관측가능량

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1. 개요
2. 양자역학에서의 관측가능량
- 2.1. 유한, 무한차원 힐베르트 공간 위의 연산자
  - 2.1.1. 유한차원 힐베르트 공간
  - 2.1.2. 무한차원 힐베르트 공간
- 2.2. 양자역학에서 관측가능량의 비호환성
  - 2.2.1. 교환자
  - 2.2.2. 상보성
3. 양자론에서의 정식화
- 3.1. 연산자 형식
- 3.2. 에르미트 연산자의 정의 및 성질
4. 측정값
5. 측정 문제
참조

1. 개요

관측가능량은 양자역학에서 양자 상태를 나타내는 힐베르트 공간 위의 선형 연산자이며, 특정 측정을 통해 얻어지는 실수값을 의미한다. 양자역학에서 관측가능량은 자기 수반 연산자로 표현되며, 연산자의 고유값은 측정 결과에 해당하는 값을 나타낸다. 양자 상태와 관측가능량 값 사이의 관계는 선형대수를 통해 설명되며, 모든 자기 수반 연산자가 물리적으로 의미 있는 관측가능량을 나타내는 것은 아니다. 양자역학에서는 위치, 운동량, 각운동량, 스핀 등과 같은 동적 변수가 자기 수반 연산자와 연관된다. 관측가능량의 측정은 상태에 영향을 미치며, 비가환적인 특성을 갖는다. 양자론에서는 관측가능량과 관련된 물리량의 측정값의 확률 분포가 동일하다면 어떤 정식화도 가능하며, 상태는 힐베르트 공간의 벡터로, 관측가능량은 에르미트 연산자로 기술된다. 에르미트 연산자는 고유값이 실수이며, 고유 벡터는 완전 계를 이루는 특징을 갖는다. 관측가능량의 측정값은 에르미트 연산자의 고유값 중 하나로 제한되며, 측정값의 확률은 본 규칙에 따라 결정된다. 관측 가능량의 고유 상태에서 측정을 시도하면 측정값은 1의 확률로 해당 고유값을 가지며, 측정값의 기댓값은 실수값으로 나타난다. 관측 과정은 상태에 비결정론적이고 확률적인 변화를 일으키며, 관측의 정의는 관측 문제로 이어진다.

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관측가능량

2. 양자역학에서의 관측가능량

양자역학에서 관측가능량은 힐베르트 공간 위의 자기 수반 연산자로 표현되며, 측정 결과는 이 연산자의 고유값으로 나타난다.^[1]^[2] 즉, 양자역학에서의 관측가능량은 특정한 측정을 통해 나오는 실수값이다.

양자계의 상태와 관측가능량의 값 사이의 관계를 설명하기 위해서는 선형대수적 지식이 필요하다. 양자역학의 수학 공식화에서, 상태는 힐베르트 공간 $V$ 위의 0이 아닌 벡터로 나타내어진다. 0이 아닌 $c \in \Complex$ 에 대하여 $\mathbf{w} = c\mathbf{v}$ 인 경우 두 벡터 $\mathbf{v}$ 와 $\mathbf{w}$ 는 같은 상태로 여겨진다. 관측가능량은 $V$ 위의 자기 수반 연산자로 나타내어지지만, 모든 자기 수반 연산자가 물리적으로 의미있는 관측가능량은 아니다.^[3]^[4]^[5]^[6]

양자역학에서 변환 법칙의 경우, 필요한 자기 동형 사상은 힐베르트 공간 ''V''의 유니타리 연산자(또는 반유니타리) 선형 변환이다. 갈릴레이 상대성 원리 또는 특수 상대성 이론 하에서, 기준 좌표계의 수학은 특히 단순하며, 물리적으로 의미 있는 관측가능량의 집합을 상당히 제한한다.

