기하광학

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1. 개요
2. 역사
3. 기본 원리
4. 수학적 방법
5. 현대 광학에서의 기하광학
참조

1. 개요

기하광학은 빛의 파동성을 무시하고 빛을 광선으로 간주하여 빛의 성질을 연구하는 광학 분야이다. 빛의 직진, 반사, 굴절의 세 가지 기본 원리를 바탕으로 하며, 이는 페르마의 원리로 설명된다. 기하광학은 고대 그리스 시대부터 연구되었으며, 이븐 알하이삼의 『광학』을 통해 발전했다. 빛의 파장이 짧을 때 적용 가능하며, 좀머펠트-룬게 방법과 루네부르크 방법 등의 수학적 방법을 사용한다. 렌즈, 거울, 프리즘 등 다양한 광학 기기의 설계 및 분석에 활용되며, 현대 광학 기술의 기초를 이룬다.

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기하광학
개요
학문 분야	광학
주요 내용	광선, 반사, 굴절, 렌즈, 거울, 프리즘
상세 정보
설명	광학의 한 분야로, 빛을 광선이라는 기하학적 추상으로 간주하여 광학 현상을 다루는 학문이다.
적용	렌즈 설계 광학 기기 눈 카메라 망원경 현미경
특징	빛의 파동성을 무시하고, 빛이 직선으로 나아간다고 가정한다. 빛의 간섭이나 회절과 같은 현상은 설명하지 못한다.
역사
고대 그리스	유클리드의 "Optics"에서 연구가 시작되었다고 여겨진다.
11세기	이븐 알하이삼의 "Kitab al-Manazir" (Book of Optics)에서 반사와 렌즈를 통해 시각 시스템을 정확하게 설명하였다.
17세기	스넬의 굴절 법칙 발견 뉴턴의 광학 연구
20세기	양자 전기역학의 발전으로 빛의 파동-입자 이중성이 밝혀지면서 기하광학의 한계가 명확해짐.
기본 원리
페르마의 원리	빛은 두 지점 사이를 가장 짧은 시간 안에 이동하는 경로를 따른다.
반사의 법칙	입사각과 반사각은 같다.
스넬의 법칙	굴절률이 다른 두 매질 사이에서 빛이 굴절될 때 입사각과 굴절각 사이의 관계를 나타낸다.
응용 분야
광학 기기 설계	렌즈 거울 프리즘
시력 교정	안경 및 콘택트 렌즈 설계
사진 기술	카메라 렌즈 설계
천문학	망원경 및 기타 천문 관측 장비 설계

2. 역사

고대 그리스에서 시작된 기하광학은 아라비아에서 크게 발전했다. 이븐 알하이삼(알하이삼)의 업적은 이후 유럽의 광학 발전에 큰 영향을 주었다. 13세기 폴란드의 비테로는 출처를 밝히지 않고 알하이삼의 논의를 소개했다. 같은 시대 로저 베이컨도 저서에서 알하이삼의 『광학』 성과를 반복했지만, 능동적인 눈의 견해와 수동적인 견해가 혼재되어 있었다. 유럽에서 『광학』의 완전한 번역본이 출판된 것은 16세기 이후였다.^[16]

2. 1. 고대 그리스

고대 그리스에서는 시각에 대한 눈의 역할에 대해 능동적인 견해와 수동적인 견해가 대립했다. 원자론자들은 눈이 수용 기관에 불과하다고 주장했지만, 엠페도클레스와 플라톤은 눈에서 방사가 나온다는 능동적인 견해를 주장했다.^[13] 이 능동적인 견해에서는 눈이 온화한 불꽃을 가지고 있으며, 거기서 방출된 방사와 외부의 햇빛이 접촉함으로써 시각이 얻어진다고 한다. 유클리드(Euclides)와 프톨레마이오스(Claudius Ptolemaeus)는 이 눈의 능동적인 견해를 바탕으로 시선이 직진과 반사, 굴절을 한다는 기하광학을 만들어냈다.^[14]

