부트스트랩 (통계학)

3. 접근 방식

부트스트래핑의 기본 아이디어는 표본 데이터에서 모집단에 대한 추론(표본 → 모집단)을 표본 데이터를 "재표본 추출"하고 재표본 추출된 데이터에서 표본에 대한 추론을 수행(재표본 추출 → 표본)함으로써 모델링할 수 있다는 것이다.^[13] 모집단은 알 수 없으므로 표본 통계량의 모집단 값에 대한 실제 오차는 알 수 없다. 부트스트랩 재표본에서 '모집단'은 실제로 표본이며 이는 알려져 있다. 따라서 재표본 추출된 데이터에서 '실제' 표본에 대한 추론의 품질(재표본 추출 → 표본)을 측정할 수 있다.

모델 식

: 2.01×꽃받침 길이-12.57≧0일 때 버지니아 붓꽃으로 판별

: 2.01×꽃받침 길이-12.57＜0일 때 버시컬러 붓꽃으로 판별

(이 모델 식에서는, 버지니아 붓꽃은 표본 50개 중 37개, 버시컬러 붓꽃은 50개 중 36개가 올바르게 판별되었다.)

최대 우도 추정값은 점근적으로 정규 분포를 따른다는 것이 알려져 있다. 이번 표본 50개씩의 데이터로 구한 최대 우도 추정값(절편: -12.57, 꽃받침 길이 계수: 2.01)이, 어느 정도 정규 분포에 가까운지, 부트스트랩법으로 다음과 같이 조사할 수 있다.

# 원 데이터에서 개의 표본을 복원 추출한다. 이 때 은 원 데이터의 표본 수이다.

# 최대 우도법으로 로지스틱 회귀 모델에 적용한다.

# 이 부트스트랩 추출을 여러 번(회) 반복한다.

# 이렇게 계산된 "추정량의 표본 분포"는, 원래의 표본 분포의 근사가 된다.

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이러한 파라미터의 분포는 당연하게도 정규 분포가 아니다. 이는, 표본 수가 유한하고, 점근적으로만 정규 분포를 따르기 때문이다. 최대 우도 추정값에 대해 정규 분포의 가정을 두지 않아도, 부트스트랩을 사용하여 얻은 분포를 사용하면, 최대 우도 추정값의 신뢰 구간 추정 및 가설 검정을 수행할 수 있게 된다.

부트스트랩 표본에서 신뢰 구간을 추정하는 방법으로, 추정량의 변위값 를 사용하는 방법이 있다. 이것을 부트스트랩 백분위수 구간이라고 부른다. 이 예시에서는, 절편과 꽃받침 길이 계수의 부트스트랩 95% 백분위수 구간은, 각각 와 이 된다.

한편, 정규 분포를 가정한 95% 신뢰 구간은 최대 우도 추정값 플러스 마이너스 1.96배 표준 오차로 구해지며, 각각 과 이 된다. 점근 이론을 이용하여 정규 분포를 가정하여 구한 신뢰 구간은 대칭이며, 부트스트랩을 사용한 신뢰 구간과 비교하면 좁다.

비복원 추출에 의한 것, 이표본 문제, 회귀 분석, 시계열, 계층적 추출, 매개 분석 등의 통계적 문제를 다루는, 더 복잡한 부트스트랩법이 있다.

4. 논의

부트스트랩 방법은 모집단의 추정량(분산 등)의 성질을 근사 분포에 따라 표본화했을 때의 성질을 계산하여 추정하는 방법이다. 일반적으로 측정값으로부터 구해지는 경험 분포를 사용하며, 가설 검정에도 사용된다. 가정되는 분포가 의심스럽거나, 파라메트릭 가정이 불가능하거나 매우 복잡한 계산이 필요한 경우에 파라메트릭 가정에 기초한 추정 대신 사용된다.

