자기 수반 작용소

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1. 개요

자기 수반 작용소는 힐베르트 공간에서 정의된 대칭 작용소의 한 종류로, 양자역학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 유계 작용소의 경우 $\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle$ 를 만족하면 자기 수반이며, 무계 작용소는 헬링거-토플리츠 정리에 따라 정의역이 힐베르트 공간 전체와 같을 때 유계이다. 자기 수반 작용소는 곱셈 연산자와 유니터리 동치이며, 스펙트럼 정리를 통해 분석할 수 있다. 스펙트럼 정리는 자기 수반 작용소에만 적용되며, 대칭 작용소의 확장 개념을 통해 자기 수반성을 확보할 수 있다. 양자역학에서 관측 가능한 물리량은 자기 수반 작용소로 표현되며, 시간 전개는 자기 수반 작용소로 생성된다.

자기 수반 작용소

개요

분야	선형대수학, 함수해석학
종류	선형 연산자
성질	에르미트성

정의

조건	임의의 벡터 x, y에 대해 ` = `를 만족하는 선형 연산자 A
설명	힐베르트 공간에서 정의된 조밀하게 정의된 선형 연산자 A에 대해, A의 수반 연산자 A가 A의 확장이고, A가 A의 정의域에 속하는 경우, A를 자기 수반 연산자라고 함.

표기

영어	Self-adjoint operator
일본어	エルミート作用素 (Erumi-to Sayōso)
한국어	자기 수반 작용소 (Jagi Suban Jakyongso)

성질

스펙트럼	자기 수반 연산자의 모든 고윳값은 실수임.
고유 벡터	자기 수반 연산자의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터는 직교함.
응용	양자역학에서 물리량 (관측 가능량)을 나타내는 연산자는 자기 수반 연산자임.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대칭 작용소와 자기 수반 작용소
3. 성질
- 3.1. 스펙트럼 정리
- 3.2. 대칭 작용소의 확장
4. 예시
- 4.1. 경계 조건
- 4.2. 특이 포텐셜을 갖는 슈뢰딩거 연산자
5. 양자역학에서의 의미

2. 정의

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

$\mathbb K$ -힐베르트 공간 $H$ 위의 조밀 부분 집합 $D\subseteq H$ 가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환
: $A\colon D\to H$
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을 $D$ 위의 자기 수반 작용소라고 한다.

* 대칭 작용소이며, $\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*$ 이다.
* 임의의 $x,y\in D$ 에 대하여, $\langle x|A|y\rangle = \langle Ax|y\rangle$ 이다. 또한, 임의의 $x,y\in H$ 에 대하여, 만약 $\langle x|A = \langle y| \colon H\to\mathbb K$ 라면, $x\in D$ 이다.
* 특히, 임의의 $x\in D$ 에 대하여, $\langle x|A = \langle Ax|\colon D\to\mathbb K$ 는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 $H\to\mathbb K$ 로 유일하게 확장된다.
* $\operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*$ 이며, 모든 $u\in\operatorname{dom}A$ 에 대하여 $Au=A^*u$ 이다. 여기서 $A^*\colon\operatorname{dom}A^*\to H$ 는 에르미트 수반이다.
* 그래프 $\operatorname{graph}(A) = \{(x,Ax)\colon x\in H\}\subseteq H\oplus H$ 및 심플렉틱 사상 $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$ , $(x,y)\mapsto(-y,x)$ 에 대하여, $(J\operatorname{graph}A)^\perp = \operatorname{graph}A$ 이다.
* 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간 $X$ 과 가측 함수 $f \colon X \to (\mathbb R,\operatorname{Borel}(X))$ 과 전단사 유니터리 작용소 $UH \to \operatorname L^2(X;\mathbb K)$ 가 존재한다. (여기서 $T_f \colon \operatorname{dom}T_f \to \operatorname L^2(X;\mathbb K),\;\phi \mapsto f\phi$ 는 $f$ 와의 점별 곱셈이다.)
* $U\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}T_f$
* $UA = T_fU$

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(multiplication operator^영어)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

다음이 주어졌다고 하자.
* 측도 공간 $X$
* 가측 함수 $f\colon X \to (\mathbb R,\operatorname{Borel}(\mathbb R))$ ( $\operatorname{Borel}(-)$ 은 보렐 시그마 대수)
* $\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}$

