내접 사각형

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 특수한 경우
5. 추가 성질
- 5.1. 직교대각선 내접 사각형
6. 구면 내접 사각형
참조

1. 개요

내접 사각형은 네 꼭짓점이 원 위에 놓이는 볼록 사각형을 의미한다. 내접 사각형은 네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나고, 마주보는 각의 합이 180도라는 특징을 갖는다. 또한, 프톨레마이오스 정리를 만족하며, 브라마굽타 공식으로 넓이를 계산할 수 있다. 특수한 경우로 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴 등이 있으며, 일본의 정리와 같은 추가적인 성질을 갖는다. 직교대각선 내접 사각형은 대각선이 수직으로 교차하는 경우이며, 구면 기하학에도 내접 사각형의 개념이 존재한다.

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사각형 - 정사각형
정사각형은 네 변의 길이와 네 각의 크기가 같고, 네 내각이 직각이며, 대각선이 서로 수직 이등분하는 사각형이다.
사각형 - 직사각형
네 각이 직각인 사각형인 직사각형은 평행사변형과 사다리꼴의 특수한 형태이며, 대변의 길이가 같고 평행하며 두 대각선이 서로를 이등분하는 특징을 가진다.

내접 사각형
정의
설명	꼭짓점이 모두 하나의 원 위에 있는 사각형
성질
대각의 합	180도 (π 라디안)
조건
필요충분조건	마주보는 두 각의 합이 180도인 경우 한 변이 마주보는 각의 현이 되는 경우 톨레미 정리를 만족하는 경우
종류
종류	등변 사다리꼴 직사각형 정사각형 조화 사각형 반평행 사변형 외접 사각형 쌍중심 사각형
활용
활용	원에 내접하는 사각형의 성질은 기하학 문제 풀이에 유용하게 사용됨

2. 정의

볼록 사각형 ABCD의 네 꼭짓점 A, B, C, D가 공원점이면, 이 사각형 ABCD를 '''내접 사각형'''이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 ABCD의 '''외접원'''이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 ABCD의 '''외심'''이라고 한다.

3. 성질

내접 사각형은 여러 가지 흥미로운 기하학적 성질을 가진다.

볼록 사각형이 내접 사각형이 되기 위한 필요충분조건은 네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 것이다. 이때 이 점을 외심이라고 한다.^[35]
볼록 사각형에서 마주보는 각의 합이 180도(보각)이면 내접 사각형이다. 즉, 네 각이 인접한 순서대로 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$의 크기를 가질 때, ${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \;(=180^{\circ })}$ 이면 내접 사각형이다.^[35] 이와 동치로, 볼록 사각형의 한 외각이 내대각과 같으면 내접 사각형이다.
볼록 사각형에서 한 변과 한쪽 대각선 사이의 각이 대변과 다른 대각선 사이의 각과 같으면 내접 사각형이다.^[36] 예를 들어, ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}$ 이면 내접 사각형이다.
프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형의 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변 길이 곱의 합과 같다. 즉, ${\displaystyle ef=ac+bd}$ 이다.^[37] 역으로, 이 식을 만족하는 볼록 사각형은 내접 사각형이다.
두 직선이 각각 선분 ${\displaystyle AC}$와 ${\displaystyle BD}$를 포함하고 점 ${\displaystyle P}$에서 만날 때, 네 점 ${\displaystyle A,B,C,D}$가 한 원 위에 있기 위한 필요충분조건은 ${\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD}$ 가 성립하는 것이다.^[38] 이때 점 ${\displaystyle P}$는 원의 내부에 있을 수도, 외부에 있을 수도 있다. 전자의 경우 ${\displaystyle ABCD}$가 내접 사각형이고, 후자의 경우 ${\displaystyle ABDC}$가 내접 사각형이다. 전자의 경우, 위 등식은 한쪽 대각선을 ${\displaystyle P}$에서 분할하여 얻어지는 선분 길이 곱이 다른 쪽의 그것과 같음을 의미하며, 이는 내접 사각형의 대각선이 외접원의 현이기 때문이다. 이를 교현 정리|en|intersecting chords theorem^한국어라고 한다.
볼록 사각형 ${\displaystyle ABCD}$가 내접 사각형이 되기 위한 또 다른 필요충분조건은 ${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1}$ 이 성립하는 것이다.

3. 1. 각

내접 사각형의 마주보는 두 내각의 합은 180도이다. 내접 사각형의 외각은 내대각과 크기가 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.^[49]

볼록 사각형의 경우, 마주보는 각이 보충각이면, 즉 두 각의 합이 180도이면 원에 내접한다.

사각형 ABCD에서 각 A와 각 C의 합과 각 B와 각 D의 합은 각각 180도이다.

