벨 부등식

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1. 개요

벨 부등식은 양자역학이 국소적 숨은 변수 이론과 모순된다는 것을 증명하는 부등식이다. 1964년 존 스튜어트 벨은 국소적 숨은 변수 이론이 양자역학의 예측을 재현할 수 없음을 증명했다. 벨 부등식은 상관관계의 차이에 대한 제한을 제시하지만, 양자역학은 이 부등식을 위반한다. 이러한 위반은 실험적으로 확인되었으며, 국소적 숨은 변수 이론을 배제하고 양자역학의 비국소성을 입증한다. 벨 부등식의 위반은 코펜하겐 해석에서 실재성 부정으로 해석되며, 다세계 해석과 같은 다른 해석에서는 국소적인 이론을 구성할 수 있다. 초결정론은 벨 부등식을 회피하는 한 가지 방법이다.

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벨 부등식
벨 정리
분야	물리학, 양자역학
종류	정리
개요
내용	국소 현실주의와 양자역학의 예측 사이의 모순을 보여주는 정리
의미	양자역학적 상관관계가 국소 현실주의로는 설명될 수 없음을 입증
핵심 개념	숨은 변수 이론, 국소성, 실재론, 상관관계
역사
발견자	존 스튜어트 벨
발표년도	1964년
중요성
영향	양자역학의 해석에 대한 논쟁을 촉발
실험적 검증	벨 실험을 통해 양자역학의 예측이 옳다는 것을 입증
응용	양자 정보 이론, 양자 암호학, 양자 컴퓨팅 등의 분야에서 중요한 역할
관련 개념
관련 실험	벨 실험
관련 이론	국소 숨은 변수 이론, 코펜하겐 해석
기타
노벨상	2022년 노벨 물리학상 수상자 중 일부가 벨 정리 관련 연구 수행

2. 역사적 배경

양자역학의 해석 문제는 초기부터 논쟁의 대상이었다. 특히, 양자역학이 완전한 이론인지, 아니면 숨은 변수가 존재하는지에 대한 논의가 있었다.

존 폰 노이만은 1932년 저서 양자역학의 수학적 기초에서 "은닉변수"가 존재할 수 없다는 증명을 제시했다고 주장했다.^[35] 그러나 폰 노이만의 증명은 한스 라이헨바흐^[35], 그레테 헤르만^[36] 등에 의해 비판받았다.

알베르트 아인슈타인은 양자역학이 완전한 이론이 될 수 없다고 주장하며, 국소성 원리에 근거한 주장을 제시했다. 그는 두 부분 시스템 ''A''와 ''B''가 상호 작용한 후, ''A''에 대한 측정이 ''B''의 물리적 상태에 영향을 줄 수 없다는 점을 지적하며, ψ 함수가 물리적 상태를 완전히 설명하지 못한다고 결론 내렸다.^[40]

1940년대 후반, 수학자 조지 매키는 양자 물리학의 기초에 관심을 갖고 양자역학의 가정을 정의하는 목록을 작성했다.^[44] 앤드류 M. 글리슨은 매키의 가정 중 하나가 불필요하며 다른 가정에서 유도될 수 있음을 증명했다.^[45]^[46] 글리슨의 정리는 광범위한 은닉변수 이론이 양자역학과 양립할 수 없다는 주장을 제공했다.^[47]

양전닝은 1960년에 벨 정리에 근접했지만, 카온 붕괴의 복잡성 때문에 벨 유형의 부등식을 유도하지는 못했다.^[36]

2. 1. EPR 역설

양자역학에서 국소성은 중요한 개념 중 하나이다. 예를 들어, 스핀 1/2인 두 입자가 얽혀 각운동량 0인 상태를 이룬 후 붕괴하여 반대 방향으로 날아가는 상황을 생각해 볼 수 있다. 이 경우, 한쪽 입자에 대한 측정은 멀리 떨어진 다른 쪽 입자의 측정에 영향을 주지 않아야 한다는 가정이 일반적으로 성립한다. 한쪽에서 ''z''방향 각운동량을 측정하여 +값을 얻으면, 다른 쪽 입자의 ''z''방향 각운동량은 -값을 갖는 것이 확실하다. EPR은 국소성을 가정하면 한쪽의 각운동량 측정이 다른 쪽에 영향을 줄 수 없으므로, ''z''방향 각운동량과 맞바꿔지지 않는 관측가능량(observable)인 ''x''방향 각운동량을 측정하면 동시에 맞바꿔지지 않는 두 관측가능량을 측정할 수 있어야 한다고 주장했다. 만약 그렇지 않다면, 이 계에는 숨은 변수와 같은 다른 자유도가 존재하여 더 완전한 역학을 만들 수 있다고 보았다.^[40]

1951년, 데이비드 보옴은 EPR이 고려했던 위치와 운동량 측정이 아닌, 측정 결과가 이산적인 값을 갖는 EPR 사고 실험의 변형을 제시했다.^[42] 1950년, 우젠슝과 어빙 샤크노프는 얽힌 쌍에서 생성된 광자의 편광을 측정하여 보옴의 EPR 사고 실험이 실제로 가능하다는 것을 보였다.^[43]

2. 2. 폰 노이만의 증명과 비판

존 폰 노이만은 1932년 양자역학 교과서에서 "은닉변수"가 존재할 수 없다는 증명을 제시했지만,^[35] 그의 증명은 한스 라이헨바흐^[35], 그레테 헤르만^[36] 등에 의해 비판받았다.

