전기 감수율
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1. 개요
전기 감수율은 외부 전기장에 의해 물질 내에 유도되는 전기 분극과 전기장의 비례 관계를 나타내는 물리량이다. 선형 유전체의 경우, 전기 감수율은 편광 밀도와 전기장을 연결하는 비례 상수로 정의되며, 상대 유전율과 밀접한 관련이 있다. 물질의 이방성, 즉 방향에 따라 성질이 달라지는 경우, 전기 감수율은 텐서로 표현된다. 전기 감수율은 물질의 분극률, 즉 개별 분자의 전기 쌍극자 모멘트와도 연결되며, 비선형 광학에서 중요한 비선형 감수율 개념으로 확장된다. 또한, 전기장에 대한 물질의 반응은 시간에 따라 달라지므로, 주파수 의존성을 가지며, 이는 물질의 분산 특성을 나타낸다.
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| 전기 감수율 | |
|---|---|
| 일반 정보 | |
| 기호 | χₑ |
| SI 단위 | (무차원) |
| 재료 속성 | |
| 관련 속성 | 유전율 ε 전기 변위장 D 전기장 E |
2. 정의
외부 전기장 가 유전체[18]나 절연체[19]와 같은 물질에 가해지면, 물질 내부에는 전기 분극 가 유도된다. 전기 감수율 (또는 )는 이 전기 분극 가 외부 전기장 에 얼마나 민감하게 반응하는지를 나타내는 비례 상수이다.[20][21][3][4][8]
물질이 선형 유전체일 경우, 전기 분극과 전기장의 관계는 다음과 같이 간단한 비례식으로 표현된다.
:
여기서 는 자유 공간의 유전율(전기 상수)이다. 이 식에 대한 자세한 설명과 다른 관련 물리량과의 관계는 선형 유전체 및 유전율과의 관계 섹션에서 더 자세히 다룬다.
전기 감수율 는 단위가 없는 무차원량이다.[9] 진공의 전기 감수율은 0이다. 대부분의 물질에서는 전기 감수율이 양수() 값을 가지며, 이는 전기 분극이 외부 전기장과 같은 방향으로 발생함을 의미한다. 이러한 상유전성 물질은 외부 전기장이 강한 쪽으로 끌어당겨지는 경향이 있다. 반면, 반강유전성 물질처럼 전기 분극이 외부 전기장과 반대 방향으로 발생하는 경우도 있으며(), 이들은 전기장이 약한 쪽으로 밀려나는 경향을 보인다. 금속의 경우, 가시광선 영역의 전기장에 대해서는 음수의 전기 감수율()을 가질 수 있다.
강유전체와 같은 특수한 물질은 외부 전기장이 없어도 자발적인 분극을 가지거나, 전기 이력 현상 등 더 복잡한 반응을 보이기도 한다.
전기 감수율은 물질의 고유한 특성이지만, 온도나 외부 전기장의 주파수에 따라 변할 수 있다. 이러한 의존성은 유전 완화 현상이나 강유전체의 상전이와 같은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 한다. 물질이 이방성을 가질 경우, 전기 감수율은 방향에 따라 다른 값을 가지는 텐서로 표현된다. (자세한 내용은 텐서 전기 감수율 참조)
2. 1. 선형 유전체
유전체[18] 또는 절연체[19] 물질이 선형 유전체(linear dielectric)인 경우, 전기 감수율()은 외부 전기장 '''E'''에 의해 유도된 유전체 편극 밀도 '''P''' 사이의 비례 상수로 정의된다.[20][21][3][4][8] 이 관계는 다음과 같은 수식으로 표현된다.여기서 각 기호는 다음을 의미한다.
물질이 이방성(방향에 따라 특성이 다름)인 경우, 감수율은 감수율 텐서로 알려진 텐서로 표현된다. 많은 선형 유전체는 등방성이지만, 물질이 선형이면서 이방성이거나, 비선형이면서 등방성인 경우도 가능하다. 이방성이지만 선형적인 감수율은 많은 결정체에서 흔히 나타난다.[3]
전기 감수율은 상대 유전율 (유전 상수) 과 다음과 같은 관계를 가진다.
따라서 진공의 경우, 상대 유전율 이 1이므로 전기 감수율은 0이다.
