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내접 사각형

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목차

1. 개요

내접 사각형은 네 꼭짓점이 원 위에 놓이는 볼록 사각형을 의미한다. 내접 사각형은 네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나고, 마주보는 각의 합이 180도라는 특징을 갖는다. 또한, 프톨레마이오스 정리를 만족하며, 브라마굽타 공식으로 넓이를 계산할 수 있다. 특수한 경우로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴 등이 있으며, 일본의 정리와 같은 추가적인 성질을 갖는다. 직교대각선 내접 사각형은 대각선이 수직으로 교차하는 경우이며, 구면 기하학에도 내접 사각형의 개념이 존재한다.

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    정사각형은 네 변의 길이와 네 각의 크기가 같고, 네 내각이 직각이며, 대각선이 서로 수직 이등분하는 사각형이다.
  • 사각형 - 직사각형
    네 각이 직각인 사각형인 직사각형은 평행사변형과 사다리꼴의 특수한 형태이며, 대변의 길이가 같고 평행하며 두 대각선이 서로를 이등분하는 특징을 가진다.

2. 정의

사각형 ABCD는 내접 사각형이다


볼록 사각형 ABCD의 네 꼭짓점 A, B, C, D가 공원점이면, 이 사각형 ABCD를 '''내접 사각형'''이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 ABCD의 '''외접원'''이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 ABCD의 '''외심'''이라고 한다.

3. 성질

내접 사각형은 여러 가지 흥미로운 기하학적 성질을 가진다.


  • 볼록 사각형이 내접 사각형이 되기 위한 필요충분조건은 네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 것이다. 이때 이 점을 외심이라고 한다.[35]
  • 볼록 사각형에서 마주보는 각의 합이 180도(보각)이면 내접 사각형이다. 즉, 네 각이 인접한 순서대로 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$의 크기를 가질 때, ${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \;(=180^{\circ })}$ 이면 내접 사각형이다.[35] 이와 동치로, 볼록 사각형의 한 외각이 내대각과 같으면 내접 사각형이다.
  • 볼록 사각형에서 한 변과 한쪽 대각선 사이의 각이 대변과 다른 대각선 사이의 각과 같으면 내접 사각형이다.[36] 예를 들어, ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}$ 이면 내접 사각형이다.
  • 프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형의 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변 길이 곱의 합과 같다. 즉, ${\displaystyle ef=ac+bd}$ 이다.[37] 역으로, 이 식을 만족하는 볼록 사각형은 내접 사각형이다.
  • 두 직선이 각각 선분 ${\displaystyle AC}$와 ${\displaystyle BD}$를 포함하고 점 ${\displaystyle P}$에서 만날 때, 네 점 ${\displaystyle A,B,C,D}$가 한 원 위에 있기 위한 필요충분조건은 ${\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD}$ 가 성립하는 것이다.[38] 이때 점 ${\displaystyle P}$는 원의 내부에 있을 수도, 외부에 있을 수도 있다. 전자의 경우 ${\displaystyle ABCD}$가 내접 사각형이고, 후자의 경우 ${\displaystyle ABDC}$가 내접 사각형이다. 전자의 경우, 위 등식은 한쪽 대각선을 ${\displaystyle P}$에서 분할하여 얻어지는 선분 길이 곱이 다른 쪽의 그것과 같음을 의미하며, 이는 내접 사각형의 대각선이 외접원의 현이기 때문이다. 이를 교현 정리|en|intersecting chords theorem한국어라고 한다.
  • 볼록 사각형 ${\displaystyle ABCD}$가 내접 사각형이 되기 위한 또 다른 필요충분조건은 ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1}$ 이 성립하는 것이다.


3. 1. 각

내접 사각형의 마주보는 두 내각의 합은 180도이다. 내접 사각형의 외각은 내대각과 크기가 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.[49]



볼록 사각형의 경우, 마주보는 각이 보충각이면, 즉 두 각의 합이 180도이면 원에 내접한다.

사각형 ABCD에서 각 A와 각 C의 합과 각 B와 각 D의 합은 각각 180도이다.

이는 유클리드의 ''원론'' 3권, 명제 22에 수록되어 있다.[3]

각 각도의 스테레오 투영(반각 탄젠트)을 취하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: \frac{\tan{\frac{\alpha}{2}} + \tan{\frac{\gamma}{2}}}{1 - \tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\beta}{2}} + \tan{\frac{\delta}{2}}}{1 - \tan{\frac{\beta}{2}} \tan{\frac{\delta}{2}}} = \infty.