2. 3. 벨의 정리 발표

존 스튜어트 벨은 EPR의 국소성 가정을 바탕으로 3가지 물리량 상관관계에 대한 상식적인 부등식이 양자역학적 계산에서는 성립하지 않는다는 것을 보였다. 이를 일반화한 식이 벨 부등식이다.^[92]

벨 부등식은 다음과 같다.

:

1 + \operatorname{C}(b, c) \geq |\operatorname{C}(a, b) - \operatorname{C}(a, c)|,

여기서 C는 상관관계이다. 한 실험은 ''a''를 측정하고, 다른 실험은 ''b''를 측정한다. ''c''는 비교를 위한 제3의 가상 실험이다. 상식적으로 b와 c가 함께 일어날 확률

\operatorname{C}(b, c)

는 (a,b)와 (a,c)가 각각 함께 일어날 확률보다 적어야 하므로 위 부등식이 성립하는 것처럼 보이나, 양자역학적인 경우를 고려해보면 이를 만족하지 않음을 알 수 있다.

실험 결과는 벨 부등식을 만족하지 않으며, 이는 국소적 숨은 변수 이론과 맞지 않고 양자이론과 일치한다. 벨 부등식은 특정한 국소 숨은 변수 이론을 언급하지 않고, 양자 물리학이 자연의 고전적인 그림 뒤에 있는 일반적인 가정을 위반한다는 것을 보여준다.^[5]

벨은 1964년에 이 정리를 발표했는데,^[8] 이는 실험에 가장 적합한 형태는 아니었으며, 이후 다양한 예시를 통해 벨 부등식 유형이 소개되었다.^[8]

벨의 1964년 논문은 제한적인 조건 하에서 국소적 은닉변수 모형이 양자역학의 예측을 재현할 수 있음을 지적했지만, 이것이 일반적으로 성립할 수 없음을 보였다.^[12] 그는 데이비드 봄이 개선한 EPR 역설 사고 실험을 예시로 사용했다.

벨은 비교적 덜 알려진 학술지 ''Physics Physique Физика''에 자신의 정리를 발표했다.^[51]^[52]

3. 벨 부등식

존 스튜어트 벨은 국소적 숨은 변수 이론이 양자역학과 부합하지 않는다는 것을 부등식을 통해 보였다. 그는 EPR의 국소성 가정을 바탕으로, 세 가지 물리량 사이의 상관관계에 대한 부등식을 도출했는데, 이 부등식이 양자역학에서는 성립하지 않는다는 것을 발견했다.^[92]

이를 일반화한 식이 '''벨 부등식'''이며, 다음과 같다.

: $1 + \operatorname{C}(b, c) \geq |\operatorname{C}(a, b) - \operatorname{C}(a, c)|,$

여기에서 C는 상관관계를 나타낸다. ''a''와 ''b''는 각각 다른 실험에서 측정되는 물리량이며, ''c''는 비교를 위한 가상의 물리량이다. 직관적으로는 b와 c가 함께 일어날 확률이 (a, b)와 (a, c)가 함께 일어날 확률보다 낮아야 하므로 위 부등식이 성립하는 것처럼 보이지만, 양자역학적인 경우에는 이 부등식이 성립하지 않는다.^[92]

벨 부등식은 특정한 국소 숨은 변수 이론을 명시하지 않고, 양자 물리학이 고전 물리학의 기본 가정을 위반한다는 것을 보여준다. 1964년 벨의 원래 정리는 실험에 적합하지 않았지만, 이후 여러 변형된 형태의 벨 부등식이 제시되었다.^[8]

실험 결과는 벨 부등식을 만족하지 않고 양자 이론과 일치한다. 이는 국소적 숨은 변수 이론이 양자역학을 설명할 수 없음을 의미한다.^[92]

벨 부등식은 가상의 등장인물 앨리스와 밥을 통해 설명될 수 있다. 앨리스와 밥은 멀리 떨어진 곳에서 입자 쌍을 측정한다. 앨리스는 $A_0$ 와 $A_1$ 중 하나를, 밥은 $B_0$ 와 $B_1$ 중 하나를 측정하며, 각 측정 결과는 +1 또는 -1이다. 이 측정들이 입자의 숨겨진 속성을 드러낸다고 가정하면, 특정 조건에서 CHSH 부등식

: $| \langle A_0B_0 \rangle + \langle A_0B_1 \rangle + \langle A_1B_0 \rangle - \langle A_1B_1 \rangle | \leq 2 \, .$

이 성립해야 한다. 그러나 양자역학에서는 이 부등식을 위반하는 경우가 존재한다.^[8] (CHSH 부등식에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션을 참조.)

