보른 규칙

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1. 개요
2. 역사
3. 상세
4. 더 기본적인 원칙에서 파생
5. 한국의 관점 및 정치적 함의
참조

1. 개요

보른 규칙은 1926년 막스 보른이 제안한 양자역학의 핵심 규칙으로, 파동 함수의 제곱을 이용하여 측정을 통해 얻을 수 있는 결과의 확률을 계산하는 방법을 제공한다. 슈뢰딩거 방정식을 산란 문제에 적용한 보른은 아인슈타인의 광전 효과에 대한 확률적 규칙을 참고하여 이 규칙을 제시했으며, 1954년 발터 보테와 함께 노벨 물리학상을 수상했다. 존 폰 노이만은 스펙트럼 이론을 보른 규칙에 적용하는 연구를 진행했다. 글리슨의 정리는 보른 규칙이 양자 물리학의 측정에 대한 일반적인 수학적 표현에서 파생될 수 있음을 보여주며, 다세계 해석 등 다양한 이론에서 보른 규칙을 도출하려는 시도가 이루어졌다. 양자 베이즈주의 관점에서는 보른 규칙을 확률 이론의 확장으로 해석하기도 한다.

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보른 규칙
기본 정보
막스 본 메달
물리학 정보
이름	보른 규칙
분야	양자역학
설명	파동 함수를 사용하여 입자의 위치를 확률적으로 예측하는 규칙
제안자	막스 보른
발표 년도	1926년
중요성	양자역학의 확률론적 해석의 핵심
수학적 표현
파동 함수	si(r)
확률 밀도	\| si(r)\|^2
확률	P(r) = \| si(r)\|^2 dV

2. 역사

보른 규칙은 1926년 독일의 물리학자 막스 보른이 처음 제안했다.^[32]^[4]^[24] 보른은 이 논문에서 산란 문제에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀었으며, 알베르트 아인슈타인과 아인슈타인의 광전 효과에 대한 확률적 규칙에서 영감을 받아^[33]^[5]^[25] 각주를 통해 보른 규칙이 해의 유일한 가능한 해석이라고 결론지었다.^[33]^[5]^[26] 1954년, 발터 보테와 함께 보른은 이 업적과 기타 연구로 노벨 물리학상을 수상했다.^[33]^[5]^[26]

존 폰 노이만은 1932년 저서에서 보른 규칙에 대한 스펙트럼 이론의 적용에 대해 논의했다.^[34]^[6]^[27] 2011년 Armando V.D.B. Assis는 논문에서 보른 규칙은 게임 이론적 틀 내에서 유도할 수 있다고 주장했다.^[28]

2. 1. 보른의 초기 연구

보른은 1926년 논문에서 보른 규칙을 공식화했다.^[32] 이 논문에서 보른은 산란 문제에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀고, 알베르트 아인슈타인과 광전 효과에 대한 아인슈타인의 확률 규칙에서 영감을 받아,^[33] 파동 함수의 절댓값 제곱이 입자를 발견할 확률 밀도라는 해석을 제시하며, 각주에서 보른 규칙이 솔루션에 대한 유일한 가능한 해석이라고 결론지었다. 1954년에 발터 보테와 함께 보른은 이 연구와 다른 연구로 노벨 물리학상을 수상했다.^[33] 존 폰 노이만은 1932년 그의 책에서 스펙트럼 이론을 보른 규칙에 적용하는 것에 대해 논의했다.^[34]

2. 2. 노벨 물리학상 수상

보른은 1926년 논문에서 보른 규칙을 공식화했다.^[32] 이 논문에서 보른은 산란 문제에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀고, 알베르트 아인슈타인과 광전 효과에 대한 아인슈타인의 확률 규칙^[33]에 대한 각주에서 보른 규칙이 해의 유일한 가능한 해석을 제공한다고 결론지었다. 1954년 발터 보테와 함께 보른은 이 연구와 다른 연구로 노벨 물리학상을 수상했다.^[33] 존 폰 노이만은 1932년 그의 책에서 스펙트럼 이론을 보른 규칙에 적용하는 것에 대해 논의했다.^[34]

2. 3. 폰 노이만의 기여

존 폰 노이만은 1932년 자신의 저서에서 스펙트럼 이론을 이용하여 보른 규칙을 더 심도 있게 논의했다.^[34]

