (각 개별 숫자를 더함)

# 6 ÷ 3 = 2 (받은 숫자가 3으로 나누어 떨어지는지 확인)

# 492 ÷ 3 = 164 (규칙을 사용하여 얻은 숫자가 3으로 나누어 떨어지면 전체 숫자는 3으로 나누어 떨어진다)

2. 1. 4. 4의 배수

4의 배수 판정법의 기본 규칙은 어떤 수의 마지막 두 자릿수로 구성된 수가 4로 나누어 떨어지면 원래 수도 4로 나누어 떨어진다는 것이다.^[2]^[3] 이는 100이 4로 나누어 떨어지기 때문이며, 백, 천 등을 더하는 것은 단순히 4로 나누어 떨어지는 다른 수를 더하는 것과 같다. 어떤 수가 24, 04, 08 등과 같이 4로 나누어 떨어진다는 것을 알고 있는 두 자리 숫자로 끝나면, 마지막 두 자리 앞의 숫자에 관계없이 전체 수는 4로 나누어 떨어진다.

또는 마지막 숫자의 절반을 바로 앞의 숫자(또는 나머지 숫자)에 더할 수 있다. 그 수가 짝수인 자연수이면 원래 수는 4로 나누어 떨어진다.

또한, 단순히 숫자를 2로 나눈 다음 그 결과가 2로 나누어 떨어지는지 확인할 수 있다. 그렇다면 원래 수는 4로 나누어 떨어진다. 또한, 이 테스트의 결과는 원래 수를 4로 나눈 것과 같다.

'''예시.'''

'''일반 규칙'''

# 2092 (원래 숫자)

# 20 92 (다른 숫자는 버리고 숫자의 마지막 두 자리 숫자를 취합니다)

# 92 ÷ 4 = 23 (숫자가 4로 나누어 떨어지는지 확인합니다)

# 2092 ÷ 4 = 523 (얻은 숫자가 4로 나누어 떨어지면 원래 숫자도 4로 나누어 떨어집니다)

'''두 번째 방법'''

# 6174 (원래 숫자)

# 마지막 숫자가 짝수인지 확인합니다. 그렇지 않으면 6174는 4로 나누어 떨어질 수 없습니다.

# 61 7 4 (숫자의 나머지에서 마지막 2자리를 분리합니다)

# 4 ÷ 2 = 2 (마지막 숫자를 2로 나눔)

# 7 + 2 = 9 (마지막 숫자의 절반을 바로 앞의 숫자에 더함)

# 9는 짝수가 아니므로 6174는 4로 나누어 떨어지지 않습니다.

'''세 번째 방법'''

# 1720 (원래 숫자)

# 1720 ÷ 2 = 860 (원래 숫자를 2로 나눔)

# 860 ÷ 2 = 430 (결과가 2로 나누어 떨어지는지 확인)

# 1720 ÷ 4 = 430 (결과가 2로 나누어 떨어지면 원래 숫자도 4로 나누어 떨어진다)

2. 1. 5. 5의 배수

5의 배수 판정법은 숫자의 마지막 자릿수(47'''5''')를 확인하여 0 또는 5인지 확인하면 쉽게 알 수 있다. 마지막 숫자가 0 또는 5이면 전체 숫자는 5의 배수이다.^[2]^[3]

마지막 숫자가 0이면 결과는 나머지 숫자에 2를 곱한 값이다. 예를 들어, 숫자 40은 0으로 끝나므로 나머지 숫자(4)에 2를 곱한다(4 × 2 = 8). 결과는 40을 5로 나눈 결과와 같다(40/5 = 8).

마지막 숫자가 5이면 결과는 나머지 숫자에 2를 곱하고 1을 더한 값이다. 예를 들어, 숫자 125는 5로 끝나므로 나머지 숫자(12)에 2를 곱하고(12 × 2 = 24) 1을 더한다(24 + 1 = 25). 결과는 125를 5로 나눈 결과와 같다(125/5=25).