또한, 전기 변위장 '''D'''는 편극 밀도 '''P''' 및 전기장 '''E'''와 다음과 같은 관계를 가진다.[3]
여기서 각 기호는 다음을 의미한다.
- : 물질의 유전율
- : 상대 유전율
국제 단위계(SI)에서 전기 상수 의 단위는 F/m이고, 전기장 의 단위는 V/m이다. 따라서 의 단위는 C/m2이며, 이는 편극 밀도 의 단위와 같다. 결과적으로 전기 감수율 는 무차원량이다.[9]
2. 2. 텐서 전기 감수율
물질이 이방성(방향에 따라 성질이 다름)을 가지는 경우, 즉 외부 전기장 '''E'''의 방향에 따라 물질의 반응이 달라지는 경우, 전기 감수율은 단순한 스칼라 값이 아닌 2계 텐서 로 표현된다.[3] 이는 전기장의 특정 방향 성분()이 유전체 분극 밀도 '''P'''의 다른 방향 성분()에 영향을 줄 수 있음을 의미한다.물질에 이방성이 있다면 전기 감수율은 2계 텐서가 되며, 다음과 같이 표현된다.[3][4]
:
여기서 는 공간 성분(예: 직교 좌표계의 x, y, z)을 나타내며, 는 자유 공간의 전기 유전율이다. 많은 결정체들이 이러한 이방성 선형 감수율 특성을 나타낸다.[3]
2. 3. 미분 감수율
물질의 전기 분극이 전기장에 따라 변하는 경우, 전기 감수율은 미분 형태로 정의될 수 있다.:
2. 4. 유전율과의 관계
전기 감수율 는 상대 유전율 (또는 비유전율) 과 다음과 같은 관계를 갖는다.[3]따라서 진공의 경우, 상대 유전율 이 1이므로 전기 감수율은 0이 된다.
이 관계는 전기 변위장 '''D''', 전기장 '''E''', 분극 밀도 '''P''' 사이의 관계식으로부터 유도될 수 있다.[3][10]
여기서 는 진공 유전율이다. 선형 유전체에서 분극 밀도 '''P'''는 전기장 '''E'''에 비례하며, 그 비례 상수가 전기 감수율 이다.[20][21][3][4][8]
이 식을 전기 변위장 정의에 대입하면 다음과 같다.
한편, 유전율 은 관계를 만족하는 물질의 고유한 특성이므로, 유전율 과 전기 감수율 사이에는 다음 관계가 성립한다.
또한, 비유전율 은 유전율 과 진공 유전율 의 비율()로 정의되므로, 다음 관계식도 성립한다.
이 식은 처음에 제시된 과 동일한 관계를 나타낸다. 전기 감수율은 무차원량이다.[9]
3. 일반화된 전기 감수율
시간 및 공간적으로 변화하는 전장에 대해서는 전장과 전기 분극의 파수 와 각주파수 의 푸리에 성분에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
:
여기서 는 전기 분극, 는 전장, 는 진공 유전율, 는 일반화된 전기 감수율이다.
단순히 전기 감수율이라고 할 때는 보통 를 의미하며, 이를 정적 감수율(static susceptibility)이라고 한다. 전기 분극이 발생하는 원인에 따라 전기 감수율의 주파수 의존성이 달라지기 때문에, 도 자주 사용되며, 이를 동적 감수율(dynamic susceptibility)이라고 부른다[12].
일반화된 전기 감수율 는 일반적으로 복소수 값을 가지므로 복소 감수율(complex susceptibility)이라고도 불린다. 인과율의 원리에 따라 의 관계를 만족하며 (여기서 *는 켤레 복소수를 의미), 그 실수부와 허수부는 크라머스-크로니히 관계식을 따른다[13].
또한, 전기 감수율은 선형 응답 이론에서 다루는 주파수 응답 함수의 구체적인 예시 중 하나이다. 전기 감수율의 주파수 의존성은 물질의 고유한 성질을 반영하며, 복소 감수율의 실수 부분은 물질에 의한 전장의 분산(dispersion)을, 허수 부분은 물질에 의한 전장의 흡수(absorption)를 나타낸다.
4. 분극률과의 관계
전기 감수율 는 물질 전체의 거시적인 전기적 반응을 나타내는 척도인 반면, '''분극률'''()은 개별 원자나 분자 수준에서 외부 전기장에 얼마나 잘 반응하여 전기 쌍극자 모멘트가 유도되는지를 나타내는 미시적인 척도이다. 즉, 전기 감수율은 물질을 구성하는 원자나 분자의 미시적 성질인 분극률과 밀접한 관련이 있다.