이는 유클리드의 ''원론'' 3권, 명제 22에 수록되어 있다.^[3]

각 각도의 스테레오 투영(반각 탄젠트)을 취하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\frac{\tan{\frac{\alpha}{2}} + \tan{\frac{\gamma}{2}}}{1 - \tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}}} = \frac{\tan{\frac{\beta}{2}} + \tan{\frac{\delta}{2}}}{1 - \tan{\frac{\beta}{2}} \tan{\frac{\delta}{2}}} = \infty.

이것은 다음을 의미한다.^[6]

:

\tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}} = \tan{\frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\delta}{2}} = 1

변의 길이가 a, b, c, d이고 둘레의 절반 s를 가지며 변 a와 d 사이의 각이 A인 원에 내접하는 사각형의 경우, A의 삼각 함수는 다음과 같다.^[18]

:

\cos A = \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(ad+bc)},

:

\sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},

:

\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.

변 a와 c에 마주보는 대각선 사이의 각 θ는 다음을 만족한다.^[19]

:

\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.

마주보는 변 a와 c의 연장선이 각 φ에서 교차하면,

:

\cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}

여기서 s는 둘레의 절반이다.^[19]

3. 2. 대각선

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형에서 두 대각선의 길이의 곱은 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다.^[19]^[2] 즉, 사각형

ABCD

에서 대각선

AC

의 길이를

p

, 대각선

BD

의 길이를

q

라 하고, 각 변의 길이를

AB=a

,

BC=b

,

CD=c

,

DA=d

라 할 때, 다음 식이 성립한다.

:

pq = ac + bd

이 방정식이 볼록 사각형에서 성립하면, 그 사각형은 원에 내접하는 사각형이 된다.

내접 사각형의 대각선 길이는 변의 길이를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[19]^[14]^[15]

:

p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}

:

q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}

프톨레마이오스의 두 번째 정리에 따르면, 대각선의 길이의 비는 다음과 같다.^[19]^[14]

:

\frac {p}{q}= \frac{ad+bc}{ab+cd}

대각선의 합에 대한 부등식은 다음과 같다.^[16]

:

p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.

이 부등식에서 등호는 대각선의 길이가 같을 경우에만 성립하며, AM-GM 부등식을 사용하여 증명할 수 있다. 또한, 다음 부등식도 성립한다.^[16]

:

(p+q)^2 \leq (a+c)^2+(b+d)^2.

내접 사각형의 대각선은 사각형을 네 개의 삼각형으로 분할하는데, 이 중 마주보는 삼각형 쌍은 서로 닮음이다.

만약 내접 사각형

ABCD

의 대각선

AC

와

BD

가 점

E

에서 만난다면, 다음 식이 성립한다.^[17]

:

\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AD}{CD}.

주어진 변의 집합으로 세 개의 서로 다른 내접 사각형을 만들 수 있으며, 이들은 모두 같은 외접원을 가지고 동일한 면적을 가진다. 이 세 사각형 중 임의의 두 사각형은 하나의 대각선 길이를 공유한다.^[15]

3. 3. 넓이

브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 $a$, $b$, $c$, $d$이고, 반둘레를 $s$라고 할 때, 이 내접 사각형의 넓이는 다음과 같다.^[50]

:

S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

만약 $d=0$이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식이 된다.^[50]

:

S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

내접 사각형은 동일한 변의 길이를 갖는 모든 사각형 중에서 최대 넓이를 갖는다.^[11]

변의 길이가 $a$, $b$, $c$, $d$인 내접 사각형의 넓이 $K$는 브라마굽타 공식으로 주어진다.^[19]

:

K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,

여기서 $s$는 반둘레로, $s = \frac{1}{2}(a + b + c + d)$이다.

변 $a$와 $d$ 사이의 각도가 $A$이고, 변 $a$와 $b$ 사이의 각도가 $B$인 내접 사각형의 넓이는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[19]

:

K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}

또는

:

K = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}

또는^[19]

:

K = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}

여기서 $\theta$는 대각선 사이의 각도이다. $A$가 직각이 아닌 경우, 넓이는 다음과 같이 표현할 수도 있다.^[19]

:

K = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}.

다른 공식은 다음과 같다.^[12]

:

\displaystyle K=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}

여기서 $R$은 외접원의 반지름이다. 그 결과,^[13]

:

K\le 2R^2

이며, 사각형이 정사각형인 경우에만 등식이 성립한다.

3. 4. 반중심

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, anticenter^영어)이라고 한다.^[49] 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.^[49] 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

''ABCD''는 내접 사각형이다. ''EFG''는 ''ABCD''의 대각 삼각형이다. ''ABCD''의 이등분선의 교점 ''T''는 ''EFG''의 9점 원에 속한다.