예를 들어, 얽힌 큐비트 쌍 $|\psi\rangle = \frac$

3. 1. CHSH 부등식

CHSH 부등식은 벨 부등식의 한 형태이며, 실험적으로 검증하기 용이하다. 국소 실재론(局所實在論)에서는:

|S| \leq 2

이다. 여기서

:

S = \langle A_0B_0 \rangle + \langle A_0B_1 \rangle + \langle A_1B_0 \rangle - \langle A_1B_1 \rangle

이고,

\langle A_iB_i \rangle

는

A_iB_i

의 평균값이다.^[85]

양자역학에서는 S의 상한을 넘을 수 있으며, 실험을 통해 양자론과 국소적인 숨은 변수 이론을 구분할 수 있다. 2015년 실험에서 S=2.42였으며,^[86] 국소적 숨은 변수 이론은 실험적으로 부정되었다.

양자역학에서 S의 이론적 최댓값은

2\sqrt{2}

이며, Tsirelson's bound라고 불린다.

3. 2. 벨의 1964년 정리

벨은 1964년 논문에서 국소적 숨은 변수 모형이 양자역학의 예측을 재현할 수 없음을 보였다.^[12] 그는 두 검출기의 설정 차이에 따른 상관관계가 특정 부등식을 만족해야 함을 증명했지만, 양자역학은 이 부등식을 위반하는 상황을 제시한다.^[13]

벨은 데이비드 봄이 개선한 아인슈타인-포돌스키-로젠(EPR) 사고 실험을 고려했다. 이 시나리오에서 두 입자는 싱글릿 상태(얽힘 상태의 한 예)로 기술되는 방식으로 함께 생성된다. 그런 다음 입자들은 반대 방향으로 멀어진다. 각 입자는 서로 다른 방향으로 향할 수 있고 두 가지 가능한 결과(+1과 -1로 표현 가능) 중 하나를 보고하는 측정 기기인 슈테른-게를라흐 장치에 의해 측정된다. 각 측정 기기의 구성은 단위 벡터로 표현되며,

\vec{a}

와

\vec{b}

설정을 가진 두 검출기 간의 상관관계에 대한 양자역학적 예측은 다음과 같다.

:

P(\vec{a}, \vec{b}) = -\vec{a} \cdot \vec{b}.

특히, 두 검출기의 방향이 같다면(

\vec{a} = \vec{b}

), 한 측정의 결과는 다른 측정의 결과의 반대임이 확실하며,

P(\vec{a}, \vec{a}) = -1

을 제공한다. 그리고 두 검출기의 방향이 직교한다면(

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

), 결과는 상관관계가 없으며,

P(\vec{a}, \vec{b}) = 0

이다. 벨은 이러한 특수한 경우가 은닉 변수 측면에서 ''설명될 수 있음''을 예시를 통해 증명한 다음, 중간 각도를 포함하는 가능성의 전체 범위는 ''그럴 수 없음''을 보여준다.

벨은 이러한 상관관계에 대한 국소적 은닉변수 모형이 어떤 은닉 매개변수

\lambda

의 가능한 값에 대한 적분으로 이를 설명할 것이라고 가정했다.

:

P(\vec{a}, \vec{b}) = \int d\lambda\, \rho(\lambda) A(\vec{a}, \lambda) B(\vec{b}, \lambda),

여기서

\rho(\lambda)

는 확률 밀도 함수이다. 두 함수

A(\vec{a}, \lambda)

와

B(\vec{b}, \lambda)

는 방향 벡터와 은닉 변수가 주어졌을 때 두 검출기의 응답을 제공한다.

:

A(\vec{a}, \lambda) = \pm 1, \, B(\vec{b}, \lambda) = \pm 1.

결정적으로, 검출기

A

의 결과는

\vec{b}

에 의존하지 않으며, 마찬가지로

B

의 결과는

\vec{a}

에 의존하지 않는데, 이는 두 검출기가 물리적으로 분리되어 있기 때문이다. 이제 실험자가 두 번째 검출기의 설정을 ''선택할 수 있다고'' 가정하자. 두 번째 검출기는

\vec{b}

또는

\vec{c}

로 설정될 수 있다. 벨은 이러한 두 가지 검출기 설정 선택 간의 상관관계 차이는 다음 부등식을 만족해야 함을 증명한다.

:

|P(\vec{a}, \vec{b}) - P(\vec{a}, \vec{c})| \leq 1 + P(\vec{b}, \vec{c}).

그러나 양자역학이 벨 부등식을 위반하는 상황을 쉽게 찾을 수 있다.^[13] 예를 들어, 벡터

\vec{a}

와

\vec{b}

가 직교하고

\vec{c}

가 이들의 평면에 두 벡터 모두에서 45° 각도로 놓여 있다고 하자. 그러면

:

P(\vec{a}, \vec{b}) = 0,

이지만

:

P(\vec{a}, \vec{c}) = P(\vec{b}, \vec{c}) = -\frac{\sqrt{2}}{2},

그리고

:

\frac{\sqrt{2}}{2} \nleq 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.