'''예시.'''

'''마지막 자릿수가 0인 경우'''

# 110 (원래 숫자)

# 11 0 (숫자의 마지막 자릿수를 가져와 0 또는 5인지 확인)

# 11 0 (0이면 마지막 자릿수를 버리고 나머지 숫자를 가져온다)

# 11 × 2 = 22 (결과에 2를 곱한다)

# 110 ÷ 5 = 22 (결과는 원래 숫자를 5로 나눈 결과와 같다)

'''마지막 자릿수가 5인 경우'''

# 85 (원래 숫자)

# 8 5 (숫자의 마지막 자릿수를 가져와 0 또는 5인지 확인)

# 8 5 (5이면 마지막 자릿수를 버리고 나머지 숫자를 가져온다)

# 8 × 2 = 16 (결과에 2를 곱한다)

# 16 + 1 = 17 (결과에 1을 더한다)

# 85 ÷ 5 = 17 (결과는 원래 숫자를 5로 나눈 결과와 같다)

2. 1. 6. 6의 배수

6의 배수 판정법은 원래의 수가 짝수(2의 배수)인지, 그리고 3의 배수인지 확인하여 결정한다.^[6]

마지막 자릿수가 짝수이면 그 수는 2의 배수이므로 6의 배수일 수 있다. 2의 배수이면 원래 숫자의 각 자릿수를 더하고 그 합이 3의 배수인지 확인한다. 2의 배수이면서 3의 배수인 모든 수는 6의 배수이다.
예시

324 (원래 숫자)
마지막 자릿수 4는 짝수이므로 324는 2의 배수이고, 6의 배수일 수 있다.
3 + 2 + 4 = 9 이고, 9는 3의 배수이다. 그러므로 원래 숫자는 2와 3의 배수이므로 6의 배수이다.

2. 1. 7. 7의 배수

10*x* + *y* 형태의 숫자는 *x* − 2*y*가 7로 나누어 떨어질 때만 7로 나누어 떨어진다. 즉, 나머지 자릿수로 이루어진 숫자에서 마지막 자릿수의 2배를 뺀다. 이 과정을 숫자가 7로 나누어 떨어지는지 알 수 있을 때까지 계속한다. 이 절차를 사용하여 얻은 숫자가 7로 나누어 떨어지면 원래 숫자도 7로 나누어 떨어진다. 예를 들어, 숫자 371: 37 − (2×1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; 따라서 −7이 7로 나누어 떨어지므로 371은 7로 나누어 떨어진다.^[8]

비슷하게 10*x* + *y* 형태의 숫자는 *x* + 5*y*가 7로 나누어 떨어질 때만 7로 나누어 떨어진다.^[9] 따라서 나머지 자릿수로 이루어진 숫자에 마지막 자릿수의 5배를 더하고, 이 과정을 숫자가 7로 나누어 떨어지는지 알 수 있을 때까지 계속한다.

7로 나누어 떨어지는지 검사하는 더 복잡한 알고리즘은 10⁰ ≡ 1, 10¹ ≡ 3, 10² ≡ 2, 10³ ≡ 6, 10⁴ ≡ 4, 10⁵ ≡ 5, 10⁶ ≡ 1, ... (mod 7)라는 사실을 사용한다. 숫자의 각 자릿수(371)를 역순으로 (173) 취하고, 이 자릿수에 '''1''', '''3''', '''2''', '''6''', '''4''', '''5'''를 차례로 곱하여 필요한 만큼 반복하고(1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), 곱의 합을 더한다(1×'''1''' + 7×'''3''' + 3×'''2''' = 1 + 21 + 6 = 28). 이 절차를 사용하여 얻은 숫자가 7로 나누어 떨어지면 원래 숫자도 7로 나누어 떨어진다(따라서 28이 7로 나누어 떨어지므로 371도 7로 나누어 떨어진다).^[10]

1001이 7의 약수이므로, 세 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한 값이 7의 배수이면 본래의 수도 7의 배수이다.