그렇다면, $H = \operatorname L^2(X;\mathbb K)$ 위에 작용소
: $T_f \colon \phi \mapsto \phi f$
를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* $\operatorname L^2(X;\mathbb K)$ 위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
* 임의의 $\mathbb K$ -힐베르트 공간 $H$ 및 자기 수반 작용소 $A\colon\operatorname{dom}A\to H$ 에 대하여, $U\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}T_f$ 이자 $UA = T_fU$ 가 되는 측도 공간 $X$ 와 가측 함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 와 (전단사) 유니터리 작용소 $U\colon H\to \operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb K)$ 가 존재한다.

힐베르트 공간 $H$ 에서, 무계산 연산자 $A$ 의 정의역 $\operatorname{Dom}A \subseteq H$ 는 조밀 집합이다. $H$ 가 유한 차원인 경우, $\operatorname{Dom}A = H$ 이므로 이 조건은 자동 성립한다.

임의의 연산자 $A$ 의 그래프는 집합 $G(A) = \{(x,Ax) \mid x \in \operatorname{Dom}A\}$ 이다. 연산자 $B$ 가 $G(A) \subseteq G(B)$ 인 경우 $A$ 를 확장한다고 하며, $A \subseteq B$ 로 표기한다.

내적 $\langle \cdot, \cdot\rangle$ 의 두 번째 인수에 대해 켤레 선형이라고 할 때, 수반 연산자 $A^*$ 는 다음과 같은 원소 $y$ 로 구성된 부분 공간 $\operatorname{Dom} A^* \subseteq H$ 에서 작용한다.
: $\langle Ax,y \rangle = \langle x,A^*y \rangle, \quad \forall x \in \operatorname{Dom} A.$

조밀하게 정의된 연산자, 대칭 연산자 (또는 에르미트 연산자), 닫을 수 있는 연산자, 본질적으로 자기 수반 작용소, 헬링거-토플리츠 정리 등의 내용은 '대칭 작용소와 자기 수반 작용소' 절에서 상세하게 다루고 있으므로, 여기서는 생략한다.

물리학에서 에르미트라는 용어는 대칭 연산자와 자기 수반 연산자를 모두 지칭하며, 두 용어의 미묘한 차이는 일반적으로 간과된다.

2.1. 대칭 작용소와 자기 수반 작용소

$\mathbb K$ 가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 할 때, $\mathbb K$ -힐베르트 공간 $H$ 위의 조밀 부분 집합 $D\subseteq H$ 위에 정의된 연속 선형 변환 $A\colon D\to H$ 에 대해, 대칭 작용소와 자기 수반 작용소는 다음과 같이 정의된다.

조밀하게 정의된 연산자 $A$ 가 $A \subseteq A^*$ , 즉, $\operatorname{Dom} A \subseteq \operatorname{Dom} A^*$ 이고 모든 $x \in \operatorname{Dom} A$ 에 대해 $Ax =A^*x$ 인 경우, 대칭 작용소 (또는 에르미트 연산자)라고 한다. 즉, $A$ 는 다음과 같은 경우에만 대칭이다.
: $\langle Ax , y \rangle = \lang x , Ay \rangle, \quad \forall x,y\in \operatorname{Dom}A.$

조밀하게 정의된 연산자 $A$ 는 $A = A^*$ 인 경우, 즉, $A$ 가 대칭이고 $\operatorname{Dom}A = \operatorname{Dom}A^*$ 인 경우 자기 수반이라고 한다. 즉, 닫힌 대칭 연산자 $A$ 는 $A^*$ 가 대칭인 경우에만 자기 수반이다.

* 대칭 작용소이며, $\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*$ 이다.
* 임의의 $x,y\in D$ 에 대하여, $\langle x|A|y\rangle = \langle Ax|y\rangle$ 이다. 또한, 임의의 $x,y\in H$ 에 대하여, 만약 $\langle x|A = \langle y| \colon H\to\mathbb K$ 라면, $x\in D$ 이다.
** 특히, 임의의 $x\in D$ 에 대하여, $\langle x|A = \langle Ax|\colon D\to\mathbb K$ 는 유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수 $H\to\mathbb K$ 로 유일하게 확장된다.
* $\operatorname{dom}A=\operatorname{dom}A^*$ 이며, 모든 $u\in\operatorname{dom}A$ 에 대하여 $Au=A^*u$ 이다. 여기서 $A^*\colon\operatorname{dom}A^*\to H$ 는 에르미트 수반이다.