부트스트랩 방법은 해석적인 방법에 비해 매우 단순하다는 장점이 있다. 모집단 분포의 복잡한 모수(백분위수점, 비율, 오즈비, 상관계수 등)의 복잡한 추정 함수에 대해 표준 오차나 신뢰 구간을 구하기 위해, 단순히 부트스트랩 표본을 적용하는 것만으로 충분하다.

하지만 부트스트랩 방법은 점근적으로는 일치하지만, 유한 표본에서는 결과가 보장되지 않고 낙관적으로 나타나는 경향이 있다는 단점이 있다.

4. 1. 장점

4. 2. 단점

• 추정량 의존성: 부트스트랩 방법은 측정값에서 얻어지는 경험 분포를 사용하여 모집단 추정량(분산 등)의 성질을 계산한다.
• 유한 표본 보장 부재: 점근적으로는 일치하지만, 유한 표본에서는 결과가 낙관적으로 나타나는 경향이 있다.
• 대표 표본 의존성: 기본 분포가 알려진 경우에도, 부트스트랩은 모집단을 완전히 대표하지 못하는 특정 표본으로 인한 왜곡을 야기할 수 있다.
• 시간 소요: 컴퓨팅 성능 향상으로 더 많은 부트스트랩 샘플을 사용하는 것이 권장되지만, 이는 원본 데이터 정보량을 늘리지 않으며 무작위 표본 추출 오류만 줄일 뿐이다.
• 주요 가정 은폐: 유한 분산이 없는 멱법칙 분포 등에서 순진한 부트스트랩은 오해를 야기하는 신뢰 구간을 생성할 수 있다.^[18] 따라서 헤비 테일 분포가 아니라는 확신 없이는 사용을 자제해야 한다.

4. 3. 권장 사항

• 샘플 수: 충분한 컴퓨팅 성능을 활용하여 부트스트랩 샘플 수를 늘리는 것이 좋다. Adèr 등은 부트스트랩 절차를 권장한다.
• 적용 상황: 부트스트랩은 관심 통계량의 이론적 분포가 복잡하거나 알려지지 않은 경우, 표본 크기가 불충분한 경우, 검정력 계산이 필요한 경우에 유용하다.
• 주의 사항: Athreya는 기본 모집단에 유한한 분산이 없는 경우 순진한 부트스트랩 사용에 신중해야 한다고 경고했다.
• 단변량 문제: 단변량 문제에서는 개별 관측치를 부분표집과는 달리 복원 추출하는 것이 일반적이다. 소표본의 경우 모수적 부트스트랩 방식을 선호할 수 있다.
• 회귀 문제: 회귀 문제의 경우, 이분산성을 보이는 모델에 적합한 와일드 부트스트랩 등 다양한 대안이 있다. 잔차 부트스트랩과 마찬가지로 설명 변수는 표본 값으로 두고, 잔차 값을 기반으로 반응 변수를 리샘플링한다.
• 장점: 부트스트랩 방법은 모집단 분포의 복잡한 모수(백분위수점, 비율, 오즈비, 상관계수 등)의 복잡한 추정 함수에 대해 표준 오차나 신뢰 구간을 구할 때 해석적인 방법에 비해 매우 단순하다.
• 단점: 부트스트랩 방법은 점근적으로 일치하는 경우에는 유한 표본이 보장되지 않고, 낙관적으로 되는 경향이 있다.

5. 부트스트랩 방식의 종류

부트스트랩 방법은 적용 방식과 목적에 따라 여러 종류로 나뉜다.

• 몬테카를로 방법: 데이터를 복원 추출하여 원래 데이터 집합과 같은 크기의 재표본을 만들고, 이 재표본에서 통계량을 계산한다. 이 과정을 여러 번 반복하여 통계량의 분포를 추정한다.^[1]
• 정확한 부트스트랩: 데이터 집합의 모든 가능한 재표본을 전부 고려하는 방식이다. 데이터 집합의 크기가 ''n''일 때, 총 $\backslash binom\; \{2n-1\}n\; =\; \backslash frac\{(2n-1)!\}\{n!\; (n-1)!\}$개의 서로 다른 재표본이 존재하여 계산 비용이 매우 크다.^[19]

• 모델 식
• * 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ≧ 0일 때 : 버지니아 붓꽃으로 판별
• * 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ＜ 0일 때 : 버시컬러 붓꽃으로 판별

5. 1. 케이스 재표본 추출

모델 식은 다음과 같다.

• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ≧ 0일 때 버지니아 붓꽃으로 판별
• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ＜ 0일 때 버시컬러 붓꽃으로 판별

5. 1. 1. 표본 평균의 분포 추정

• 동전을 10번 던져 앞면(1) 또는 뒷면(0)이 나오는지 기록한다: .
• 표본 평균은 다음과 같이 계산한다.

• t-통계량을 사용하여 표본 평균의 분포를 추정할 수 있지만, 여기서는 부트스트랩을 사용한다.

5. 1. 2. 회귀

5. 2. 베이즈 부트스트랩

5. 3. 스무스 부트스트랩

5. 4. 파라메트릭 부트스트랩

5. 5. 잔차 재표본 추출

5. 6. 가우시안 프로세스 회귀 부트스트랩

5. 7. 와일드 부트스트랩

• 표준 정규 분포

• Mammen (1993)이 제안한 분포.

• (\sqrt{5} -1)/2 & \text{확률 } (\sqrt{5} +1)/(2\sqrt{5}), \\

• 0.6180\quad\text{(일의 자리에서 0)} & \text{확률 } 0.7236, \\

• 또는 더 간단한 분포로, 라데마허 분포와 연결되어 있다.

• 1 & \text{확률 } 1/2, \\

5. 8. 블록 부트스트랩

5. 8. 1. 시계열: 단순 블록 부트스트랩

5. 8. 2. 시계열: 이동 블록 부트스트랩

5. 8. 3. 시계열: 최대 엔트로피 부트스트랩

5. 8. 4. 군집 데이터: 블록 부트스트랩

6. 계산 효율성 향상 방법

부트스트랩은 강력한 기법이지만 시간과 메모리 측면에서 상당한 컴퓨팅 자원을 필요로 할 수 있다. 이러한 부담을 줄이기 위해 몇 가지 기법이 개발되었다. 이러한 기법들은 일반적으로 다양한 유형의 부트스트랩 방식 및 다양한 통계량 선택과 결합될 수 있다.

6. 1. 병렬 처리

6. 2. 푸아송 부트스트랩

6. 3. Bag of Little Bootstraps

7. 통계량 선택

모집단 모수의 점 추정량에 대한 부트스트랩 분포는 해당 모수가 모집단 분포의 함수로 표현될 수 있는 경우 모수의 실제 값에 대한 부트스트랩된 신뢰 구간을 생성하는 데 사용된다.

모수는 여러 점 추정량으로 추정된다. 자주 사용되는 점 추정량에는 평균 불편 최소 분산 추정량, 중앙값 불편 추정량, 베이즈 추정량 (예: 사후 분포의 최빈값, 중앙값, 평균), 최대 우도 추정량이 있다.

점근 이론에 따르면 베이즈 점 추정량과 최대 우도 추정량은 표본 크기가 무한할 때 좋은 성능을 보이지만, 유한 표본을 가진 실제 문제에서는 다른 추정량이 더 나을 수 있다. 점근 이론은 부트스트랩 추정량의 성능을 향상시키는 기술을 제안하며, 최대 우도 추정량의 부트스트래핑은 피벗량과 관련된 변환을 사용하여 종종 개선될 수 있다.^[38]

8. 부트스트랩 분포에서 신뢰 구간 도출

모수 추정량의 부트스트랩 분포는 해당 모집단 모수에 대한 신뢰 구간을 계산하는 데 자주 사용된다.^[1] 신뢰 구간을 구성하는 다양한 방법이 제안되었지만, 어떤 방법이 최선인지에 대한 의견은 일치하지 않는다.

