변위 전류

1. 개요

변위 전류는 전기장이 시간에 따라 변할 때 진공 또는 유전체 내에서 발생하는 현상으로, 전자기학 이론의 핵심 개념이다. 변위 전류 밀도는 전기 변위장의 시간 변화율로 정의되며, 앙페르 회로 법칙을 일반화하고 전자기파의 전파를 설명하는 데 필수적이다. 진공에서는 변위 전류가 전기장의 변화에 의해 발생하며, 매질 내에서는 전기장 변화와 분극 변화에 의해 발생한다. 변위 전류는 축전기에서 전도 전류가 흐르지 않는 공간에서도 자기장을 생성하며, 앙페르-맥스웰 방정식을 통해 자기장과 밀접한 관계를 갖는다. 맥스웰은 1861년 변위 전류 개념을 처음 제시했으며, 현대 물리학에서 전자기 현상을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 변위 전류가 자기장의 근원인지에 대한 논쟁이 있지만, 앙페르-맥스웰의 법칙에 따라 자기장과 연관되어 있으며, 전자기파의 전파를 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

2. 정의

전기장이 시간에 따라 변할 때, 진공 또는 유전체 내에서 변위 전류가 발생한다.

앙페르 회로 법칙에 따르면, 진공에서 변위 전류 밀도($\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}$)는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}=\backslash epsilon\_0\backslash dot\{\backslash mathbf\; E\}$.

여기서 $\backslash epsilon\_0$는 진공 유전율, $\backslash dot\{\backslash mathbf\; E\}$는 전기장의 시간 변화율이다.

매질 안에서 변위 전류 밀도는 다음과 같이 나타난다.

:$\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}=\backslash dot\{\backslash mathbf\; D\}$.

여기서 $\backslash mathbf\; D$는 변위장이다.

전기 변위장은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{P\}$

여기서 $\backslash mathbf\{E\}$는 전기장 세기, $\backslash mathbf\{P\}$는 매질의 분극이다.

이를 시간에 대해 미분하면 변위 전류 밀도는 다음과 같이 두 가지 성분으로 구성된다.

:$\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{P\}\}\{\backslash partial\; t\}$

첫 번째 항은 자유 공간과 물질 매질 모두에 존재하며, 실제 전하의 움직임이 없어도 자기장을 생성한다. 두 번째 항은 유전체 내 분자들의 분극 변화로 인해 발생하며, 분극 전류 밀도라고 불린다.

2.1. 진공에서의 변위 전류

앙페르 회로 법칙은 진공에서 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; S\}\backslash mathbf\; B\backslash cdot\; d\backslash mathbf\; l=\backslash oint\_S(\backslash mu\_0\backslash mathbf\; J+\backslash mu\_0\backslash epsilon\_0\backslash dot\{\backslash mathbf\; E\})$

여기서 $S$는 임의의 곡면이고, $\backslash partial\; S$는 $S$의 둘레인 폐곡선이다. $\backslash mathbf\; B$는 자기장, $\backslash mathbf\; E$는 전기장, $\backslash mathbf\; J$는 전류 밀도이다.

위 식에서 $\backslash epsilon\_0\backslash dot\{\backslash mathbf\; E\}$는 전류 밀도 $\backslash mathbf\; J$와 유사한 역할을 한다. 따라서 변위 전류 밀도 $\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}=\backslash epsilon\_0\backslash dot\{\backslash mathbf\; E\}$

주어진 곡면을 지나는 변위 전류 $I\_\backslash text\{d\}$는 변위 전류 밀도 $\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}$의 선속이다.

2.2. 매질 안에서의 변위 전류

매질 안에서 앙페르 법칙은 다음과 같다.
:$\backslash oint\_\{\backslash partial\; S\}\backslash mathbf\; H\backslash cdot\; d\; \backslash mathbf\; l=\backslash oint\_S(\backslash mathbf\; J+\backslash dot\{\backslash mathbf\; D\})$.
여기서 $\backslash mathbf\; H$는 자기장 세기이고, $\backslash mathbf\; D$는 변위장이다. 이에 따라, 변위 전류 밀도는 다음과 같다.
:$\backslash mathbf\; J\_\backslash text\{d\}=\backslash dot\{\backslash mathbf\; D\}$.
전기 변위장은 다음과 같이 정의된다.

$$\backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{P\}\backslash \; ,$$

여기서:
* $\backslash varepsilon\_0$는 진공 유전율이다.
* $\backslash mathbf\{E\}$는 전기장 세기이다.
* $\backslash mathbf\{P\}$는 매질의 분극이다.