자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

특히, 만약 $H = \mathbb K^n$ 이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는 $n\times n$ 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값
: $\{\lambda_1,\lambda_2,\dotsc,\lambda_n\}$
들은 모두 실수이다.

유계 연산자 $A : H \to H$ 는 다음과 같은 경우 자기 수반이다.
: $\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle, \quad \forall x,y\in H.$

또는, 모든 양의 유계 선형 연산자 $A:H \to H$ 는 힐베르트 공간 $H$ 가 복소수일 경우 자기 수반이다.

무한 차원 힐베르트 공간의 조밀한 부분 공간 상에서 정의된 선형 연산자가 $\xi, \eta \in D$ 에 대해

$\langle h \xi, \eta \rangle = \langle \xi, h \eta \rangle$

를 만족하는 경우, 연산자 $h$ 는 대칭 연산자라고 부른다.

더 나아가 대칭 연산자 $h$ 에 대해,

$\{\xi \in H \mid \eta \to \langle \xi, h\eta \rangle \text{ is bounded on } D\} = D$

를 만족하는 경우, 연산자 $h$ 는 자기 수반 연산자 또는 자기 켤레 연산자라고 부른다.

3. 성질

단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.

유한 차원 힐베르트 공간 $\mathbb C^n$ 위의 작용소 $A$ 에 대하여, 다음 명제들은 서로 동치이다.
* $A$ 는 대칭 작용소이다.
* $A$ 는 자기 수반 작용소이다.
* $A$ 의 행렬은 에르미트 행렬이다.

힐베르트 공간 $H$ 위의 대칭 연산자 $A:\operatorname{Dom}(A) \to H$ 에 대해, 헬링거-토플리츠 정리에 따르면 $\operatorname{Dom}(A)=H$ 이면 $A$ 는 유계이다.

유계 연산자 $A : H \to H$ 가 모든 $x,y\in H$ 에 대해 $\langle Ax, y\rangle = \langle x, Ay\rangle$ 를 만족하면 자기 수반이다. 모든 유계 연산자 $T:H\to H$ 는 유계 자기 수반 연산자 $A, B:H\to H$ 를 이용하여 $T = A + i B$ (복소수) 형태로 나타낼 수 있다. 양의 유계 선형 연산자 $A:H \to H$ 는 힐베르트 공간 $H$ 가 복소수 공간일 경우 자기 수반이다.

정의역이 $\operatorname{Dom}\left( A \right) = H$ 인 유계 자기 수반 작용소 $A : H \to H$ 는 다음과 같은 성질을 갖는다.
* $A$ 의 상이 $H$ 에서 조밀하면 $A : H \to \operatorname{Im} A \subseteq H$ 는 가역적이다.
* 작용소 노름은 $\left\| A \right\| = \sup \left\{ |\langle x, A x \rangle| : \| x \| = 1 \right\}$ 이다.
* $A$ 의 고유값 $\lambda$ 에 대해, $| \lambda | \leq \sup \left\{ |\langle x, A x \rangle| : \| x \| \leq 1 \right\}$ 이다. 고유값은 실수이고 해당 고유벡터는 직교한다.

유계 자기 수반 작용소가 반드시 고유값을 갖는 것은 아니다. 그러나 $A$ 가 컴팩트 자기 수반 작용소인 경우, $| \lambda | = \| A \|$ 인 고유값 $\lambda$ 와 이에 해당하는 정규화된 고유벡터를 갖는다.

무경계 연산자 $A:\operatorname{Dom}(A) \to H$ 의 레졸벤트 집합(정칙 집합)은 다음과 같이 정의된다.
: $\rho(A) = \left\{\lambda \in \mathbb{C}\,:\, \exist (A - \lambda I)^{-1}\;\text{유계이며 조밀하게 정의됨}\right\}.$

$A$ 가 유계인 경우, 이 정의는 $A - \lambda I$ 가 $H$ 에서 전단사가 되는 것으로 축소된다. $A$ 의 스펙트럼은 여집합 $\sigma(A) = \Complex \setminus \rho(A)$ 으로 정의된다.