2. 2. 아랍

중세 아랍 세계는 고대 그리스의 기하광학을 계승하여 크게 발전시켰다. 10세기의 이븐 알하이삼(Ibn al-Haytham)은 《광학》을 저술하여 철저한 실험적 검증을 통해 빛과 눈의 역할을 밝혔다. 예를 들어, 빛이 직진한다는 것을 밝히기 위해 벽에 주의 깊게 측정한 여러 개의 구멍을 뚫고, 반사된 빛이나 아침의 붉은 빛 등 다양한 빛으로 검증을 실시했다.^[15] 또한 눈의 해부를 통해 시각상은 외부의 대상에서 발산되는 광선에 의한 것이라고 하였고, 렌즈의 특성도 상세히 연구함으로써 유클리드의 기하학을 바르게 반전시켜 반사와 굴절의 기하학을 명확히 했다. 카메라 오브스쿠라의 원리를 이용하여 일식의 상을 작은 구멍을 통해 투영해 보이기도 했다.^[15]

2. 3. 유럽

이븐 알하이삼(알하이삼)의 업적은 이후 유럽의 광학 발전에 큰 영향을 주었다. 13세기 폴란드의 비테로(Witelo)는 출처를 밝히지 않고 알하이삼의 논의를 소개했다. 같은 시대 로저 베이컨(Roger Bacon)도 저서에서 알하이삼의 『광학』 성과를 반복했지만, 능동적인 눈의 견해와 수동적인 견해가 혼재되어 있었다. 유럽에서 『광학』의 완전한 번역본이 출판된 것은 16세기 이후였다.^[16]

3. 기본 원리

기하광학은 빛이 파면에 수직인 직선 또는 곡선을 따라 이동한다는 페르마의 원리를 기본 원리로 한다.^[1] 이 원리에 따르면 빛은 두 점 사이를 가장 짧은 시간에 이동할 수 있는 경로를 따른다. 기하광학은 빛의 직진, 반사, 굴절의 세 가지 기본 법칙을 기반으로 하며, 이 법칙들은 페르마의 원리로 통합될 수 있다.

기하광학은 종종 근축 근사를 사용하여 단순화된다. 이 근사를 통해 광학 부품과 시스템을 간단한 행렬로 설명할 수 있게 되며, 가우스 광학과 ''근축 광선 추적'' 기법으로 이어진다. 이를 통해 광학 시스템의 기본적인 특성을 찾을 수 있다.^[2]

3. 1. 빛의 직진

빛은 균일한 매질에서 직선으로 나아간다. 빛의 이러한 성질은 페르마의 원리에서 조금 더 엄밀하게 정의되는데, 페르마의 원리에 따르면 빛의 광선이 두 점 사이를 지나는 경로는 가장 짧은 시간에 통과할 수 있는 경로이다.^[1] 그림자, 바늘구멍 사진기(카메라 옵스쿠라) 등은 빛의 직진성으로 설명할 수 있는 현상들이다.

3. 2. 빛의 반사

거울과 같이 광택이 있는 표면은 빛을 단순하고 예측 가능한 방식으로 반사한다. 이를 통해 실제(실상) 또는 외삽된(허상) 공간 위치와 연관시킬 수 있는 반사된 상을 생성할 수 있다.

이러한 표면에서 반사 광선의 방향은 입사 광선이 표면의 법선(광선이 표면에 부딪히는 지점에서 표면에 수직인 선)과 이루는 각도에 의해 결정된다. 입사 광선과 반사 광선은 단일 평면에 있으며, 반사 광선과 표면 법선 사이의 각도는 입사 광선과 법선 사이의 각도와 같다.^[3] 이것을 반사 법칙이라고 한다.

평면 거울의 경우, 반사 법칙은 물체의 상이 정립되고 거울 뒤에 물체가 거울 앞에 있는 거리만큼 같은 거리에 있다는 것을 의미한다. 상의 크기는 물체의 크기와 같다. (평면 거울의 배율은 1과 같다.) 또한 반사 법칙은 거울상이 파리티 반전된다는 것을 의미하는데, 이는 좌우 반전으로 인식된다.

곡면을 가진 거울은 광선 추적을 통해 모델링하고 표면의 각 지점에서 반사 법칙을 사용할 수 있다. 포물면 표면을 가진 거울의 경우, 거울에 입사하는 평행 광선은 공통 초점에 수렴하는 반사 광선을 생성한다. 다른 곡면도 빛을 초점에 모을 수 있지만, 발산 형상으로 인해 수차가 발생하여 초점이 공간적으로 번져 보입니다. 특히, 구면 거울은 구면 수차를 나타낸다. 곡면 거울은 1보다 크거나 작은 배율로 상을 형성할 수 있으며, 상은 정립 또는 도립될 수 있다. 거울의 반사로 형성된 정립 상은 항상 허상이고, 도립 상은 실상이며 스크린에 투영할 수 있다.^[3]

3. 3. 빛의 굴절

굴절은 빛이 굴절률이 변하는 공간 영역을 통과할 때 발생한다. 가장 간단한 경우는 굴절률이

n_1

인 균일 매질과 굴절률이

n_2

인 다른 매질 사이의 경계면에서 발생한다. 이러한 상황에서 스넬의 법칙은 빛의 경로가 꺾이는 현상을 설명한다.