양자역학에서, 관측가능량의 측정은 직관에 반하는 몇 가지 속성을 나타낸다. 어떤 계가 힐베르트 공간의 벡터로 묘사되는 상태에 있다면, 측정 과정은 상태에 비결정론적이면서 통계적으로 예측 가능한 방식으로 영향을 미친다. 특히, 측정이 적용된 후, 단일 벡터로의 상태 묘사는 파괴되어 통계적 앙상블로 대체될 수 있다.

위치, 병진(선형) 운동량, 궤도 각운동량, 스핀, 총 각운동량과 같은 동적 변수 $A$ 는 각각 양자계의 양자 상태에 작용하는 자기 수반 연산자 $\hat{A}$ 와 연관된다. 연산자 $\hat{A}$ 의 고유값은 동적 변수가 가질 수 있는 관측 가능한 값에 해당한다. 예를 들어, $|\psi_{a}\rangle$ 가 관측가능량 $\hat{A}$ 의 고유값 $a$ 를 갖는 고유켓(고유벡터)이고 힐베르트 공간에 존재한다고 가정하면,

: $\hat{A}|\psi_a\rangle = a|\psi_a\rangle.$

이 방정식은 관심 있는 계가 상태 $|\psi_a\rangle$ 에 있는 동안 관측가능량 $\hat{A}$ 를 측정하면, 그 측정의 관측된 값이 확실하게 고유값 $a$ 를 반환해야 한다고 말한다. 그러나, 만약 관심 있는 계가 일반 상태 $|\phi\rangle \in \mathcal{H}$ 에 있다면(그리고 $|\phi\rangle$ 와 $|\psi_a\rangle$ 는 단위 벡터이고, $a$ 의 고유 공간은 1차원), 그러면 고유값 $a$ 는 Born 규칙에 의해 확률 $|\langle \psi_a|\phi\rangle|^2$ 로 반환된다.

양자역학에서 관측가능량은 상보성과 같은, 고전 물리학의 관측가능량과는 다른 중요한 차이점을 보인다.

2. 1. 유한, 무한차원 힐베르트 공간 위의 연산자

양자물리학에서 관측가능량은 양자 상태의 상태 공간을 나타내는 힐베르트 공간 위의 선형 연산자이다. 힐베르트 공간이 유한차원인지 무한차원인지에 따라 관측가능량을 나타내는 연산자의 형태가 달라진다.

2. 1. 1. 유한차원 힐베르트 공간

만약 힐베르트 공간이 유한차원이면, 연산자는 유한차원의 에르미트 행렬로 나타낼 수 있다. 연산자는 차원보다 적은 수의 고윳값만을 가질 수 있다.^[1]

2. 1. 2. 무한차원 힐베르트 공간

무한차원 힐베르트 공간에서 관측 가능량은 부분적으로 정의된 대칭 연산자로 나타낼 수 있다. 이는 무한차원 힐베르트 공간에서 관측 가능 연산자가 무계일 수 있기 때문이다.^[1] 즉, 가장 큰 고윳값을 가지고 있지 않을 수 있다는 의미이다. 유한차원에서는 에르미트 행렬로 나타낼 수 있고, 항상 유한개의 고유값을 가지므로 이는 성립하지 않는다.

2. 2. 양자역학에서 관측가능량의 비호환성

양자역학에서 관측가능량은 고전 물리학의 관측가능량과 중요한 차이점을 보인다. 대표적인 특징은 상보성으로, 이는 일부 관측가능량 쌍이 동시에 정확하게 측정될 수 없음을 의미한다.

이러한 비호환성은 측정 순서에 따라 결과가 달라질 수 있음을 나타낸다. 이는 양자역학적 측정 과정이 계의 상태를 비결정론적인 방식으로 변화시키기 때문이다.

이러한 비호환성은 연산자의 교환자가 0이 아닌 것으로 수식화된다.

2. 2. 1. 교환자

양자역학에서 두 관측가능량의 교환자가 0이 아닐 경우, 두 관측가능량은 동시에 정확하게 측정할 수 없다. 이를 비호환적이라고 한다. 교환자는 다음과 같이 표현된다.^[8]

:

\left[\mathbf{A}, \mathbf{B} \right] := \mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{A} \neq \mathbf{0}.