유한 차원에서 $\sigma(A)\subseteq \mathbb{C}$ 는 (복소수) 고유값으로만 구성된다. 자기 수반 연산자의 스펙트럼은 항상 실수이다(즉, $\sigma(A)\subseteq \mathbb{R}$ ). 그러나 실수 스펙트럼을 가지는 비 자기 수반 연산자도 존재한다. 유계 정규 연산자의 경우, 연산자가 자기 수반일 때에만 스펙트럼이 실수이다. 이는 실수 스펙트럼을 가진 비 자기 수반 연산자는 무경계임을 의미한다.

$S=\{x \in \operatorname{Dom}A \mid \Vert x\Vert=1\},$ $\textstyle m=\inf_{x\in S} \langle Ax,x \rangle$ , $\textstyle M=\sup_{x\in S} \langle Ax,x \rangle$ ( $m,M \in \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\}$ )라 하면, 모든 $\lambda \in \Complex$ 및 $x \in \operatorname{Dom}A$ 에 대해 다음이 성립한다.
: $\Vert (A - \lambda) x\Vert \geq d(\lambda)\cdot \Vert x\Vert,$ (단, $\textstyle d(\lambda) = \inf_{r\in [m,M]} |r - \lambda|.$ )

$\lambda \notin [m,M]$ 이면 $d(\lambda) > 0$ 이고, $A - \lambda I$ 는 아래로 유계라고 한다.

정리: 자기 수반 연산자는 실수 스펙트럼을 갖는다.

증명: 자기 수반 연산자 $A$ 에 대해, $R_\lambda = A - \lambda I$ ( $\lambda \in \Complex$ )라 하자. $\sigma(A) \subseteq [m,M]$ 임을 보이면 충분하다. $\lambda \in \Complex \setminus [m,M]$ 일 때, $R_\lambda^{-1}$ 의 존재성과 유계성을 증명하고 $\operatorname{Dom} R_\lambda^{-1} = H$ 임을 보인다. $\ker R_\lambda = \{0\}$ 이고 $\operatorname{Im} R_\lambda = H$ 임을 보이는 것으로 시작한다. 연산자 $R_\lambda \colon \operatorname{Dom} A \to H$ 가 전단사임이 증명되면, $R^{-1}_\lambda$ 가 존재하고 모든 곳에서 정의된다. $R^{-1}_\lambda$ 는 닫혀 있고, 닫힌 그래프 정리에 의해 유계이므로 $\lambda \notin \sigma(A)$ 이다.

정리: 실수 스펙트럼을 가진 대칭 연산자는 자기 수반이다.

증명: 대칭 연산자 $A$ 는 $A \subseteq A^*$ 이고, 모든 $\lambda \in \Complex$ 에 대해 $A - \lambda I \subseteq A^* - \lambda I$ 이다. $\sigma(A) \subseteq [m,M]$ 이라 하자. $\lambda \notin [m,M]$ 이면 $\bar\lambda \notin [m,M]$ 이고, $\{A - \lambda I,A - \bar\lambda I\} : \operatorname{Dom}A \to H$ 는 모두 전단사이다. $A - \lambda I = A^* - \lambda I$ 이고, 이 등식은 $A =A^*$ , 즉 $A$ 가 자기 수반임을 보여준다.

H 위의 자기 수반 작용소 A가 A의 고유 벡터로 구성된 정규 직교 기저 {e_i}_{i ∈ I}를 가지면, A는 순수 점 스펙트럼을 갖는다.

예시: 조화 진동자의 해밀토니안 $-\Delta + |x|^2$ 는 순수 점 스펙트럼을 갖는다. 이는 양자 역학에서 속박 상태 해밀토니안의 전형적인 예이다.

에르미트 연산자의 고유값은 실수이고, 서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터는 직교한다. 에르미트 행렬은 유니타리 행렬에 의해 실수 대각 행렬로 대각화할 수 있다. 무한 차원 힐베르트 공간 위 자기 수반 연산자의 경우, 고유 공간 분해는 스펙트럼 측도의 개념으로 일반화된다.

