부호규약

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1. 개요
2. 좌표계
- 2.1. 오른손 좌표계
- 2.2. 왼손 좌표계
3. 상대성이론
- 3.1. 메트릭 부호수
- 3.2. 곡률
4. 기하광학
- 4.1. 부호 규약 표
- 4.2. 렌즈 공식
5. 다른 분야의 부호규약
6. 관련 문서
참조

1. 개요

부호규약은 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 사용되는 규칙으로, 물리량의 방향, 크기 또는 관계를 정의하기 위해 부호를 할당하는 방식을 의미한다. 좌표계, 상대성이론, 기하광학 등에서 다양한 부호규약이 사용되며, 특히 일반 상대성이론에서는 메트릭 부호수, 리치 텐서의 부호 규약이 존재한다. 기하광학에서는 광선의 진행 방향에 따라 거리, 초점 거리, 곡률 반지름 등에 부호를 부여하며, 다른 분야에서는 시간, 전하, 주파수, 일, 전류 등의 물리량에 부호를 결정하는 데 사용된다.

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부호규약

2. 좌표계

3차원 공간의 좌표계를 정할 때 좌표계를 정할 수 있는 방식은 두 가지가 있다. 하나는 주로 물리학에서 쓰이는 오른손잡이 좌표계로, 오른손 법칙을 따르는 좌표계이다. 다른 하나는 왼손잡이 좌표계로 오른손 좌표계의 3번째 기저가 반대로 되어 있는 좌표계이다. 왼손 좌표계는 오른손 법칙을 따르지 않는다.

2. 1. 오른손 좌표계

3차원 공간의 좌표계를 정할 때 좌표계를 정할 수 있는 방식은 두 가지가 있다. 하나는 주로 물리학에서 쓰이는 오른손잡이 좌표계로, 오른손 법칙을 따르는 좌표계이다. 다른 하나는 왼손잡이 좌표계로 오른손 좌표계의 3번째 기저가 반대로 되어 있는 좌표계이다. 왼손 좌표계는 오른손 법칙을 따르지 않는다.

2. 2. 왼손 좌표계

3차원 공간의 좌표계를 정할 때 좌표계를 정할 수 있는 방식은 두 가지가 있다. 하나는 주로 물리학에서 쓰이는 오른손 법칙을 따르는 오른손 좌표계이고, 다른 하나는 왼손 좌표계이다. 왼손 좌표계는 오른손 좌표계의 3번째 기저가 반대 방향으로 되어 있는 좌표계이며, 오른손 법칙을 따르지 않는다.

3. 상대성이론

3. 1. 메트릭 부호수

일반 상대성이론에서 4차원 시공간의 메트릭 부호수는 (+,−,−,−) 또는 (−,+,+,+)으로 정하는 경우가 많다. 이 두 부호수는 시공간 간격, 계량 텐서, 질량과 4차원 운동량 간의 관계에서 차이를 보인다. (+,−,−,−) 부호수는 시간꼴(timelike) 간격에 대해 양의 값을, 공간꼴(spacelike) 간격에 대해 음의 값을 갖는다. 반면 (−,+,+,+) 부호수는 시간꼴 간격에 대해 음의 값을, 공간꼴 간격에 대해 양의 값을 갖는다.

일반 상대성 이론에서의 메트릭 부호수 비교
메트릭 부호수	(+,−,−,−)/plus minus minus minus signature^영어	(−,+,+,+)/minus plus plus plus signature^영어
시공간 간격규약	시간꼴(timelike)	공간꼴(spacelike)
주로 사용하는 분야	입자물리학, 일반 상대성이론	일반 상대성이론
대응하는 메트릭 텐서	$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$	$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
질량과 4차원 운동량 간의 관계	$m^2 = p^{\mu}p_{\mu}$	$m^2 = -p^{\mu}p_{\mu}$

(+ ,−,−,−) 부호수는 란다우-립시츠의 이론물리학 교과서 시리즈에서 사용되었고, 주로 입자물리학에서 사용된다. (−,+,+,+) 부호수는 찰스 W. 미스너, 킵 S. 손, 존 아치볼드 휠러의 공저인 《Gravitation》에서 사용되었으며, 일반 상대성이론에서 주로 사용된다.

3. 2. 곡률

리치 텐서는 리만 텐서의 수축으로 정의된다. 일부는 리치 텐서의 성분을 축약형으로 ''R''_ab = ''R''^c_acb를 사용하지만, 어떤 사람들은 반전된 형태로 ''R''_ab = ''R''^c_abc를 사용한다. 리만 텐서의 대칭성으로 인해 이 두 정의는 부호가 다르다.

사실, 리치 텐서의 두 번째 정의는 ''R''_ab = ''R''_acb^c이다. 리치 텐서의 부호는 바뀌지 않았는데, 두 부호 규약이 리만 텐서의 부호와 관련되기 때문이다. 두 번째 정의는 부호를 보상할 뿐이며, 리만 텐서의 두 번째 정의와 함께 작동한다(Barrett O'Neill의 Semi-riemannian geometry 참조).

