평형점

3. 평형점 계산 예시

f('''x'''_''e'') = 0^영어을 대수적으로 풀면 평형점을 식으로 나타낼 수 있다.^[1]

예를 들어 다음과 같은 미분 방정식계가 있다.

:$$

\begin{cases}

\dfrac{dx}{dt}= x (2 - x -y) \\

\dfrac{dy}{dt}= x - y

\end{cases}



변수 방정식의 예로는 로렌츠 방정식이 있다.

:$$

\begin{cases}

\dfrac{dx}{dt}= \sigma y - \sigma x \\

\dfrac{dy}{dt}= r x - y - xz \\

\dfrac{dz}{dt}= x y - b z

\end{cases}

3. 1. 예시 1

3. 2. 예시 2: 로렌츠 방정식

4. 평형점 근방에서의 해 궤도 거동 및 안정성 판별

평형점은 미분 방정식의 해를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.^[2] 미분방정식계 해의 거동을 알기 위해서는 우선 평형점을 조사하는 것이 일반적이며, 위상 공간 전체의 대역적인 성질을 다루는 경우에도 평형점 근방의 국소적인 성질을 분석하는 것이 기초가 된다.^[2] 평형점 근방의 해 궤도의 거동을 조사하고 분류하는 것은 해 궤도의 기하학적 구조를 이해하는 첫걸음이다.^[2]

평형점의 고유값 중 실수부가 0인 것이 없다면 해당 평형점은 쌍곡점이다. 모든 고유값이 음의 실수부를 가지면 해당 점은 안정하고, 적어도 하나가 양의 실수부를 가지면 해당 점은 불안정하다. 적어도 하나의 고유값이 음의 실수부를 가지고 적어도 하나가 양의 실수부를 가지면, 평형점은 안장점이며 불안정하다. 모든 고유값이 실수이고 동일한 부호를 가지면 해당 점은 노드라고 한다.

미분방정식의 어떤 해 궤도와 그 근처를 지나는 다른 해 궤도가 임의의 시각에서도 충분히 가까이 있는지, 아니면 멀어져 가는가 하는 문제는 안정성의 문제이며, 미분방정식의 정성적 이론에서 가장 기본적인 문제이다.^[1]

4. 1. 안정성의 정의

4. 1. 1. 랴푸노프 안정

4. 1. 2. 흡인성과 점근 안정

4. 1. 3. 불안정성과 반발성

4. 2. 선형계

여기서 '''A'''는 상수를 각 요소로 하는 ''n''차 정사각 행렬이다.

:$$

\boldsymbol{A} =

\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\

a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}

\end{pmatrix}



이러한 선형 미분 방정식을 풀기 위해서는 고유값과 고유 벡터를 구하는 것이 중요하다.^[2]

4. 2. 1. 고유값과 안정성

선형 미분 방정식계에서 원점 '''o'''는 항상 평형점이다. 이 평형점의 안정성은 행렬 '''A'''의 고유값 λ에 따라 결정된다.^[1]

행렬 '''A'''의 특성 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash det(\backslash boldsymbol\{A\}\; -\; \backslash lambda\; I)=0$

이 방정식을 풀면 n개의 고유값 λ를 얻을 수 있다.^[2]

평형점 '''o'''의 안정성은 다음과 같이 판별한다.

• 모든 고유값의 실수부가 음수이면 평형점은 점근적으로 안정하다.
• 실수부가 양수인 고유값이 하나 이상 존재하면 평형점은 불안정하다.
• 모든 고유값이 실수부가 음수인 고유값과 순허수(실수부가 0)인 고유값으로 구성되면 평형점은 중립적으로 안정하다.

4. 3. 푸앵카레의 분류 (2차원 자율 선형 미분 방정식)

앙리 푸앵카레는 2차원 자율 선형 미분 방정식의 평형점을, 평형점 근방의 해 궤도의 움직임에 기초하여 다음과 같이 분류했다.

:$$

\begin{cases}

\dfrac{dx}{dt}= a x + b y\\

\dfrac{dy}{dt} = c x + d y

\end{cases}



이 경우 원점 '''''x'''_e'' = '''''o''''' 는 항상 평형점이다. 이 계의 계수 행렬을

:$$

\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}

a & b \\

c & d

\end{pmatrix}



로 하고, '''''A''''' 의 고유값을 λ₁ 및 λ₂ 로 할 때, λ₁ 과 λ₂ 의 값에 따라 평형점 '''''x'''_e'' 는 다음과 같이 분류된다.