2. 4. 규칙의 발전과 확장

글리슨의 정리는 보른 규칙이 비맥락성 가정과 함께 양자 물리학의 측정에 대한 일반적인 수학적 표현에서 파생될 수 있음을 보여준다. 앤드루 글리슨(Andrew M. Gleason)은 조지 매키(George W. Mackey)가 제기한 질문에 의해 촉발되어^[35] 1957년에 처음으로 이 정리를 증명했다.^[36]^[37] 이 정리는 다양한 종류의 숨은 변수 이론이 양자 물리학과 일치하지 않는다는 것을 보여주는 역할을 했다는 점에서 역사적으로 중요했다.^[38]

몇몇 다른 연구자들도 보다 기본적인 원칙에서 보른 규칙을 도출하려고 시도했다. 다세계 해석에서 보른 규칙이 파생될 수 있다고 주장되었지만, 기존 증명은 순환적이라는 비판을 받았다.^[39] 파일럿 파동 이론이 통계적으로 보른 규칙을 유도하는 데 사용될 수 있다는 주장도 제기되어 왔지만, 이것은 여전히 논란의 여지가 있다.^[40]

2019년에 페리미터 이론물리 연구소(Perimeter Institute for Theoretical Physics)의 류이스 마사네스(Lluis Masanes)와 토머스 갤리(Thomas Galley), 그리고 양자 광학 및 양자 정보 연구소(Institute for Quantum Optics and Quantum Information)의 마르쿠스 뮐러(Markus Müller)는 보른 규칙의 파생물을 발표했다.^[41] 그들의 결과는 글리슨의 정리와 동일한 초기 가정을 사용하지 않지만, 힐베르트 공간 구조와 컨텍스트 독립 유형을 가정한다.^[42]

양자 베이즈주의적 해석 내에서 보른 규칙은 관련된 물리적 시스템 힐베르트 공간 차원을 고려하는 전체 확률의 법칙의 수정으로 간주된다. 양자역학의 해석에 대한 많은 해석이 그러하듯이 보른 규칙을 도출하려고 하기보다는, 큐비스트는 보른 규칙의 공식화를 원시적으로 취하고 가능한 한 많은 양자 이론을 도출하는 것을 목표로 한다.^[43]

3. 상세

에르미트 연산자로 표현되는 물리량(옵저버블)을 측정할 때, 그 측정 결과의 확률을 계산하는 방법을 제공하는 것이 보른 규칙이다. 보른 규칙에 따르면, 측정 결과는 해당 연산자의 고윳값 중 하나가 되며, 특정 고윳값이 측정될 확률은 파동 함수와 고유 벡터를 이용하여 계산할 수 있다.

관찰 가능량이 자체 연결 연산자 $A$ 에 해당하고, 이산 스펙트럼을 가지며 정규화된 파동 함수를 가진 시스템에서 측정될 때, 다음이 성립한다.

측정 결과는 $A$ 의 고유값 $\lambda$ 중 하나가 된다.
주어진 고유값 $\lambda_i$ 를 측정할 확률은 $\lang\psi|P_i|\psi\rang$ 와 같다. 여기서 $P_i$ 는 $\lambda_i$ 에 해당하는 $A$ 의 고유 공간으로의 투영이다.
$\lambda_i$ 에 해당하는 $A$ 의 고유 공간이 정규화된 고유 벡터 $|\lambda_i\rang$ 에 의해 span된 1차원인 경우, $P_i$ 는 $|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|$ 와 같으므로, 확률 $\lang\psi|P_i|\psi\rang$ 는 $\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rang$ 와 같다. 복소수 $\lang\lambda_i|\psi\rang$ 는 상태 벡터 $|\psi\rang$ 가 고유 벡터 $|\lambda_i\rang$ 에 할당하는 ''확률 진폭''으로 알려져 있으므로, 보른 규칙을 확률이 진폭의 제곱과 같다고 설명하는 것이 일반적이다(실제로 진폭에 자체의 복소 켤레를 곱한 값). 이와 동등하게, 확률은 $\big|\lang\lambda_i|\psi\rang\big|^2$ 로 쓸 수 있다.

A

의 스펙트럼이 완전히 이산적이지 않은 경우, 스펙트럼 정리는 특정 사영 값 측정(PVM)

Q

, 즉

A

의 스펙트럼 측도의 존재를 증명한다. 이 경우:

측정 결과가 측정 가능한 집합 $M$ 에 속할 확률은 $\lang\psi|Q(M)|\psi\rang$ 로 주어진다.

예를 들어, 단일의 구조가 없는 입자는 위치 좌표

(x, y, z)

와 시간 좌표

t

에 의존하는 파동 함수

\psi

로 설명할 수 있다. 보른 규칙은 시간

t_0

에서 입자의 위치 측정 결과에 대한 확률 밀도 함수

p

가 다음과 같음을 의미한다.