:

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2

여기서

\theta_1

과

\theta_2

는 각각 경계면에 대한 법선과 입사파 및 굴절파 사이의 각도이다. 이 현상은 빛의 속도 변화와도 관련이 있으며, 다음을 의미한다.

:

v_1\sin\theta_2\ = v_2\sin\theta_1

여기서

v_1

과

v_2

는 각 매질을 통과하는 파동의 속도이다.^[3]

스넬의 법칙에 따르면, 굴절률이 높은 물질에서 낮은 물질로 이동하는 광선의 경우, 경계면과의 상호 작용으로 인해 투과가 0이 될 수 있다. 이 현상을 전반사라고 하며, 광섬유 기술을 가능하게 한다. 광섬유 케이블을 따라 빛 신호가 이동할 때 전반사가 발생하여 케이블 길이에 걸쳐 빛 손실이 거의 발생하지 않는다. 또한 반사와 굴절을 조합하여 편광된 광선을 생성할 수 있다. 굴절광과 반사광이 직각을 이룰 때, 반사광은 "평면 편광"의 특성을 갖는다. 이러한 시나리오에 필요한 입사각을 브루스터 각이라고 한다.^[3]

매질의 굴절률과 기하학적 구조를 알고 있다면 스넬의 법칙을 사용하여 "선형 매질"을 통과하는 광선의 편향을 예측할 수 있다. 예를 들어, 프리즘을 통과하는 빛은 프리즘의 모양과 방향에 따라 굴절된다. 또한 대부분의 물질에서 서로 다른 주파수의 빛은 굴절률이 약간 다르기 때문에 굴절을 사용하여 무지개처럼 보이는 분산 스펙트럼을 생성할 수 있다. 프리즘을 통과하는 빛에서 이 현상을 발견한 것은 아이작 뉴턴에게 기인한다.^[3]

일부 매질은 굴절률이 위치에 따라 점진적으로 변하므로 광선은 직선으로 이동하는 대신 매질을 통해 곡선으로 이동한다. 이 효과는 더운 날에 보이는 신기루를 일으키는 원인이며, 공기의 굴절률 변화로 인해 광선이 휘어져 멀리서(마치 물웅덩이 표면처럼) 정반사가 있는 것처럼 보입니다. 굴절률이 변하는 재료를 구배형 굴절률(GRIN) 재료라고 하며, 복사기 및 스캐너를 포함한 최신 광학 스캐닝 기술에 사용되는 많은 유용한 특성을 가지고 있다. 이 현상은 구배형 굴절률 광학 분야에서 연구된다.^[4]

굴절로 인해 수렴하거나 발산하는 광선을 생성하는 장치를 렌즈라고 한다. 얇은 렌즈는 렌즈메이커 방정식을 사용하여 모델링할 수 있는 양쪽에 초점을 생성한다.^[5] 일반적으로 두 가지 유형의 렌즈가 있다. 평행한 광선을 수렴시키는 볼록 렌즈와 평행한 광선을 발산시키는 오목 렌즈이다. 이러한 렌즈에 의해 이미지가 생성되는 방법에 대한 자세한 예측은 곡면 거울과 유사한 광선 추적을 사용하여 할 수 있다. 곡면 거울과 마찬가지로 얇은 렌즈는 특정 초점 거리(

f

)와 물체 거리가 주어지면 이미지의 위치를 결정하는 간단한 방정식을 따른다.

:

\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} = \frac{1}{f}

여기서

S_2

는 이미지와 관련된 거리이며, 관례상 물체와 같은 쪽에 있으면 음수로, 렌즈의 반대쪽에 있으면 양수로 간주된다.^[5] 오목 렌즈의 초점 거리 f는 음수로 간주된다.

입사하는 평행광선은 볼록 렌즈에 의해 렌즈의 반대쪽에 있는 렌즈로부터 초점 거리만큼 떨어진 곳에 도립된 실상으로 집중된다.