따라서

\vec{a}

,

\vec{b}

및

\vec{c}

의 모든 선택에 대해 양자역학의 예측을 재현할 수 있는 국소적 은닉변수 모형은 없다. 실험 결과는 고전 곡선과 모순되며, 실험적 결함이 고려되는 한 양자역학에 의해 예측된 곡선과 일치한다.^[5]

4. 양자역학적 예측

양자역학은 벨 부등식을 위반하는 예측을 한다. 존 스튜어트 벨은 국소성 가정을 할 때 양자역학과 부합하지 않는 부등식을 보였다. 이를 일반화한 식이 벨 부등식이며, 다음과 같다.^[92]

: $1 + \operatorname{C}(b, c) \geq |\operatorname{C}(a, b) - \operatorname{C}(a, c)|,$

여기에서 C는 상관관계이다. 한 실험에서 ''a''를 측정하고, 다른 실험에서 ''b''를 측정한다. ''c''는 편의상 비교를 위한 제3의 가상 실험이다. 상식적으로 b와 c가 함께 일어날 확률 $\operatorname{C}(b, c)$ 는 각각 (a,b)와 (a,c)가 함께 일어날 확률보다 적어야 하므로 위의 부등식이 성립하는 것처럼 보이나, 간단한 양자역학적인 경우를 고려하면 이를 만족하지 않음을 알 수 있다.

벨 부등식 중 하나인 CHSH 부등식은 다음과 같은 형태이다.

: $|S| \leq 2$

여기서

: $S = \langle A_0B_0 \rangle + \langle A_0B_1 \rangle + \langle A_1B_0 \rangle - \langle A_1B_1 \rangle$

여기서 $\langle A_iB_i \rangle$ 는 $A_iB_i$ 의 평균값이다.

양자역학에서는 이 S의 상한을 넘을 수 있으며, 실험적으로 양자론과 국소적인 숨은 변수 이론을 구분할 수 있다. 2015년 실험에서는 S=2.42였으며,^[86] 국소적 숨은 변수 이론은 실험적으로 부정되었다. 양자역학에서 S의 이론적 최댓값은 $2\sqrt{2}$ 이며, 치렐손 경계라고 불린다.

4. 1. CHSH 게임

CHSH 부등식은 앨리스와 밥이 협력하는 게임으로 설명할 수 있다.^[10]^[11] 이 게임에서 심판인 빅터는 앨리스와 밥에게 각각 무작위로 비트

x

와

y

를 보낸다. 앨리스와 밥은 빅터에게 응답 비트

a

와

b

를 반환해야 하며, 다음 조건을 만족하면 이긴다.

:

x y = a + b \mod 2 \, .

이는 논리곱과 배타적 논리합을 사용하여 표현하면, 앨리스와 밥은

x

와

y

의 논리곱이

a

와

b

의 배타적 논리합과 같을 때 이기는 것과 같다. 앨리스와 밥은 게임 전에 전략을 합의할 수는 있지만, 게임이 시작되면 서로 통신할 수 없다.

CHSH 게임의 그림: 심판인 빅터는 앨리스와 밥 각각에게 비트를 보내고, 앨리스와 밥은 각각 비트를 심판에게 다시 보낸다.

국소적 숨은 변수 이론에 따르면, 앨리스와 밥이 어떤 전략을 사용하든 이길 확률은

3/4

를 넘을 수 없다. 하지만, 앨리스와 밥이 얽힌 양자 상태를 공유하면 이길 확률을 다음과 같이 높일 수 있다.

:

\frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0.85 \, .

이 게임은 두 개의 서로 다른 장소 A, B에서 측정을 수행하는 실험으로 생각할 수도 있다. 측정에서는 +1 또는 -1의 두 가지 결과만 얻을 수 있다. A와 B의 측정 장치는 각각 두 가지 설정을 가지며, 측정마다 설정을 무작위로 바꾸어 해당 설정에 맞는 물리량을 측정한다. A에서는

A_0

또는

A_1

, B에서는

B_0

또는

B_1

을 측정하며, 측정값은 +1 또는 -1 중 하나이다.^[85]

CHSH 부등식은 국소 실재론 하에서

:

|S| \leq 2

를 만족해야 한다. 여기서

:

S = \langle A_0B_0 \rangle + \langle A_0B_1 \rangle + \langle A_1B_0 \rangle - \langle A_1B_1 \rangle

이고,

\langle A_iB_i \rangle

는

A_iB_i

의 평균값이다.

양자역학에서는 이 S의 상한을 넘을 수 있으며, 실험적으로 양자론과 국소적인 숨은 변수 이론을 구분할 수 있게 한다. 예를 들어 2015년 실험에서는 S=2.42였으며,^[86] 국소적 숨은 변수 이론은 실험적으로 부정되었다. 양자역학에서 S의 이론적 최댓값은

2\sqrt{2}

이며, 치렐손 경계라고 불린다.

4. 2. GHZ-Mermin 정리

다니엘 그린버거(Daniel Greenberger), 마이클 호른(Michael A. Horne), 안톤 차일링거(Anton Zeilinger)가 1990년에 4개 입자를 이용한 사고 실험을 제시했고, N. 데이비드 머민(N. David Mermin)이 이를 3개 입자만 사용하도록 단순화했다.^[15]^[16] 이 사고 실험에서 빅터는 다음과 같은 양자 상태로 기술되는 세 개의 스핀-1/2 입자들을 생성한다.

