대각선

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 다각형의 대각선
3. 다면체의 대각선
- 3.1. 입체대각선 (맞모금)
- 3.2. 면대각선
4. 고차원 도형의 대각선
5. 기하학에서의 대각선
참조

1. 개요

대각선은 다각형이나 다면체에서 서로 인접하지 않은 꼭짓점을 연결하는 선분이다. 다각형의 경우, n개의 변을 가진 다각형은 $\tfrac{n(n-3)}{2}$ 개의 대각선을 가지며, 정n각형은 $\lfloor\frac {n-2}{2}\rfloor$ 개의 서로 다른 길이의 대각선을 갖는다. 다면체의 경우, 면대각선은 같은 면 위의 꼭짓점을 연결하고, 입체대각선은 같은 면 위에 있지 않은 꼭짓점을 연결한다. 고차원 도형인 n-큐브의 대각선 길이는 √n이며, 총 $2^{n-1}(2^n-n-1)$ 개의 대각선을 갖는다. 또한, 기하학에서 대각선은 집합 X와 자신과의 데카르트 곱 X×X의 부분 집합으로, 모든 쌍 (x,x)로 구성된 것을 의미하며, 함수 그래프와 대각선의 교차를 통해 고정점을 구할 수 있다.

더 읽어볼만한 페이지

다각형 - 폴리아몬드
폴리아몬드는 정삼각형을 이어 붙여 만든 도형으로, 삼각형 개수에 따라 n-아몬드라 불리며 조합론에서 종류와 개수를 파악하는 것이 중요하고, 평행 이동, 회전, 반사에 따라 자유형, 단면형, 고정형으로 분류되며, 폴리오미노, 폴리헥스와 유사하고 보드 게임의 구성 요소로 활용된다.
다각형 - 내접원
내접원은 다각형의 모든 변에 접하는 원으로, 중심을 내심이라 하고, 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형이라 하며, 모든 삼각형은 내접원을 가지고, 사각형의 내접원 조건, 쌍심사각형 등의 개념이 있으며, 반지름은 면적과 둘레로 계산 가능하다.

대각선

2. 다각형의 대각선

다각형에 적용되는 경우, 대각선은 서로 인접하지 않은 두 꼭짓점을 잇는 선분이다. 따라서, 사각형은 반대편 꼭짓점 쌍을 잇는 두 개의 대각선을 갖는다. 모든 볼록 다각형의 경우, 모든 대각선은 다각형 내부에 있지만, 오목 다각형의 경우 일부 대각선은 다각형 외부에 있다.^[11]

''n''개의 변을 가진 다각형(''n'' ≥ 3)은 볼록 또는 오목에 관계없이 $\tfrac{n(n-3)}{2}$ 개의 ''총'' 대각선을 가진다. 이는 각 꼭짓점이 자기 자신과 인접한 두 꼭짓점을 제외한 다른 모든 꼭짓점과 대각선을 가지기 때문이다. 즉, ''n'' − 3개의 대각선을 가지며, 각 대각선은 두 개의 꼭짓점에 의해 공유된다.^[13]

일반적으로, 정''n''각형은 $\lfloor\frac {n-2}{2}\rfloor$ 개의 ''구별되는'' 길이의 대각선을 가지며, 이는 정사각형부터 시작하여 1,1,2,2,3,3...의 패턴을 따른다.

변의 수	대각선의 수
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

정사각형은 길이가 같은 두 개의 대각선을 가지며, 이들은 정사각형의 중심에서 교차한다. 대각선과 변의 길이의 비는 $\sqrt{2}\approx 1.414.$ 이다.

정오각형은 길이가 모두 같은 다섯 개의 대각선을 가진다. 대각선과 변의 길이의 비는 황금비, $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618.$ 이다.

정육각형은 9개의 대각선을 가진다. 여섯 개의 짧은 대각선은 서로 길이가 같고, 세 개의 긴 대각선은 서로 길이가 같으며, 육각형의 중심에서 서로 교차한다. 긴 대각선과 변의 길이의 비는 2이고, 짧은 대각선과 변의 길이의 비는 $\sqrt{3}$ 이다.

정칠각형은 14개의 대각선을 가진다. 일곱 개의 짧은 대각선은 서로 길이가 같고, 일곱 개의 긴 대각선은 서로 길이가 같다. 변의 역수는 짧은 대각선과 긴 대각선의 역수의 합과 같다.