4. 기하광학

기하광학에서 광선의 진행 방향에 따라서 부호를 결정할 수 있다. 모든 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 나아간다고 가정하며, 광학계(렌즈와 거울)와 광축이 만나는 점을 V라 할 때, 다음은 부호 규약의 한 예시이다.^[1]

부호	양수	음수
s_o, f_o	V의 왼쪽	V의 오른쪽
s_i, f_i	V의 오른쪽	V의 왼쪽
R	원의 중심이 V의 왼쪽	원의 중심이 V의 오른쪽
y_o, y_i	광축보다 위	광축보다 아래
f	오목거울	볼록거울

''s_o''와 ''s_i''는 각각 물체와 상이 점 V로부터 떨어진 거리이다.
''f''는 거울의 초점 거리이다.
''f_o''와 ''f_i''는 각각 렌즈에서의 물체 쪽과 상 쪽의 초점 거리이다.
''R''는 구면 렌즈나 구면 거울의 곡률 반지름이다.
''y_o''와 ''y_i''는 각각 물체와 상의 광축에 대한 높이이다.^[1]

이 부호규약을 통해 주어지는 렌즈 제작자 공식과 렌즈의 공식은 다음과 같다.

:

\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=(n_i -1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)

(렌즈 제작자 공식)

:

\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}

(렌즈의 공식)

4. 1. 부호 규약 표

기하광학에서 광선의 진행 방향에 따라서 부호를 결정할 수 있다. 모든 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 나아간다고 가정하며, 광학계(렌즈와 거울)와 광축이 만나는 점을 V라 할 때, 다음은 부호 규약의 한 예시이다.^[1]

부호	양수	음수
s_o, f_o	V의 왼쪽	V의 오른쪽
s_i, f_i	V의 오른쪽	V의 왼쪽
R	원의 중심이 V의 왼쪽	원의 중심이 V의 오른쪽
y_o, y_i	광축보다 위	광축보다 아래
f	오목거울	볼록거울

''s_o''와 ''s_i''는 각각 물체와 상이 점 V로부터 떨어진 거리이다.
''f''는 거울의 초점 거리이다.
''f_o''와 ''f_i''는 각각 렌즈에서의 물체 쪽과 상 쪽의 초점 거리이다.
''R''는 구면 렌즈나 구면 거울의 곡률 반지름이다.
''y_o''와 ''y_i''는 각각 물체와 상의 광축에 대한 높이이다.^[1]

이 부호규약을 통해 주어지는 렌즈 제작자 공식과 렌즈의 공식은 다음과 같다.

:

\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=(n_i -1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)

(렌즈 제작자 공식)

:

\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}

(렌즈의 공식)

4. 2. 렌즈 공식

기하광학에서 광선의 진행방향에 따라서 부호를 결정할 수 있다. 구면 렌즈나 구면 거울의 곡률에 대해 부호규약을 정할 수 있다.^[1] 모든 빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 나아간다고 가정하며,

V

는 광학계(렌즈와 거울)와 광축이 만나는 점을 의미한다.^[1]

s_o

와

s_i

는 각각 물체와 상이 점

V

로부터 떨어진 거리이고,

f

는 거울의 초점거리,

f_o

와

f_i

는 각각 렌즈에서의 물체 쪽과 상 쪽의 초점거리이다.^[1]

R

는 구면렌즈나 구면거울의 곡률반경이고,

y_o

와

y_i

는 각각 물체와 상의 광축에 대한 높이이다.^[1]

부호	양수	음수
$s_o$ , $f_o$	$V$ 의 왼쪽	$V$ 의 오른쪽
$s_i$ , $f_i$	$V$ 의 오른쪽	$V$ 의 왼쪽
$R$	원의 중심이 V의 왼쪽	원의 중심이 V의 오른쪽
$y_o$ , $y_i$	광축보다 위	광축보다 아래
$f$	오목거울	볼록거울

이 부호규약을 통해 주어지는 렌즈 제작자 공식과 렌즈의 공식은 다음과 같다.

: $\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=(n_i -1)\left( \frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2} \right)$ (렌즈 제작자 공식)

: $\frac{1}{s_o}+\frac{1}{s_i}=\frac{1}{f}$ (렌즈의 공식)

5. 다른 분야의 부호규약

기준계에서의 시간과 고유시간에서의 부호 선택은 통상적으로 미래의 경우 '''+''', 과거의 경우 '''-'''를 사용한다. 디랙 방정식에서 $\pm$ 의 결정과, 고전 전기역학과 게이지 이론에서 전하의 부호, 전기장 세기 텐서 $\, F_{ab}$ 가 있다. 양의 주파수 파동의 시간 의존성은 파동 방정식을 참조하면 주로 물리학에서 $\, e^{-i\omega t}$ 를 사용하고 공학에서는 $\, e^{+j\omega t}$ 를 사용한다. 유전율의 허수부에 대한 부호는 사실 시간 의존성에 대한 부호 선택에 따라 결정된다. 열역학 제1법칙에서의 일의 표시, 공변 메트릭 텐서의 행렬식 가중치와 같은 텐서 밀도 가중치의 부호, 전기 공학에서의 전류, 전압 및 전력의 능동 및 수동 부호규약이 있다.

6. 관련 문서

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