:

|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle - |111\rangle) \, ,

여기서

|0\rangle

와

|1\rangle

는 파울리 행렬

\sigma_z

의 고유 벡터이다. 빅터는 각 입자를 멀리 떨어진 곳에 있는 앨리스(Alice), 밥(Bob), 찰리(Charlie)에게 보낸다. 앨리스, 밥, 찰리는 각자 자신의 입자에 대해

\sigma_x

또는

\sigma_y

를 측정하고, 각 측정 결과는

+1

또는

-1

이다. 세 큐비트 상태

|\psi\rangle

에 붕괴 규칙(Born rule)을 적용하면, 빅터는 세 측정값 중 하나가

\sigma_x

이고 나머지 두 개가

\sigma_y

일 때, 결과값의 곱이 항상

+1

이 될 것이라고 예측한다. 이는

|\psi\rangle

가 고유값

+1

을 갖는

\sigma_x \otimes \sigma_y \otimes \sigma_y

의 고유 벡터이며,

\sigma_y \otimes \sigma_x \otimes \sigma_y

와

\sigma_y \otimes \sigma_y \otimes \sigma_x

에 대해서도 마찬가지이기 때문이다. 따라서 앨리스의

\sigma_x

측정 결과와 밥의

\sigma_y

측정 결과를 알면, 빅터는 찰리가

\sigma_y

측정에서 어떤 결과를 얻을지 확률 1로 예측할 수 있다. EPR 실재성 기준에 따르면, 찰리의 큐비트에 대한

\sigma_y

측정 결과에 해당하는 "실재성의 요소"가 존재한다. 실제로 이러한 논리는 두 가지 측정과 세 개의 큐비트 모두에 적용된다. 그러므로 EPR 실재성 기준에 따르면, 각 입자는

\sigma_x

또는

\sigma_y

측정 결과를 결정하는 "명령어 집합"을 포함하고 있다. 그러면 세 입자의 집합은 다음과 같은 명령어 집합으로 기술될 것이다.

:

(a_x,a_y,b_x,b_y,c_x,c_y) \, ,

각 항목은

-1

또는

+1

이고, 각

\sigma_x

또는

\sigma_y

측정은 단순히 적절한 값을 반환한다.

앨리스, 밥, 찰리가 모두

\sigma_x

측정을 수행하면, 그 결과의 곱은

a_x b_x c_x

가 된다. 이 값은 다음과 같이 추론할 수 있다.

:

(a_x b_y c_y) (a_y b_x c_y) (a_y b_y c_x) = a_x b_x c_x a_y^2 b_y^2 c_y^2 = a_x b_x c_x \, ,

-1

또는

+1

의 제곱은

1

이기 때문이다. 괄호 안의 각 인수는

+1

이므로,

:

a_x b_x c_x = +1 \, ,

앨리스, 밥, 찰리의 결과의 곱은 확률 1로

+1

이 된다. 그러나 이것은 양자 물리학과 모순된다. 빅터는 상태

|\psi\rangle

를 사용하여 측정

\sigma_x \otimes \sigma_x \otimes \sigma_x

가 대신 확률 1로

-1

을 산출할 것이라고 예측할 수 있다.

이 사고 실험은 전통적인 벨 부등식 또는 CHSH 게임과 같은 비국소 게임으로 재구성될 수도 있다.^[17] 이 게임에서 앨리스, 밥, 찰리는 빅터로부터 비트

x,y,z

를 받는데, 이 비트들은 항상 짝수 개의 1을 갖도록 약속되어 있으며, 즉

x\oplus y\oplus z = 0

이고, 빅터에게 비트

a,b,c

를 되돌려 보낸다.

x=y=z=0

을 제외한 모든 입력에 대해

a,b,c

가 홀수 개의 1을 가지면 이들은 게임에서 승리한다. 이때는 짝수 개의 1을 가져야 한다. 즉,

a \oplus b \oplus c = x \lor y \lor z

이면 이들은 게임에서 승리한다. 국소적인 숨겨진 변수를 사용하면 승리할 수 있는 최고 확률은 3/4이지만, 위의 양자 전략을 사용하면 확실하게 승리한다. 이것은 양자 의사 텔레파시의 한 예이다.

5. 실험적 검증

벨 부등식은 여러 실험을 통해 검증되었으며, 그 결과는 양자역학의 예측과 일치한다.

존 스튜어트 벨은 국소성 가정을 바탕으로 한 부등식(벨 부등식)이 양자역학의 예측과 모순됨을 보였다.^[92] 즉, 한쪽에서 물리량을 측정했을 때 다른 쪽에서 같은 물리량에 대해 항상 반대 값을 얻는 상관관계가 있다면, 3가지 물리량에 대한 상관관계는 특정 부등식을 만족해야 하지만, 양자역학에서는 이 부등식이 성립하지 않는다.

벨 부등식을 일반화한 식은 다음과 같다.^[92]

: $1 + \operatorname{C}(b, c) \geq |\operatorname{C}(a, b) - \operatorname{C}(a, c)|,$

여기서 C는 상관관계를 나타낸다.

벨 부등식은 특정한 국소 숨은 변수 이론을 언급하지 않고, 양자 물리학이 자연의 고전적인 그림 뒤에 있는 일반적인 가정을 위반한다는 것을 보여준다.^[5]

이러한 벨 부등식은 1972년 존 클라우저와 스튜어트 프리드먼에 의해 처음으로 실험적으로 검증되었고, 이후 여러 그룹에 의해 실험이 개선되어 왔다.