:

p(x, y, z, t_0) = |\psi(x, y, z, t_0)|^2

보른 규칙은 양의 연산자 값 측정(POVM)을 사용하여 일반화될 수 있다. POVM은 측도이며, 그 값은 양의 준정부호 연산자이고, 힐베르트 공간에 작용한다. POVM은 폰 노이만 측정의 일반화이며, 이에 따라 POVM으로 설명되는 양자 측정은 자기 수반 관측 가능량으로 설명되는 양자 측정의 일반화이다.

가장 간단한 경우, 유한 차원 힐베르트 공간에서 작용하는 유한 개의 원소를 갖는 POVM에서, POVM은 힐베르트 공간

\mathcal{H}

에서 합이 항등 행렬이 되는 양의 준정부호 행렬

\{F_i\}

의 집합이다.

:

\sum_{i=1}^n F_i = I.

POVM 원소

F_i

는 측정 결과

i

와 연관되어 있으며, 양자 상태

\rho

에 대한 측정을 수행할 때 얻을 확률은 다음과 같다.

:

p(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i),

여기서

\operatorname{tr}

은 대각합 연산자이다. 이것은 보른 규칙의 POVM 버전이다. 측정되는 양자 상태가 순수 상태

|\psi\rangle

인 경우 이 공식은 다음과 같이 축소된다.

:

p(i) = \operatorname{tr}\big(|\psi\rangle\langle\psi| F_i\big) = \langle\psi|F_i|\psi\rangle.

보른 규칙은 시간 진화 연산자

e^{-i\hat{H}t}

의 유니타리 연산자 (또는 그와 동등하게, 해밀토니안

\hat{H}

가 에르미트인 경우)와 함께 이론의 유니타리성을 의미한다.^[30]

3. 1. 이산 고윳값의 경우

에르미트 연산자로 표현되는 물리량(옵저버블)

\hat{A}

를 측정하는 상황을 생각해보자. 이 연산자의 고윳값이 이산적인 경우, 즉

\hat{A}

가 이산 스펙트럼을 갖는 경우를 다룬다. 측정 대상 시스템은 정규화된 파동 함수

|\psi\rang

(브라-켓 표기법 참조)로 표현된다. 이때, 보른 규칙은 다음과 같이 요약할 수 있다.

측정 결과는 $\hat{A}$ 의 고유값 $\lambda$ 중 하나로 한정된다.
특정 고유값 $\lambda_i$ 가 측정될 확률은 $\lang\psi|\hat{P_i}|\psi\rang$ 로 주어진다. 여기서 $\hat{P_i}$ 는 " $\hat{A}$ 의 고유값 $\lambda_i$ 에 속하는 고유 공간으로의 사영 연산자"이다. 이 확률은 $|\lang\lambda_i|\psi\rang|^2$ 와 같이 표현할 수 있다.

복소수

\lang\lambda_i|\psi\rang

는 "측정값

\lambda_i

가 얻어질 확률 진폭" 이라고 불린다.

고윳값

\lambda_i

에 여러 개의 고유 벡터가 대응될 수 있는데, 이를 "축퇴"라고 한다. 축퇴가 없는 경우와 있는 경우에 대한 자세한 설명은 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 1. 축퇴가 없는 경우

자체 연결 연산자에 해당하는 관찰 가능량

A

가 이산 스펙트럼을 가지고, 정규화된 파동 함수

|\psi\rang

를 가진 시스템에서 측정될 때, 보른 규칙은 다음을 명시한다.

측정된 결과는 $A$ 의 고유값 $\lambda$ 중 하나가 된다.
주어진 고유값 $\lambda_i$ 를 측정할 확률은 $\lang\psi|P_i|\psi\rang$ 와 같다. 여기서 $P_i$ 는 $\lambda_i$ 에 해당하는 $A$ 의 고유 공간으로의 투영이다.

\lambda_i

에 해당하는

A

의 고유 공간이 1차원이고 정규화된 고유 벡터

|\lambda_i\rang

에 의해 생성되는 경우,

P_i

는

|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|

와 같다. 따라서 확률

\lang\psi|P_i|\psi\rang

는

\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rang

와 같다. 복소수

\lang\lambda_i|\psi\rang

는 상태 벡터

|\psi\rang

가 고유 벡터

|\lambda_i\rang

에 할당하는 확률 진폭으로 알려져 있다. 따라서 보른 규칙은 확률이 진폭의 제곱(진폭과 그 복소수 켤레의 곱)과 같다고 설명하는 것이 일반적이다. 즉, 확률은

\big|\lang\lambda_i|\psi\rang\big|^2

로 쓸 수 있다.

