부채꼴

1. 개요

부채꼴은 원의 일부분으로, 두 개의 반지름과 호로 둘러싸인 도형이다. 부채꼴의 면적은 원의 면적에 중심각과 2π의 비율을 곱하여 구할 수 있으며, 라디안 또는 도(°) 단위의 중심각을 사용하여 다양한 공식을 통해 계산된다. 부채꼴의 둘레는 호의 길이와 두 반지름의 합으로 계산되며, 현의 길이는 2Rsin(θ/2)로 나타낼 수 있다. 부채꼴은 원뿔의 전개도에서 옆면을 형성하며, 중심각이 180°인 부채꼴은 반원, 90°인 부채꼴은 사분원 등으로 불린다.

2. 공식

라디안을 이용하면 부채꼴의 호의 길이, 넓이, 둘레, 현의 길이를 쉽게 구할 수 있다.

* 호의 길이는 반지름과 각의 곱으로 표현된다.
중심각이 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이: \( l = r \theta \)
* 넓이는 중심각과 반지름의 제곱에 비례한다.
중심각이 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 넓이: \(A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2}r L \)
* 전체 둘레는 호의 길이와 두 반지름의 길이를 합한 값이다.
부채꼴의 둘레: \(s = L + 2r = r( \theta+2)\)
* 현의 길이는 현의 양 끝점을 잇는 선분의 길이이다.
현의 길이: \(C = 2R\sin\frac{\theta}{2}\)

2.1. 호의 길이

라디안을 이용하면 부채꼴의 호의 길이를 쉽게 구할 수 있다. 1라디안은 반지름과 호의 길이가 같을 때의 각의 크기이므로, 호의 길이는 반지름과 각의 곱으로 표현된다. 부채꼴의 호(곡선 부분)의 길이는 중심각의 크기에 비례한다. 반지름이 $r$인 원의 원주는 $2\backslash pi\; r$이므로, 중심각이 $\backslash theta$(라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$l\; =\; r\; \backslash theta$

2.1.1. 라디안을 이용한 호의 길이 공식

라디안의 정의에 따라 부채꼴의 호의 길이는 반지름과 각의 곱으로 표현할 수 있다. 즉, 호의 길이($L$)는 반지름($r$)과 라디안 단위의 중심각($\backslash theta$)의 곱이다.

:$L\; =\; r\; \backslash theta$

2.1.2. 도(°)를 이용한 호의 길이 공식

여기서 은 호의 길이, 은 반지름, 는 도(°) 단위의 중심각이다. 각도가 도 단위로 주어지는 경우, 다음 공식을 사용할 수 있다.

: $$L\; =\; 2\; \backslash pi\; r\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{360\}$$

2.2. 넓이

부채꼴의 넓이는 중심각과 반지름의 제곱에 비례한다.

중심각을 θ, 반지름을 r로 두면, 원의 넓이는 $\backslash pi\; r^2$이다. 부채꼴의 넓이는 원의 넓이에 중심각과 $2\; \backslash pi$의 비를 곱하여 구할 수 있다. 중심각의 크기는 $2\; \backslash pi$이기 때문이다.

:$A\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\; \backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; r^2\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}r\; L$

만약 θ가 도(°) 단위로 주어졌다면 다음과 같은 식이 얻어진다.

:$A\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{360\}$

2.2.1. 라디안을 이용한 넓이 공식

중심각을 θ, 원의 반지름을 r로 두면, 부채꼴의 넓이 A는 다음과 같이 주어진다.

:$A\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; r^2\; \backslash theta$

여기서 θ는 라디안 단위의 중심각이다.

호의 길이 L을 사용하여 부채꼴의 넓이를 구하면 다음과 같다.

:$A=\backslash frac\{1\}\{2\}r\; L$

2.2.2. 도(°)를 이용한 넓이 공식

A^영어를 넓이, r^영어을 반지름, θ^영어를 도(°) 단위의 중심각이라고 할 때, 부채꼴의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

:$A\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash theta^\backslash circ\}\{360^\backslash circ\}$

2.2.3. 적분을 이용한 넓이 공식 (참고)

원의 총면적은 πr²이다. 부채꼴의 면적은 원의 면적에 각 θ(라디안으로 표현)와 2π의 비율을 곱하여 구할 수 있다(부채꼴의 면적은 각도에 정비례하며, 2π는 전체 원의 각도, 라디안으로 표시).
:$$A\; =\; \backslash pi\; r^2\backslash ,\; \backslash frac\{\backslash theta\}\{2\; \backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{r^2\; \backslash theta\}\{2\}$$

L을 사용하여 부채꼴의 면적을 구하려면 총면적 πr²에 L과 전체 둘레 2πr의 비율을 곱하면 된다.
:$$A\; =\; \backslash pi\; r^2\backslash ,\; \backslash frac\{L\}\{2\backslash pi\; r\}\; =\; \backslash frac\{rL\}\{2\}$$