• '''결절점''' (node|노드^영어): λ₁과 λ₂가 같은 부호의 실수인 경우이다. 해 궤도는 평형점을 향해 회전하지 않고 단조롭게 접근하거나 멀어진다.
• λ₁과 λ₂가 음수이면 '''안정 결절점''' ('''안정 노드''')이다.
• λ₁과 λ₂가 양수이면 '''불안정 결절점''' ('''불안정 노드''')이다.
• 특히 λ₁ = λ₂이고 ''b'' = ''c'' = 0일 때는 '''스타 노드'''라고 불린다.
• '''안장점''' (saddle|새들^영어): λ₁과 λ₂가 서로 다른 부호의 실수인 경우이다. 해 궤도는 평형점을 향해 접근하는 방향과 멀어지는 방향이 공존한다.
• '''소용돌이점''' (spiral|스파이럴^영어 또는 focus|포커스^영어): λ₁과 λ₂가 서로 켤레 복소수이고, 실수가 0이 아닌 경우이다. 해 궤도는 로그 나선 모양이 되며, 평형점에 회전하면서 접근하거나 멀어진다.
• 고윳값의 실수부가 음수이면 '''소용돌이 침점''' ('''안정 스파이럴''', '''안정 초점''')이다.
• 고윳값의 실수부가 양수이면 '''소용돌이 원점''' ('''불안정 스파이럴''', '''불안정 초점''')이다.
• '''소용돌이 중심점''' (center|센터^영어): λ₁과 λ₂가 서로 켤레 복소수이고 순허수인 경우이다. 해 궤도는 평형점을 중심으로 하는 원 모양이다.

4. 3. 1. 결절점 (Node)

node|한국어 발음표기=노드^영어라고도 불리는 결절점은 λ₁과 λ₂가 같은 부호의 실수인 경우(λ₁, λ₂ < 0 또는 λ₁, λ₂ > 0)의 평형점이다^[1]. 평형점이 결절점일 때, 평형점 주위의 해 궤도는 평형점을 향해 회전하지 않고 단조롭게 접근하거나 멀어지는 특성을 보인다^[2].

• '''안정 결절점''' (또는 '''안정 노드'''): λ₁과 λ₂의 부호가 음수이면 해 궤도는 평형점에 접근하고, 결절점은 점근적으로 안정적인 침점이 된다.

• '''불안정 결절점''' (또는 '''불안정 노드'''): λ₁과 λ₂의 부호가 양수이면 해 궤도는 평형점에서 멀어지고, 결절점은 불안정한 원점이 된다.

특히 λ₁ = λ₂이고 ''b'' = ''c'' = 0일 때는 결절점 주위의 해 궤도는 결절점을 통과하는 방사형 직선군이 되며, '''스타 노드''' 등으로 불린다.

4. 3. 2. 안장점 (Saddle)

saddle|links=no^영어 (안장점)은 계수 행렬의 고윳값 과 가 서로 다른 부호의 실수인 경우( 또는 )의 평형점이다.^[1][2] 안장점 주위의 해 궤도에는 평형점을 향해 접근해 가는 방향과 멀어져 가는 방향이 공존한다. 안장점의 경우, 4개의 반직선 해 궤도가 평형점에 도달하는데, 2개는 에서, 나머지 2개는 에서 안장점으로 수렴한다.^[1]

4. 3. 3. 소용돌이점 (Spiral/Focus)

spiral|links=no^영어 (스파이럴) 또는 focus|links=no^영어 (포커스)라고 불리는 소용돌이점은, 계수 행렬의 고유값 λ₁과 λ₂가 서로 켤레인, 실수가 아닌 0이 아닌 복소수인 경우(λ₁ = α + βi, λ₂ = α - βi 이고 α ≠ 0)의 평형점이다.^[1] 평형점이 소용돌이점일 때, 주위의 해 궤도는 로그 나선 모양이 되며, 평형점에 회전하면서 접근하거나 멀어지는 현상이 일어난다.^[2]

고유값의 실수부(α)가 음수이면 해 궤도는 평형점에 접근하고, 소용돌이점은 점근적으로 안정적인 침점이기도 하다. 이 경우를 '''소용돌이 침점''', '''안정 스파이럴''', '''안정 초점'''이라고 부른다. 반대로 고유값 실수부(α)가 양수이면 해 궤도는 평형점에서 멀어지고, 소용돌이점은 불안정한 원점이 된다. 이 경우를 '''소용돌이 원점''', '''불안정 스파이럴''', '''불안정 초점'''이라고 부른다.