이 식을 시간에 대해 미분하면 변위 전류 밀도가 정의되며, 따라서 유전체에서 두 가지 성분을 갖는다.

$$\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{P\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,.$$

오른쪽 항의 첫 번째 항은 물질 매질과 자유 공간에 존재한다. 이것은 반드시 어떤 실제 전하의 움직임에서 기인하는 것은 아니지만, 전하의 움직임으로 인한 전류와 마찬가지로 관련 자기장을 가지고 있다. 일부 저자는 첫 번째 항 자체에 변위 전류라는 이름을 적용한다.

오른쪽 항의 두 번째 항은 분극 전류 밀도라고 불리며, 유전체 재료의 개별 분자의 분극의 변화에서 비롯된다. 분극은 적용된 전기장의 영향으로 분자 내의 전하가 정확한 상쇄 위치에서 이동했을 때 발생한다. 분자 내의 양전하와 음전하가 분리되어 분극 상태 $\backslash mathbf\{P\}$가 증가한다. 변화하는 분극 상태는 전하 이동에 해당하므로 전류와 동일하며, 따라서 "분극 전류"라는 용어가 사용된다.

2.3. 등방성 유전체의 경우

선형 등방성 유전체의 경우, 구성 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\; \backslash ,\; \backslash mathbf\{E\}$

여기서 유전율 $\backslash varepsilon\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\_\backslash mathrm\{r\}$는 진공 유전율($\backslash varepsilon\_0$)과 유전체의 상대 유전율($\backslash varepsilon\_\backslash mathrm\{r\}$)의 곱이다.

스칼라 변위 전류 값은 전기 선속을 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$I\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; \backslash varepsilon\; \backslash ,\; \backslash frac\{\backslash ,\; \backslash partial\; \backslash Phi\_\backslash mathrm\{E\}\; \backslash ,\; \}\{\backslash partial\; t\}$

이 식은 선형 등방성 재료에 대해서만 정확하다. 선형 비등방성 재료의 경우, $\backslash varepsilon$는 행렬이 되며, 더 일반적으로는 텐서로 대체될 수 있다.

선형 등방성 유전체의 경우, 분극 $\backslash mathbf\{P\}$는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash chi\_\backslash mathrm\{e\}\; \backslash ,\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; (\backslash varepsilon\_\backslash mathrm\{r\}\; -\; 1)\; \backslash ,\; \backslash mathbf\{E\}$

여기서 $\backslash chi\_\backslash mathrm\{e\}$는 유전체의 전기 감수율이다. 다음을 참고할 수 있다.

:$\backslash varepsilon\; =\; \backslash varepsilon\_\backslash mathrm\{r\}\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\_0\; =\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash chi\_\backslash mathrm\{e\}\; \backslash right)\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\_0$

3. 필요성

변위 전류는 전자기학 이론의 논리적 일관성을 유지하고 실험에서 관찰되는 결과를 설명하는 데 필요하다. 맥스웰 방정식 중 앙페르-맥스웰 법칙에 따르면, 변위 전류는 자기장과 관계를 맺는다. 그러나 변위 전류가 자기장의 직접적인 원인이 되는지에 대해서는 논쟁의 여지가 있다.

3.1. 앙페르 회로 법칙의 일반화

변위 전류는 맥스웰 방정식 중 하나인 앙페르-맥스웰 법칙에 의해 자기장과 관계를 맺는다.

:$\backslash oint\_C\backslash boldsymbol\{H\}\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{l\}=\backslash int\_S\backslash left(\backslash boldsymbol\{j\}+\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{D\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash right)\backslash cdot\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{S\}$

하지만 변위 전류가 자기장의 근원이 되는지에 대해서는 현대 물리학자들 사이에서도 논쟁이 있다. 근원이 되지 않는다는 주장에 대해서는 모델 선택이 부적절하고 일반화되지 않았다는 지적이 있다. 효도는 "쿨롱 전장의 시간 미분은 자기장의 근원이 되지 않는다"고 설명한다. "자기장을 만든다"는 표현이 혼란을 야기한다는 지적과 자기장을 전도 전류 유래와 변위 전류 유래로 분리하는 것은 불가능하다는 의견이 있다.