2. 1. 대각선의 개수

n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이다. n개의 꼭짓점이 있으므로 대각선은 모두 n(n-3)개처럼 보이지만, 대각선은 두 꼭짓점에 연결되어 있어서 2번씩 중복해서 센 것이다. 따라서 어떤 다각형에서 대각선의 개수는

n(n-3) \over 2

이다.^[16]

예를 들어, 칠각형의 대각선의 개수는

{7(7-3)\over2}=14

개이다.

대각선은 「인접하지 않은 정점을 연결한 선분」^[11] 또는 「정점과 정점을 연결하는 직선 중에서 변이 아닌 선분」^[11] 등으로 정의된다.

다각형이 볼록인 것은, 다각형의 모든 대각선의 양 끝점 이외의 부분이 그 다각형의 내부에 포함되는 것의 필요충분 조건이다^[12]

3 이상의 자연수 n 에 대해, n각형의 대각선의 개수 d_n은 다음과 같이 구할 수 있다.

:

d_n = \frac{n(n-3)}{2} \Bigl({=} \; {}_n{\rm C}_2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n \Bigr)

1개의 정점당 n - 3개가 있으며, 정점의 수를 곱하면 2번씩 카운트가 된다.
정점을 잇는 선분이, 서로 다른 n개에서 2개를 고르는 조합만큼 있으며, 그 중 변 (n개)이 아닌 것이 대각선 전체이다.^[13]

정n각형 (n은 3 이상의 자연수)의 대각선의 길이 종류는

\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor -1 = \frac{2n-5+(-1)^n}{4}

만큼 있다.

정오각형의 5개 모든 대각선을 연결하면 오각별이 된다.

정육각형의 9개의 대각선 중 짧은 6개를 조합한 도형은 다윗의 별 모양으로 유명한 육각별이 된다^[14]

2. 2. 대각선의 길이 (정다각형)

정n각형은 ⌊(n-2)/2⌋개의 서로 다른 길이의 대각선을 가진다. 정다각형의 대각선 길이는 삼각함수를 이용하여 계산할 수 있다.

변의 길이가 ''a''인 정 ''n''각형에서, ''x''번째로 짧은 서로 다른 대각선의 길이는 다음과 같다.

:

\sin (\frac{\pi(x+1)}{n}) \csc (\frac{\pi}{n})*a

변의 수가 짝수일 경우, 가장 긴 대각선은 다각형의 외접원의 지름과 같아진다. 왜냐하면 긴 대각선들이 모두 다각형의 중심에서 서로 교차하기 때문이다.

정오각형은 길이가 모두 같은 다섯 개의 대각선을 가진다. 대각선과 변의 길이의 비는 황금비이다. 정육각형은 9개의 대각선을 가지는데, 여섯 개의 짧은 대각선은 서로 길이가 같고, 세 개의 긴 대각선은 서로 길이가 같으며, 육각형의 중심에서 서로 교차한다. 긴 대각선과 변의 길이의 비는 2이고, 짧은 대각선과 변의 길이의 비는

\sqrt{3}

이다.

2. 3. 대각선에 의해 형성되는 영역

볼록 다각형에서, 세 대각선이 내부의 한 점에서 만나지 않는 경우, 대각선에 의해 나눠지는 내부 영역의 수는 다음과 같이 주어진다.^[5]

:

\binom n4 + \binom {n-1}2 = \frac{(n-1)(n-2)(n^2-3n+12)}{24}.

n=3, 4, 5... 일 때, 영역의 수는 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246... 이다.

이것은 OEIS 수열 A006522이다.^[6]

2. 4. 대각선의 교차

볼록 다각형의 대각선 중 세 개가 내부의 한 점에서 만나지 않는 경우, 대각선의 내부 교차점 수는

\textstyle \binom n4

로 주어진다. 이는 각 교차점이 두 교차 대각선의 네 개의 끝점으로 고유하게 결정된다는 사실에서 비롯된다. 따라서 교차점의 수는 ''n''개의 꼭짓점에서 4개를 선택하는 조합의 수와 같다. 예를 들어, 변의 수가 홀수인 모든 정다각형에 적용된다.

3. 다면체의 대각선

다면체에서 '''입체대각선'''은 같은 면 위에 있지 않은 꼭짓점을 연결하는 대각선이다. '''맞모금'''이라고도 한다. '''면대각선'''은 같은 면 위에 있는 꼭짓점을 연결하는 대각선이다.

다면체 (2차원 면으로 경계가 정해진 3차원 공간 내의 고체)는 두 가지 유형의 대각선을 가질 수 있다: 동일한 면에서 인접하지 않은 꼭짓점을 연결하는 다양한 면의 면 대각선; 그리고 꼭짓점의 끝점을 제외하고 다면체의 내부에 완전히 있는 공간 대각선이 있다.

