직각삼각형

3. 주요 정리 및 공식

피타고라스 정리는 직각삼각형과 관련하여 가장 중요한 정리 중 하나이다. 변의 길이가 인 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$에서 반둘레 $s\; =\; \backslash tfrac12(a+b+c)$, 넓이 $T,$ 가장 긴 변에 대한 높이 $h\_c$, 외접반지름 $R,$ 내접원 반지름 $r,$ 방접원 반지름 $r\_a,\; r\_b,\; r\_c$는 각각 $a,b,c$에 접하며, 중선은 $m\_a,\; m\_b,\; m\_c$일 때, 다음은 모든 직각삼각형의 성질이다.

• $s=2R+r.$^[6]
• $a^2+b^2+c^2=8R^2.$^[11]

3. 1. 피타고라스 정리

3. 2. 직각삼각형의 합동 조건

• RHA합동: 빗변의 길이(Hypotenuse)와 한 예각(Angle)의 크기가 같으면 두 직각삼각형은 합동이다. ASA합동과 같은 논리이다.
• RHS합동: 빗변의 길이와 한 변(Side)의 길이가 같으면 두 직각삼각형은 합동이다. 피타고라스 정리로부터 보일 수도 있다.^[16]

• 빗변과 한 예각이 각각 같다. (오른쪽 그림에서 AC=DF, θ=δ일 때)
• 빗변과 다른 한 변이 각각 같다. (오른쪽 그림에서 AC=DF, AB=DE일 때)

3. 3. 직각삼각형의 넓이

3. 4. 내심, 외심, 수심

4. 삼각비와 삼각함수

삼각비는 직각삼각형의 변의 비율로 정의할 수 있다. 주어진 각에 대해, 이 각으로 직각 삼각형을 구성할 수 있으며, 이 각을 기준으로 변을 대변, 인접변(밑변), 빗변으로 표시할 수 있다. 이러한 변의 비율은 선택된 특정 직각 삼각형에 의존하지 않고 주어진 각에만 의존한다. 왜냐하면 이러한 방식으로 구성된 모든 삼각형은 닮음이기 때문이다. 주어진 각 α에 대해 대변, 인접변(밑변) 및 빗변이 각각 $O,$ $A,$ 및 $H,$로 표시되면 삼각함수는 다음과 같다.

:$\backslash sin\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{O\}\{H\},\backslash ,\backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{A\}\{H\},\backslash ,\backslash tan\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{O\}\{A\},\backslash ,\backslash sec\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{H\}\{A\},\backslash ,\backslash cot\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{A\}\{O\},\backslash ,\backslash csc\backslash alpha\; =\backslash frac\; \{H\}\{O\}.$

위 식에서 $O$는 대변, $A$는 밑변, $H$는 빗변이다.

예각에 대한 삼각함수를 기하학적으로 정의하기 위해 직각 삼각형을 이용하며 빗변 $c$, 밑변 $a$, 대변 $b$에 의해

:$\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac\{a\}\{c\}$ (사인)

:$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac\{b\}\{c\}$ (코사인)

:$\backslash tan\; A\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}$ (탄젠트)

로 정의한다.

5. 특수 직각삼각형

삼각 함수의 값은 특수 각을 가진 직각삼각형을 사용하여 특정 각도에 대해 정확하게 평가할 수 있다. 여기에는 30-60-90 삼각형과 45-45-90 삼각형 (직각이등변삼각형)이 포함된다. 30-60-90 삼각형은 $\backslash tfrac16\backslash pi$의 모든 배수에 대한 삼각 함수를 평가하는 데 사용되며, 45-45-90 삼각형은 $\backslash tfrac14\backslash pi$의 모든 배수에 대한 삼각 함수를 평가하는 데 사용된다.^[1]

5. 1. 30-60-90 삼각형

5. 2. 45-45-90 삼각형 (직각이등변삼각형)

5. 3. 케플러 삼각형

6. 한국 전통 건축에서의 직각삼각형

메이지 시대 초기 일본에서는 직각삼각형을 "구고현의 형"^[17]이라고 불렀다. 이 이름은 한나라의 『구장산술』 "구고" 장에서 유래되었으며, 중국과 일본의 와산에 계승되었다. "구고현"이라는 말은 일본 전통 건축의 규구술^[18]에서도 사용된다.

6. 1. 구고현의 정리

6. 2. 규구술

7. 기타

원점과 (α,0), (0,β)를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 방정식은 다음과 같다.^[1]

:$\backslash left|\backslash frac\{x\}\{\backslash alpha\}\backslash right|\; +\; \backslash left|\backslash frac\{y\}\{\backslash beta\}\backslash right|\; +\; \backslash left|\backslash frac\{x\}\{\backslash alpha\}\; +\; \backslash frac\{y\}\{\backslash beta\}\; -\; 1\backslash right|\; =\; 1\; \backslash Leftrightarrow\; |\backslash beta\; x|\; +\; |\backslash alpha\; y|\; +\; |\backslash beta\; x\; +\; \backslash alpha\; y\; -\; \backslash alpha\backslash beta|\; =\; \backslash alpha\backslash beta$

참조

_[1] 간행물 A property of triangles involving area 2003-07
_[2] 문서 Wentworth p. 156
_[3] 간행물 Integer solutions of $a^\{-2\}\; +\; b^\{-2\}\; =\; d^\{-2\}$ 1999-07
_[4] 간행물 The upside-down Pythagorean Theorem 2008-07
_[5] 문서 Inequalities proposed in "[[Crux Mathematicorum]]" http://www.imomath.c[...]
_[6] 웹사이트 Triangle right iff s = 2R + r, Art of problem solving, 2011 https://web.archive.[...] 2012-01-02
_[7] 웹사이트 Properties of Right Triangles https://web.archive.[...] 2012-02-15
_[8] 문서 A Variant of the Pythagorean Theorem http://www.cut-the-k[...] 2011
_[9] 간행물 Converse of a Property of Right Triangles 2005-03
_[10] 간행물 Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization http://forumgeom.fau[...]
_[11] 서적 Complex Numbers from A to...Z Birkhäuser 2006
_[12] 간행물 The golden ratio — the right triangle — and the arithmetic, geometric, and harmonic means 2005-07
_[13] 서적 The Secrets of Triangles Prometheus Books 2012
_[14] 서적 Challenging Problems in Geometry Dover 1996
_[15] 간행물 Squares inscribed in angles and triangles 1998
_[16] 웹사이트 【図形の性質と証明】④直角三角形の合同 A https://www.pref.osa[...] 大阪府 2024-02-07
_[17] 서적 米欧回覧実記・5 岩波書店（岩波文庫） 1996
_[18] 웹사이트 規矩術指金使いの基本、勾殳玄の図、解勾股弦 https://tyouken.tend[...] 大工さんが作ったホームページ