3.1.1. 축전기에서의 전류

축전기는 회로에 연결되어 충전될 때, 판 사이에 전하가 직접 이동하지는 않지만 마치 전류가 흐르는 것처럼 판 사이에 자기장이 생성된다. 이는 "변위 전류"(displacement current^영어)라는 개념으로 설명된다. 변위 전류는 암페어 법칙에 따라 판 사이 영역에 자기장을 생성한다.

암페어 법칙에 따르면, 닫힌 곡선 주위의 자기장의 선적분은 곡선에 의해 경계가 정해진 작은 표면을 통과하는 순 변위 전류에 자기 상수를 곱한 값과 같다.

:$$\backslash oint\_C\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{d\}\backslash !\backslash boldsymbol\{\backslash ell\}\; =\; \backslash mu\_0\; I\_\backslash mathrm\{D\}\; ~\; ,$$

판 사이의 자기장은 판 외부의 자기장과 같으므로, 변위 전류는 전선의 전도 전류와 같아야 한다.

:$$I\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; I\; \backslash ,\; ,$$

이는 전류의 개념을 전하의 이동뿐만 아니라 확장시킨다.

축전기가 충전됨에 따라 판 사이의 전기장가 증가한다. 가우스 법칙에 따르면, 판 사이에 유전체가 없다고 가정할 때,

:$$Q(t)\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash oint\_S\; \backslash mathbf\{E\}(t)\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{d\}\backslash !\backslash mathbf\{S\}\backslash ,\; ,$$

여기서 는 가상의 원통형 표면이다.

맥스웰 방정식과 위의 식을 통해

:$$I\; =\; -\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; Q\}\{\backslash mathrm\{d\}\; t\}\; =\; -\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash oint\_S\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash cdot\; \backslash operatorname\{d\}\backslash !\backslash mathbf\{S\}\; =\; S\; \backslash ,\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash Biggl.\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Biggr|\_R\; ~\; ,$$

와 같이 표현할 수 있다.

축전기 내부에 균일한 전기장 분포를 가정하면 변위 전류 밀도 _D는 다음과 같다.

:$$\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\{I\}\_\backslash mathrm\{D\}\}\{S\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathbf\; I\}\{S\}\; =\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; E\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\; D\}\{\backslash partial\; t\}\; ~\; ,$$

결론적으로, 축전기 판 사이에는 전도 전류가 흐르지 않지만, 전기장의 변화로 인해 변위 전류가 발생하며, 이 변위 전류가 자기장을 생성한다.

3.1.2. 수학적 공식화

더 수학적인 관점에서, 기본적인 미분 방정식에서 동일한 결과를 얻을 수 있다. 간단하게 하기 위해, 상대 자기 투자율이 1이고, 자화 전류(결합 전류)의 복잡성이 없는 비자성 매질을 고려하면 $\backslash mathbf\{M\}\; =\; 0$이다.

부피를 떠나는 전류는 부피 내 전하 감소율과 같아야 한다. 미분 형태로 이 연속 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{f\}\; =\; -\backslash frac\; \{\backslash partial\; \backslash rho\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,$

여기서 왼쪽은 자유 전류 밀도의 발산이고 오른쪽은 자유 전하 밀도의 감소율이다. 그러나 원래 형태의 암페어의 법칙은 다음과 같다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{f\}\backslash ,$

이는 전류 항의 발산이 사라짐을 의미하며, 이는 연속 방정식과 모순된다.(발산의 소멸은 회전의 발산이 항상 0이라고 명시하는 수학적 항등식의 결과이다.) 이 모순은 변위 전류를 더함으로써 제거되며, 그러면 다음과 같다.

:$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash left(\backslash mathbf\{J\}\; +\; \backslash varepsilon\_0\; \backslash frac\{\; \backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\; \}\{\; \backslash partial\; t\; \}\backslash right)\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{f\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{D\}\}\{\backslash partial\; t\; \}\backslash right)\backslash ,$

그리고

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash right)\; =\; 0\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash left(\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{f\}\; +\backslash frac\; \{\backslash partial\; \}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{D\}\; \backslash right)\backslash ,$

이는 가우스 법칙으로 인해 연속 방정식과 일치한다.