2. 1. 8. 8의 배수

끝의 세 자리 수가 000이거나 8의 배수이면 8의 배수이다. 백의 자리가 짝수일 때는 끝의 두 자리 수가 8의 배수이고, 백의 자리가 홀수일 때는 끝의 두 자리 수가 4의 배수이면서 8의 배수가 아니어야 한다.

2. 1. 9. 9의 배수

어떤 수를 9로 나누어 떨어지는지 확인하는 방법은 다음과 같다. 먼저, 각 자리의 숫자를 모두 더한다. (예시: 492의 경우, 4 + 9 + 2 = 15) 이렇게 더한 값이 9로 나누어 떨어지면, 원래의 수도 9의 배수이다.

만약 숫자의 합이 여전히 크다면, 한 자리 숫자가 될 때까지 이 과정을 반복한다. 이렇게 나온 한 자리 숫자는 원래 숫자를 9로 나눈 나머지가 된다. (단, 그 숫자가 9이면 나머지는 0이다).

이는 십진법뿐만 아니라 모든 표준 위치적 시스템에 적용 가능하다. 예를 들어 십이진법에서는 각 자리 숫자의 합이 11로 나누어 떨어지면 원래 수도 11로 나누어 떨어진다.

'''예시:''' 492의 경우

# 각 자리 숫자를 더한다: 4 + 9 + 2 = 15

# 15는 9로 나누어 떨어지지 않으므로, 다시 각 자리 숫자를 더한다: 1 + 5 = 6

# 6은 9로 나눈 나머지이다.

2. 1. 10. 10의 배수

일의 자리 수가 0이면 10의 배수이다.

2. 1. 11. 11의 배수

11의 배수인지 확인하려면, 숫자의 자릿수를 교대로 더하고 빼서 계산한다. 예를 들어 907,071의 경우:

9-0+7-0+7-1 = 22 = 2×11,

따라서 907,071은 11의 배수이다.

전체를 -1로 곱해도 아무것도 바뀌지 않으므로 - 또는 +로 시작할 수 있다.

'''방법의 정확성 증명'''

10 ≡ -1 (mod 11)임을 고려하면, 임의의 정수에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

\overline{a_{n} a_{n-1}...a_1 a_0} = \sum_{i=0}^n a_i 10^i \equiv \sum_{i=0}^n (-1)^i a_i \bmod 11.

2. 1. 12. 12의 배수

어떤 수가 3과 4의 공배수이면 12의 배수이다.

2. 1. 13. 13의 배수

13의 배수 판정법은 다음과 같은 방법들을 사용할 수 있다.

방법 1:

1의 자리에 4를 곱한 값을 나머지 자리의 수에서 더한다. 이 결과가 13의 배수이면 원래의 수도 13의 배수이다. 예를 들어 871의 경우, 1\*4=4이고, 87+4 = 91이다. 91은 13의 배수 (13\*7=91)이므로 871은 13의 배수이다.

방법 2:

1의 자리부터 세 자리씩 끊어서 교대로 빼고 더한 값이 13의 배수일 경우 본래의 수도 13의 배수이다.

이는 1001이 13의 배수라는 성질을 이용한것이다.

나머지 검사:

주어진 수를 13으로 나누었을때의 나머지를 구하는 방법은 다음과 같다.

숫자의 각 자릿수에 특정 수열을 곱하여 모두 더한 후, 13으로 나눈 나머지를 계산한다.

:: 수열: 1, −3, −4, −1, 3, 4 (주기 반복)

:: 또는: 1, 10, 9, 12, 3, 4 (음수가 불편할 경우)

예시:

321을 13으로 나눈 나머지:

:: '''1''' × 1 + '''2''' × (−3) + '''3''' × (−4) = −17

:: −17 mod 13 = 9

:: 따라서, 321을 13으로 나눈 나머지는 9이다.

