브라마굽타 정리

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1. 개요

브라마굽타 정리는 직교대각선 내접 사각형에서 두 대각선의 교점을 지나는 변에 수직인 선이 나머지 두 변을 이등분한다는 정리이다. 이 정리는 인도의 수학자 브라마굽타가 발견했으며, 내접 사각형의 반중심이 두 대각선의 교점임을 보여준다. 브라마굽타 정리는 내접 사각형의 대각선 중점을 연결한 삼각형의 수심과 관련 있으며, 직교하는 대각선을 가진 경우의 특수한 경우로 볼 수 있다.

브라마굽타 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
4. 일반화
5. 역사

2. 정의

직교대각선 내접 사각형 $ABCD$ 의 두 대각선 $AC$ , $BD$ 의 교점을 $P$ 라고 하고, $P$ 를 지나는 $BC$ 의 수선의 $BC$ , $AD$ 와의 교점을 $E$ , $F$ 라고 하자. 브라마굽타 정리에 따르면, 점 $F$ 는 변 $AD$ 의 중점이다. 즉, 다음이 성립한다.
: $AF=FD$

또한, 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점 $P$ 이다.

3. 증명

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원에 내접하고 대각선 AC와 BD가 점 M에서 수직으로 만나는 사각형 ABCD를 가정하자. 점 M에서 변 BC에 내린 수선의 발을 E라 하고, 직선 ME와 변 AD의 교점을 F라 하자. 이 증명의 목표는 F가 선분 AD의 중점임을 보이는 것, 즉 AF = FD임을 보이는 것이다.

증명은 AF = FM과 FD = FM을 각각 보임으로써 이루어진다.

AF = FM 증명:

먼저 각의 크기 관계를 이용한다.
* ∠FMA와 ∠EMC는 맞꼭지각이므로 같다. (∠FMA = ∠EMC)
* △EMC는 ∠MEC = 90°인 직각삼각형이므로, ∠EMC + ∠MCE = 90°이다.
* 사각형 ABCD는 원에 내접하므로, 호 AB에 대한 원주각인 ∠MCE(∠BCE)와 ∠MDA(∠BDA)는 같다. (∠MCE = ∠MDA)
* 따라서 ∠EMC + ∠MDA = 90°이다.
* 대각선이 수직이므로 △AMD는 ∠AMD = 90°인 직각삼각형이고, ∠MAD + ∠MDA = 90°이다.
* 위 두 식 (∠EMC + ∠MDA = 90°, ∠MAD + ∠MDA = 90°)으로부터 ∠EMC = ∠MAD(∠FAM)임을 알 수 있다.
* ∠FMA = ∠EMC 이므로, 결국 ∠FMA = ∠FAM이다.
* 삼각형 △AFM에서 두 밑각(∠FMA, ∠FAM)의 크기가 같으므로, 이는 이등변삼각형이고 변 AF와 FM의 길이는 같다. (AF = FM)

FD = FM 증명:

유사한 방식으로 증명한다.
* ∠FMD와 ∠BME는 맞꼭지각이므로 같다. (∠FMD = ∠BME)
* △BME는 ∠MEB = 90°인 직각삼각형이므로, ∠BME + ∠MBE = 90°이다.
* 사각형 ABCD는 원에 내접하므로, 호 CD에 대한 원주각인 ∠MBE(∠CBE)와 ∠MAD(∠CAD)는 같다. (∠MBE = ∠MAD)
* 따라서 ∠BME + ∠MAD = 90°이다.
* △AMD는 ∠AMD = 90°인 직각삼각형이고, ∠MDA(∠FDM) + ∠MAD = 90°이다.
* 위 두 식 (∠BME + ∠MAD = 90°, ∠MDA + ∠MAD = 90°)으로부터 ∠BME = ∠MDA(∠FDM)임을 알 수 있다.
* ∠FMD = ∠BME 이므로, 결국 ∠FMD = ∠FDM이다.
* 삼각형 △DFM에서 두 밑각(∠FMD, ∠FDM)의 크기가 같으므로, 이는 이등변삼각형이고 변 FD와 FM의 길이는 같다. (FD = FM)

결론:

위 증명을 통해 AF = FM 이고 FD = FM 이므로, AF = FD 이다. 따라서 점 F는 선분 AD의 중점이다.

4. 일반화

내접 사각형 $ABCD$ 의 대각선 $AC$ , $BD$ 의 중점을 $M$ , $N$ 이라고 하고, 두 대각선의 교점을 $P$ 라고 하자. 그렇다면, 이 내접 사각형의 반중심은 삼각형 $PMN$ 의 수심이다. 두 대각선이 직교할 경우 삼각형 $PMN$ 은 $P$ 에서 직각을 갖는 직각 삼각형이며, 이 삼각형의 수심은 두 대각선의 교점 $P$ 이다. 즉, 브라마굽타 정리는 이 명제의 특수한 경우이다.

5. 역사

인도의 수학자 브라마굽타가 발견하였다.