5. 1. 초기 실험

1972년 존 클라우저와 스튜어트 프리드먼은 광자의 편광을 이용하여 벨 부등식의 첫 실험적 검증을 수행하여, 벨 부등식이 위배됨을 관측하였다.^[55]^[56] 이 실험은 광자가 광원을 떠나기 전에 검출기 설정을 선택해야 했기 때문에 제한적이었다. 1982년 알랭 아스페는 이러한 제한을 보완한 실험을 수행하였다.^[57]

이후에도 실험은 계속 개선되었으며,^[88] 2015년에는 네 그룹이 독립적으로 국소성 허점과 검출 허점을 모두 해결한 실험을 수행하여 벨 부등식 위배를 확인하였다.^[86]

5. 2. 결함 없는 실험

1972년 존 클라우저(John Clauser)와 스튜어트 프리드먼(Stuart Freedman)은 광자의 편광을 이용하여 벨 부등식을 실험적으로 처음 검증하고, 그 위배를 관측했다.^[55]^[56] 이후 여러 그룹에서 실험을 개선해왔다.

벨 검증 실험에는 몇 가지 허점이 존재한다. 국소성(locality) 허점은 장치 간 거리가 충분히 떨어져 있지 않아, 광속보다 느린 속도로도 측정기 설정이 다른 측정기나 입자 발생기에 전달될 가능성이 있다는 것이다. 이 때문에 국소적인 숨은 변수 이론의 가능성을 완전히 배제할 수 없다. 검출(detection) 허점은 측정기의 검출 효율이 낮아 발생한 입자 중 일부만 측정되고, 그것이 전체를 대표하지 못할 가능성이 있다는 점이다. Pearle는 검출 허점을 발생시키는 국소적 숨은 변수 모델을 고안했다.^[87]

1982년 알랭 아스페(Alain Aspect)는 국소성 허점을 상당 부분 메운 실험을 수행하여 많은 주목을 받았다.^[57]

이후에도 실험 개선이 계속되었고,^[88] 2015년에는 네 그룹이 독립적으로 국소성과 검출 허점을 모두 해소한 실험을 수행하여 벨 부등식의 위배를 확인했다.^[86]^[62]^[63]^[64]^[65] 이러한 실험 결과는 국소적 숨은 변수 이론을 배제하고 양자역학의 비국소성을 입증한다. 알랭 아스페는 "어떤 실험도... 완전히 결함이 없다고 말할 수 없다"면서도, 이 실험들이 "우리가 국소적 숨은 변수를 포기해야 한다는 마지막 의심을 제거한다"고 언급했다.^[67]

5. 3. 노벨 물리학상

존 클라우저, 알랭 아스페, 안톤 차일링거는 벨 부등식 위반 실험에 기여한 공로로 2022년 노벨 물리학상을 수상했다.^[68]

6. 다양한 결과 및 관련 이론

벨 부등식은 양자 물리학이 자연에 대한 고전적인 관점, 즉 물리적 속성이 관찰과 독립적으로 존재한다는 '실재론'과 앨리스의 선택이 밥의 결과에 영향을 줄 수 없다는 '국소성' 가정을 위반한다는 것을 보여준다.^[5] 기본적인 개념에는 여러 변형이 있으며, 어떤 변형은 다른 변형보다 더 강력한 수학적 가정을 사용한다.^[5]

앨리스와 밥이 멀리 떨어진 위치에 서 있고, 동료 빅터가 입자 쌍을 준비하여 하나는 앨리스에게, 다른 하나는 밥에게 보낸다고 가정하자. 앨리스와 밥은 각각 두 가지 가능한 측정 중 하나를 선택한다. 앨리스의 측정은 $A_0$ 와 $A_1$ , 밥의 측정은 $B_0$ 와 $B_1$ 로 표시하며, 이들은 모두 이진 측정으로 결과는 +1 또는 -1이다.

각 측정이 입자가 이미 가지고 있던 속성을 드러낸다고 가정할 때, 모든 시행에 걸쳐 조합 $a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0-a_1b_1$ 의 평균 절댓값은 2 이하가 된다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

: $| \langle A_0B_0 \rangle + \langle A_0B_1 \rangle + \langle A_1B_0 \rangle - \langle A_1B_1 \rangle | \leq 2 \, .$

이것은 CHSH 부등식이다.^[8]

양자 역학은 CHSH 부등식을 위반할 수 있다. 빅터가 특정 큐비트 쌍을 준비하고, 앨리스와 밥이 파울리 행렬을 이용하여 측정을 정의하면, 양자 기대값은 다음과 같다.

: $\langle A_0 \otimes B_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \langle A_0 \otimes B_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \langle A_1 \otimes B_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \langle A_1 \otimes B_1 \rangle = -\frac{1}{\sqrt{2}} \, .$

따라서 여러 시행에 걸쳐 평균값의 합은 $2\sqrt{2}$ 가 되며, 이는 국소 숨은 변수 가설에서 추론된 고전적 상한값 2를 초과한다.^[8] 이 값은 양자 물리학이 허용하는 최대값이며, 치렐슨 경계라고 한다.^[9]

CHSH 부등식은 '게임'으로도 생각할 수 있다.^[10]^[11] 앨리스와 밥은 게임 전 전략을 합의할 수 있지만, 게임 시작 후에는 통신할 수 없다. 국소 숨은 변수 이론에서는 이길 확률이 $3/4$ 를 넘지 않지만, 얽힌 양자 상태를 공유하면 이길 확률이 $\frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0.85$ 까지 커질 수 있다.