:$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{D\}\; =\; \backslash rho\_\backslash mathrm\{f\}\backslash ,.$

3.2. 파동 전파

추가된 변위 전류는 자기장의 식에 회전을 취함으로써 파동 전파를 이끌어낸다.

:$$\backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; \backslash epsilon\_0\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{E\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,.$$

이 형태의 J^영어를 앙페르의 법칙에 대입하고, J^영어에 기여하는 속박 전류나 자유 전류 밀도가 없다고 가정하면 다음과 같다.

:$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash mathbf\{J\}\_\backslash mathrm\{D\}\backslash ,,$$

결과는 다음과 같다.

:$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash right)\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash epsilon\_0\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\backslash ,.$$

그러나,

:$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash mathbf\{B\}\backslash ,,$$

결과로 파동 방정식이 도출된다:
:$$-\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; \backslash right)\; =\; \backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{B\}\; =\backslash mu\_0\; \backslash epsilon\_0\; \backslash frac\; \{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\}\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\}\; \backslash mathbf\{B\}\backslash ,,$$

여기서 임의의 벡터장 V(r, t)^영어에 대해 성립하는 벡터 항등식을 사용한다.

:$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{V\}\backslash right)\; =\; \backslash nabla\; \backslash left(\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{V\}\backslash right)\; -\; \backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{V\}\backslash ,,$$

그리고 자기장의 발산이 0이라는 사실을 사용한다. 전기장에 대해서도 동일한 파동 방정식을 찾을 수 있는데, 이는 "컬(curl)"을 취함으로써 가능하다.

:$$\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash left(\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash right)\; =\; -\backslash frac\; \{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash nabla\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}\; =\; -\backslash mu\_0\; \backslash frac\; \{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash left(\backslash mathbf\{J\}\; +\; \backslash epsilon\_0\backslash frac\; \{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash mathbf\{E\}\; \backslash right)\backslash ,.$$

만약 J^영어, P^영어, 및 ρ^영어가 0이면, 결과는 다음과 같다.

:$$\backslash nabla^2\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash mu\_0\; \backslash epsilon\_0\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\}\; \backslash mathbf\{E\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; t^2\}\; \backslash mathbf\{E\}\backslash ,.$$

전기장은 일반적인 형태로 표현될 수 있다.

:$$\backslash mathbf\{E\}\; =\; -\; \backslash nabla\; \backslash varphi\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{A\}\}\{\backslash partial\; t\}\backslash ,,$$

여기서 φ^영어는 전위 (이것은 푸아송 방정식을 만족하도록 선택될 수 있다)이며 A^영어는 벡터 퍼텐셜 (즉, 자기 벡터 퍼텐셜, 다른 곳에서 A^영어가 표기된 것처럼 표면적과 혼동하지 않도록 한다)이다. 오른쪽에 있는 ∇φ^영어 성분은 가우스 법칙 성분이며, 이는 위에서 설명한 전하 보존과 관련된 성분이다. 오른쪽에 있는 두 번째 항은 전자기파 방정식과 관련된 항인데, 이는 ∇×E^영어에 기여하는 항이기 때문이다. 기울기의 회전이 0이라는 벡터 항등식 때문에 ∇φ^영어는 ∇×E^영어에 기여하지 않는다.

4. 역사와 해석

맥스웰은 1861년 논문 '힘선에 관하여'에서 변위 전류를 처음 제안했다. 그는 분자 와류 모델을 사용하여 유도 과정을 설명했지만, 현대 물리학에서는 변위 전류가 자유 공간에 존재할 수 있다는 점을 기반으로 이론을 전개한다. 맥스웰의 유도는 자기장에 대한 암페어의 회로 법칙과 전하에 대한 연속 방정식 사이의 일관성에 기반을 둔 진공에서의 변위 전류에 대한 현대적인 유도와는 관련이 없다.

맥스웰은 자신의 목적을 다음과 같이 밝혔다.

> 나는 이제 자기 현상을 기계적인 관점에서 검토하고, 매질의 어떤 긴장이나 운동이 관찰된 기계적 현상을 생성할 수 있는지 결정하려고 한다.

그는 이 처리가 일종의 유추라는 점을 지적한다.

> 이 표현 방법을 사용하는 저자는 탄성 고체 내의 이러한 변형으로 인한 효과를 통해 관찰된 힘의 기원을 설명하려고 시도하지 않고, 두 문제의 수학적 유추를 사용하여 상상력이 두 가지 문제를 모두 연구하는 데 도움을 준다.