입사하는 평행광선은 볼록 렌즈에 의해 렌즈 반대쪽에 있는 초점 거리만큼 떨어진 곳에 도립된 실상으로 집중된다. 유한 거리에 있는 물체에서 나오는 광선은 초점 거리보다 더 렌즈에서 멀리 집중된다. 물체가 렌즈에 더 가까울수록 이미지는 렌즈에서 더 멀리 떨어진다.

오목 렌즈의 경우, 입사하는 평행광선은 렌즈를 통과한 후 발산하여 평행광선이 접근하는 렌즈의 같은 쪽에 있는 렌즈로부터 초점 거리만큼 떨어진 곳에 있는 정립된 허상에서 시작된 것처럼 보입니다.

오목 렌즈의 경우, 입사하는 평행광선은 렌즈를 통과한 후 발산하여 평행광선이 접근하는 렌즈와 같은 쪽에 있는 초점 거리만큼 떨어진 곳에 있는 정립된 허상에서 시작된 것처럼 보인다. 유한 거리에 있는 물체에서 나오는 광선은 초점 거리보다 렌즈에 더 가까운 허상과 물체와 같은 쪽에 있는 허상과 관련이 있다. 물체가 렌즈에 더 가까울수록 허상은 렌즈에 더 가까워진다.

유한 거리에 있는 물체에서 나오는 광선은 초점 거리보다 렌즈에 더 가까운 허상과 물체와 렌즈의 같은 쪽에 있는 허상과 관련이 있습니다.

렌즈의 배율은 다음과 같이 주어집니다.

:

M = - \frac{S_2}{S_1} = \frac{f}{f - S_1}

여기서 음의 부호는 관례적으로 양수 값에 대해서는 정립된 물체를, 음수 값에 대해서는 도립된 물체를 나타낸다. 거울과 마찬가지로 단일 렌즈에 의해 생성된 정립된 이미지는 허상이고, 도립된 이미지는 실상이다.^[3]

렌즈는 이미지와 초점을 왜곡하는 수차를 겪는다. 이것은 기하학적 결함과 서로 다른 파장의 빛에 대한 굴절률 변화(색수차) 때문입니다.^[3]

4. 수학적 방법

기하광학은 빛의 파장이 매우 짧다는 가정 하에, 파동 방정식을 근사적으로 풀어 빛의 경로를 계산하는 학문이다. 수학적으로 기하광학은 쌍곡선 편미분 방정식 해(좀머펠트-룬게 방법) 또는 맥스웰 방정식에 따른 장의 불연속성 전파 특성(루네부르크 방법)으로 나타난다.^[6]

기하광학 방정식을 유도하는 대표적인 방법은 다음과 같다.

'''좀머펠트-룬게 방법:''' 파동 방정식에서 파장이 0으로 수렴하는 극한을 취하여 기하광학 방정식을 유도한다. 1911년 아르놀트 좀머펠트와 J. 룬게(J. Runge)가 처음으로 기술하였다.^[6]
'''루네부르크 방법:''' 맥스웰 방정식 해의 불연속면을 분석하여 기하광학 방정식을 유도한다. 1944년 루돌프 카를 루네부르크(Rudolf Karl Luneburg)가 처음으로 제시하였다.^[10]

두 방법 모두 아이코날 방정식을 통해 빛의 경로를 설명한다.

4. 1. 아이코날 방정식

파장이 짧은 극한에서의 쌍곡선 편미분 방정식 해(좀머펠트-룬게 방법) 또는 맥스웰 방정식에 따른 장의 불연속 전파 특성(루네부르크 방법)으로 나타나는 기하광학에서, 해는 국소적으로 다음과 같이 근사할 수 있다.^[12]

:

u(t,x) \approx a(t,x)e^{i(k\cdot x - \omega t)}

여기서

k, \omega

는 분산 관계를 만족하며, 진폭

a(t,x)

는 느리게 변한다. 더 정확히 말하면, 주요 항 해는 다음 형태를 취한다.

:

a_0(t,x) e^{i\varphi(t,x)/\varepsilon}.

위상

\varphi(t,x)/\varepsilon

는 큰 파수

k:= \nabla_x \varphi

와 주파수

\omega := -\partial_t \varphi

를 복구하기 위해 선형화할 수 있다. 진폭

a_0

는 수송 방정식을 만족한다.