벨 정리에 대한 반응은 다양했다. 막시밀리안 슐로스하우어(Maximilian Schlosshauer) 등은 벨 부등식이 "엄격한 이론적 결과가 수많은 실험으로 검증되었음에도 불구하고, 그 함의에 대해 의견이 일치하지 않는 훌륭한 예"를 제공한다고 썼다.^[69]

6. 1. 코헨-스페커 정리

다니엘 그린버거(Daniel Greenberger), 마이클 호른(Michael A. Horne), 안톤 차일링거(Anton Zeilinger)가 제시하고 N. 데이비드 머민(N. David Mermin)이 단순화한 GHZ 실험은 비맥락적 숨은 변수 이론이 양자역학과 양립할 수 없음을 보여준다.^[15]^[16]

양자 이론에서 힐베르트 공간의 직교 기저는 그 힐베르트 공간을 갖는 계에 대해 수행될 수 있는 측정을 나타내며, 기저의 각 벡터는 그 측정의 가능한 결과를 나타낸다. 어떤 숨겨진 변수

\lambda

가 존재한다고 가정할 때,

\lambda

의 값을 알면 어떤 측정의 결과에 대한 확실성을 의미한다. 즉, 힐베르트 공간의 각 벡터는

\lambda

의 값이 주어지면 "불가능"하거나 "확실"해진다. 코헨-스페커 구성은 여러 상호 연동된 기저로 만들어진 유한한 벡터 집합으로, 그 속의 벡터가 한 기저에 속하는 것으로 간주될 때는 항상 "불가능"하고 다른 기저에 속하는 것으로 간주될 때는 "확실"한 특성을 갖도록 배열된다. 이는 숨겨진 변수

\lambda

가 측정 결과를 제어할 수 있다는 가정이 모순됨을 보여주는 "색칠할 수 없는 집합"이다.^[22]

6. 2. 자유 의지 정리

상호 연동된 기저의 구성을 사용하는 코헨-스페커 유형의 주장은 벨 부등식을 기반으로 하는 얽힌 쌍 측정의 개념과 결합될 수 있다. 이는 1970년대 초 코헨,^[23] 헤이우드와 레드헤드,^[24] 스테어스,^[25] 그리고 브라운과 스베틀리치니^[26]에 의해 처음 언급되었다. EPR이 지적했듯이, 얽힌 쌍의 한쪽에 대한 측정 결과를 얻으면 다른 쪽에 대한 해당 측정 결과에 대한 확실성을 의미한다. "EPR 실재성 기준"은 쌍의 다른 한쪽이 방해받지 않았기 때문에 그 확실성은 그것에 속하는 물리적 속성 때문이어야 한다고 주장한다.^[27] 다시 말해, 이 기준에 따르면, 숨겨진 변수

\lambda

는 아직 측정되지 않은 쌍의 두 번째 부분 내에 존재해야 한다. 첫 번째 부분에 대한 측정이 하나만 고려되면 모순이 발생하지 않는다. 그러나 관찰자가 여러 가지 가능한 측정을 선택할 수 있고, 그 측정을 정의하는 벡터가 코헨-스페커 구성을 형성하는 경우, 두 번째 부분에 대한 일부 결과는 동시에 불가능하고 보장된다.

이러한 유형의 주장은 존 컨웨이와 사이먼 코헨이 자유 의지 정리라는 이름으로 제시한 사례가 주목받으면서 주목을 받았다.^[28]^[29]^[30] 컨웨이-코헨 정리는 얽힌 쿼트릿 쌍과 애셔 페레스가 발견한 코헨-스페커 구성을 사용한다.^[31]

6. 3. 준고전적 얽힘

벨은 양자역학의 일부 예측이 국소 은닉 변수 모형에서 복제될 수 있으며, 얽힘에서 생성된 상관관계의 특수한 경우도 포함된다고 지적했다. 이 주제는 벨 정리 이후 수년 동안 체계적으로 연구되었다. 1989년, 라인하르트 베르너는 EPR 유형의 상관관계를 생성하지만 은닉 변수 모형도 허용하는 두 시스템의 결합 양자 상태인, 현재 베르너 상태라고 불리는 것을 소개했다.^[32] 베르너 상태는 대칭적인 텐서곱 형태의 유니터리 변환에 대해 불변인 이부분 양자 상태이다.

:

\rho_{AB} = (U \otimes U) \rho_{AB} (U^\dagger \otimes U^\dagger).

2004년, 로버트 스페켄스는 국소적이고 이산적인 자유도를 전제로 시작하여 관측자가 그 자유도에 대해 얼마나 많이 알 수 있는지를 제한하는 "지식 균형 원리"를 부과함으로써 은닉 변수로 만드는 장난감 모델을 소개했다. 기저 변수("존재론적 상태")에 대한 허용되는 지식 상태("인식론적 상태")는 양자 상태의 일부 특징을 모방한다. 장난감 모델의 상관관계는 일부일처제와 같이 얽힘의 일부 측면을 모방할 수 있지만, 구성상 장난감 모델은 벨 부등식을 절대 위반할 수 없다.^[33]^[34]

7. 해석

존 스튜어트 벨이 제시한 벨 부등식은 국소성 가정을 바탕으로 한 부등식이지만, 양자역학적 계산에서는 성립하지 않는다. 이를 일반화한 식이 벨 부등식이다.^[92]