이는 측정

\scriptstyle \mathbf{A}

와 측정

\scriptstyle \mathbf{B}

에 대해 측정 결과가 측정 순서에 따라 달라질 수 있음을 나타낸다.

\hat{A}

의 측정은 양자 상태를

\hat{B}

의 후속 측정과 양립할 수 없는 방식으로 변경하며, 그 반대도 마찬가지이다.

교환 연산자에 해당하는 관측가능량은 ''호환 관측가능량''이라고 한다. 예를 들어, x축과 y축 방향의 운동량은 호환된다. 교환하지 않는 연산자에 해당하는 관측가능량은 ''비호환 관측가능량'' 또는 ''상보 변수''라고 한다. 예를 들어, 동일한 축을 따라 위치와 운동량은 비호환적이다.^[8]

비호환 관측가능량은 완전한 공통 고유함수 집합을 가질 수 없다.

\hat{A}

와

\hat{B}

의 일부 동시 고유 벡터가 존재할 수 있지만, 완전한 기저를 구성할 만큼 충분한 수는 아니다.^[9]

2. 2. 2. 상보성

양자역학에서, 동시에 측정될 수 없는 한 쌍의 관측 가능량을 상보성을 가진다고 표현한다. 이들은 교환법칙이 성립하지 않아 비-교환성을 가지는 것으로 수학적으로 표현되며, ''비호환연산자''라고 불린다.^[8]

비호환 관측가능량은 ''상보 변수''라고도 불리며, 완전한 공통 고유함수 집합을 가질 수 없다. 동시 고유 벡터가 일부 존재할 수는 있지만, 기저를 구성할 만큼 충분하지는 않다.^[9]

예를 들어, x축과 y축 방향의 운동량은 서로 호환되는 관측가능량이다. 반면, 동일한 축에 대한 위치와 운동량은 상보적인 관계를 가지는 비호환적인 관측가능량이다.^[8]

3. 양자론에서의 정식화

양자역학에서 관측가능량은 분리 가능한 복소수 힐베르트 공간에서 자기 수반 연산자로 나타내며, 이는 양자 상태 공간을 나타낸다.^[1] 관측가능량은 연산자의 고유값에 해당하는, ''특정 측정''의 결과에 값을 할당한다. 이러한 결과가 물리적으로 허용 가능한 상태(즉, 힐베르트 공간에 속하는 상태)를 나타내는 경우, 고유값은 실수이다.^[2]

양자계의 상태와 관측가능량의 값 사이의 관계는 약간의 선형대수를 필요로 한다. 양자역학의 수학적 공식에서, 순수 상태는 힐베르트 공간 ''V'' 내의 0이 아닌 벡터로 나타낸다. 두 벡터 '''v'''와 '''w'''는 $\mathbf{w} = c\mathbf{v}$ (어떤 0이 아닌 $c \in \Complex$ 에 대해)일 때, 동일한 상태를 지정하는 것으로 간주된다. 관측가능량은 ''V''에서 자기 수반 연산자로 나타낸다.

양자역학에서 변환 법칙의 경우, 필요한 자기 동형 사상은 힐베르트 공간 ''V''의 유니타리 (또는 반유니타리) 선형 변환이다. 갈릴레이 상대성 원리 또는 특수 상대성 이론 하에서, 기준 좌표계의 수학은 특히 단순하며, 물리적으로 의미 있는 관측가능량의 집합을 상당히 제한한다.

양자역학에서, 관측가능량의 측정은 직관에 반하는 몇 가지 속성을 나타낸다. 만약 어떤 계가 힐베르트 공간의 벡터로 묘사되는 상태에 있다면, 측정 과정은 상태에 비결정론적이면서 통계적으로 예측 가능한 방식으로 영향을 미친다. 특히, 측정이 적용된 후, 단일 벡터로의 상태 묘사는 파괴되어 통계적 앙상블로 대체될 수 있다. 양자 물리학에서 측정 연산의 비가역적 특성은 때때로 측정 문제라고 불린다.