사각형에서 한 변에 수직이고 대변의 중점을 통과하는 선분을 maltitude^영어라고 부르는데^[42], 내접 사각형의 각 변에 그은 네 개의 중수선은 한 점에서 만난다. 이때의 공통 교점을 '''반중심'''이라고 부른다.

4. 특수한 경우

정사각형, 직사각형, 이등변 사다리꼴은 내접 사각형이다. 연꼴은 두 개의 직각을 가질 경우, 즉 직각 연꼴일 때 내접 사각형이다. 이중심 사각형은 내접원과 외접원이 모두 존재하는 사각형이다. 외접 이중심 사각형은 외접 사각형이면서 내접 사각형인 경우이다. 조화 사각형은 마주보는 변의 길이의 곱이 같은 내접 사각형이다.

5. 추가 성질

원에 내접하는 사각형 에서, 삼각형 , , , 의 내심 ''M''₁, ''M''₂, ''M''₃, ''M''₄ (오른쪽 그림 참조)는 직사각형의 꼭짓점이 된다. 이것은 일본의 정리 (마루야마 요시히로의 정리)로 알려진 정리 중 하나이다.^[7]
외심 를 갖는 원에 내접하는 사각형 에서, 대각선 와 가 만나는 점을 라고 하자. 그러면 각 는 각 와 의 산술 평균이다. 이것은 원주각의 정리와 외각의 정리의 직접적인 결과이다.
등차수열 또는 등비수열에서 변의 길이가 같지 않은 유리수인 원에 내접하는 사각형은 넓이가 유리수인 경우가 없다.^[25]
원에 내접하는 사각형의 변의 길이가 등차수열을 이루면, 사각형은 또한 이중심 사각형이다.
원에 내접하는 사각형의 마주보는 변을 연장하여 와 에서 만나게 하면, 와 에서의 각의 내각 각의 이등분선은 서로 수직이다.^[26]

5. 1. 직교대각선 내접 사각형

대각선이 직교하는 내접 사각형은 특별한 성질을 갖는다. 브라마굽타 정리에 따르면, 직교대각선 내접 사각형에서 대각선의 교점에서 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다.^[22] 즉, 내접 사각형의 두 대각선이 직교하면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다.^[49]

원에 내접하는 직교 사각형에서, 반중심은 대각선이 교차하는 점과 일치한다.^[22]

내접 사각형이 직교 대각선 사각형이기도 하면, 외심에서 임의의 변까지의 거리는 대변 길이의 절반과 같다.^[22]

원에 내접하는 직교 대각선 사각형에서 두 대각선 각각의 중점 사이의 거리는 외심과 대각선의 교점 사이의 거리와 같다.^[22]

직교 대각선 내접 사각형에서, 대각선의 교점이 한 대각선을 길이 과 의 선분으로 나누고, 다른 대각선을 길이 및 의 선분으로 나눈다고 하면, 다음이 성립한다.

:

D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2

여기서 는 외접원의 지름이다. 이는 대각선이 수직인 원의 현이기 때문에 성립한다. 이 방정식들은 외접원 반지름 이 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미한다.

:

R=\tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}

또는 사각형의 변으로 표현하면 다음과 같다.

:

R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.

또한 다음이 성립한다.

:

a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.

따라서, 오일러 사변형 정리에 따르면, 외접원 반지름은 대각선 와 , 그리고 대각선 중점 사이의 거리 로 표현될 수 있다.

:

R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}.

네 변으로 표현된 원내 직교 대각 사각형의 넓이 에 대한 공식은 프톨레마이오스 정리와 직교 대각 사각형의 넓이 공식을 결합하면 직접 얻을 수 있다. 결과는 다음과 같다.^[29]

:

K=\tfrac{1}{2}(ac+bd).

6. 구면 내접 사각형

구면 기하학에서, 네 개의 대원이 교차하여 형성된 구면 사각형은 마주보는 각의 합이 같을 때, 즉, 사각형의 연속적인 각 α, β, γ, δ에 대해 α + γ = β + δ일 때 내접 사각형이 된다.^[30] 이 정리의 한 방향은 1782년 안데르스 요한 렉셀에 의해 증명되었다.^[31] 렉셀은 구의 작은 원에 내접하는 구면 사각형에서 마주보는 각의 합이 같고, 외접하는 사각형에서 마주보는 변의 합이 같다는 것을 보였다. 이 정리의 첫 번째는 평면 정리의 구면 유사체이며, 두 번째 정리는 대원과 그 극점을 서로 바꾼 결과인 쌍대이다.^[32] 키퍼 외(Kiper et al.)^[33]는 이 정리의 역을 증명했다: 구면 사각형에서 마주보는 변의 합이 같으면, 이 사각형에 내접하는 원이 존재한다.

참조

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