1234567을 13으로 나눈 나머지:

:: '''7''' × 1 + '''6''' × 10 + '''5''' × 9 + '''4''' × 12 + '''3''' × 3 + '''2''' × 4 + '''1''' × 1 = 178

:: 178 mod 13 = 9

:: 따라서, 1234567을 13으로 나눈 나머지는 9이다.

재귀적 방법:

10 \equiv -3 \pmod{13}

이고

10^{-1} \equiv 4 \pmod{13}

라는 사실을 이용한다.

:: 어떤 수가 13으로 나누어 떨어지려면, 첫 번째 자릿수를 제거하고 남은 수에 첫번째 자릿수의 4배를 더한 값이 13으로 나누어 떨어져야 한다.

:: 즉, 10x + y 가 13으로 나누어 떨어지는 것은 x + 4y가 13으로 나누어 떨어지는 것과 동치이다.

2. 1. 14. 14의 배수

어떤 수가 14의 배수가 되려면, 2와 7의 공배수여야 한다. 다시 말해, 짝수이면서 7의 배수 판정법을 만족해야 한다. 7의 배수 판정법은 여러 가지가 있지만, 그 중 하나는 일의 자리를 두 배하고 나머지 수를 뺐을 때 그 결과가 0 또는 7의 배수인지 확인하는 것이다. 따라서 어떤 수가 14의 배수인지 확인하려면, 이 판정법을 통해 7의 배수임을 확인하고, 동시에 짝수인지 확인하면 된다.

2. 1. 15. 15의 배수

3과 5의 공배수인 수이다. 즉 각 자리의 합이 3의 배수이면서 일의 자리가 0 또는 5인 수이다.

2. 1. 16. 16의 배수

16의 배수는 끝의 네 자리 수가 0000이거나 16의 배수인 수이다. 끝의 네 자리의 앞의 두 자리 (천의 자리와 백의 자리)를 n으로 놓고 그 수를 4로 나눈 나머지에다 4를 곱해서 나머지 수에 더한다. 이 값이 0이거나 16의 배수이면 원래 수도 16의 배수이다.

2. 1. 17. 17의 배수

일의 자리를 다섯 배 하여 나머지 자리에서 뺀 값이 0이거나 17의 배수인 수이다.

2. 1. 18. 18의 배수

18의 배수는 2와 9의 공배수이다. 즉, 각 자리의 합이 9의 배수이면서 짝수인 수이다.

2. 1. 19. 19의 배수

어떤 수의 일의 자리를 두 배하고 나머지 수를 더한 결과가 19의 배수이면, 그 수는 19의 배수이다.

2. 1. 20. 20의 배수

십의 자리가 0, 2, 4, 6, 8이고 일의 자리가 0인 수이다. 즉, 끝의 두 자리 수가 00, 20, 40, 60, 80 이면 20의 배수이다.

2. 1. 21. 21의 배수

21의 배수는 3과 7의 공배수이다. 즉, 각 자리 숫자의 합이 3의 배수이면서, 동시에 7의 배수로 판정되는 수이다. 일의 자리 숫자를 두 배 한 뒤, 그 수를 나머지 수에서 뺀 결과가 0 또는 21의 배수이면 본래의 수도 21의 배수이다.

2. 1. 22. 22의 배수

2와 11의 공배수인 수이다. 다시 말해 짝수이면서 홀수 자리의 합과 짝수 자리의 합의 차가 0이거나 11의 배수인 수이다.

2. 1. 23. 23의 배수

일의 자리 숫자를 7배하여 나머지 자리를 더한 값이 23의 배수인 수이다.

2. 1. 24. 24의 배수

3과 8의 공배수인 수이다.

2. 1. 25. 25의 배수

끝의 두 자리가 00, 25, 50, 75인 수이다.

2. 1. 26. 26의 배수

2와 13의 공배수인 수이다.