분극률 는 일반적으로 분자에 유도된 분자 쌍극자 모멘트 와 분자가 실제로 느끼는 국소 전기장 사이의 비례 상수로 정의된다. 정의 방식에 따라 약간의 차이는 있지만, 기본적인 관계는 다음과 같다.
예를 들어, 한 정의에서는 로 표현하며, 이때 는 부피의 차원을 가진다. 다른 정의에서는 로 표현하며, 이때 는 C·m2/V 단위를 가진다[11].
물질 전체의 거시적인 전기 분극 는 단위 부피당 분자 수 과 평균적인 분자 쌍극자 모멘트 의 곱()으로 생각할 수 있다. 한편, 전기 감수율의 정의는 이다. 이 두 관계를 연결하면 전기 감수율과 분극률의 관계를 얻을 수 있다.
가장 간단한 경우는 분자 간 상호작용을 무시할 수 있고 국소 전기장 이 외부에서 가해준 거시적 전기장 와 같다고 가정하는 것이다(). 이 경우, 두 양 사이에는 다음과 같은 직접적인 비례 관계가 성립한다.
(만약 정의 사용 시)
또는
(만약 정의 사용 시)
그러나 대부분의 응집물질에서는 주변 분자들이 만드는 전기장 때문에 국소 전기장 이 외부 전기장 와 달라진다. 이 효과를 고려하는 대표적인 관계식이 클라우지우스-모소티 관계식이다. 이 관계식은 전기 감수율 와 부피 차원의 분극률 , 그리고 분자 밀도 사이의 관계를 다음과 같이 나타낸다.
이 식은 분자 간 상호작용이 전기 감수율 값에 영향을 미친다는 것을 보여준다. 따라서 같은 분극률을 가진 원자로 이루어진 물질이라도 원자 배열 방식(결정 구조 등)에 따라 전기 감수율이 달라질 수 있다[13].
결론적으로, 거시적인 양인 전기 감수율은 물질을 구성하는 원자나 분자의 미시적 성질인 분극률과, 이들 원자/분자가 어떻게 배열되어 상호작용하는지에 따라 결정된다. 분극률 자체는 전자의 분포 변화(전자 분극), 원자핵의 위치 변화(이온 분극), 분자 자체의 회전(배향 분극) 등 다양한 미시적 메커니즘에 의해 결정되며, 각 메커니즘은 외부 전기장의 주파수에 따라 다르게 기여한다[12]. 금속의 경우에는 자유 전자의 집단적인 움직임이 분극에 중요한 역할을 한다[13].
4. 1. 분자 분극률
개별 분자의 유도된 분자 쌍극자 모멘트 '''p'''와 이를 유도하는 국소 전기장 '''E'''local 사이의 관계를 나타내는 매개변수가 존재하는데, 이를 '''분자 분극률'''()이라고 한다. 국소 전기장 '''E'''local에 의해 유도되는 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 표현된다.여기서 는 진공의 유전율이다.
그러나 국소 전기장은 전체 인가된 전기장과 크게 다를 수 있어 복잡성이 발생한다. 단위 부피당 분극 '''P'''는 단위 부피당 분자 수 ''N''과 개별 쌍극자 모멘트 '''p'''를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
만약 국소 전기장이 주변 전기장 '''E'''와 평행하다면, 전기 감수율 와의 관계는 다음과 같다.
따라서 국소 전기장이 주변 전기장과 같을 때()라는 매우 단순한 경우에만 다음과 같이 쓸 수 있다.
일반적으로 국소 전기장과 거시적 전기장 사이의 관계를 고려해야 한다. 일부 물질에서는 클라우지우스-모소티 관계식이 성립하며, 이는 다음과 같다.
분자 분극률의 정의는 저자에 따라 다를 수 있다. 위에서 사용된 정의()에서는 와 가 SI 단위계에 속하며, 분자 분극률 는 부피(m3)의 차원을 갖는다.
다른 정의[5]에서는 SI 단위를 유지하면서 를 에 포함시켜 다음과 같이 정의하기도 한다.
이 경우 분극률 는 C·m2/V의 SI 단위를 갖는다.