또 다른 방법은 이 면적을 다음 적분의 결과로 간주하는 것이다.
:$$A\; =\; \backslash int\_0^\backslash theta\backslash int\_0^r\; dS\; =\; \backslash int\_0^\backslash theta\backslash int\_0^r\; \backslash tilde\{r\}\backslash ,\; d\backslash tilde\{r\}\backslash ,\; d\backslash tilde\{\backslash theta\}\; =\; \backslash int\_0^\backslash theta\; \backslash frac\; 1\; 2\; r^2\backslash ,\; d\backslash tilde\{\backslash theta\}\; =\; \backslash frac\{r^2\; \backslash theta\}\{2\}$$

중심각을 도로 변환하면 다음과 같다.
:$$A\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash frac\{\backslash theta^\backslash circ\}\{360^\backslash circ\}$$

마찬가지로 부채꼴의 면적 S도 중심각의 크기에 비례한다.

반지름 r의 원판의 면적은 πr²이므로, 중심각이 θ일 때
:$S\; =\; \backslash pi\; r^2\; \backslash times\; \backslash frac\; \{\backslash theta\}\{2\; \backslash pi\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}r^2\; \backslash theta$
가 된다. 또한 θ = l/r에서
:$S\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{2\}\; rl$
이 된다.

2.3. 전체 둘레

부채꼴의 둘레는 호의 길이와 두 반지름의 길이를 합한 값으로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$s\; =\; L\; +\; 2r\; =\; r(\; \backslash theta+2)$

여기서 s는 둘레, L은 호의 길이, r은 반지름, θ는 라디안 단위의 중심각이다.

2.4. 현의 길이

현의 양 끝점을 잇는 현의 길이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$C\; =\; 2R\backslash sin\backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}$

여기서 C는 현의 길이, R은 반지름, θ는 부채꼴의 각도(라디안)를 나타낸다.

3. 성질

부채꼴은 두 반지름과 호로 이루어진 도형이다. 부채꼴의 양쪽 면을 서로 연결하여 붙이면 원뿔이 된다. 이때 부채꼴의 호는 원뿔 밑면의 원둘레가 된다.

3.1. 중심각

두 반지름이 이루는 각을 부채꼴의 중심각이라고 한다. 중심각이 180°인 것은 반원이며, 원은 중심각 360°인 부채꼴로 생각할 수도 있다.

원 O에서 두 반지름 OA, OB가 잘라낸 부채꼴을 부채꼴 O-⌒AB라고 부른다(⌒는 AB 위에 덮어 쓰는 것이 올바르다).

원을 서로 다른 2개의 반지름으로 나누면 반드시 2개의 부채꼴이 생기고, 그 중심각의 합은 360°이다.

3.2. 원뿔과의 관계

부채꼴의 양쪽 면을 서로 연결하여 붙이면 원뿔이 된다. 이때 부채꼴의 호는 원뿔 밑면의 원둘레가 된다. 원뿔의 옆넓이(부채꼴의 넓이)는 공식을 통해 구할 수 있다.

3.2.1. 원뿔의 옆넓이 공식 유도

부채꼴의 양쪽 면을 서로 연결하여 붙이면 원뿔이 된다. 이때 부채꼴의 호는 원뿔 밑면의 원둘레가 된다.

* 부채꼴의 넓이(원뿔의 옆넓이 면적)

:$\backslash pi\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; \backslash right)^2\; \backslash cdot\; \{\; \{2\backslash pi\; r\}\; \backslash over\; \{2\; \backslash pi\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; \backslash right)\}\}$

:$=\; \backslash pi\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; \backslash right)^2\; \backslash cdot\; \{\; \{\backslash cancel\{2\backslash pi\}\; r\}\; \backslash over\; \{\backslash cancel\{2\backslash pi\}\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; \backslash right)\}\}$

:$=\; \backslash over\; \{\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; \backslash right)\}\}$

:$=\; \{\backslash pi\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}\; \backslash cdot\; \{\; r\}\}$

:$=\; \backslash pi\; r\; \backslash sqrt\{r^2+h^2\}$

원뿔의 전개도에서 측면에 해당하는 부분은 부채꼴이 된다.

4. 종류

중심각이 180°인 부채꼴은 지름과 반원으로 둘러싸인 반원이라고 불린다. 다른 중심각을 가진 부채꼴에는 특별한 이름이 붙여지기도 하는데, 원의 4분의 1에 해당하는 사분원(90°), 6분의 1에 해당하는 육분원(60°), 8분의 1에 해당하는 팔분원(45°) 등이 있다. 호의 사분원(원호)은 사분원이라고도 불릴 수 있다.