사차 벡터 표기법을 사용하는 특수 상대성 이론에서 파동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_i\partial x^i} = 0

그리고

\psi= A e^{iS / \varepsilon}

를 대입하면

:

-\frac{A}{\varepsilon^2}\frac{\partial S}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i} + \frac{2i}{\varepsilon} \frac{\partial A}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i}  + \frac{iA}{\varepsilon} \frac{\partial^2 S}{\partial x_i\partial x^i}  + \frac{\partial^2 A}{\partial x_i\partial x^i} = 0.

따라서, 굴절률 방정식은 다음과 같이 주어지며, 이 방정식을 아이코날 방정식이라고 한다.

:

\frac{\partial S}{\partial x_i} \frac{\partial S}{\partial x^i} = 0.

위 방정식을 풀어서 굴절률을 구하면, 파동 사차 벡터는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

k_i = - \frac{\partial S}{\partial x^i}.

4. 2. 좀머펠트-룬게 방법

파동 방정식에서 파장이 0으로 수렴하는 극한을 취하여 기하광학 방정식을 유도하는 방법은 1911년 아르놀트 좀머펠트와 J. 룬게(J. Runge)가 처음으로 기술하였다.^[6] 이 방법은 페터 데바이(Peter Debye)의 구두 발언에 기초했다.^[7]^[8]

단색 스칼라장

\psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})e^{i\omega t}

를 고려하면,

\psi

는 전기장 또는 자기장의 성분일 수 있으며, 함수

\phi

는 다음과 같은 파동 방정식을 만족한다.

\nabla^2\phi + k_o^2 n(\mathbf{r})^2 \phi =0

여기서

k_o = \omega/c = 2\pi/\lambda_o

이고,

c

는 진공에서의 빛의 속도,

n(\mathbf{r})

은 매질의 굴절률이다.

\phi = A(k_o,\mathbf{r}) e^{i k_o S(\mathbf{r})}

를 도입하여 위 방정식을 변환하면 다음과 같다.

-k_o^2 A[(\nabla S)^2 - n^2] + 2 i k_o(\nabla S\cdot \nabla A) + ik_o A\nabla^2 S + \nabla^2 A =0.

기하광학의 기본 원리는

\lambda_o\sim k_o^{-1}\rightarrow 0

의 극한을 취하는 것이므로, 다음과 같은 점근 급수를 가정한다.

A(k_o,\mathbf{r}) = \sum_{m=0}^\infty \frac{A_m(\mathbf{r})}{(ik_o)^m}

이 급수를 위의 방정식에 대입하고

k_o

의 차수에 따라 항들을 묶으면 다음을 얻는다.

\begin{align}O(k_o^2): &\quad (\nabla S)^2 = n^2, \\[1ex]O(k_o) : &\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_0 + A_0\nabla^2 S =0, \\[1ex]O(1): &\quad  2\nabla S\cdot \nabla A_1 + A_1\nabla^2 S =-\nabla^2 A_0,\end{align}

일반적으로,

O(k_o^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_m + A_m\nabla^2 S =-\nabla^2 A_{m-1}.

첫 번째 방정식은 '''아이코날 방정식'''으로, 아이코날

S(\mathbf{r})

을 결정한다. 이는 해밀턴-자코비 방정식과 같은 형태이다. 나머지 방정식들은 함수

A_m(\mathbf{r})

를 결정한다.

4. 3. 루네부르크 방법

루네부르크 방법(Luneburg method)은 맥스웰 방정식 해의 불연속면을 분석하여 기하광학 방정식을 유도하는 방법이다. 이 방법은 1944년 루돌프 카를 루네부르크(Rudolf Karl Luneburg)가 처음으로 제시하였다.^[10]

이 방법의 핵심은 다음과 같은 정리로 요약된다.

'''정리.''' 유전율

\varepsilon(x, y, z)

과 투자율

\mu(x, y, z)

로 표현되는 선형 등방성 매질에서, 장

\mathbf{E}(x, y, z, t)

와

\mathbf{H}(x, y, z, t)

가

\psi(x, y, z) - ct = 0

형태의 방정식을 따르는 면에서 유한한 불연속성을 가진다고 가정한다. 그러면, 적분 형태의 맥스웰 방정식은

\psi

가 다음의 아이코날 방정식을 만족함을 의미한다.

:

\psi_x^2 + \psi_y^2 + \psi_z^2 = \varepsilon\mu = n^2,

여기서

n

은 매질의 굴절률이다.

이러한 불연속면의 예로는 특정 시간에 방사를 시작하는 광원에서 나오는 초기 파면(initial wave front)이 있다.

루네부르크 방법에서 광선은 불연속면에 수직인 궤적으로 정의되며, 페르마의 원리(최소 시간의 원리)를 따른다.