3.1. 스펙트럼 정리

스펙트럼 정리는 자기 수반 작용소의 구조를 이해하고 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다. 이 정리는 자기 수반 작용소를 보다 간단한 형태인 곱셈 연산자로 표현할 수 있게 해주며, 이를 통해 작용소의 성질을 쉽게 파악할 수 있다.

스펙트럼 정리는 여러 형태로 나타낼 수 있는데, 대표적인 형태는 다음과 같다.

* 곱셈 연산자 형태: 가분 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치이다. 즉, 적절한 유니터리 변환을 통해 자기 수반 작용소를 곱셈 연산자로 바꿀 수 있다.
* 함수 미적분 형태: 스펙트럼 정리를 이용하면 자기 수반 작용소에 대한 함수 미적분을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수 f와 자기 수반 작용소 T가 주어졌을 때, f(T)라는 새로운 작용소를 정의할 수 있다.
* 사영-값 측정 (항등원의 분해) 형태: 자기 수반 작용소는 항등원의 분해라는 사영 연산자족으로 표현될 수 있다. 이는 양자역학에서 디랙 표기법을 사용하여 나타내기도 한다.

이러한 다양한 형태의 스펙트럼 정리는 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 주어진 문제 상황에 따라 적절한 형태를 선택하여 활용할 수 있다.

스펙트럼 정리는 다양한 분야에 응용된다. 예를 들어, 양자역학에서 시간 전개 연산자는 스펙트럼 정리를 통해 해밀토니안 연산자의 함수로 표현될 수 있다. 또한, 함수 미적분은 미분 방정식의 해를 구하거나, 확률론에서 확률 변수의 함수를 계산하는 데 사용될 수 있다.

3.2. 대칭 작용소의 확장

대칭 작용소 $A\colon\operatorname{dom}A\to\mathcal H$ 의 자기 수반 확장(self-adjoint extension^영어)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소 $\tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to\mathcal H$ 이다.
* $\operatorname{dom}A\subseteq\operatorname{dom}\tilde A$
* $\forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av$

대칭 연산자 $A$ 의 자기 수반 확장들은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.

: $U\colon\operatorname{range}(A+i)^\perp\to\operatorname{range}(A-i)^\perp$

( $\operatorname{range}(A+i)^\perp$ 은 $\mathcal H$ 의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.)

특히, $A$ 가 자기 수반 확장을 가질 필요충분조건은
: $\dim\operatorname{range}(A+i)^\perp=\dim\operatorname{range}(A-i)^\perp$
이다. 양변의 두 수를 $A$ 의 결점 지표(deficiency index^영어)라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(essentially self-adjoint operator^영어)라고 한다. $A$ 가 유일한 자기 수반 확장을 갖는 경우에 본질적으로 자기 수반이며, 본질적으로 자기 수반인 연산자는 자기 수반 연산자와 거의 같다. (자기 수반 연산자를 얻기 위해 폐포를 취하면 되기 때문이다.)

대칭 연산자 $A$ 의 폐포가 자기 수반인 경우, 해당 연산자를 본질적으로 자기 수반이라고 한다.

4. 예시

힐베르트 공간에서 자기 수반 작용소의 몇 가지 예를 살펴보자.

* 곱셈 연산자: 측도 공간 $X$ 와 가측 함수 $f\colon X \to \mathbb{R}$ 가 주어졌을 때, $\mathbb{K}$ 가 실수체 또는 복소수체이면, $H = \operatorname L^2(X;\mathbb K)$ 위에 정의된 작용소 $T_f \colon \phi \mapsto \phi f$ 를 곱셈 연산자라고 한다. 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
* 특히, 유한 차원 힐베르트 공간 $H = \mathbb K^n$ 에서 자기 수반 작용소는 $n\times n$ 에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값들은 모두 실수이다.
* 제곱 적분 가능 함수 공간에서의 곱셈 연산자: 제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간 $H = \operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C)$ 에서 작용소 $A \colon f \mapsto (x\mapsto xf(x))$ 를 생각해보자. $f$ 가 제곱 적분 가능 함수라도 $x\mapsto xf(x)$ 는 제곱 적분 가능 함수일 필요가 없으므로, $A$ 의 정의역은 $\operatorname{dom}A = \{f\in H\colon (x\mapsto xf(x)) \in H\}\subsetneq H$ 이다. 이는 $H$ 의 조밀 부분 공간이며, $A$ 는 자기 수반 작용소이다.
* 미분 작용소: 실수 직선 R 위의 L² 공간 L²(R, dx)의 조밀한 부분 공간
: $D = \{ f \in L^2(\R, dx) : \frac{df}{dx} \in L^2(\R, dx) \}$
상에서 정의된 비유계 작용소
: $f \mapsto i \frac{df}{dx}$
는 자기 수반이다.
* 상수 계수를 갖는 미분 연산자:
: $P\left(\vec{x}\right) = \sum_\alpha c_\alpha x^\alpha$
를 Rⁿ의 다항식으로 정의하고 (여기서 α는 (유한한) 다중 지표 집합에 걸쳐 있으며, 실수 계수를 갖는다),
: $D^\alpha = \frac{1}{i^$