부트스트랩 방법은 모집단의 추정량(분산 등)의 성질을, 근사 분포에 따라 표본화했을 때의 성질을 계산하여 추정하는 방법이다. 근사 분포로는 측정값으로부터 구해지는 경험 분포를 사용하는 것이 표준적이다. 또한 가설 검정에 사용하는 경우도 있다. 가정되는 분포가 의심스러운 경우나, 파라메트릭한 가정이 불가능하거나 매우 복잡한 계산을 필요로 하는 경우에 파라메트릭한 가정에 기초한 추정 대신에 사용된다.

부트스트랩 방법의 장점은 해석적인 방법과 비교하여 매우 단순하다는 것이다. 모집단 분포의 복잡한 모수(백분위수점, 비율, 오즈비, 상관계수 등)의 복잡한 추정 함수에 대해 표준 오차나 신뢰 구간을 구하기 위해, 단순히 부트스트랩 표본을 적용하는 것만으로 충분하다.

한편 부트스트랩 방법의 단점으로는 점근적으로 일치하는 경우에는 유한 표본이 보장되지 않고, 낙관적으로 되는 경향이 있다는 점이 지적된다.

피셔가 제시한 붓꽃 데이터 세트를 사용한 예시를 통해 부트스트랩 신뢰 구간을 설명할 수 있다. 버지니아 붓꽃과 버시컬러 붓꽃 2종을 꽃받침 길이만을 설명 변수로 하여 판별하는 로지스틱 회귀 모델을 생각해보자. 최대 우도 추정을 사용하면, 다음 표와 같이 파라미터의 최대 우도 추정 값과 표준 오차를 얻을 수 있다.

모델 식은 다음과 같다.

• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ≧ 0일 때 버지니아 붓꽃으로 판별
• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ＜ 0일 때 버시컬러 붓꽃으로 판별

8. 1. 바람직한 속성

• '''변환 불변성''' - 변환된 데이터(예: 로그를 취하는 것)를 부트스트래핑하여 얻은 신뢰구간은 변환되지 않은 데이터를 부트스트래핑하여 얻은 신뢰구간을 변환한 것과 이상적으로는 같아야 한다.
• 신뢰구간은 '''유효'''하거나 '''일치'''해야 한다. 즉, 모수가 공칭 수준 $1\; -\; \backslash alpha$인 신뢰구간에 포함될 확률은 $1\; -\; \backslash alpha$와 같거나 적어도 확률적으로 $1\; -\; \backslash alpha$에 수렴해야 한다. 후자의 기준은 Hall의 프레임워크를 사용하여 개선되고 확장되었다.^[54] 이러한 개선은 참된 커버리지 확률이 공칭 값에 얼마나 빠르게 접근하는지에 따라 방법을 구별하기 위한 것으로, 여기서 방법이 (DiCiccio와 Efron의 용어를 사용하여) 근사 오차 항이 $O(1\; /\; \backslash sqrt\{n\})$이면 '''1차 정확'''하고, 오차 항이 $O(n^\{-1\})$이면 '''2차 정확'''하다. 또한, 방법은 추정된 부트스트랩 임계점이 참된(알 수 없는) 점으로 수렴하는 속도에 따라 구별되며, 이 속도가 $O\_p(n^\{-3/2\})$일 때 방법은 '''2차 보정'''된다.
• 논문에 대한 토론에서 Gleser는 이전 항목의 점근적 설명의 한계는 $O(\backslash cdot)$ 항이 모수 또는 참된 분포에서 반드시 균일하지 않다는 점이라고 주장한다.

8. 2. 편향, 비대칭 및 신뢰 구간

8. 3. 부트스트랩 신뢰 구간 방법

• '''기본 부트스트랩''' ('''역 백분위수 구간'''^[39]): 신뢰 구간을 구성하는 간단한 방식이다. 매개변수의 부트스트랩 분포에서 경험적 분위수를 가져온다(Davison and Hinkley 1997, equ. 5.6 p. 194 참조).^[38] 공식은 다음과 같다.