실험 결과는 벨 부등식을 만족하지 않았으며, 이는 국소적 숨은 변수 이론과 맞지 않고 양자 이론과 일치한다. 벨 부등식은 특정한 국소 숨은 변수 이론을 직접적으로 언급하는 대신, 양자 물리학이 자연에 대한 고전적인 관점, 즉 일반적인 가정을 위반한다는 것을 보여준다.^[5]^[8]

벨 부등식(CHSH 부등식)은 두 가지 가정에 의존한다.^[8] 첫째, 관찰이나 측정과 독립적으로 기본적인 물리적 속성이 존재한다는 '실재론' 가정이다. 둘째, 앨리스의 선택이 밥의 결과에 영향을 줄 수 없거나, 그 반대도 마찬가지라는 '국소성' 가정이다.^[8]

양자 역학은 CHSH 부등식을 위반할 수 있으며, 이는 국소 숨은 변수 가설에서 추론된 고전적 상한값을 초과한다.^[8]

막시밀리안 슐로스하우어 등은 벨 부등식이 "엄격한 이론적 결과가 수많은 실험으로 검증되었음에도 불구하고, 그 함의에 대해 의견이 일치하지 않는 훌륭한 예"라고 평가했다.^[69]

7. 1. 코펜하겐 해석

코펜하겐 해석에서는 벨 부등식의 위배를 어떤 종류의 실재성 부정으로 받아들인다. 즉, 측정 이전의 물리량은 실재하지 않는다고 해석한다. 그러나 측정 이전의 물리량이 존재하지 않음에도 불구하고, EPR 상관관계처럼 어딘가에서 측정을 하면 그곳에서 멀리 떨어진 곳의 물리량도 확정된다는 비국소성이 존재한다고 본다.^[70]^[71] 다만, 와 같은 주관적인 해석에서는 양자역학은 관측자가 가지는 신념만을 기술하며, 관측자는 광속을 초과하여 이동하지 않으므로 국소적이라고 해석한다.^[89]^[90]

7. 2. 다세계 해석

다세계 해석은 측정이 여러 결과를 낳는다고 가정하여 벨 부등식을 설명한다. 각 측정 결과는 서로 다른 세계에서 실현되며, 국소적인 상호작용만으로 벨 상관관계를 설명할 수 있다고 본다.^[77]

이 해석에 따르면, 앨리스와 밥이 측정을 할 때, 그들은 국소적인 가지(branch)로 분리된다. 앨리스의 각 복제본의 관점에서 보면, 서로 다른 결과를 경험하는 밥의 여러 복제본이 존재하므로, 밥은 명확한 결과를 가질 수 없으며, 밥의 각 복제본의 관점에서도 마찬가지이다. 그들은 미래의 광원추가 겹칠 때만 상호적으로 잘 정의된 결과를 얻게 된다. 이 시점에서 벨 상관관계가 존재하기 시작했다고 말할 수 있지만, 그것은 순전히 국소적인 메커니즘에 의해 생성되었다.^[78] 따라서 벨 부등식의 위반은 비국소성의 증거로 해석될 수 없다.

7. 3. 비국소적 숨은 변수 이론

봄 이론과 같은 비국소적 숨은 변수 이론은 국소성을 포기하고 입자 간의 비국소적 상호작용을 가정한다. 이는 입자들이 서로의 상태 정보를 즉각적으로 교환한다고 본다.^[81] 2007년 실험에서는 많은 비봄 식 비국소적 숨은 변수 이론을 배제했지만, 봄 역학 자체는 배제하지 못했다.^[82]

거래 해석과 같이 시간을 거슬러 앞뒤로 이동하는 파동을 가정하는 이론도 비국소적이다.^[83] 드브로이-봄 이론이나 넬슨의 확률 과정 양자화 역시 비국소적인 숨은 변수 이론으로 해석될 수 있다.

코펜하겐 해석에서는 벨 부등식 위배를 실재성 부정으로 해석하여 측정 이전의 물리량은 실재하지 않는다고 보지만, EPR 상관관계처럼 멀리 떨어진 곳에서 물리량이 확정되는 비국소성은 존재한다고 본다. 단, 양자 베이지안주의와 같은 주관적 해석에서는 양자역학이 관측자의 신념만을 기술하며, 관측자는 광속을 초과하여 이동하지 않으므로 국소적이라고 해석한다.^[89]^[90]

7. 4. 초결정론

초결정론은 측정 설정과 숨은 변수가 미리 결정되어 있다는 극단적인 결정론적 관점이다.^[8] 이는 자유 의지 개념과 상충하며, 과학적 탐구의 근본적인 전제를 부정하는 것으로 간주된다. 벨 부등식은 숨은 변수가 측정 설정과 상관관계가 없다는 전제, 즉 측정자가 무엇을 측정할지 선택하는 "자유 의지"를 가지고 있다는 전제를 바탕으로 도출된다. 그러나 우주가 완전히 결정론적이며, 무엇을 측정할지는 처음부터 결정되어 있다고 가정하면 벨 부등식을 회피할 수 있다. 초결정론에서는 국소적 숨은 변수 이론을 구성할 수도 있다고 생각된다.

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