3. 1. 입체대각선 (맞모금)

다면체에서 '''입체대각선'''은 같은 면 위에 있지 않은 꼭짓점을 연결하는 대각선이다. '''맞모금'''이라고도 한다. 면대각선은 같은 면 위에 있는 꼭짓점을 연결하는 대각선이다.

3. 2. 면대각선

다면체에서 '''면대각선'''은 같은 면 위에 있는 꼭짓점을 연결하는 대각선이다. 입체대각선과 비교해 보면, 입체대각선은 같은 면 위에 있지 않은 꼭짓점을 연결하는 대각선이다.

4. 고차원 도형의 대각선

n차원 초입방체의 대각선 길이는 수학적 귀납법으로 계산할 수 있다. n-큐브의 가장 긴 대각선은 √n이다.^[9] 예를 들어, 5-큐브는 √2 (160개), √3 (160개), 2 (80개), √5 (16개)의 대각선을 갖는다.^[9] 일반적으로 n-큐브는 총 $2^{n-1}(2^n-n-1)$ 개의 대각선을 갖는다.^[9] 이는 볼록 다면체의 모든 면 및 공간 대각선의 총 개수를 나타내는 $\frac{v(v-1)}{2}-e$ 에서 파생되며, 여기서 v는 꼭짓점의 개수, e는 모서리의 개수를 나타낸다.^[9]

5. 기하학에서의 대각선

집합 ''X''와 자신과의 데카르트 곱 ''X''×''X''의 부분 집합으로, 모든 쌍 (x,x)로 구성된 것을 대각선이라고 하며, ''X''상의 동등성 관계의 그래프 또는 동등하게 ''X''에서 ''X''로의 항등 함수의 그래프라고 한다. ''X''에서 자기 자신으로의 사상 ''F''의 고정점은 ''F''의 그래프와 대각선의 교차를 통해 얻을 수 있다.

대각선을 "자기 자신과" 교차한다는 아이디어는 동치류 내에서 이를 변형하여 사용된다. 이는 오일러 지표와 벡터장의 영점과 관련이 있다. 예를 들어, 원 ''S''¹은 베티 수 1, 1, 0, 0, 0을 가지므로 오일러 지표는 0이다. 이를 기하학적으로 표현하는 방법은 두 원환면 ''S''¹xS¹ 위의 대각선을 보고, 이를 작은 움직임 (θ, θ)에서 (θ, θ + ε)으로 "벗어날" 수 있음을 관찰하는 것이다. 함수의 그래프와 대각선의 교차 수는 레프셰츠 고정점 정리를 통해 호몰로지를 사용하여 계산할 수 있다. 대각선의 자기 교차는 항등 함수의 특수한 경우이다.

참조

_[1] 웹사이트 diagonal (adj.) https://www.etymonli[...]
_[2] 문서 Geography 2.1.36–37 Strabo
_[3] 문서 Elements book 11, proposition 28 Euclid
_[4] 문서 Elements book 11, proposition 38 Euclid
_[5] 서적 Mathematical Gems Mathematical Association of America
_[5] 간행물 The Number of Regions Determined by a Convex Polygon
_[6] OEIS A006522
_[7] 논문 The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon https://math.mit.edu[...]
_[8] Youtube Circle Division Solution (old version) https://www.youtube.[...] 2015-05-23
_[9] 웹사이트 Counting Diagonals of a Polyhedron – the Math Doctors https://www.themathd[...]
_[10] 웹사이트 対角線(たいかくせん)とは？意味や使い方 - コトバンク https://kotobank.jp/[...]
_[11] 웹사이트 第5学年の実践例 I 単元対角線の数はいくつ? http://www.kasanken.[...] 香川県算数教育研究会 null
_[12] 문서 テーマ２：凸多角形に関する問題 https://www.jaist.ac[...]
_[13] 웹사이트 http://yosshy.sansu.[...]
_[14] 웹사이트 https://ouchimath.co[...]
_[15] 간행물 対角線の存在性をめぐる認知的葛藤の生成 https://doi.org/10.3[...] 公益社団法人日本数学教育学会
_[16] 서적 최상위수학 라이트 중 1-2 디딤돌

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com

변의 수	대각선의 수
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

변의 수	대각선의 수
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819

변의 수	대각선의 수
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35
11	44
12	54
13	65
14	77
15	90
16	104
17	119
18	135
19	152
20	170
21	189
22	209
23	230
24	252
25	275
26	299
27	324
28	350
29	377
30	405
31	434
32	464
33	495
34	527
35	560
36	594
37	629
38	665
39	702
40	740
41	779
42	819