2. 1. 27. 27의 배수

4자리 이상일 경우에는 9의 배수의 확장 개념으로 37의 배수와 비슷하게 일의 자리부터 세 자리씩 나눠 묶은 후 그 숫자들을 모두 더한 값이 27의 배수인 수이다. 일의 자리 숫자를 8배 하여 나머지 자리에서 뺀 값이 27의 배수면 본래의 수도 27의 배수이다.

2. 1. 28. 28의 배수

4와 7의 공배수인 수이다.

2. 1. 29. 29의 배수

일의 자리 숫자를 3배하여 나머지 자리에서 더한 결과가 29의 배수인 수이다.

2. 1. 30. 30의 배수

3의 배수이면서 일의 자리가 0인 수이다.

2. 1. 31. 31의 배수

어떤 수의 일의 자리 숫자를 3배 한 뒤, 그 수를 원래 수의 일의 자리를 제외한 나머지 자리의 수에서 뺀다. 이렇게 나온 값이 0 또는 31의 배수이면 원래의 수도 31의 배수이다.

2. 1. 32. 32의 배수

마지막 다섯 자리가 00000이거나 32의 배수인 수이다.

2. 1. 33. 33의 배수

33은 3과 11의 공배수인 수이다. 다시 말해 각 자리의 합이 3의 배수면서 짝수자리의 합에서 홀수자리의 합을 뺀 값이 0이거나 11의 배수인 수이다. 두 자리 씩 끊어서 더한 값이 33의 배수일 경우 본래의 수도 33의 배수이다.

2. 1. 34. 34의 배수

17의 배수이면서 짝수인 수이다.

2. 1. 35. 35의 배수

일의 자리가 0이거나 5이면서 7의 배수인 수이다.

2. 1. 36. 36의 배수

4와 9의 공배수인 수이다.

2. 1. 37. 37의 배수

27의 배수와 마찬가지로 일의 자리부터 세 자리씩 나눠 묶은 후 그 숫자들을 모두 더한 값이 37의 배수인 수이다. 일의 자리를 11배하여 나머지 자리에서 뺀 값이 0 또는 37의 배수인 수이다.

2. 1. 38. 38의 배수

19의 배수이면서 짝수인 수이다.

2. 1. 39. 39의 배수

3의 배수이면서 13의 배수인 수이다.

2. 1. 40. 40의 배수

일의 자리가 0이고, 백의 자리와 십의 자리가 4의 배수인 수이다.

2. 1. 41. 41의 배수

일의 자리수와 나머지 자릿수를 더한 수의 8배에다 일의 자리수를 더한 수가 41의 배수이면 41의 배수이다.

2. 1. 42. 42의 배수

2, 3, 7의 공배수인 수이다.

2. 1. 43. 43의 배수

일의 자리를 지운 수의 2배에 일의 자리와 나머지 자리를 더한 수의 5배를 더한 수가 43의 배수이면 43의 배수이다.

2. 1. 44. 44의 배수

4와 11의 공배수인 수이다.

2. 1. 45. 45의 배수

5와 9의 공배수인 수이다.

2. 1. 46. 46의 배수

2와 23의 공배수인 수이다.

2. 1. 47. 47의 배수

일의 자리를 14배하여 나머지 자리 수에서 뺀 값이 47의 배수인 수이다.

2. 1. 48. 48의 배수

3과 16의 공배수인 수이다.

2. 1. 49. 49의 배수

7의 제곱의 배수, 즉 7의 배수 중에서도 7의 배수 판정법을 한 번 더 적용했을 때 7의 배수가 되는 수이다.

2. 1. 50. 50의 배수

맨 끝 두 자리가 00 또는 50이면 50의 배수이다.

3. 일반적인 배수 판정법

모든 자연수의 배수 판정법은 다음과 같은 방법으로 이끌어 낼 수 있다.