또 다른 정의[5]는 와 를 cgs 단위계로 표현하고 를 다음과 같이 정의하는 것이다.
cgs 단위를 사용하면, 첫 번째 정의와 같이 는 부피의 차원을 갖지만, 그 값은 배 작아진다.
전기 감수율 는 거시적인 양인 유전율과 관련이 깊지만, 분극률 는 미시적인 양이다. 고립된 원자 또는 분자의 경우, 분극률 는 원자나 분자의 전기 쌍극자 모멘트 를 유도한 국소 전장 과 관련된 양이다. 국제 단위계에서 분극률(C·m2·V-1)을 사용하는 정의()도 있다[11].
여러 원자 또는 분자가 존재할 경우, 이들 사이의 상호작용으로 인해 국소 전장과 주변 전장의 관계가 복잡해진다. 만약 모든 전기 쌍극자 모멘트가 한 방향으로 정렬되어 있고 단위 부피당 수가 N(m-3)이라면, 거시적인 전기 분극 는 다음과 같이 표현된다. (여기서 는 정의를 따름)
원자 간 또는 분자 간 상호작용을 무시할 수 있고 국소 전장이 주변 전장과 같다면(), 가 되어 전기 감수율과 분극률의 관계는 다음과 같다. (여기서 는 C·m2/V 단위)
그러나 일반적인 경우, 다수의 전기 쌍극자 모멘트 간 상호작용으로 국소 전장이 변한다. 로렌츠의 국소 전장 모델에 따르면, 국소 전장은 주변 전장과 전기 분극 사이에서 다음과 같이 관련될 수 있다.
이 국소 전장을 사용하면, 전기 감수율은 다음과 같이 표현된다. (여기서 는 C·m2/V 단위)
이는 단순한 가산 관계 와 다르다. 같은 분극률을 갖는 원소로 이루어진 고체라도 전기 쌍극자 모멘트의 배치 차이에 따라 전기 감수율 값이 달라질 수 있다[13]. 이 관계식은 고체에서는 불충분할 수 있지만, 실측 유전율로부터 분극률을 평가하는 데 자주 사용된다.
분극의 기원은 크게 전자 분극, 이온 분극(원자 분극), 배향 분극으로 나뉘며, 전체 분극률은 이들의 합으로 나타낸다[12]. 각 분극은 특정 주파수 영역에서 기여하며, 주파수가 높아짐에 따라 기여도가 사라진다. 배향 분극은 109 Hz(마이크로파 영역) 이하, 이온 분극은 1014 Hz(적외선·원적외선 영역) 이하, 전자 분극은 1016〜17 Hz(자외선 영역) 이하에서 주로 발생한다[12].
금속에서는 자유 전자의 집단 운동이 분극의 주된 기원이 되며, 이는 플라즈마 주파수라는 특징적인 주파수(보통 가시광선 영역)를 가진다. 금속의 금속 광택은 이러한 자유 전자의 집단 운동과 관련 있으며, 가시광선 영역에서 강한 이상 분산을 보여 빛을 거의 반사한다[13].
4. 2. 거시적 전기 분극
여러 원자나 분자가 존재할 때, 거시적인 전기 분극 는 단위 부피당 분자 수 N과 개별 분자의 전기 쌍극자 모멘트 를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.개별 분자의 쌍극자 모멘트 는 분자 분극률 와 국소 전기장 을 사용하여 다음과 같이 표현된다.
여기서 는 전기 상수이다.
따라서 거시적 전기 분극 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
한편, 거시적 전기 분극 는 외부에서 가해진 전기장 와 전기 감수율 를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
만약 원자나 분자 간의 상호작용을 무시할 수 있고, 국소 전장 이 외부에서 가해진 주변 전장 와 같다고 가정하면 (), 두 식을 결합하여 전기 감수율과 분극률 사이의 관계를 얻을 수 있다.
이 관계는 분자들이 서로 충분히 떨어져 있어 상호작용이 미미한 이상적인 경우에 해당한다.
그러나 일반적인 물질에서는 다수의 전기 쌍극자 모멘트 간의 상호 작용 등으로 인해 국소 전장이 외부 전장과 달라진다. 로렌츠(Lorentz)는 특정 가정 하에 국소 전장과 거시적 전장 및 분극 사이의 관계를 다음과 같이 제시했다 (로렌츠의 국소 전장).