4. 3. 4. 소용돌이 중심점 (Center)

center|links=no^영어 : 과 가 서로 켤레인 순허수인 경우()의 평형점^[1][2]이다. 평형점이 소용돌이 중심점일 때, 주위의 해 궤도는 평형점을 중심으로 하는 원(폐곡선)군이다^[1]。 주위의 해 궤도는 끌어당겨지지도 반발하지도 않으며, 소용돌이 중심점은 중립 안정적인 평형점이다。

4. 3. 5. 행렬식과 트레이스를 이용한 분류

앙리 푸앵카레는 2차원 자율 선형 미분 방정식의 평형점을, 평형점 근방의 해 궤도의 거동에 기초하여 분류했다. 이 계의 계수 행렬을

:$$

\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}

a & b \\

c & d

\end{pmatrix}



라고 하고, '''A'''의 행렬식을 ''q'' = det '''A''', 트레이스를 ''p'' = tr '''A'''라고 하면, 다음과 같이 표현 가능하다.

:$q=\; ad\; -\; bc\; =\; \backslash lambda\_1\; \backslash lambda\_2$

:$p\; =\; a\; +\; d\; =\; \backslash lambda\_1\; +\; \backslash lambda\_2$

여기서 λ₁과 λ₂는 '''A'''의 고유값이다.

''q''와 ''p''의 값에 따라 평형점을 다음과 같이 분류할 수 있다.

• ''q'' < 0 이면, 평형점은 안장점이다.
• ''q'' > 0 이고
• * ''p''² > 4''q'' 이면, 평형점은 결절점이다.
• * ''p''² < 4''q'' 이고 ''p'' ≠ 0 이면, 평형점은 소용돌이점이다.
• * ''p'' = 0 이면, 평형점은 소용돌이 중심점이다.

이 분류는 ''p''와 ''q''를 축으로 하는 ''pq''-평면에 나타낼 수 있으며, 2차원 선형 미분 방정식의 분기 그림을 만들 수 있다.

4. 4. 비선형계

비선형계인 경우, 해석적인 해를 얻는 것은 드물지만, 평형점을 구하는 것은 가능하다. 선형계의 평형점에 대한 안정성 판별법을 비선형 평형점에 대한 안정성 판별에 응용할 수 있는데, 그 중 하나는 평형점 주변을 선형화하는 방법이다.

비선형 미분 방정식의 어떤 평형점이 쌍곡형이라면, 하트만-그로브만의 정리에 의해 그 평형점 주변에서 선형 근사한 미분 방정식에 의해 안정성을 정확하게 판별할 수 있다. 평형점이 쌍곡형이든 아니든, 야코비 행렬의 고유값 중 적어도 하나 이상이 양수이면, 그 평형점은 불안정하다.

하지만, 평형점의 야코비 행렬의 고유값의 실수가 음수와 0으로만 이루어져 있을 때는 야코비 행렬만으로는 안정성을 판별할 수 없다. 비쌍곡형 평형점의 안정성은 중심 다양체를 이용하여 판별할 수 있다.

랴푸노프 함수를 이용하면 야코비 행렬의 고유값을 조사하지 않고도 평형점의 안정성을 판별할 수 있다.

4. 4. 1. 선형화

다음과 같은 일반적인 자율적 미분방정식이 주어져 있다고 가정한다.

:$\backslash frac\{d\; \backslash boldsymbol\{x\}\; \}\{dt\}\; =\; f(\; \backslash boldsymbol\{x\}\; )$

이 미분 방정식의 평형점을 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$라고 한다. $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$를 원점으로 하는 새로운 변수를 $\backslash boldsymbol\{y\}$ 로 도입하면, $\backslash boldsymbol\{x\}\; =\; \backslash boldsymbol\{x\}\_e\; +\; \backslash boldsymbol\{y\}$이다. $f$가 매끄럽다면, $f(\backslash boldsymbol\{x\}\_e\; +\; \backslash boldsymbol\{y\})$를 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$ 주변에서 테일러 전개하여, $\backslash boldsymbol\{y\}$의 2차 이상의 항을 무시함으로써,

:$\backslash frac\{d\; \backslash boldsymbol\{y\}\; \}\{dt\}\; =\; Df(\backslash boldsymbol\{p\})\backslash boldsymbol\{y\}$

라는 평형점 근방에서 선형 근사한 미분 방정식을 얻을 수 있다. 여기서, $Df(\backslash boldsymbol\{x\}\_e)$는 다음과 같은 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$에 대한 $f$의 야코비 행렬이다.