• '''백분위수 부트스트랩''': 기본 부트스트랩과 유사하게 부트스트랩 분포의 백분위수를 사용하지만, 다른 공식을 사용한다(왼쪽 및 오른쪽 분위수의 반전을 참고).

• '''Student화된 부트스트랩''' ('''부트스트랩-t'''): 표준 신뢰 구간과 유사하게 계산되지만, 정규 또는 스튜던트 근사의 분위수를 Student's t-test의 부트스트랩 분포의 분위수로 대체한다(Davison and Hinkley 1997, equ. 5.7 p. 194 및 Efron and Tibshirani 1993 equ 12.22, p. 160 참조).

• '''편향 보정 부트스트랩''': 부트스트랩 분포의 편향을 조정한다.

• '''가속 부트스트랩''' ('''BCa 부트스트랩'''): Efron(1987)이 개발한 방법으로,^[43] 부트스트랩 분포의 편향과 왜도를 모두 조정한다. 이 접근 방식은 다양한 설정에서 정확하고, 합리적인 계산 요구 사항을 갖추고 있으며, 합리적으로 좁은 구간을 생성한다.^[43]

모델 식은 다음과 같다.

• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ≧ 0일 때 버지니아 붓꽃으로 판별
• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ＜ 0일 때 버시컬러 붓꽃으로 판별

9. 부트스트랩 가설 검정

에프론(Efron)과 팁시라니(Tibshirani)^[1]는 두 독립 표본의 평균을 비교하기 위한 다음 알고리즘을 제안한다.

$x\_1,\; \backslash ldots,\; x\_n$을 표본 평균 $\backslash bar\{x\}$와 표본 분산 $\backslash sigma\_x^2$을 가진 분포 F에서 추출한 랜덤 표본이라고 가정한다. $y\_1,\; \backslash ldots,\; y\_m$을 평균 $\backslash bar\{y\}$와 분산 $\backslash sigma\_y^2$을 가진 분포 G에서 추출한 또 다른 독립 랜덤 표본이라고 가정한다.

1. 검정 통계량 $t\; =\; \backslash frac\{\backslash bar\{x\}-\backslash bar\{y\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash sigma\_x^2/n\; +\; \backslash sigma\_y^2/m\}\}$을 계산한다.

2. 값들이 $x\_i\text{'}\; =\; x\_i\; -\; \backslash bar\{x\}\; +\; \backslash bar\{z\}$ 및 $y\_i\text{'}\; =\; y\_i\; -\; \backslash bar\{y\}\; +\; \backslash bar\{z\},$인 두 개의 새로운 데이터 집합을 만든다. 여기서 $\backslash bar\{z\}$는 결합된 표본의 평균이다.

3. $x\_i\text{'}$에서 크기 $n$의 랜덤 표본($x\_i^*$)을 복원 추출하고, $y\_i\text{'}$에서 크기 $m$의 다른 랜덤 표본($y\_i^*$)을 복원 추출한다.

4. 검정 통계량 $t^*\; =\; \backslash frac\{\backslash bar\{x^*\}-\backslash bar\{y^*\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash sigma\_x^\{*2\}/n\; +\; \backslash sigma\_y^\{*2\}/m\}\}$을 계산한다.

5. 3단계와 4단계를 $B$번 반복하여(예: $B=1000$) 검정 통계량의 $B$개 값을 수집한다.

6. p-값을 $p\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\_\{i=1\}^B\; I\backslash \{t\_i^*\; \backslash geq\; t\backslash \}\}\{B\}$로 추정한다. 여기서 $I\backslash \{\backslash text\{condition\}\backslash \}\; =\; 1$는 ''condition''이 참일 때, 그렇지 않으면 0이다.