양자역학에서, 위치, 병진(선형) 운동량, 궤도 각운동량, 스핀, 그리고 총 각운동량과 같은 동적 변수 $A$ 는 각각 양자계의 양자 상태에 작용하는 자기 수반 연산자 $\hat{A}$ 와 연관된다. 연산자 $\hat{A}$ 의 고유값은 동적 변수가 가질 수 있는 관측 가능한 값에 해당한다. 예를 들어, $|\psi_{a}\rangle$ 가 관측가능량 $\hat{A}$ 의 고유값 $a$ 를 갖는 고유켓(고유벡터)이고 힐베르트 공간에 존재한다고 가정하면, 다음과 같다.

: $\hat{A}|\psi_a\rangle = a|\psi_a\rangle.$

이 고유켓 방정식은 관심 있는 계가 상태 $|\psi_a\rangle$ 에 있는 동안 관측가능량 $\hat{A}$ 를 측정하면, 그 특정 측정의 관측된 값이 확실하게 고유값 $a$ 를 반환해야 한다고 말한다. 그러나, 만약 관심 있는 계가 일반 상태 $|\phi\rangle \in \mathcal{H}$ 에 있다면(그리고 $|\phi\rangle$ 와 $|\psi_a\rangle$ 는 단위 벡터이고, $a$ 의 고유 공간은 1차원이다), 그러면 고유값 $a$ 는 Born 규칙에 의해 확률 $|\langle \psi_a|\phi\rangle|^2$ 로 반환된다.

양자론에서는 "물리량의 측정값의 확률 분포"가 같은 정식화라면, 어떠한 정식화를 해도 좋다.

3. 1. 연산자 형식

양자물리학에서 상태(순수 상태)는 힐베르트 공간

\mathcal{H}

상의 벡터(상태 벡터)

|\psi \rangle

또는 파동 함수

\psi

로 기술된다. 관측가능량은 힐베르트 공간

\mathcal{H}

상의 에르미트 연산자(자기 수반 작용소)

\hat{A}

로 기술된다.^[1]

3. 2. 에르미트 연산자의 정의 및 성질

양자역학에서 에르미트 연산자는 다음 조건을 만족하는 연산자이다.^[1]^[2]

:

\hat{A}^\dagger=\hat{A}

여기서

\hat{A}^\dagger

는 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{A}^\dagger \equiv (\hat{A}^*)^t .

에르미트 연산자

\hat{A}

의 고유 벡터(고유 함수)는 완전 계를 이룬다. 따라서 임의의 상태 벡터를 이 고유 벡터의 중첩으로 기술할 수 있다. 이 성질은 양자론에서 확률이 보존된다는 것을 표현하는 데 편리하다.

또한 에르미트 연산자의 고유값은 모두 실수이다. 이 성질은 물리량의 측정값이 실수 값임을 표현하는 데 편리하다.

4. 측정값

양자역학에서 관측가능량을 측정하면, 그 측정값은 해당 관측가능량을 나타내는 에르미트 연산자의 고유값 중 하나로 제한된다.^[1] 측정값이 어떤 고유값이 될지는, 아무리 같은 상태를 준비하고 동일하게 측정을 수행하더라도 측정마다 다를 수 있다.

관측가능량 $\hat{A}$ 의 고유값 $a$ 를 갖는 고유켓(고유벡터) $|\psi_{a}\rangle$ (힐베르트 공간에 존재)에 대해,

$\hat{A}|\psi_a\rangle = a|\psi_a\rangle.$

이 방정식은 상태 $|\psi_a\rangle$ 에서 $\hat{A}$ 를 측정하면, 측정값이 확실하게 고유값 $a$ 를 반환해야 한다는 것을 의미한다.

그러나 일반 상태 $|\phi\rangle \in \mathcal{H}$ 에서 측정하는 경우, Born 규칙에 의해 특정 고유값 $a$ 를 얻을 확률은 $|\langle \psi_a|\phi\rangle|^2$ 로 주어진다.