:$$

Df(\boldsymbol{x}_e) = \begin{pmatrix}

\cfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\boldsymbol{x}_e) & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\boldsymbol{x}_e) \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

\cfrac{\partial f_n}{\partial x_1}(\boldsymbol{x}_e) & \cdots & \cfrac{\partial f_n}{\partial x_n}(\boldsymbol{x}_e)

\end{pmatrix}



$A\; =\; Df(\backslash boldsymbol\{x\}\_e)$라고 쓰면, 근사한 미분 방정식은 위의 선형계와 완전히 동일하다^[1].

그리고 평형점 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$의 야코비 행렬 $Df(\backslash boldsymbol\{x\}\_e)$의 모든 고유값의 실수가 0이 아닌 경우, 그러한 평형점 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$를 '''쌍곡형 평형점'''이라고 한다^[1]. 만약 평형점 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$가 쌍곡형 평형점이라면, 하트만-그로브만의 정리에 의해, 원래의 비선형 미분 방정식과 그것을 선형 근사하여 얻어진 미분 방정식의 해는 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$의 근방에서 위상 공액인 것으로 알려져 있다^[2]. 다시 말해, 선형 근사 방정식의 해는 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$의 근방에서 원래 방정식의 해와 질적으로 동일하다.

한편, 평형점 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$의 야코비 행렬 $Df(\backslash boldsymbol\{x\}\_e)$의 모든 고유값의 실수가 0(순허수)인 경우, 그러한 평형점 $\backslash boldsymbol\{x\}\_e$를 '''타원형 평형점'''이라고 한다. 타원형 평형점은 일반적인 미분 방정식에서는 드물지만, 해밀턴 역학계에서는 드물지 않다. 2차원 선형계라면, 타원형 평형점은 와심점을 가리킨다. 하지만 일반적으로, 타원형 평형점의 근방의 해가 닫힌 곡선이 되는 것은 성립하지 않으며, 타원형 평형점의 근방의 해의 거동은 복잡하다.

4. 4. 2. 쌍곡형 평형점과 타원형 평형점

평형점 '''x'''_''e''의 야코비 행렬 ''Df''('''x'''_''e'')의 모든 고유값의 실수가 0이 아닌 경우, '''쌍곡형 평형점'''이라고 한다. 하트만-그로브만의 정리에 의해, 쌍곡형 평형점 근방에서 원래의 비선형 방정식과 선형 근사 방정식의 해는 질적으로 동일하다.

한편, 평형점 '''x'''_''e''의 야코비 행렬 ''Df''('''x'''_''e'')의 모든 고유값의 실수가 0(순허수)인 경우, '''타원형 평형점'''이라고 한다.^[1] 타원형 평형점은 일반적인 미분 방정식에서는 드물지만, 해밀턴 역학계에서는 드물지 않다.^[1] 2차원 선형계에서 타원형 평형점은 와심점을 가리킨다.^[2] 하지만 일반적으로, 타원형 평형점 근방의 해가 닫힌 곡선이 되는 것은 성립하지 않으며, 타원형 평형점 근방의 해의 거동은 복잡하다.

4. 4. 3. 야코비 행렬의 고유값에 따른 안정성 판별

미분 방정식의 평형점 주변을 선형화하여 야코비 행렬의 고유값을 조사함으로써 안정성을 판별할 수 있다.

• 평형점의 야코비 행렬의 모든 고유값의 실수가 음수이면, 평형점은 점근 안정이다.
• 평형점의 야코비 행렬의 고유값 중 적어도 하나라도 양수가 존재하면, 평형점은 불안정하다.

하지만, 평형점의 야코비 행렬의 고유값의 실수가 음수와 0으로 이루어져 있으면, 야코비 행렬만으로는 안정성을 판별할 수 없다.

4. 4. 4. 중심 다양체

비쌍곡형 평형점의 안정성은 중심 다양체를 이용하여 판별할 수 있다. 다음과 같은 미분 방정식계가 주어져 있다고 가정한다.