이 로렌츠 국소 전장을 사용하면, 전기 감수율 는 분극률 및 분자 수 밀도 N과 다음과 같은 관계를 가진다.
이 식은 클라우지우스-모소티 관계식과 동등하며, 단순한 가산성 관계 와는 다르다. 이는 물질 내 분자 간 상호작용이 전기 감수율에 영향을 미침을 보여준다. 따라서 같은 분극률을 갖는 원소로 이루어진 고체라도, 전기 쌍극자 모멘트의 배치 차이에 따라 전기 감수율 값이 달라질 수 있다.[13]
4. 3. 다양한 분극 기원
유전체(절연체)에서 분극이 발생하는 원인은 크게 전자 분극 , 이온 분극(원자 분극) , 배향 분극 으로 나눌 수 있다. 유전체의 전체 분극률은 이 세 가지 분극률의 합으로 나타낸다[12].:
분극률이 주파수에 따라 달라지는 현상(주파수 의존성)은 분극이 발생하는 원인과 밀접한 관련이 있다. 특정 주파수 영역 이상에서는 분극의 운동이 외부 전기장의 변화 속도를 따라가지 못하게 되어 해당 종류의 분극 효과는 사라진다. 일반적으로 각 분극이 주로 나타나는 주파수 영역은 다음과 같다[12].
- 배향 분극: 극성 분자가 외부 전기장에 맞춰 방향을 정렬하면서 발생한다. 비교적 느리게 반응하므로 1GHz (마이크로파 영역) 이하의 낮은 주파수에서 주로 나타난다.
- 이온 분극: 양이온과 음이온이 외부 전기장에 의해 상대적으로 위치가 변하면서 발생한다. 원자핵의 움직임과 관련되므로 배향 분극보다는 빠르지만 전자 분극보다는 느리다. 100THz (적외선·원적외선 영역) 이하에서 주로 나타난다.
- 전자 분극: 원자핵 주위의 전자가 외부 전기장에 의해 상대적으로 위치가 변하면서 발생한다. 가장 빠르게 반응하며 10PHz~100PHz (자외선 영역) 이하의 높은 주파수까지 나타난다.
고분자 물질에서는 분자 구조의 크기와 형태에 따라 다양한 주파수에서 원자 분극(이온 분극과 유사)이 나타난다. 예를 들어 열가소성 수지에서는 낮은 주파수부터 순서대로 주 사슬 구조의 분자 진동에 의한 α 분산, 곁사슬 구조의 분자 진동에 의한 β 분산, 관능기 수준의 분자 진동에 의한 γ 분산 등이 관찰된다.
금속의 경우, 물질 내부에 자유 전자처럼 움직일 수 있는 전자들이 많다. 이 자유 전자들의 집단적인 움직임이 금속에서의 전자 분극을 일으키는 주된 원인이다. 유전체에서는 전자가 원자핵에 속박된 상태에서 위치가 변하는 것과 달리, 금속에서는 전자들이 물질 전체에 걸쳐 외부 전기장과 반대 방향으로 이동하는 특징을 보인다[13].
금속에서 자유 전자의 집단적인 운동은 대략 1PHz (가시광선 영역) 근처의 특정 주파수(플라즈마 주파수)를 가진다. 금속 특유의 금속 광택은 이러한 자유 전자의 집단 운동과 관련이 깊다. 금속은 가시광선 영역에서 전기 감수율 가 -1보다 훨씬 작은 음수 값을 가지는 이상 분산 현상을 보이며, 이 때문에 가시광선을 거의 전부 반사하는 성질을 나타낸다[13].
5. 비선형성
많은 물질에서 편광은 강한 전기장 하에서 포화되는 경향을 보인다. 즉, 전기장의 세기가 계속 증가해도 분극의 정도는 더 이상 선형적으로 증가하지 않고 특정 값에 수렴하게 된다. 이러한 포화 현상을 설명하고 모델링하기 위해 '''비선형 감수율'''이라는 개념이 도입된다. 이는 물질이 강한 전기장에 비선형적으로 반응하는 정도를 나타내는 척도이다.[6] 비선형 감수율은 특히 비선형 광학 분야에서 중요한 역할을 한다.