이것은 다음을 의미한다.[6]

: \tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}} = \tan{\frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\delta}{2}} = 1

변의 길이가 a, b, c, d이고 둘레의 절반 s를 가지며 변 a와 d 사이의 각이 A인 원에 내접하는 사각형의 경우, A의 삼각 함수는 다음과 같다.[18]

: \cos A = \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(ad+bc)},

: \sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},

: \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.

변 a와 c에 마주보는 대각선 사이의 각 θ는 다음을 만족한다.[19]

: \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.

마주보는 변 a와 c의 연장선이 각 φ에서 교차하면,

: \cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}

여기서 s는 둘레의 절반이다.[19]

3. 2. 대각선

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형에서 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다.[19][2] 즉, 사각형 ABCD에서 대각선 AC의 길이를 p, 대각선 BD의 길이를 q라 하고, 각 변의 길이를 AB=a, BC=b, CD=c, DA=d라 할 때, 다음 식이 성립한다.

:pq = ac + bd

이 방정식이 볼록 사각형에서 성립하면, 그 사각형은 원에 내접하는 사각형이 된다.

내접 사각형의 대각선 길이는 변의 길이를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.[19][14][15]

:p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}

:q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}

프톨레마이오스의 두 번째 정리에 따르면, 대각선의 길이의 비는 다음과 같다.[19][14]

:\frac {p}{q}= \frac{ad+bc}{ab+cd}

대각선의 합에 대한 부등식은 다음과 같다.[16]

:p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.

이 부등식에서 등호는 대각선의 길이가 같을 경우에만 성립하며, AM-GM 부등식을 사용하여 증명할 수 있다. 또한, 다음 부등식도 성립한다.[16]

:(p+q)^2 \leq (a+c)^2+(b+d)^2.

내접 사각형의 대각선은 사각형을 네 개의 삼각형으로 분할하는데, 이 중 마주보는 삼각형 쌍은 서로 닮음이다.

만약 내접 사각형 ABCD의 대각선 AC와 BD가 점 E에서 만난다면, 다음 식이 성립한다.[17]

: \frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AD}{CD}.

주어진 변의 집합으로 세 개의 서로 다른 내접 사각형을 만들 수 있으며, 이들은 모두 같은 외접원을 가지고 동일한 면적을 가진다. 이 세 사각형 중 임의의 두 사각형은 하나의 대각선 길이를 공유한다.[15]

3. 3. 넓이

브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 $a$, $b$, $c$, $d$이고, 반둘레를 $s$라고 할 때, 이 내접 사각형의 넓이는 다음과 같다.[50]

:S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

만약 $d=0$이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식이 된다.[50]

:S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

내접 사각형은 동일한 변의 길이를 갖는 모든 사각형 중에서 최대 넓이를 갖는다.[11]

변의 길이가 $a$, $b$, $c$, $d$인 내접 사각형의 넓이 $K$는 브라마굽타 공식으로 주어진다.[19]

:K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,

여기서 $s$는 반둘레로, $s = \frac{1}{2}(a + b + c + d)$이다.

변 $a$와 $d$ 사이의 각도가 $A$이고, 변 $a$와 $b$ 사이의 각도가 $B$인 내접 사각형의 넓이는 다음과 같이 표현될 수 있다.[19]

:K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}

또는

:K = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}

또는[19]

:K = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}

여기서 $\theta$는 대각선 사이의 각도이다. $A$가 직각이 아닌 경우, 넓이는 다음과 같이 표현할 수도 있다.[19]

:K = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}.

다른 공식은 다음과 같다.[12]

:\displaystyle K=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}

여기서 $R$은 외접원의 반지름이다. 그 결과,[13]

:K\le 2R^2

이며, 사각형이 정사각형인 경우에만 등식이 성립한다.

3. 4. 반중심

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, anticenter영어)이라고 한다.[49] 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.[49] 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

''ABCD''는 내접 사각형이다. ''EFG''는 ''ABCD''의 대각 삼각형이다. ''ABCD''의 이등분선의 교점 ''T''는 ''EFG''의 9점 원에 속한다.


사각형에서 한 변에 수직이고 대변의 중점을 통과하는 선분을 maltitude영어라고 부르는데[42], 내접 사각형의 각 변에 그은 네 개의 중수선은 한 점에서 만난다. 이때의 공통 교점을 '''반중심'''이라고 부른다.