3부에서 맥스웰은 변위 전류에 대해 다음과 같이 설명한다.

> 나는 회전하는 물질을 특정 세포의 물질이라고 생각했는데, 세포는 세포보다 매우 작은 입자로 구성된 세포벽에 의해 서로 분리되어 있으며, 이러한 입자의 운동과 세포 내 물질에 대한 접선 작용을 통해 회전이 한 세포에서 다른 세포로 전달된다.

맥스웰은 빌헬름 에두아르트 베버와 루돌프 콜라우쉬가 측정한 전기의 속도와 피조 실험으로 결정된 빛의 속도가 거의 같다는 점에 주목했다. 그는 이 동일한 속도를 바탕으로 "빛은 전기 및 자기 현상의 원인인 동일한 매질에서 횡파로 구성된다"고 결론지었다.

하지만, 맥스웰은 유전체의 선형 분극을 강조하기도 했다.

> 이 변위 ...는 전류의 시작이다 ... 변위의 양은 물체의 성질과 기전력에 따라 달라지므로, h가 변위이고, R이 기전력이며, E가 유전체의 성질에 따른 계수이면,
>
> $$R\; =\; -4\backslash pi\; \backslash mathrm\; E^2\; h\; \backslash ,;$$
>
> r이 변위에 의한 전류의 값이라면
>
> $$r\; =\; \backslash frac\{dh\}\{dt\}\backslash ,,$$
>
> 이러한 관계는 유전체 메커니즘에 대한 모든 이론과 무관하지만, 유전체에서 기전력이 전하 변위를 생성하고 유전체가 전기 변위 상태에서 회복되는 것을 발견하면 ... 우리는 현상을 압력에 굴복하고 압력이 제거되면 형태를 회복하는 탄성체의 현상으로 간주하지 않을 수 없다.

기호 및 단위를 변경하고, 섹션 에서 도출된 결과를 결합하면, 평행판 커패시터에서 다음과 같은 익숙한 형태의 방정식을 얻을 수 있다. (단, 판 가장자리 주변의 가장자리 효과는 무시한다.)

$$J\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash frac\; \{1\}\{4\; \backslash pi\; \backslash mathrm\; E^2\}\; E\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash varepsilon\_r\backslash varepsilon\_0\; E\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; D\backslash ,.$$

1865년 논문 '전자기장의 동역학적 이론'에서 맥스웰은 변위 전류로부터 전자기파 방정식을 유도했다. 그는 가우스 법칙과 유전체 변위와 관련된 문제를 해결하기 위해 가우스 항을 제거하고 솔레노이드 자기장 벡터에 대한 파동 방정식을 유도했다.

맥스웰이 분극을 강조한 것은 전기 커패시터 회로에 대한 관심으로 이어졌고, 변위 전류가 전하 보존을 위해 고안되었다는 일반적인 믿음을 낳았다. 맥스웰의 생각에 대해서는 다양한 견해가 존재한다.

앙페르-맥스웰의 법칙에 의해 변위 전류는 자기장와 관계를 맺지만, 변위 전류가 자기장의 근원인지에 대해서는 현대 물리학자들 사이에서도 논쟁이 있다. 근원이 아니라는 주장에 대해서는 모델 선택이 부적절하다는 지적이 있다. 효도는 "쿨롱 전장의 시간 미분은 자기장의 근원이 되지 않는다"고 설명한다. "자기장을 만든다"는 표현이 혼란을 야기한다는 지적과 자기장을 전도 전류 유래와 변위 전류 유래로 분리하는 것은 불가능하다는 의견이 있다.

5. 자기장과의 관계

앙페르-맥스웰 법칙에 따르면, 변위 전류는 자기장과 관계를 맺고 있다. 하지만 변위 전류가 자기장의 근원인지에 대한 논쟁은 현대 물리학자들 사이에서도 계속되고 있다. 근원이 되지 않는다는 주장에 대해서는 모델 선택이 부적절하고 일반화되지 않았다는 지적이 있다. 효도는 "쿨롱 전장의 시간 미분은 자기장의 근원이 되지 않는다"고 설명한다. "자기장을 만든다"는 표현이 혼란을 부추긴다는 지적도 있으며, 자기장을 전도 전류와 변위 전류에 의한 것으로 분리하는 것은 불가능하다는 의견도 있다.