5. 1. 비선형 감수율
많은 물질에서 편광도는 강한 전기장 값에서 포화되기 시작한다. 이러한 포화 현상은 '''비선형 감수율'''로 모델링할 수 있다. 비선형 감수율은 비선형 광학에서 중요하며, 제2 고조파 발생 (예: 녹색 레이저 포인터에서 적외선을 가시광선으로 변환하는 데 사용됨)과 같은 효과를 일으킨다.SI 단위에서 비선형 감수율은 전기장에 대한 편광의 반응을 테일러 전개를 통해 다음과 같이 정의한다:[6]
여기서 는 전기 분극, 는 전기장, 는 진공의 유전율이다. 는 자발 분극으로, 강유전체 물질이 아니면 보통 0이다 ().
첫 번째 감수율 항인 은 위에 설명된 선형 감수율에 해당하며 무차원 상수이다. 그 다음 항들인 (n ≥ 2)은 비선형 감수율이며, 단위를 가진다. 비선형 감수율은 전체 전기 감수율 가 전기장에 의존하도록 전개한 것으로도 볼 수 있다.
비선형 감수율은 감수율이 모든 방향에서 균일하지 않은 이방성 물질로 일반화될 수 있다. 이러한 물질에서 각 감수율 은 -차 텐서가 된다.
비선형 감수율은 비선형 광학 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 녹색 레이저 포인터에 응용되는 제2 고조파 발생 현상은 와 관련이 있다.
6. 분산과 인과성
일반적으로 물질은 가해진 전기장에 즉각적으로 반응하여 분극되지 않는다. 따라서 시간에 따라 변하는 전기장에 대한 물질의 반응을 제대로 이해하기 위해서는 시간 의존성을 고려해야 한다.
시간 에서의 분극 는 단순히 그 순간의 전기장 에만 비례하는 것이 아니라, 그 이전 시간()에서의 전기장 이력 전체에 영향을 받는다. 이는 시간 의존적인 전기 감수율 을 이용한 컨벌루션 적분 형태로 표현된다.
이러한 시간 영역에서의 관계는 푸리에 변환을 통해 주파수 영역에서 더 간단한 곱셈 형태로 나타낼 수 있다. 컨벌루션 정리에 의해 적분은 곱으로 변환된다.
[7]
여기서 는 주파수에 의존하는 전기 감수율이다.
감수율의 주파수 의존성 는 유전율 또한 주파수에 따라 변하게 만들며, 이는 빛이 물질을 통과할 때 주파수(색깔)에 따라 속도나 굴절률이 달라지는 분산 현상의 근본 원인이 된다.
또한, 분극은 오직 과거의 전기장에 의해서만 결정될 수 있다는 물리적 원리, 즉 인과성은 감수율 가 일 때 0이어야 함( for )을 의미한다. 이 인과성 원리는 주파수 영역의 감수율 에 대해 중요한 수학적 제약 조건인 크라머스-크로니히 관계를 만족하도록 요구한다.
6. 1. 주파수 의존성
일반적으로 물질은 외부 전기장에 즉각적으로 반응하여 분극되지 않으므로, 시간의 함수로 분극을 더 정확하게 나타내면 다음과 같다.
이 식은 분극 이 현재 시간 이전의 모든 시간 에서의 전기장 과 시간 의존적 감수율 ()의 컨벌루션임을 의미한다. 즉, 물질의 분극 상태는 과거의 전기장 이력에 영향을 받는다. 적분의 상한은 일 때 으로 정의하면 무한대까지 확장할 수 있다. 이는 인과율에 따른 것으로, 분극은 미래의 전기장에 영향을 받을 수 없다는 물리적 제약을 반영한다. 만약 물질이 전기장에 즉각적으로 반응한다면, 이는 디랙 델타 함수 형태의 감수율 에 해당한다.
시간 영역에서의 컨벌루션 형태는 다루기 복잡할 수 있으므로, 선형 시스템 이론에서처럼 푸리에 변환을 이용하여 주파수 영역에서 관계를 표현하는 것이 더 편리하다. 컨벌루션 정리에 따라 시간 영역에서의 적분(컨벌루션)은 주파수 영역에서 곱셈으로 변환된다.
여기서 , , 는 각각 분극, 전기 감수율, 전기장의 주파수 에 대한 푸리에 성분이다.
감수율의 이러한 주파수 의존성 는 유전율의 주파수 의존성으로 직접 이어진다. 주파수에 따라 감수율(및 유전율)이 변하는 양상은 해당 물질의 분산 특성을 결정한다. 즉, 빛의 주파수(색깔)에 따라 물질의 굴절률이 달라지는 현상 등이 감수율의 주파수 의존성에서 기인한다.