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좌우로 밀어서 보기

} \partial_{x_1}^{\alpha_1}\partial_{x_2}^{\alpha_2} \cdots \partial_{x_n}^{\alpha_n}
라고 하면, Rⁿ에서 컴팩트 지지(compact support)를 갖는 무한히 미분 가능한 함수의 공간에서 정의된 연산자 P(D)는
:

P(\operatorname{D}) \phi = \sum_\alpha c_\alpha \operatorname{D}^\alpha \phi

L²(Rⁿ)에서 본질적으로 자기 수반적이다.
* 일반적인 선형 미분 연산자:M이 Rⁿ의 열린 부분 집합일 때, 컴팩트 지지를 갖는 무한히 미분 가능한 복소수 값 함수에 작용하는 선형 미분 연산자는
:

P \phi(x) = \sum_\alpha a_\alpha (x) \left[D^\alpha \phi\right](x)

로 나타낼 수 있으며, 여기서 a_α는 무한히 미분 가능한 함수이다.

4.1. 경계 조건

힐베르트 공간이 유계 영역에서 정의된 함수의 공간일 때, 경계 조건은 자기 수반 작용소를 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 이는 양자 물리학에서 운동량 연산자나 해밀턴 연산자를 유계 영역에 정의할 때 경계 조건을 명시해야 하는 것과 관련이 있다. 수학적으로 경계 조건을 선택하는 것은 연산자의 정의역을 적절하게 선택하는 것과 같다.

예를 들어, 힐베르트 공간 L²([0, 1])^영어 (구간 [0,1]에서 제곱 적분 가능한 함수들의 공간)을 생각해 보자. 플랑크 상수를 1로 설정하고 이 공간에 운동량 연산자 A를 다음과 같이 정의한다.

: $Af = -i\frac{df}{dx}.$

A의 정의역을 지정하는 것은 경계 조건을 선택하는 것과 같다.

* 만약 정의역을 매끄러운 함수들의 집합으로만 정의하면,
: $\operatorname{Dom}(A) = \left\{\text{매끄러운 함수}\right\},$
A는 대칭적이지 않다. 부분 적분에서 경계 항이 사라지지 않기 때문이다.

* 만약 정의역을 다음과 같이 정의하면,
: $\operatorname{Dom}(A) = \left\{\text{매끄러운 함수}\,f \mid f(0) = f(1) = 0\right\},$
부분 적분을 통해 A가 대칭적임을 쉽게 확인할 수 있다. 그러나 이 연산자는 본질적으로 자기 수반적이지 않다. A의 정의역에 너무 많은 경계 조건을 설정하여 수반 연산자 A^*^영어의 정의역이 너무 커지기 때문이다.

* A의 폐포 A^cl^영어의 정의역:
: $\operatorname{Dom}\left(A^{\mathrm{cl}}\right) = \left\{\text{함수 } f \text{ with two derivatives in }L^2 \mid f(0) = f(1) = 0\right\},$
* A의 수반 연산자 A^*^영어의 정의역:
: $\operatorname{Dom}\left(A^*\right) = \left\{\text{함수 } f \text{ with two derivatives in }L^2\right\}.$

즉, A^cl^영어의 정의역은 A와 같은 경계 조건을 갖지만, 덜 엄격한 매끄러움 가정을 갖는다. 반면 A에 "너무 많은" 경계 조건이 주어져 A^*^영어에는 "너무 적은" 경계 조건(사실상 없는)이 주어진다. 부분 적분에서 f ∈ Dom(A)^영어에 대해 <g>, Af^한국어를 계산할 때, f가 구간 양 끝에서 0이 되므로, g에 대한 경계 조건은 필요하지 않다. 따라서 충분히 매끄러운 함수 g는 A^*^영어의 정의역에 속하며, A^*g = -i dg/dx^영어이다.