루네부르크 정리의 증명은 맥스웰 방정식이 해의 불연속성의 전파를 어떻게 제어하는지 조사하는 데 기반한다. 증명 과정의 핵심적인 부분은 다음과 같은 보조정리에 기반한다.

'''보조정리.'''

\varphi(x, y, z, t) = 0

을 시공간

\mathbf{R}^4

에서

\mathbf{E}(x, y, z, t)

,

\mathbf{H}(x, y, z, t)

,

\varepsilon(x, y, z)

,

\mu(x, y, z)

중 하나 이상이 유한한 불연속성을 갖는 초곡면이라고 하자. 그러면 초곡면의 각 점에서 다음 공식이 성립한다.

:

\begin{align}\nabla\varphi \cdot  [\varepsilon\mathbf{E}] &= 0 \\[1ex]\nabla\varphi \cdot  [\mu        \mathbf{H}] &= 0 \\[1ex]\nabla\varphi \times [\mathbf{E}] + \frac{1}{c} \, \varphi_t \, [\mu\mathbf{H}] &= 0 \\[1ex]\nabla\varphi \times [\mathbf{H}] - \frac{1}{c} \, \varphi_t \, [\varepsilon\mathbf{E}] &= 0\end{align}

여기서

\nabla

연산자는

xyz

공간에서 작용하며, 대괄호는 불연속면 양쪽 값의 차이를 나타낸다.

이 보조정리를 바탕으로, 불연속면이 연속 매질을 통해 전파될 때 아이코날 방정식을 만족함을 보일 수 있다.

5. 현대 광학에서의 기하광학

기하광학은 현대 광학 기술에서도 여전히 중요한 역할을 한다. 파동광학, 양자광학 등 더 정밀한 광학 이론이 발전했지만, 많은 광학 현상을 설명하고 광학 기기를 설계하는 데 여전히 유용하게 사용된다.

광섬유 기술은 빛이 굴절률이 낮은 물질에서 굴절률이 높은 물질로 이동할 때, 경계면과의 상호 작용으로 인해 투과가 0이 되는 전반사 현상을 이용한다. 광섬유 케이블을 따라 빛 신호가 이동할 때 전반사가 발생하여 케이블 길이만큼 빛 손실이 거의 발생하지 않는다.^[3]

복사기 및 스캐너를 포함한 최신 광학 스캐닝 기술에는 굴절률이 위치에 따라 점진적으로 변하는 구배형 굴절률(GRIN) 재료가 사용된다. 이 재료는 빛이 직선으로 이동하는 대신 매질을 통해 곡선으로 이동하게 하여, 더운 날에 보이는 신기루를 일으키는 원리와 같다.^[4]

렌즈 설계 등에서 광선 추적(광선 추적 (물리학)) 기법은 기하광학의 핵심적인 도구로 활용된다. 굴절로 인해 수렴하거나 발산하는 광선을 생성하는 장치를 렌즈라고 하며, 렌즈메이커 방정식을 사용하여 모델링할 수 있는 양쪽에 초점을 생성한다.^[5] 렌즈는 이미지와 초점을 왜곡하는 수차를 겪는데, 이는 기하학적 결함과 서로 다른 파장의 빛에 대한 굴절률 변화(색수차) 때문이다.^[3]

참조

_[1] 서적 An Introduction to the Theory of Optics https://archive.org/[...] Edward Arnold
_[2] 서적 Field Guide to Geometrical Optics SPIE
_[3] 서적 University Physics 8e https://archive.org/[...] Addison-Wesley
_[4] 서적 Gradient Index Optics Academic Press
_[5] 서적 Optics Addison Wesley
_[6] 논문 Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der geometrischen Optik
_[7] 서적 Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light Elsevier
_[8] 웹사이트 The application of vector calculus to the foundations of geometrical optics https://www.neo-clas[...] 2023-11-03
_[9] 서적 Fundamentals of quantum mechanics, particles, waves, and wave mechanics
_[10] 서적 Mathematical Theory of Optics University of California Press
_[11] 서적 Electromagnetic Theory and Geometrical Optics Interscience Publishers
_[12] 서적 The classical theory of fields
_[13] 서적 Timaeus
_[14] 문서 Park
_[15] 문서 Park, Pesic
_[16] 문서 Park, Pesic
_[17] 논문 Anwendung der Vektorrechnung auf die Grundlagen der geometrischen Optik

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