또한, 인과율 조건(에 대해 )은 주파수 영역의 감수율 에 대해 크라머스-크로니히 관계라는 중요한 수학적 제약을 가한다. 이 관계는 감수율의 실수부와 허수부가 서로 독립적이지 않고 연관되어 있음을 보여준다.
보다 일반적으로, 시간과 공간에 따라 변하는 전기장에 대해서는 파수 와 각주파수 의 푸리에 성분을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
단순히 전기 감수율이라고 할 때는 보통 인 경우, 즉 정적이고 균일한 전기장에 대한 감수율 을 의미하며, 이를 정적 감수율이라고 한다. 반면, 주파수 의존성을 고려한 는 동적 감수율이라고 부른다[12]. 동적 감수율은 일반적으로 복소수 값을 가지며(복소 감수율), 의 관계를 만족한다 (여기서 *는 켤레 복소수를 의미). 복소 감수율의 실수부는 물질 내에서 전기장의 분산(속도 변화)을 나타내고, 허수부는 전기장의 흡수 (에너지 손실)를 나타낸다[13]. 전기 감수율은 선형 응답 이론에서 다루는 주파수 응답 함수의 구체적인 예 중 하나로, 그 주파수 의존성은 물질의 고유한 성질을 반영한다.
6. 2. 인과성
일반적으로 물질은 외부 전기장에 즉각적으로 반응하여 분극되지 않는다. 즉, 분극이 형성되기까지 시간이 소요된다. 따라서 시간에 따라 변하는 전기장에 대한 분극을 더 정확하게 나타내려면 시간 의존성을 고려해야 한다. 시간 에서의 분극 는 현재 시점뿐만 아니라 그 이전 시간 에서의 전기장 의 영향까지 누적된 결과로 나타나며, 이는 다음과 같은 컨벌루션 적분 형태로 표현된다.
여기서 는 진공의 유전율이고, 는 시간 차이 에 따른 물질의 반응 특성을 나타내는 시간 의존적 전기 감수율이다.
이 관계식에는 중요한 물리적 원리인 인과성(causality)이 내포되어 있다. 인과성이란 결과(분극)가 원인(전기장)보다 시간적으로 앞설 수 없다는 원리이다. 즉, 특정 시점 의 분극 는 오직 그 이전 시간()의 전기장 에만 의존해야 한다. 이는 수학적으로 시간 차이 가 음수일 때, 즉 (미래 시간)일 때 감수율이 0이어야 함을 의미한다: for . 이 인과성 조건 때문에 위 적분의 상한이 가 된다. 만약 물질이 전기장에 즉각적으로 반응한다면, 감수율은 디랙 델타 함수 형태인 로 표현될 수 있다.
시간에 대한 컨벌루션은 푸리에 변환을 통해 주파수 영역에서 다루는 것이 더 편리하다. 컨벌루션 정리에 따라 시간 영역에서의 적분은 주파수 영역에서 단순한 곱셈 관계로 변환된다.
여기서 , , 는 각각 분극, 전기장, 감수율의 푸리에 변환 성분이다. 는 주파수에 의존하는 감수율이며, 이 주파수 의존성은 유전율의 주파수 의존성으로 이어져 물질의 분산 특성을 결정한다.
시간 영역에서의 인과성 조건(에 대해 )은 주파수 영역의 감수율 에 수학적인 제약을 가하며, 이는 크라머스-크로니히 관계라는 중요한 물리 법칙으로 나타난다. 일반적으로 주파수 의존 감수율 는 복소수 값을 가지며 복소 감수율이라고도 불린다. 인과율로부터 복소 감수율은 라는 관계를 만족하며[13], 그 실수부와 허수부는 서로 독립적이지 않고 크라머스-크로니히 관계식을 통해 연결된다.[12][13] 복소 감수율의 실수 부분은 물질 내에서 전자기파의 속도 변화와 관련된 분산 현상을 나타내고, 허수 부분은 물질에 의한 전자기파 에너지의 흡수를 나타낸다.
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分極率を、と定義する場合もある。この場合、国際単位系では、分極率の単位はm-3である。電気感受率の定義、分極率の定義の方法により、電気感受率と分極率との関係式が変わるので注意が必要である。
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