A^cl^영어의 정의역과 A^*^영어의 정의역이 일치하지 않으므로, A는 본질적으로 자기 수반적이지 않다.

* 더 나은 선택은 주기적 경계 조건을 사용하는 것이다.
: $\operatorname{Dom}(A) = \{\text{매끄러운 함수}\,f \mid f(0) = f(1)\}.$
이 정의역을 사용하면 A는 본질적으로 자기 수반적이다.

이러한 예시는 스펙트럼 정리와 관련하여 정의역 문제의 의미를 보여준다.

* 경계 조건이 없는 첫 번째 정의역 선택에서는 모든 함수 f_β(x) = e^βx^영어 (β ∈ ℂ)가 고유 벡터가 되며, 고윳값은 -iβ^영어이므로 스펙트럼은 전체 복소 평면이 된다.
* 디리클레 경계 조건(두 번째 정의역)을 사용하면 A는 고유 벡터를 갖지 않는다.
* 주기적 경계 조건(세 번째 정의역)을 사용하면 A는 정규 직교 기저를 이루는 고유 벡터 f_n(x) := e^2πinx^영어를 갖는다.

따라서 A가 자기 수반적인 정의역을 찾는 것은 A가 대칭이 되도록 충분히 작아야 하지만, D(A^*) = D(A)^영어를 만족하도록 충분히 커야 하는, 일종의 타협이다.

다른 예시로, 힐베르트 공간 L²[0, 1]^영어에서 미분 연산자
: $D: \phi \mapsto \frac{1}{i} \phi'$
를 경계 조건 Φ(0) = Φ(1) = 0^영어과 함께 고려하면, D는 부분적분을 통해 대칭 연산자임을 알 수 있다.

방정식
: $\begin{align}-i u' &= i u \\-i u' &= -i u\end{align}$
의 L²[0, 1]^영어에 속하는 분포 해는 각각 x → e^-x^영어와 x → e^x^영어에 의해 생성되는 1차원 공간이다. 이는 D가 본질적으로 자기 수반적이지 않음을 보여주지만, 자기 수반적 확장을 갖는다.

이 경우 본질적 자기 수반성이 실패하는 이유는 D^영어의 정의역에서 "잘못된" 경계 조건을 선택했기 때문이다. D^영어가 1차 연산자이므로, D^영어가 대칭이 되기 위해서는 하나의 경계 조건만 필요하다. 주어진 경계 조건을
: $\phi(0) = \phi(1)$
로 대체하면 D는 여전히 대칭이면서 본질적으로 자기 수반적이 된다.

4.2. 특이 포텐셜을 갖는 슈뢰딩거 연산자

양자역학의 슈뢰딩거 연산자는 포텐셜 에너지가 특이점을 갖는 경우, 특히 포텐셜이 아래로 무한정인 경우, 본질적으로 자기 수반적이지 않을 수 있다. 예를 들어 1차원에서 다음 연산자는
: $\hat{H} := \frac{P^2}{2m} - X^4$
매끄럽고 빠르게 감소하는 함수의 공간에서 본질적으로 자기 수반적이지 않다. 이 경우, 본질적 자기 수반성의 실패는 기본 고전 시스템의 병리를 반영하는데, $-x^4$ 포텐셜을 가진 고전 입자는 유한 시간 내에 무한대로 탈출한다.