:$\backslash frac\{d\; \backslash boldsymbol\{x\}\; \}\{dt\}\; =\; A\; \backslash boldsymbol\{x\}\; +\; f(\; \backslash boldsymbol\{x\},\; \backslash boldsymbol\{y\}\; )$

:$\backslash frac\{d\; \backslash boldsymbol\{y\}\; \}\{dt\}\; =\; B\; \backslash boldsymbol\{y\}\; +\; g(\; \backslash boldsymbol\{x\},\; \backslash boldsymbol\{y\}\; )$

여기서,

:$\backslash boldsymbol\{x\}\; \backslash isin\; \backslash mathbf\{R\}^c,\; \backslash \; \backslash boldsymbol\{y\}\; \backslash isin\; \backslash mathbf\{R\}^s$

:$f(\backslash boldsymbol\{0\},\; \backslash boldsymbol\{0\})\; =\; 0,\; \backslash \; g(\backslash boldsymbol\{0\},\; \backslash boldsymbol\{0\})\; =\; 0$

:$Df(\backslash boldsymbol\{0\},\; \backslash boldsymbol\{0\})\; =\; 0,\; \backslash \; Dg(\backslash boldsymbol\{0\},\; \backslash boldsymbol\{0\})\; =\; 0$

이며, 는 모든 고유값의 실수가 0인 차 정방 행렬, 는 모든 고유값의 실수가 음의 값인 차 정방 행렬이다. 이 경우, 평형점은 원점 로 평행 이동되어 있다. 이러한 미분 방정식계에 대해서는, 평형점을 통과하는 중심 다양체 및 그 중심 다양체에 제한된 벡터장을 평형점 근방에서 계산함으로써 안정성을 판별할 수 있다. 이것들을 해석적으로 엄밀한 해를 구하는 것은 어렵지만, 중심 다양체의 정리에 의해 원하는 정밀도로 근사적으로 계산할 수 있다는 것이 보장된다.

4. 4. 5. 랴푸노프 함수

랴푸노프 함수를 이용하면 야코비 행렬의 고유값을 조사하지 않고도 평형점의 안정성을 판별할 수 있다.^[1] 평형점 를 포함하는 열린 집합 상에 정의된 실수값 함수 가 다음 조건들을 만족하면, 를 '''랴푸노프 함수'''라고 한다.^[2]

# 이고 라면

# 상에서

조건 2 대신에,

# 상에서

을 만족할 때, 를 '''협의 랴푸노프 함수'''라고 한다.^[2]

평형점 에 대해 랴푸노프 함수가 존재하면 는 랴푸노프 안정이고, 협의 랴푸노프 함수가 존재하면 는 점근 안정이다. 하지만, 랴푸노프 함수를 찾는 일반적이고 정해진 방법은 없으며, 발견적으로 시행착오를 거쳐 찾아야만 한다.

5. 사상의 "평형점" (부동점)

위상 공간의 한 점 '''x''' ∈ '''R'''^''n''을 '''R'''^''n''으로 사상하는 사상 ''f''('''x''')의 반복 합성 사상에서, ''f''('''x'''_''e'') = '''x'''_''e''를 만족하는 '''x'''_''e''를 부동점이라고 한다.^[1] 부동점은 이산적 역학계에서 미분 방정식의 평형점과 유사한 성질을 가지며, 중심적인 역할을 한다.^[2]

부동점에서는 이산적 역학계의 해 궤도가 해당 지점에 계속 머물러 있음을 의미하며, 사상의 부동점과 미분 방정식의 평형점은 비슷한 성질을 가진다. 사상의 부동점은 미분 방정식의 평형점과 마찬가지로 이산적 역학계에서 중심적인 역할을 한다. 미분 방정식에 대해서는 "평형점", 사상에 대해서는 "부동점"이라고 부르며 구분하기도 하고, 두 가지를 함께 "부동점", "고정점", "평형점" 등으로 부르기도 한다.

6. 한국 사회와 평형점 (추가 제안)

(이전 출력이 없으므로, 주어진 지시사항에 따라 수정할 내용이 없습니다. 원본 소스와 함께 이전 출력을 제공해주시면, 지시사항에 맞춰 수정된 위키텍스트를 출력하겠습니다.)

참조

_[1] 웹사이트 Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis http://www.egwald.ca[...] 2019-10-10
_[2] 서적 Nonlinear Systems Prentice Hall, New Jersey 2002