1. 어떤 자연수를 소인수분해한다.
2. 다음 과정에 따라 어떤 수의 배수 판정법 과정에 각 줄의 내용을 추가시킨다.
* 1. 만약 자연수의 소인수분해 식에 2ⁿ이 포함되어 있으면, 배수판정을 하고 싶은 수의 가장 끝의 n개의 자릿수가 0이거나 2ⁿ으로 나누어져야 한다.
* 2. 만약 자연수의 소인수분해 식에 3 또는 9가 있으면 (소인수에 3이 있는데 지수가 3 이상인 경우는 제외), 그 수의 각 자리 숫자의 합이 3 또는 9의 배수인지 확인한다.
* 3. 만약 자연수의 소인수분해 식에 5ⁿ이 포함되어 있으면, 2ⁿ이 있을 때와 비슷하게 배수판정을 하고 싶은 수의 가장 끝의 n개의 자릿수가 0이거나 5ⁿ의 약수여야 한다.
* 4. 위에 나온 소인수들의 경우를 제외하고도 아직 소인수들이 남아 있다면, 각 소인수들에 대해 다음 과정을 적용한다.
*# 소인수에 적절한 1자리 자연수를 곱해 끝 자리 수가 9가 되게 만든다. 즉 끝자리 수가 1인 경우 9를, 3인 경우 3을, 7인 경우 7을, 9인 경우 1을 곱한다.
*# 곱해서 나온 수에 1을 더한 후 10으로 나눈다. 이 수를 c라고 한다.
*# 배수판정을 하고 싶은 수를 n이라고 하고, n = 10a + b ( $0\leq b\leq 9$ 이고 b는 자연수이다) 라 하자. 예를 들어 n = 489인 경우 a = 48, b = 9이다. 이때 a+bc가 원래 소인수의 배수여야만 n이 이 소인수의 배수이다.

3. 1. 일반적인 방법의 단계

''D''가 1, 3, 7 또는 9로 끝나는 경우, 다음 방법을 사용하여 나눗셈 가능성을 검사할 수 있다.^[12] 9로 끝나는 ''D''의 배수를 찾는다. (''D''가 각각 1, 3, 7 또는 9로 끝나는 경우, 9, 3, 7 또는 1을 곱한다.) 그런 다음 1을 더하고 10으로 나누어 그 결과를 ''m''으로 표시한다. 그러면 숫자 ''N'' = 10''t'' + ''q''는 ''mq + t''가 ''D''로 나누어 떨어질 때에만 ''D''로 나누어 떨어진다. 숫자가 너무 크면, 10^''e'' = 1 또는 10^''e'' = −1 (mod ''D'')을 만족하는 여러 개의 문자열로 각각 ''e'' 자릿수로 나눌 수도 있다. 숫자의 합(또는 교대 합)은 원래 숫자와 동일한 나눗셈 가능성을 갖는다.

예를 들어, 913 = 10×91 + 3이 11로 나누어 떨어지는지 확인하려면, ''m'' = (11×9+1)÷10 = 10임을 찾는다. 그러면 ''mq+t'' = 10×3+91 = 121; 이것은 11로 나누어 떨어지므로(몫 11), 913도 11로 나누어 떨어진다.^[12] 또 다른 예로, 689 = 10×68 + 9가 53으로 나누어 떨어지는지 확인하려면, ''m'' = (53×3+1)÷10 = 16임을 찾는다. 그러면 ''mq+t'' = 16×9 + 68 = 212로, 이것은 53으로 나누어 떨어지므로(몫 4), 689도 53으로 나누어 떨어진다.^[12]

또는, Q = 10c + d 형태의 모든 숫자는 n = 10a + b 형태의 숫자 (단, gcd(n, 2, 5) = 1)로 나누어 떨어지는데, c + D(n)d = An (A는 정수)을 만족해야 한다. 여기서,

D(n) \equiv \begin{cases} 9a+1, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+1} \\ 3a+1, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+3} \\ 7a+5, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+7} \\ a+1, & \mbox{if }n\mbox{ = 10a+9}\end{cases} \

D(n)에 의해 생성된 수열의 처음 몇 항은 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2, ... 이다 (수열 OEIS의 [http://oeis.org/A333448 A333448]).^[13]