처음 $\hat{H}$ 를 매끄럽고 빠르게 감소하는 함수의 공간에서 정의하면, 수반 연산자는 "동일한" 공식으로 주어지지만, 가장 큰 가능한 영역은 다음과 같다.
: $\operatorname{Dom}\left(\hat{H}^*\right) = \left\{ \text{두 번 미분 가능한 함수 }f \in L^2(\mathbb{R})\left|\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2f}{dx^2} - x^4f(x)\right) \in L^2(\mathbb{R}) \right. \right\}.$

$\hat{H}^*$ 는 순허수 고유값을 가진 고유 벡터를 가지므로 대칭 연산자가 아니며, 이는 $\hat{H}$ 가 본질적으로 자기 수반적이지 않음을 의미한다. 이러한 현상은 $\hat{H}^*$ 의 두 항 사이의 상쇄 때문에 가능하다. 즉, $\hat{H}^*$ 의 영역에 있는 함수 $f$ 에 대해 $d^2 f/dx^2$ 와 $x^4f(x)$ 는 개별적으로 $L^2(\mathbb{R})$ 에 속하지 않지만, 이들의 조합은 $L^2(\mathbb{R})$ 에 속한다. 이는 $d^2/dx^2$ 와 $X^4$ 가 모두 대칭 연산자임에도 불구하고 $\hat{H}^*$ 가 비대칭적일 수 있게 한다. 이러한 상쇄는 반발 포텐셜 $-x^4$ 을 구속 포텐셜 $x^4$ 로 대체하면 발생하지 않는다.

5. 양자역학에서의 의미

양자역학에서, 관측 가능한 물리량(관측 가능량)은 자기 수반 작용소로 표현된다. 스톤의 1 매개변수 유니터리 군 정리에 따르면, 자기 수반 작용소는 유니터리 시간 전개 작용소 군의 무한소 생성자이다. 즉, 계의 시간 변화를 나타내는 연산자를 생성한다.

하지만, 많은 물리적 문제는 해밀토니안이 대칭일 뿐인 미분 작용소를 포함하는 시간 전개 방정식으로 표현된다. 이런 경우, 다음 중 하나를 시도한다.

* 해밀토니안이 본질적으로 자기 수반인지 확인
* 물리적 문제에 고유한 해가 있는지 확인
* 해밀토니안의 자기 수반 확장을 찾아, 서로 다른 유형의 경계 조건 또는 무한대에서의 조건에 해당하는 확장 찾기

예시: $V(x) = -(1 + |x|)^\alpha$ 포텐셜을 갖는 일차원 슈뢰딩거 연산자는, 매끄럽고 콤팩트하게 지지되는 함수에 처음 정의되었을 때, $0 < \alpha \le 2$ 에 대해서는 본질적으로 자기 수반이지만, $\alpha > 2$ 에 대해서는 그렇지 않다.

$\alpha > 2$ 일 때 본질적 자기 수반성이 실패하는 이유는, 고전 역학에서 해당 포텐셜을 갖는 입자가 유한 시간 내에 무한대로 도망가기 때문이다.

예시: 반직선에서 움직이는 입자에 대한 자기 수반 운동량 연산자 $p$ 는 존재하지 않는다. 그럼에도 불구하고, 반직선 위의 "자유" 입자의 해밀토니안 $p^2$ 는 서로 다른 유형의 경계 조건에 해당하는 몇 가지 자기 수반 확장을 갖는다. 물리적으로, 이러한 경계 조건은 원점에서 입자의 반사와 관련이 있다.

비 에르미트 양자역학에서는 에르미트 연산자 H와 왜곡 에르미트( 왜곡 에르미트 행렬 참조) 연산자 $-i\Gamma$ 의 합인 $H_\text{eff} = H - i\Gamma$ 를 사용하기도 한다. 이때 쌍직교 기저 집합을 정의하고, 스펙트럼 정리를 통해 연산자를 표현할 수 있다.

분야	선형대수학, 함수해석학
종류	선형 연산자
성질	에르미트성

정의

조건	임의의 벡터 x, y에 대해 ` = `를 만족하는 선형 연산자 A
설명	힐베르트 공간에서 정의된 조밀하게 정의된 선형 연산자 A에 대해, A의 수반 연산자 A가 A의 확장이고, A가 A의 정의域에 속하는 경우, A를 자기 수반 연산자라고 함.

표기

영어	Self-adjoint operator
일본어	エルミート作用素 (Erumi-to Sayōso)
한국어	자기 수반 작용소 (Jagi Suban Jakyongso)

성질

스펙트럼	자기 수반 연산자의 모든 고윳값은 실수임.
고유 벡터	자기 수반 연산자의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유 벡터는 직교함.
응용	양자역학에서 물리량 (관측 가능량)을 나타내는 연산자는 자기 수반 연산자임.