3. 1. 2. 축퇴가 있는 경우

하나의 고윳값에 여러 개의 고유 벡터가 대응되는 경우(축퇴), 해당 고윳값에 대한 사영 연산자는 각 고유 벡터에 대한 사영 연산자의 합으로 표현된다. 고유값

\lambda_i

에

m

개의 고유 벡터

\

3. 2. 연속 고윳값의 경우

에르미트 연산자가 연속적인 고윳값을 갖는 경우, 스펙트럼 정리에 의해 사영 값 측정(PVM)

Q

가 존재한다.^[30] 이 PVM은 에르미트 연산자의 스펙트럼 측도이다. 이 경우, 측정 결과가 특정 구간

M

에 속할 확률은 파동 함수

\psi

와 PVM

Q

를 이용하여 다음과 같이 계산된다.

측정 결과가 가측 집합 $M$ 에 속할 확률: $\lang\psi|Q(M)|\psi\rang$

예를 들어, 위치 공간에서 구조가 없는 단일 입자의 파동 함수

\psi(x, y, z, t_0)

가 주어졌을 때, 시간

t_0

에서 위치 측정에 대한 확률 밀도 함수

p(x, y, z)

는 다음과 같다.

:

p(x, y, z) = |\psi(x, y, z, t_0)|^2

3. 3. POVM (양의 연산자 값 측정)

일부 응용 분야에서, 보른 규칙은 양의 연산자 값 측정(POVM)을 사용하여 일반화된다. POVM은 폰 노이만 측정의 일반화이며, 이에 따라 POVM으로 설명되는 양자 측정은 자기 수반 관측 가능량으로 설명되는 양자 측정의 일반화이다. 대략적으로 비유하면, POVM은 혼합 상태가 순수 상태에 있는 것과 유사하게 PVM에 해당한다.^[30] 혼합 상태는 더 큰 시스템의 하위 시스템의 상태를 지정하는 데 필요하다(양자 상태의 정화 참조). 마찬가지로, POVM은 더 큰 시스템에서 수행된 사영 측정이 하위 시스템에 미치는 영향을 설명하는 데 필요하다. POVM은 양자 역학에서 가장 일반적인 종류의 측정이며, 양자장론에서도 사용할 수 있다.^[30] POVM은 양자 정보 분야에서 광범위하게 사용된다.

가장 간단한 경우, 유한 차원 힐베르트 공간에서 작용하는 유한 개의 원소를 갖는 POVM에서, POVM은 힐베르트 공간

\mathcal{H}

에서 합이 항등 행렬이 되는 양의 준정부호 행렬

\{F_i\}

의 집합이다.

:

\sum_{i=1}^n F_i = I.

POVM 원소

F_i

는 측정 결과

i

와 연관되어 있으며, 양자 상태

\rho

에 대한 측정을 수행할 때 얻을 확률은 다음과 같다.

:

p(i) = \operatorname{tr}(\rho F_i),

여기서

\operatorname{tr}

은 대각합 연산자이다. 이것은 보른 규칙의 POVM 버전이다. 측정되는 양자 상태가 순수 상태

|\psi\rangle

인 경우 이 공식은 다음과 같이 축소된다.

:

p(i) = \operatorname{tr}\big(|\psi\rangle\langle\psi| F_i\big) = \langle\psi|F_i|\psi\rangle.

4. 더 기본적인 원칙에서 파생

글리슨 정리는 보른 규칙이 양자 물리학의 측정에 대한 일반적인 수학적 표현과 비맥락성 가정으로부터 유도될 수 있음을 보여준다.^[35] 앤드루 글리슨(Andrew M. Gleason)은 조지 매키(George W. Mackey)가 제기한 질문에 의해 촉발되어^[36] 1957년에 처음으로 이 정리를 증명했다.^[37] 이 정리는 다양한 종류의 숨은 변수 이론이 양자 물리학과 일치하지 않는다는 것을 보여주는 역할을 했다는 점에서 역사적으로 중요했다.^[38]