4. 1. 본 규칙

양자역학에서 측정값이 특정 고유값이 될 확률은 본 규칙에 의해 결정된다. 관측가능량

A

를 나타내는 에르미트 연산자

\hat{A}

와 상태

|\psi \rangle

가 주어지면, 측정에 의해 어떤 고유값

a_n

이 얻어질 확률

P(a_n)

은 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[1]

:

P(a_n) = \big\| |a_n \rangle \langle a_n | \psi \rangle \big\|^2 .

이것은 양자론의 기본적인 성질이며, '''본 규칙'''이라고 불린다.

이

P(a_n)

은 확률이 충족해야 하는 다음 조건도 만족한다.

:

\sum_n P(a_n)=1, P(a_n) \ge 0 .

4. 2. 고유 상태

양자역학에서, 관측가능량을 나타내는 연산자의 고유벡터는 해당 물리량의 값이 확정된 상태를 나타내며, 이를 고유 상태라고 부른다.^[1]^[2] 예를 들어, 어떤 계가 상태

|\psi_a\rangle

에 있을 때 관측가능량

\hat{A}

를 측정하면, 그 측정값은 확실하게 고유값

a

를 반환한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

:

\hat{A}|\psi_a\rangle = a|\psi_a\rangle.

여기서

|\psi_a\rangle

는 관측가능량

\hat{A}

의 고유값

a

를 갖는 고유켓(고유벡터)이다.

만약 계가 일반적인 상태

|\phi\rangle

에 있다면, Born 규칙에 의해 특정 고유값

a

를 얻을 확률은

|\langle \psi_a|\phi\rangle|^2

로 주어진다.

상태가 관측 가능량을 나타내는 연산자

\hat{A}

의 고유 벡터 중 하나

|a_1\rangle

일 때,

\hat{A}

의 측정을 시도하면 측정값은

a_1

이 된다. 이때 측정값이

a_1

일 확률을 계산하면 다음과 같다.

:

P(a_1) = \big\| |a_1 \rangle \langle a_1 | a_1 \rangle \big\|^2 = 1.

즉, 측정값에 변동이 없으며, 1의 확률로 측정값은

a_1

이다.

이와 같이 고유 벡터는 물리량의 값이 확정되어 있기 때문에 "물리량

A

에 대한 고유 상태"라고 불린다.

4. 3. 기댓값

어떤 양자 상태에서 측정값의 기댓값(평균값)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\sum_n P(a_n)a_n = \langle \psi |\hat{A}|\psi \rangle

이는 실수값이다.^[1]

5. 측정 문제

양자역학에서 측정 과정은 상태에 비결정론적이면서 확률적으로 예측 가능한 변화를 일으킨다. 특히, 측정이 적용된 후, 단일 벡터로의 상태 묘사는 파괴되어 통계적 앙상블로 대체될 수 있다.^[1] 이는 단일 벡터로 기술되던 상태가 불가역적으로 변화하는 것으로 해석할 수 있다. 무엇을 "관측"으로 해석할 것인가는 관측 문제라고 불리는 중요한 문제이며, 현재까지도 논의가 계속되고 있다.

참조

_[1] 간행물 Lecture notes 1 by Robert Littlejohn http://bohr.physics.[...] 2023-08-29
_[2] 서적 Quantum Mechanics: A Modern Development https://books.google[...] World Scientific 2015
_[3] 서적 Lectures On Quantum Theory: Mathematical And Structural Foundations https://books.google[...] World Scientific 1995
_[4] 서적 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics Dover Publications
_[5] 서적 Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory Wiley-Interscience
_[6] 웹사이트 Not all self-adjoint operators are observables? https://physics.stac[...] 2022-02-11
_[7] 서적 Lectures On Quantum Theory: Mathematical And Structural Foundations https://books.google[...] World Scientific 1995
_[8] 서적 Quantum Mechanics North Holland, John Wiley & Sons 1966
_[9] 서적 Introduction to Quantum Mechanics https://books.google[...] Cambridge University Press 2017

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