10. 응용 예시

로널드 피셔가 제시한 붓꽃 데이터 세트를 사용하여 붓꽃의 두 종(버지니아 붓꽃, 버시컬러 붓꽃)을 판별하는 모델을 구축하는 예시를 통해 부트스트랩 방법의 기본 개념을 설명한다.

꽃받침의 길이만을 설명 변수로 하여 두 종을 판별하는 로지스틱 회귀 모델을 만들고, 최대 우도 추정을 사용하면 다음 표와 같은 결과를 얻을 수 있다.

모델 식은 다음과 같다.

• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 ≧ 0일 때 버지니아 붓꽃으로 판별
• 2.01 × 꽃받침 길이 - 12.57 < 0일 때 버시컬러 붓꽃으로 판별

10. 1. 스무딩 부트스트랩

11. 추론에 대한 다른 접근 방식과의 관계

부트스트랩은 잭나이프, 교차 검증과 같은 다른 재표본 추출 방법들과 구별된다. 잭나이프는 표본 통계량의 편향과 분산을 추정하는 데 사용되며, 교차 검증은 한 부분 표본에서 추정된 매개변수를 다른 부분 표본에 적용하는 방법이다. 부트스트랩 집계(배깅)는 여러 부트스트랩 표본에서 훈련된 모델에서 얻은 모델 예측을 평균하는 것을 기반으로 하는 메타 알고리즘이다.

소수의 데이터 항목(''r''개)을 사용하여 필요한 특성을 측정할 수 있는 상황에서, 전체 표본을 기반으로 하는 해당 통계량을 공식화할 수 있다. 주어진 ''r''-표본 통계량을 사용하여 부트스트래핑과 유사한 방식으로 ''n''-표본 통계량을 만들 수 있는데, 이 절차는 특정 좋은 속성을 갖는 것으로 알려져 있으며 결과는 U-통계량이다. 표본 평균과 표본 분산은 ''r''=1 및 ''r''=2에 해당하는 이러한 형태이다.

11. 1. 다른 재표본 추출 방법과의 관계

• 잭나이프: 표본 통계량의 편향과 분산을 추정하는 데 사용된다.
• 교차 검증: 한 부분 표본에서 추정된 매개변수(예: 회귀 가중치, 요인 적재)를 다른 부분 표본에 적용하는 방법이다.

12. 점근 이론

부트스트랩은 특정 조건에서 바람직한 점근적 성질을 갖는다. 가장 흔히 설명되는 점근적 성질은 부트스트랩 경험적 과정의 표본 경로의 약한 수렴/일치성, 그리고 부트스트랩에서 파생된 신뢰 구간의 유효성이다.

부트스트랩 방법은 모집단의 추정량(분산 등)의 성질을, 근사 분포에 따라 표본화했을 때의 성질을 계산하여 추정하는 방법이다. 여기서 근사 분포로는 측정값으로부터 구해지는 경험 분포를 사용하는 것이 일반적이다. 가설 검정에 사용되는 경우도 있는데, 가정되는 분포가 의심스럽거나, 파라메트릭한 가정이 불가능하거나 매우 복잡한 계산을 필요로 하는 경우에 사용된다.

부트스트랩 방법의 장점은 해석적인 방법에 비해 매우 단순하다는 것이다. 모집단 분포의 복잡한 모수(백분위수점, 비율, 오즈비, 상관계수 등)의 복잡한 추정 함수의 표준 오차나 신뢰 구간을 구하기 위해, 단순히 부트스트랩 표본을 적용하는 것만으로 충분하다.

하지만 부트스트랩 방법은 점근적으로 일치하는 경우에는 유한 표본이 보장되지 않고, 낙관적으로 되는 경향이 있다는 단점이 있다.

12. 1. 확률적 수렴

12. 2. 일관성

12. 3. 강한 일관성

12. 4. 중심 극한 정리를 사용하여 일관성 보이기

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