몇몇 다른 연구자들도 보다 기본적인 원칙에서 보른 규칙을 도출하려고 시도했다. 보른 규칙은 다세계 해석에서 파생될 수 있다고 주장되었지만, 기존 증명은 순환적이라는 비판을 받았다.^[39] 파일럿 파동 이론이 통계적으로 보른 규칙을 유도하는 데 사용될 수 있다는 주장도 제기되어 왔지만, 이것은 여전히 논란의 여지가 있다.^[40]

2019년에는 Perimeter Institute for Theoretical Physics의 Lluis Masanes와 Thomas Galley, 그리고 Institute for Quantum Optics and Quantum Information의 Markus Müller는 보른 규칙의 파생물을 발표했다.^[41] 그들의 결과는 글리슨의 정리와 동일한 초기 가정을 사용하지 않지만, Hilbert-space 구조와 컨텍스트 독립 유형을 가정한다.^[42]

양자 이론의 양자 베이즈주의적 해석 내에서, 보른 규칙은 관련된 물리적 시스템 Hilbert 공간 차원을 고려하는 전체 확률의 표준 법칙의 수정으로 간주된다. 양자역학에 대한 많은 해석이 그러하듯이 보른 규칙을 도출하려고 하기보다는, 큐비스트는 보른 규칙의 공식화를 원시적으로 취하고 가능한 한 많은 양자 이론을 도출하는 것을 목표로 한다.^[43]

5. 한국의 관점 및 정치적 함의

(주어진 원본 소스가 없어 보른 규칙의 한국 관점 및 정치적 함의에 대한 내용을 작성할 수 없으므로, 이전 출력과 동일한 결과를 반환합니다.)

참조

_[1] 서적 Graduate Texts in Mathematics Springer New York
_[2] 저널 Quantum information and relativity theory
_[3] 서적 Quantum Computation and Quantum Information Cambridge University Press
_[4] 저널 Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge 1926
_[5] 웹사이트 The statistical interpretation of quantum mechanics https://www.nobelpri[...] nobelprize.org 2018-11-07
_[6] 서적 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Princeton University Press 1932
_[7] 저널 Measures on the closed subspaces of a Hilbert space http://www.iumj.indi[...]
_[8] 저널 Quantum Mechanics and Hilbert Space
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_[12] 저널 Probability in the Everett Interpretation http://philsci-archi[...] 2022-12-06
_[13] 서적 Many Worlds? Everett, Quantum Theory, & Reality Oxford University Press
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_[22] 저널 Born's rule as a quantum extension of Bayesian coherence
_[23] 간행물 "The conclusion seems to be that no generally accepted derivation of the Born rule has been given to date, but this does not imply that such a derivation is impossible in principle." http://www.math.ru.n[...] Springer
_[24] 간행물 Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge Princeton University Press 1926-12
_[25] 뉴스 "Again an idea of Einstein’s gave me the lead. He had tried to make the duality of particles - light quanta or photons - and waves comprehensible by interpreting the square of the optical wave amplitudes as probability density for the occurrence of photons. This concept could at once be carried over to the psi-function: |psi|2 ought to represent the probability density for electrons (or other particles)." https://www.nobelpri[...] Born's Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics
_[26] 웹사이트 Born's Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics https://www.nobelpri[...]
_[27] 서적 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik Springer
_[28] 저널 Assis, Armando V.D.B. On the nature of $\scriptstyle a^{*}_{k}a_{k}$ and the emergence of the Born rule. Annalen der Physik, 2011. http://onlinelibrary[...]
_[29] 문서 The time evolution of a quantum system is entirely deterministic according to the Schrödinger equation. It is through the Born Rule that probability enters into the theory.
_[30] 저널 Quantum information and relativity theory
_[31] 서적 Quantum Computation and Quantum Information https://archive.org/[...]
_[32] 서적 Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge
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_[34] 서적 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
_[35] 저널 Measures on the closed subspaces of a Hilbert space http://www.iumj.indi[...]
_[36] 논문 Quantum Mechanics and Hilbert Space https://archive.org/[...]
_[37] 논문 Andy Gleason and Quantum Mechanics https://www.ams.org/[...] 2009-11
_[38] 논문 Hidden variables and the two theorems of John Bell 1993-07-01
_[39] 서적 Compendium of Quantum Physics Springer
_[40] 서적 Stanford Encyclopedia of Philosophy Metaphysics Research Lab, Stanford University
_[41] 논문 The measurement postulates of quantum mechanics are operationally redundant
_[42] 웹인용 Mysterious Quantum Rule Reconstructed From Scratch https://www.quantama[...] 2019-02-13
_[43] 서적 Stanford Encyclopedia of Philosophy Metaphysics Research Lab, Stanford University

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