4. 특수한 경우

정사각형, 직사각형, 이등변 사다리꼴은 내접 사각형이다. 연꼴은 두 개의 직각을 가질 경우, 즉 직각 연꼴일 때 내접 사각형이다. 이중심 사각형은 내접원과 외접원이 모두 존재하는 사각형이다. 외접 이중심 사각형은 외접 사각형이면서 내접 사각형인 경우이다. 조화 사각형은 마주보는 변의 길이의 곱이 같은 내접 사각형이다.

5. 추가 성질


  • 원에 내접하는 사각형 에서, 삼각형 , , , 의 내심 ''M''1, ''M''2, ''M''3, ''M''4 (오른쪽 그림 참조)는 직사각형의 꼭짓점이 된다. 이것은 일본의 정리 (마루야마 요시히로의 정리)로 알려진 정리 중 하나이다.[7]
  • 외심 를 갖는 원에 내접하는 사각형 에서, 대각선 와 가 만나는 점을 라고 하자. 그러면 각 는 각 와 의 산술 평균이다. 이것은 원주각의 정리와 외각의 정리의 직접적인 결과이다.
  • 등차수열 또는 등비수열에서 변의 길이가 같지 않은 유리수인 원에 내접하는 사각형은 넓이가 유리수인 경우가 없다.[25]
  • 원에 내접하는 사각형의 변의 길이가 등차수열을 이루면, 사각형은 또한 이중심 사각형이다.
  • 원에 내접하는 사각형의 마주보는 변을 연장하여 와 에서 만나게 하면, 와 에서의 각의 내각 각의 이등분선은 서로 수직이다.[26]

5. 1. 직교대각선 내접 사각형

대각선이 직교하는 내접 사각형은 특별한 성질을 갖는다. 브라마굽타 정리에 따르면, 직교대각선 내접 사각형에서 대각선의 교점에서 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다.[22] 즉, 내접 사각형의 두 대각선이 직교하면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다.[49]

원에 내접하는 직교 사각형에서, 반중심은 대각선이 교차하는 점과 일치한다.[22]

내접 사각형이 직교 대각선 사각형이기도 하면, 외심에서 임의의 변까지의 거리는 대변 길이의 절반과 같다.[22]

원에 내접하는 직교 대각선 사각형에서 두 대각선 각각의 중점 사이의 거리는 외심과 대각선의 교점 사이의 거리와 같다.[22]

직교 대각선 내접 사각형에서, 대각선의 교점이 한 대각선을 길이 과 의 선분으로 나누고, 다른 대각선을 길이 및 의 선분으로 나눈다고 하면, 다음이 성립한다.

: D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2

여기서 는 외접원의 지름이다. 이는 대각선이 수직인 원의 현이기 때문에 성립한다. 이 방정식들은 외접원 반지름 이 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미한다.

: R=\tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}

또는 사각형의 변으로 표현하면 다음과 같다.

: R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.

또한 다음이 성립한다.

: a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.

따라서, 오일러 사변형 정리에 따르면, 외접원 반지름은 대각선 와 , 그리고 대각선 중점 사이의 거리 로 표현될 수 있다.

: R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}.

네 변으로 표현된 원내 직교 대각 사각형의 넓이 에 대한 공식은 프톨레마이오스 정리와 직교 대각 사각형의 넓이 공식을 결합하면 직접 얻을 수 있다. 결과는 다음과 같다.[29]

: K=\tfrac{1}{2}(ac+bd).

6. 구면 내접 사각형

구면 기하학에서, 네 개의 대원이 교차하여 형성된 구면 사각형은 마주보는 각의 합이 같을 때, 즉, 사각형의 연속적인 각 α, β, γ, δ에 대해 α + γ = β + δ일 때 내접 사각형이 된다.[30] 이 정리의 한 방향은 1782년 안데르스 요한 렉셀에 의해 증명되었다.[31] 렉셀은 구의 작은 원에 내접하는 구면 사각형에서 마주보는 각의 합이 같고, 외접하는 사각형에서 마주보는 변의 합이 같다는 것을 보였다. 이 정리의 첫 번째는 평면 정리의 구면 유사체이며, 두 번째 정리는 대원과 그 극점을 서로 바꾼 결과인 쌍대이다.[32] 키퍼 외(Kiper et al.)[33]는 이 정리의 역을 증명했다: 구면 사각형에서 마주보는 변의 합이 같으면, 이 사각형에 내접하는 원이 존재한다.

참조

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