3. 2. 합성수의 배수 판정법

합성수의 배수 판정이 필요할 때는 해당 합성수의 소인수들의 배수 판정법을 모두 만족하는지 확인하면 된다.^[6] 예를 들어, 36으로 나누어 떨어지는지 확인하려면, 4와 9로 나누어 떨어지는지 확인하면 된다.^[6] 3과 12 또는 2와 18을 확인하는 것으로는 충분하지 않다.^[6]

합성수의 소인수가 2개 이상인 경우에는 1과 자기 자신이 아닌 유니타리 약수의 공배수를 조건으로 하면 된다. 2나 5의 거듭제곱의 배수는 가장 끝에 있는 2 또는 5의 거듭 횟수 자리가 모두 0 또는 2나 5의 거듭제곱의 배수이면 된다.

일반적으로 1보다 큰 자연수 n에 대하여 n^m-1 및 그 약수의 배수 (m은 2 이상의 자연수)일 필요충분조건은 일의 자리부터 m자리씩 끊어서 나뉜 수들을 모두 더한 값이 n^m-1의 배수여야 한다는 것이다. 예를 들어 9의 배수는 10진법에서 각 자리숫자의 합이 9의 배수여야 하므로 그 약수인 3 역시 각자리 숫자의 합이 3의 배수여야 한다. 이를 확장하여 99와 99의 약수인 33의 배수는 일의 자리부터 2자리씩 끊어서 나온 수들을 모두 더한 값이 33, 99의 배수여야 한다는 것이다. 마찬가지로 27, 37, 111, 333은 999의 약수이고, 303과 909는 9999의 약수이고, 41, 123, 271, 369, 813, 2439 역시 99999의 약수이기 때문에 적용시킬 수 있다.

n^m+1 및 그 약수의 배수 (m은 2 이상의 자연수)는 일의 자리부터 m자리씩 끊어서 이 수를 오른쪽부터 나열한 뒤, 빼고 더하는 방식을 이용하면 된다. 예를 들어 1001의 약수인 7, 11, 13, 77, 91, 143의 경우 일의 자리부터 3자리씩 끊어서 빼고 더하는 방식을 교대로 반복하면 된다. 73과 137은 10001의 약수이고, 9091 은 100001의 약수이며, 9901은 1000001의 약수이기 때문에 이 방법을 적용시킬 수 있다.

4. 다른 진법에서의 배수 판정법

5. 배수 판정법의 활용

6. 같이 보기

참조

_[1] 간행물 Mathematical Games: Tests that show whether a large number can be divided by a number from 2 to 12 1962-09
_[2] 서적 A number is divisible by Google books 1998
_[3] 서적 formed by the last Google books 2009
_[4] 서적 sum of its digits Google books 1976
_[5] 서적 divisible by Google books 2009
_[6] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[7] 서적 third criterion for 11 Google books 1998
_[8] 간행물 Divisibility Tests https://www.jimloy.c[...] 1999
_[9] 간행물 The Penguin dictionary of curious and interesting numbers https://archive.org/[...] 1997
_[10] 웹사이트 "Divisibility by Seven" ''Mudd Math Fun Facts'' http://www.math.hmc.[...] 2006-12-12
_[11] 서적 Vedic Mathematics: Sixteen Simple Mathematical Formulae Motilal Banarsidass, Varanasi, India, Delhi 1965
_[12] 간행물 Comments on note 82.53—a generalized test for divisibility 2000-03
_[13] 간행물 OEIS A333448 http://oeis.org/A333[...] 2020-03
_[14] 서적 A number is divisible by Google books 1998
_[15] 서적 formed by the last Google books 2009
_[16] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[17] 웹사이트 https://terms.naver.[...]
_[18] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[19] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[20] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[21] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[22] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[23] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[24] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[25] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[26] 서적 divisible by the product Google books 2009
_[27] 서적 divisible by the product Google books 2009

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